（通信与信息系统专业论文）自适应横向滤波器的快速算法及其应用.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 适应滤波是近年来在数字信号处理领域日益受到重视的一种重要方法。在 无法取得信号和噪声统计特性的先验知识的条件下，自适应滤波器起到了重要的 作用。它能够在自己的工作过程中逐渐估计出所需的统计特性，并以此为依据自 动调整自己的参数，以达到最佳滤波效果。自适应滤波器由参数可调的数字滤波 器和自适应算法两部分组成。快速横向滤波( f t f ) 自适应算法是自适应滤波器 的一种很有价值的快速算法。与其他自适应算法根比较而言，f r f 算法拥有结构 简单、收敛速度快、精度高、收敛速度对数据的相关性不敏感等突出的优点，因 此得到了广泛的应用。本课题正是对f t f 算法在自适应滤波中的应用这一领域的 探索与研究。1 本文首先对兀f 算法作了一个总体的介绍，然后对构成该算法的四个横向滤 波器( 最小二乘横向滤波器、前向预测误差滤波器、后向预测误差滤波器以及增益 滤波器) 的推导思路、时间更新过程分别进行了讨论，最后总结了该算法的算法流 程并讨论了一种改进的f t f 算法。 在此理论基础上，本文做了大量的实验( 计算机仿真实验以及实际语音处理实 验) ，详细地研究了f t f 算法在自适应系统模拟与辨识、自适应逆滤波、自适应预 测以及自适应干扰抵消四个方面的应用，并对该算法的性能及应用中的问题进行 了讨论和总结。实验结果和理论分析表明，f t f 算法在自适应滤波中具有良好的 性能和广阔的应用前景。 关键词：自适应滤波f t f 算法正向辨识逆向辨识蓣涎干扰抵消 华中科技大学硕士学位论文 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! o ! ! ! ! ，o o ! i - _ _ - - _ - _ _ - _ i _ _ i - _ - i _ l _ _ - _ _ - - _ _ l _ _ l - _ _ _ i _ _ - _ _ - 一 a b s t r a c t a d a p t i v ef i l t e r i n g i sa l l i m p o r t a n tt o o l i nt h ea r e ao fd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g w h e ns y s t e ma n d o re n v i r o n m e n ta r et i m e - v a r y i n g , a d a p t i v ef i l t e r sa l eo f t e nu s e d a d a p t i v ef i l t e rc a ne s t i m a t ew h a ti t n e e dg r a d u a l l yw h e ni ti sw o r k i n g ，a c c o r d i n gt o w h i c hi tw i l l a d j u s t i t s p a r a m e t e r sa u t o m a t i c a l l yt o a c h i e v et h eb e s te f f e c t i ti s c o m p o s e do fd i g i t a l f i l t e ra n da d a p t i v e a l g o r i t h m t h ef a s ta l g o r i t h mo fa d a p t i v e t r a n s v e r s a lf i l t e r si sav a l u a b l e a l g o r i t h m o fa d a p t i v e f i l t e r s c o m p a r e dt o o t h e r a d a p t i v ea l g o r i t h m s 。f r fa l g o r i t h mh a sm a n ye x 呻i v e m e r i t ss u c ha ss i m p l ef r a n l e ， r a p i dc o r v e r g e n c er a t e , i n s e n s i t i v et ot h ep e r t i n e n c eo f d a l a a n dh i g hp r e c i s i o n , s oi t h a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n ya r e a s t h i sa r t i c l ei sj u s tt h er e s e a r c ha n de x p l o r a t i o no f t h ea p p l i c a t i o n so f v i t a l g o r i t h mi n t h ea r e a o f a d a p t i v ef i l t e r i n g s t a r t i n g f r o mt h e g e n e r a l i n t r o d u c t i o no ff t fa l g o r i t h m t h e p a p e r t h e n r e s p e c t i v e t yd i s c u s s e st h ed e d u c t i v ec o u r s ea n dr e g e n e r a t i v es t e p so f f o u rw a n s v e r s e f i l t e r sw h i c h b u i l d u pt h ef r fa l g o r i t h m i nt h ee n d t h ep a p e ri n d u c e st h ea l g o r i t h ma n d b r i e f l yi n t r o d u c e sam e n d e d f r f a l g o r i t h m b a s e do f ft h et h e o r y , m a n ye x p e r i m e n t sh a v eb e e nd o n e t h ea r t i c l e a m p l y d i s c u s s e st h ea p p l i c a t i o n so ff t fa l g o r i t h mi nt h ea l e ao f a d a p t i v es y s t e ms i m u l a t i o n a d a p t i v ei n v e r s es i m u l a t i o n , a d a p t i v ep r e d i c t i o na n da d a p t i v en o i s ec a n c e l l a t i o n t h e c a p a b i l i t y o ft h ef r f a l g o r i t h m a n d m a n ya p p l i c a t i o np r o b l e m s a r ei n d u c e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa n da n a l y s i ss h o w t h a tt h ef t f a l g o r i t h m h a sg o o dc h a r a c t e r i s t i c s a n dw i d e p e r s p e c t i v e i nt h ea r e ao f a d a p t i v ef i l t e r i n g k e y w o r d s ：a d a p t i v ef i l t e r i n g i n v e r s es i m u l a t i o n f r f a l g o r i t h ms y s t e m s i m u l a t i o n p r e d i c t i o nn o i s ec a n c e l l a t i o n i i 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 自适应滤波是近年来发展十分迅速的数字信号处理方法。它的特点是在无关 于待提取信号的先验统计知识的条件下，直接利用观测数据，根据某种判据，在 观测过程中不断递归更新处理参数，经过递归运算来逼近最优解，在信号增强、 噪声抵消以及信号预测等方面均有应用1 1 l 。 快速横向滤波器自适应算法( 简称f t f 算法) 是自适应滤波器的一种很有价 值的快速算法。与其他自适应算法相比，它拥有结构简单、收敛速度快、精度高、 收敛速度对数据的相关性不敏感等突出的优点【2 1 ，因此得到了广泛的应用。其中 有代表性的就是自适应系统辨识陬 i l l 、自适应逆滤波、自适应预测( 8 l 【9 】和自适应干 扰抵消等。但是该算法在实际应用中效果如何? 是否真的具有以上优点? 在 用于不同用途时参数的选取是否一样? 这些都是本文研究和讨论的问题。 本文首先叙述了快速横向滤波器自适应算法( f t f 算法) 的原理，然后着重 讨论了该算法在自适应系统模拟与辨识、自适应逆滤波、自适应预测、自适应干 扰抵消四个方面的应用，并在此基础上对f t f 算法的性能及应用中有关问题进行 了研究和总结。 1 1 自适应信息处理 自适应信息处理是在科学研究和工程设计中应用很广泛的一个学科。在通信、 遥测遥控、电子对抗、雷达等方面的信息处理过程中，由于信号传输过程的时变 性，优化处理的条件随时问变化，故需自动跟踪变化求最优解，从而问题演变为 自适应优化信息处理( 简称自适应信息处理) 。这种实时地跟踪优化处理，称为快 速自适应信息处理。快速自适应信息处理作为一个学科，主要研究用于各种场合 的自适应辨识、预测、干扰抵消、均衡、信号增强、滤波、谱估计及自适应天线 阵等的优化设计及其实现的问题，使具有上述各自适应装置的系统的性能更为优 越。自适应信息处理器分为两大类，一类是自适应天线【l ”，另一类则是自适应滤 波器。 本节首先回顾了自适应信息处理的发展过程，然后简单介绍自适应滤波器的 基本原理以及自适应滤波器的其他几种算法：自适应的最小均方算法( l m s ) 、递 华中科技大学硕士学位论文 归最小二乘方算法( r l s ) 、最小二乘格形自适应算法( l s l ) 。最后介绍了该领域 的发展趋势。 1 1 1 历史回顾 在2 0 世纪6 0 、7 0 年代，在信息处理领域最优化方法与技术得到发展。但由 于传统的优化技术的局限性，有许多复杂的问题还得不到解决。因此最近一些年 来，人们开始把希望寄托在自适应优化技术上。这主要是由于自适应技术有许多 传统优化技术所不具备的优点【1 4 j ： 1 ) 可以对具有高度非线性工程问题进行优化搜索： 2 ) 能处理具有大量设计参数的问题； 3 ) 可以收敛到全局最优点； 4 ) 可以在设计空间的大范围内平行取样，从而迅速的为设计者提供较好的设 计方案。 5 ) 不受问题形态的影响，基本上可对任何优化问题进行求解： 随着人们希望能在条件时变或快速时变的情况下实时跟踪得到最优化的结 果，逐渐建立了各种自适应处理优化算法。在7 0 年代中斯，w i d r o w i ”瞎推出并 完善l m s 型算法，8 0 年代人们又从减小输入信号组合的相关性( 提高信息量) 及将k a i n l 柚【1 6 1 17 】在最佳检测中的结论转化到自适应优化等角度，修正补充了 l m s t l 8 m 1 算法，使处理速度加快。同时人们建立了更完善地利用输入信息地处理 优化准则及相应算法，即r l s 算法，并用代数法或几何法编写出各种程序。这类 算法的共同特点是收敛迅速，能应付条件的快速时变。8 0 年代中后期及9 0 年代 初期人们继续设法克服横向结构r l s 算法等出现的新问题，如计算误差累积致使 算法发散等问题，使快速自适应信息处理达到实用的阶段。 1 1 2 自适应滤波原理 在设计一般的滤波器时，要求己知关于信号和噪声统计特性的先验知识。但 在许多情况下人们对此并不知道或知道得很少，某些情况下这些统计特性还是时 变的。处理这类信号就需要用到自适应滤波器。 自适应滤波器是一种能够自动调整参数的特殊的维纳滤波器【2 0 1 ，由参数可调 的数字滤波器、自适应算法和比较器三部分组成，如图1 1 所示。 华中科技大学硕士学位论文 图1 , 1 自适应滤波器原理图 其中x ( n ) = i x ( 1 ) 工( 帕为滤波器的输入信号。 d ( n ) = l d ( 1 ) d ( ，1 ) 为参考信号( 或期望信号) 。 矿( 帕= j 以1 ) w o , ) y 是滤波器的加权矢量。 y ( ) = ( ”) 7 ( 一) ，为x ( n ) 通过参数可调数字滤波器后产生的输出信号。 p ( n ) = d ( 甩) 一x ( 月) 7 矿( ”) 为误差信号。 输入信号x ( n ) 通过参数可调数字滤波器( 参数可调滤波器可以是f i r 数字滤 波器或i i r 数字滤波器，也可以是格形数字滤波器) 后产生输出信号( 或响应) y ( 疗) ， 将其与参考信号( 或称期望信号) d ( 一) 进行比较，形成误差信号e ( 刀) 。e ( 呻( 有时还 要利用工( 片) ) 通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使8 ( n ) 的均方值最 小。可见，要得到满意的滤波效果，关键是按均方误差e k z ( 功i 最小准则调整最佳 w 值。自适应滤波器要在没有输入数据先验统计知识的条件下，随着每一次新的 输入值x ( n + 1 ) 的进入，采用一定的算法( 即自适应算法) 逐次递推更新w ，使它 逐渐接近最佳解。因此，自适应滤波器在设计时不需要事先知道关于输入信号和 噪声的统计特性的知识，它能够在自己的工作过程中逐渐“了解”或估计出所需 的统计特性，并以此为依据自动调整自己的参数，以达到最佳滤波效果。一旦输 入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器 性能重新达到最佳。 由上图可知，自适应滤波器有两个输入：x ( n ) 和d ( n ) ，两个输出：y ( n ) 和e ( n ) 。 其中x ( n ) 可以是单输入信号，也可以是多输入信号。其余三个信号都是时间序列。 在不同的应用场合中，这些信号代表不同的具体内容。 1 1 3自适应最小均方( l m s ) 算法 l m s 算法是一种很有用且很简单的估计梯度的方法【2 ”。这种算法自6 0 年代 华中科技大学硕士学位论文 初提出以后很快得到广泛的应用，它的突出优点是计算量小，易于实现，且不要 求脱线计算。只要自适应组合器每次迭代运算时都知道输入信号和参考响应，就 可以选用l m s 算法。 l m s 算法最核心的思想是用平方误差代替均方误差【2 2 1 。它的基本关系式是： w ( 甩+ 1 ) = w ( h ) 一v ( 疗) = w ( n ) + 2 ，帕( 盯) x ( ，1 ) w ( n ) 为自适应滤波器的权矢量，x ( n ) 为输入信号，e ( n ) 为误差信号。 l m s 算法实现起来很简单：它下- - n 的权矢量w ( n + 1 ) 等于当前矢量w ( 甩) 加 上一个修正量，该修正量等于误差信号p ( ”) 的加权值，加权系数为2 a ( n ) ，它正 比于当前的输入信号。 由上式可以看出，l m s 算法实际上是在每次迭代中使用很粗略的梯度估计值 可( ”) 来代替精确值v ( n ) ，可见权矢量调整路径不可能准确地沿着理想的最陡下降 的路径，因此权矢量的调整过程是有“噪声”的，这是l m s 算法的缺陷。 1 1 4 自适应递归最小二乘方( r l s ) 算法 r l s 算法实际上是f i r 维纳滤波器的一种时间递归算法，它是严格以最小二 乘方准则为依据的算法田l 。它的主要优点是收敛速度快，因此，首先在快速信道 均衡、实时系统辨识和时间序列分析中得到广泛的应用。其主要缺点是每次迭代 计算量很大，因此，在信号处理中它的应用曾一度受到限制。 r l s 算法的关键是用二乘方的时间乎均的最小化准则取代最小均方准则，并 按时间进行迭代计算【2 4 j 。具体来说，是要对初始时刻到当前时刻所有误差的平方 进行平均并使其最小化，再按照这一准则确定f i r 滤波器的权系数矢量w 。 近年来人们重新对r l s 算法产生了兴趣，主要是因为它具有收敛速度快的优 点【2 ”。特别是在生物医学应用中，这种算法的自适应滤波器很容易在小型计算机 上实现。而在快变信道均衡应用中，这种算法实现起来代价太大。但是最近提出 的递归最小二乘方格形( r l s l ) 和快速卡尔曼等算法能够有效地加以实现。特别 是r l s l 算法，它把l m s 算法地高计算效率和r l s 算法的快速收敛的优点很好 的结合起来。因此，已在自适应信道均衡和自适应阵列处理等领域获得了应用。 1 1 5 最小二乘格形( l s l ) 自适应算法 由前两节可知，l m s 算法与r l s 算法虽然各有各的优点，但是它们的缺憾也 4 华中科技大学硕士学位论文 是不容忽视的，如l m s 算法收敛速度较缓慢，且收敛性能对自适应增益常数u 的 选择很敏感的，r l s 算法每次迭代计算量都很大，对于l 阶横向滤波器，计算量 数量级为o ( l 2 ) 。而近年来发展起来的最4 , - - 乘格形( l s l ) 算法【2 6 】有效的解决了 这两个问题。 l s l 算法的基础是前向预测误差和后向预测误差的概念【i l 。所谓前向预测是 指根据f 时刻以前的r a 个数据对x ( o 进行向前一步m 阶预测，得到前向预测值 x ( f ) ，而用z ( f 一朋) 以后的m 个数据对工( f 一坍) 进行向后一步小阶预测，得到后向 预测值( f ) 即是所谓的后向预测。它们的公式分别如下： x ( f ) = a o ( 刀) 工( f 一七) x ( i - m ) = x b 。( n ) x ( i - r a + k ) ( 1 f ) - ii ，i 前( 后) 向预测误差分别为：占：( 月) = x ( i ) 一x r ( i ) 、占：( 胆) = x ( i ) 一如( f ) ，然 后由m 阶( 前向后向) 预测误差计算m + 1 阶( 前向后向) 预测误差，就构成了 l s l 算法的格形结梅。 采用l s l 自适应算法时，前向和后向预测误差剩余初始值6 的选择，对于模 型参数的收敛性能是有影响的。然而，l s l 算法明显的比l m s 算法收敛的更快， 且其计算量数量级为0 ( l ) ，远优于r l s 。因此，在数字信号自适应滤波处理中， l s l 显示出其独特的优势。l s l 算法不需要输入信号和干扰噪声的先验知识，它 能自动地根据上下游噪声信号更新估计，实时性好对于各种不同的信号和干扰 噪声情况适应性很强，更突出的是，它结合了l m s 算法的高计算效率和r l s 算 法的快速收敛的优点，因此，已在自适应信道均衡和自适应阵列处理等处理中获 得了应用。 1 1 6 发展趋势 在快速自适应信息处理方面，其主要发展趋势有( 2 6 l ： 1 ) 实际实验表明，当增加自适应网络的节数后，对于现用方法，即使采用 1 6 或3 2 位浮点算法，仍有可能出现不稳定现象，故常需要进一步提高已有快速 算法的计算数值稳定性。一种途径是进一步创立更有效的不稳定标志及其检测和 补救措施，另一些途径则是采用块数据处理方法以减少单位时间内所需的计算次 数，以及利用数值计算误差的反馈措施以减轻计算误差的影响。 2 ) 进一步减少码元间所需的计算量，此计算量的减少常与收敛速度及数值计 华中科技大学硕士学位论文 算稳定性等性能有矛盾，故应进一步寻求适于不同应用场合的统一、折衷的优化 方案。 3 ) 配合使用新型快速计算器件，建立合理、有效的快速自适应处理程序。必 要时应根据新器件的特点，适当修改原有程序。 4 ) 将各种算法推广应用到多维输入信号的情况，使之能够应用于图像快速自 适应处理及运动图像快速自适应处理等方面。 5 ) 在实际问题中，迫切需要研究非线性自适应滤波理论和算法，而神经网络、 人工智能等技术在解决非线性问题技术时具有其独特的优点。因此，将自适应滤 波和神经网络、人工智能等技术结合起来用于信号处理可以取得比较理想的效果， 这也是目前研究的一个主要方向。 1 2 本论文研究的主要内容 本文的研究工作主要分为两部分。第一部分用m a t l a b 2 7 h 2 9 1 实现了快速横 向自适应( f t f ) 算法：第二部分做了大量的实验讨论算法在自适应系统模拟与 辨识、自适应逆滤波、自适应预测、自适应干扰抵消四方面的应用，并对其进行 了归纳和总结。具体内容为： 1 ) f t f 算法是一种比较新的自适应滤波算法。本文深入讨论了该算法的含义、 推导思路和算法流程，并在此基础上研究该算法的优化情况。 2 ) 用m a t l a b 实现了f r f 算法，在参数选择上进行了多次改进。 3 ) 做了大量的实验讨论f t f 算法在自适应系统模拟与辨识和自适应逆滤波 中分别应用于f i r 滤波器和t 滤波器的情况。 4 ) 从模拟实验和实际语音处理【3 0 】【3 1 】两方面探讨f t f 算法在自适应预测和自 适应干扰抵消方面的应用。 本文共分为六章。 第一章介绍自适应信息处理及其发展； 第二章介绍f t f 算法基本思想和算法流程： 第三章、第四章、第五章和第六章是本文的重点，分别介绍f t f 算法在自适 应系统模拟与辨识、自适应逆滤波、自适应预测以及自适应干扰抵消几方面的应 用； 最后是全文总结和致谢。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 快速横向滤波( f t i o 自适应算法 f t f 算法是由四个横向滤波器协调地组合起来的一种算法【”。该算法通过引 入横向滤波算子，并利用时间更新关系来实现有关的四个滤波器的参数更新，从 而最终达到横向自适应滤波器参数更新的目的。与其他自适应算法相比，它拥有 结构简单、收敛速度快、精度高、收敛速度对数据的相关性不敏感等突出优点， 因此得到了很广泛的应用。 2 1f t f 算法涉及的四个横向滤波器 f t f 算法中的四个横向滤波器都可以用横向滤波算子来描述。因此，横向滤 波算子是用来描述f 1 下算法的关键。 一般而言，对于一个n n 数据矩阵u ，横向滤波算子定义为 k u = ( u ，u ) “u 7 f i t 算法中的四个滤波器的参数都可以用横向滤波算子作用于某个矢量来表 示。 1 ) 最小二乘横向滤波器 最d - - 乘横向滤波器的权矢量w ( n ) 按下式计算： 辟，( 行) = k o * t ( n ) d ( n ) ( 2 1 ) 其中横向滤波算子凰l - ，( 月) = ( a o 卅l ( 功，x o 加，( 砌1 罐肛一( 力，这里五肛，( 砂 是输入数据矢量x ( n ) 构成的数据矩阵。上式表明，横向滤波算子k 。一。( 一) 作用于 期望信号矢量d ( n ) ，便可计算出最小二乘横向滤波器的权矢量降0 ( 吣。也就是说， k o ( 疗) 的各行矢量与a ( n ) 的内积，便是阡_ ( n ) 的各分量。 利用最佳权矢量降_ ( n ) 和数据矩阵x 。一，( 玎) 即可得到期望信号d ( n ) 的最小二 乘估计d f ，1 1 ： d ( n ) = x o 一l ( n ) k 0 一l ( 疗) d ( ，1 ) 此时的误差矢量为 e ( 一，1 ) = 胁一i ( n ) d ( ，1 ) 华中科技大学硕士学位论文 其中，一，( 行) 是对子空f s q 江。小。( ”) 的正交投影矩阵，而慨卅。( 疗) 是由数 据矩阵( n ) 的列矢量张成的。 利用单位现时矢量x ( n ) 可求出误差矢量e ( n l n ) 的当前分量 e ( n t n ) = = 石( 聆) ，胁一j ( 力d ( h ) 2 ) 前向预测误差滤波器 所谓最小二乘前向预测，是指用i 时刻以前的个数据对x ( o 做最d - 乘估 计。利用矢量空间的概念，数据矢量x ( n ) 的最小二乘前向预测矢量为 x ( ，o = x j ( n ) a ( n ) = 只v ( ，1 ) z ( 月) 其中j 1 ( 疗) 是以z - i x ( n ) ，z - n x ( n ) 为列矢量构成的数据矩阵，口( ) 是 最d , - - 乘前向预测系数构成的矢量，称为最小二乘前向预测系数矢量。b 。( 疗) 是 子空f s q 讧州( 疗) 的投影矩阵。 最小二乘前向预测系数矢量口。( n ) = k 。( n ) x ( n ) ( 2 2 ) 其中横向滤波算子k w ( ”) = ( x ；。( 疗) ，x 1 ( ”) ) 1 x ( n ) 。此式表明，横向滤波 算子k 1 。( 一) 作用于数据矢量x ( n ) 可计算出最d - 乘前向预测( 最佳) 系数矢量 a 。( 疗) ；如果能够对k - ( i i ) 进行时间更新，那么也就能够对a ，( 功进行时间更新。 此时最小二乘前向预测误差矢量为e f ( ，l i n ) = 只知( ”) 工( 丹) 因此它的当前分量为 e 7 ( n l n ) = = 相应的预测误差剩余为 占7 ( ) = e f ( n l n ) ，p 7 ( 叫n ) ) = ( x ( 斤) ，只知( 门) x ( ，1 ) ) 3 ) 后向预测误差滤波器 和上面关于前向预测误差滤波器的讨论相类似的可以得出以下结论，对数据 矢量z - n x ( n ) 的最d , c - 乘后向预测为 x 6 ( n 一) = x o 一i ( n ) b n ( ，1 ) = e o 一l ( n ) z 一“x ( n ) 其中x o 。( 以) 是输入数据矢量x ( n ) 构成的数据矩阵，b ，( 以) 是最d - - 乘后向 预测系数矢量。r 小( 一) 是子空间 z 。- ，( n ) 的投影矩阵。 最小二乘后向预测系数矢量b ( ) = k 。1 ( n ) z “x ( 九) ( 2 3 ) 其中足一( ，1 ) 是对数据矩阵弱抄，( ，1 ) 的横向滤波算子。此式表明，k 州一。( n ) 作 用于延时数据矢量z - n x ( n ) 可求出最小二乘后向预测( 最佳) 系数矢量b n ( h ) 。 8 华中科技大学硕士学位论文 此时最小二乘后向预测误差矢量为e b ( n l 九) = 一( n ) z “x ( 疗) e 6 ( n t n ) 的当前分量为 e 6 ( ，l n ) = 相应的预测误差剩余为 占6 ( h ) = ( z - n x ( n ) ，岛上一i ( 疗) z 一“x ( 胛) ) 4 ) 增益滤波器 定义角参量t u ( n ) = l x ；0 ) g ( 厅) 为n 维子空间批。( 疗) 与。0 一1 ) 之 间夹角的一种度量。由此可见，g ( n ) 也可用来描述数据子空间忸州一( 功与 讧。小。( n - 1 ) 之间夹角的大小。 单位现时矢量，r ( 砂在子空间x ( n ) 上的投影为只( 雅加( 疗) ，这里只( 疗) 是 石( 疗) 的投影矩阵。由于只( ，l 弦( ，1 ) 在扛( 疗) ) 上，故可表示成扛( ，1 ) 基底矢量的线性组合， 由于扛( n ) 只有一个基底矢量即x ( h ) ，故有 只( 厅弦( 疗) = g ( n ) x ( n ) 此式表明，矢量g ( n ) x ( n ) 是利用数据矢量x ( n ) 对单位现时矢量x ( n ) 所做的最 小二乘估计。如果把这种估计看成是用一个最+ - - 乘滤波器对x ( n ) 进行滤波得到 的，那么g ( 疗) 便是最佳的最小二乘滤波系数，简称增益，该滤波器则称为增益滤 波器。 增益滤波器的权矢量g ( ，1 ) = k o t ( n ) x ( n ) ( 2 4 ) 由上式可知，增益滤波器的权矢量g 。( 胆) 可以通过横向滤波算子k o ，( 一) 作用 于单位现时矢量x ( n ) 来得到。而增益滤波器权矢量的时间更新可归结为对横向滤 波算子k 。( n ) 的更新。 增益滤波器发估计误差矢量为p 。( n ) = 黠( n 弦( n ) 误差矢量的当前分量为p 。( m = 5 ) 总结 综上所述，我们对构成f t f 算法的四个横向滤波器进行了简单的描述，并对 其归纳如下表。它们的权矢量都可以用横向滤波算子作用于某个矢量来得到，因 而这些权矢量的时间更新问题便归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题。 9 华中科技大学硕士学位论文 表2 1f t f 自适应算法涉及到的四个横向滤波器 横向滤波器权矢量横向滤波算子被作用的矢量计算公式 最小二乘滤波器 ( h )k o 一l ( n )d ( n ) ( 2 1 式) 前向预测误差滤波器 口( 玎)k 1 ( 一)x ( n ) ( 2 2 式) 后向预测误差滤波器 b 。0 )k o 一l ( 疗)z - n x ( n ) ( 2 3 式) 增益滤波器 g ( 月)k o * l ( r 1 ) 万( 胆) ( 2 4 式) 2 2f t f 算法中的时间更新关系 每当耨的数据到来时，就要求及时更新最小二乘横向自适应滤器的权矢量 阡，v ( n ) ，以保证始终能够获得对期望信号的最佳估计。因此，f t f 算法的首要任 务，便是推导出。( h ) 的时间更新公式。然而，阡0 ( ”) 的时间更新涉及增益滤波 器的权矢量g 。( r t ) 、r t 时刻的角参量y ，( ，1 ) 和估计误差p ( 叫肝) 等的时间更新问题。 而g ，( h ) 和y ，( n ) 的时间更新又与前向和后向预测误差滤波器的一些参数有关系。 这就形成了f t f 算法结构的复杂的嵌套关系。由上节知道，f t f 算法涉及到的四 个横向滤波器的权矢量的时间更新问题都取决于横向滤波算子的时间更新。因此， 我们首先讨论横向滤波算子的时间更新。然后在此基础上再来讨论四个横向滤波 器的时间更新关系式。 2 2 1横向滤波算子的时间更新 设u 是一个h n 矩阵，v 是n x l 列矢量。u 的个列矢量张成维子空间 妙 ，妙 的投影矩阵为兄，彤是对妙 的正交投影矩阵。将y 附加到u 的最后 一列之后，构成一个疗( + 1 ) 的新矩阵，表示为眇】。由 v v 】的+ 1 个列矢量 作为基底矢量张成子空间妙，v ，是 u ，v 的投影矩阵，瑞是对，v ) 的正交 投影矩阵。 u ，v 的横向滤波算子k w 具有以下性质： 1 ) k u y 兄y = k u r 2 ) k u p u v 】- ， 。，k 。，= ：足。矿= o ” l o 华中科技大学硕士学位论文 式中，。是n 阶单位矩阵，0 。是n 阶零矢量。 t 昂= 剐 式中k 。是妙 的横向滤波算子，k 。= 一1u 7 。 s ，如= 扑一 卅归- i v t 尉 e ，k 。= 茏 + ：， 一 乞矿 ) ( 坩y ，尉矿- 1 9 t 彤 令u = x o 一l ( ) ，v = 厅( h ) ，则有 眇，矿】= x o 批。( ”) 石( n ) 】； u ，v j - 讧o , n - i ( n ) ，l r ( n ) 的横向滤波算子k o r = 置( o ，一l k ( ) ； 妙，矿 = x o _ ( ，i ) ，积n ) 的投影矩阵为，如。 利用以上列出的横向滤波算子的性质，便能推导出横向滤波算子的时间更新 关系式如下： 和k ( ，。研( ，1 ) = k 1 月- ( n - 1 ) 叫 其中c 7 伽一i ) 和6 7 一1 ) 为任意行矢量。 2 2 2f t f 算法中的时间更新关系 通过横向滤波算子的时间更新，利用该算子所具有的性质，使f 1 下算法中的 四个滤波器的参数也得到更新，具体说，有： 1 ) 最小二乘横向滤波器权矢量的时间更新 令，= 凰。( n ) ，v = 石( 疗) ，经过一系列推导可得： d d 片 一“珂 一( h 。 l f 1 ) 玎 to k 华中科技大学硕士学位论文 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! o _ _ - - l _ _ _ _ - - - _ _ - l l _ _ _ _ _ - _ _ l _ _ _ _ _ l _ - _ 一 w 小) _ w 加- 1 ) + 蔫引甩) 该式表示由”一1 时刻的权矢量递推计算”时刻的权矢量的时间更新公式。有 该式看出，即使在上次迭代时( 1 时刻) 已经计算出了w 。一1 ) ，但在这次迭 代中( 疗时刻) 还必须算出g 。( 行) 、y ，( ) 和p ( n l n ) ，才能够计算w 。( 聍) 。因此， f t f 算法的推导还必须包括这些参量的时间更新关系式的推导，以便由这些参量 在疗一1 时刻的值计算出它们在n 时刻的值。 2 ) 增益滤波器权矢量的时间更新( 先进行阶更新，然后进行时间更新) 令u = 五。( 行) ，v = x ( n ) ，经过一系列推导可得： 鼽如，= 麟 = g 。：叫卜等 嘞1 关于上式要注意： ( 1 ) 增益滤波器权矢量的时间更新关系式中引入了新的参量e 7 ( 疗k ) 、7 ( 月) 和口( ，1 ) ： ( 2 ) 这些参量都是时间n 的函数，因此在第n 次迭代时首先必须把它们计算 出来，然后才能够计算增益滤波器在当前时刻n 的权矢量； ( 3 ) 由月一l 时刻的阶增益滤波器的权矢量g 。一1 ) 按照上式迭代计算得 到的是甩时刻的+ 1 阶增益滤波器的权矢量g 。( h ) ，而不是我们需要的h 时刻的 阶增益滤波器的权矢量g 。( 疗) 。但是，可以利用上式得到的足。( 糟) 和k ( n ) 进一 步计算出g 。( 刀) 。 经过进一步计算得到所求的g 。( ”) 如下： g ( n ) = k ( n ) + k ( n ) b ( 一) 通过与增益滤波器权矢量的时间更新关系式完全类似的推导过程可得到角参 量的时间更新关系式： y m ( 甩) ：y ( n - 1 ) e ：百( n - 1 ) 1 2 华中科技大学硕士学位论文 y ”( h ) = y ”+ - ( ”) 一；丢；! - 4 ) 前向预测误差滤波器参量的时间更新 令u = x l ( 珂) ，v = x ( n ) ，可求得前向预测误差滤波器预测系数时间更新公式 如下： 州n ) - 口翩_ 1 ) + 耥g n ( 一1 ) 从该式可看出，在上一次( 第7 1 一1 次) 迭代计算中已经获得了y 0 1 ) 和 g ( n - 1 ) ，然而口7 ( 叫九) 并未获得。更严重的问题在于，e 7 ( 叫甩) 是利用一时刻的更 新后的前向预测系数矢量a 。( n ) 来预测x ( n ) 时的前向预测误差，而只有先计算出 e f ( ，i i ，z ) 才能够利用上式计算a 。( 一) 。因此必须讨论这个问题。 按照定义，p 7 ( 叫疗) 是前向预测误差矢量的第n 个分量。具体来说，就是用x ( 疗) 以前的n 个数据扛( n 1 ) ，x o 一) ) 的线性组合；( n ) = z “a ，( n ) x 加一i ) 预测x ( ，1 ) ， 其中前向预测系数q ( 哪按照使预测误差的平方的累积和最小的准则来确定。预测 误差为： e l ( ，4 甩) = x ( n ) - x ( n ) = 工( ，吩一口。( n ) x ( n - i ) 令数据矢量为x 。0 1 ) = b 一1 ) ，x ( n 一| v ) r ，前向预测系数矢量为 a n ( 玎) = 口l ( 玎) ，6 t ，( 片) 】，并将前向预测误差系数矢量的时间更新公式代入上面预 测误差的式中，可求得前向预测误差为： e f ( 以i 刀) = y ( 疗一1 ) e ：( n l n - i ) 其中e ( 叫万一1 ) = x ( n ) 一x ：0 一1 ) 口。一i ) 是利用，一1 时刻的预测系数矢量 t 2 n 一1 ) 作为线性组合加权系数，由数据扛( n - 1 ) ，x ( n 一) 来预测工( 扮) 时的前 向预测误差。 前向预测误差剩余的时间更新公式为： s 7 ( n ) = 占7 ( n 一1 ) + e 7 ( n l n ) e 7 ( n l n i ) 5 ) 后向预测误差滤波器参量的时间更新 后向预测误差滤波器参量的时间更新公式与前向预测误差滤波器参量的时间 华中科技大学硕士学位论文 更新公式推导方法类似。不同的是令u = 凰。( ”) ，v = 石( n ) 。可求得： 后向预测系数“( n ) ：6 ( n 一1 ) + 竺掣2 9 。( 。) ，( 行) 后向预测误差p 6 ( n l n 一1 ) = x ( n 一) - x r ( n - 1 ) b 。( n - 1 ) e b ( 叫疗) = y ( 疗) e 6 ( ，l i 疗一1 ) 后向预测误差剩余矿( n ) = 占6 0 1 ) + e b ( n l n ) e b ( ”k 1 ) 2 3 f t f 算法流程 从上两节简略的推导过程可看出，f t f 自适应算法是比较复杂的。为了对整 个算法过程有比较清晰的理解并能较方便的在实际中加以应用，现对其进行归纳 和整理。 f t f 算法的基本步骤归纳如下： 1 ) 初始化 口w ( o ) = 0 ，b ( 0 ) = 0 ，w ( o ) = 0 ，g ( o ) = 0 ，y ( o ) = 0 7 ( o ) = o c t , ( o ) = 占，这里6 是一个任选的小的正数。 2 ) 迭代计算 a 、前向预测误差滤波参数 p 7 ( n l n 1 ) = x ( n ) 一x ；( n 1 ) 口n ( 月一1 ) e f ( ，l i n ) = y ( 胆一1 ) e f ( n l n 一1 ) s 7 ( n ) = 占7 ( ，l 一1 ) + e f ( 疗i 疗) p 7 ( n i 疗一1 ) ( 疗) = a n ( ，l 1 ) + p ( n l n 一1 ) g ( 疗一1 ) b 、n + l 阶角参量 y 。+ ( n ) ：掣，( h 1 ) 占【珂， c 、n + i 阶增益滤波器权矢量 跏阳，= 瞄 = 州：柚 + 等匕1 。， d 、前向预测误差滤波器参量、n 阶角参量和n 阶增益滤波器参量 1 4 华中科技大学硕士学位论文 e b ( n l n 一1 ) = x ( n 一) 一x ；( h 一1 ) b ( ，l 一1 ) y 。( n ) = i 一七( ，1 ) p 6 ( 九i 九一1 ) r 1 ，+ ( 以) p 6 ( 叫九) = y “( 一) p 6 ( h 1 ) s 6 ( 疗) = 占6 ( n 1 ) + e 6 ( n t n ) e 6 ( 甩f 甩一1 ) “加嘛州洲) 】蠹舞 6 ( h ) = b n ( 疗一1 ) + g ( 押) p 6 ( 疗l h 一1 ) e 、最小二乘横向自适应滤波器参数 p ( ，枷一1 ) = d ( n ) 一x ；( 功w ( ，l i ) w ( n ) = w ”( 月一1 ) + g ( 疗) p ( 叫n 一1 ) 2 4 如何减少f t f 算法的计算量 根据上节所列出的算法流程可知，基本f r f 算法按照向量空间方法，以四种 估计为基础，通过投影算子来达到具有最小平方误差估计的目的，再通过几何投 影算子等在扩展数据空间内彼此的通用迭代关系，导出所需的时迭代式等。此算 法的计算量约8 n 次。增益归一f t f 算法则通过将基本f t f 算法中的增益滤波器 权矢量踟( 珂) 用角参量，( n ) 归一，定义出新的归一增益权c 。( 月) ，再根据它通过 代数规律将算法式相应改变，这样使有关计算e 6 ( 叫万一1 ) 的迭代式不需向量计算 ( 代以标量运算) ，故码元间计算量减少约次而降到7 。 归一化以后f t f 算法的流程归纳如下： 1 ) 初始化 a ( 0 ) = o ，b n ( 0 ) = 0 ，w ( o ) = o ，g ( o ) = o ，c ( 0 ) = o ，( o ) = 1 0 ，占7 ( 0 ) = 占6 ( 0 ) = 占，这里6 是一个任选的小的正数。 2 ) 迭代计算( 疗= l 到n ) a 、前向预测误差滤波参数 e ( n l n 1 ) = 工( n ) 一x ；( n 1 ) 口( ，l 1 ) p 7 ( n i t ) = y m 一1 ) e 7 ( n l n 一1 ) 华中科技大学硕士学位论文 占7 ( n ) = 占7 ( 疗一1 ) + p 7 ( n i ) e 7 ( n l n 一1 ) 口n ( 以) = 口( ，l 一1 ) + p 7 ( n l n 一1 ) c ( 疗一1 ) b 、n + i 阶角参量 y ，+ ( ) 。掣y 。( 月一1 ) 占【 c 、n + i 阶归一化增益矢量( 其中m ，( 叻是c 。( 叻的前n 个元素构成的列