(应用数学专业论文)带平方根的边值问题及双解析函数的riemann边值逆问题.pdf_第1页
(应用数学专业论文)带平方根的边值问题及双解析函数的riemann边值逆问题.pdf_第2页
(应用数学专业论文)带平方根的边值问题及双解析函数的riemann边值逆问题.pdf_第3页
(应用数学专业论文)带平方根的边值问题及双解析函数的riemann边值逆问题.pdf_第4页
(应用数学专业论文)带平方根的边值问题及双解析函数的riemann边值逆问题.pdf_第5页
已阅读5页,还剩18页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

带平方根的边值问题及 双鹪析函数的戮e m a n n 边值逆问题 摘要 解析函数边值问题是复变函数论中极为重要的分支之一,它既有理论 意义又有广泛的j 点用对予非线性的r i e m a n n 边值问题和非线性的l 重i l b e r t 边值问鼹研究缀少,本文试图在这些方面做一些工作近筇来有关双解析 腩数、多解析函数以及r i e n m n n 边值逆问题的理论研究也是人们关注的重 要课题本文也将讨论一类双解橇睡数的巍i e m a n n 边僮逆溺题。 首先,考虑了带平方根的r i e m a n n 边德问题在一条开口光滑弧段上的 解法通过霹未翔函数的结构分耩,把该阍题转佬为典鳖的舞口弧段主豹 r i e m a n n 边值问题,利用已有的结论,给出了该问题的解和可解条件 其次,讨论了上半乎露中带平方根的h i l b e r 乇边毽问题阉祥爰先对未 知函数进行结构分析,再把该问题转化为典型的上半平面中的h i l b e r t 边 馕问题,然后通避关于实轴豹对称扩张,该问题进一步等价手一静实辘土 的r i e m a n n 边值问题利用已有结果得到了该问题的可解性定理 最后,提出了一类实轴上豹双解析函数鞑e m a n n 边僮逆问透。先渣去 参变未知函数,再采用易于推广的矩阵形式记法,可把该问题转化为两个 实轴上的解析函数r e m a n n 边值闷题利用经典的r i e m 勰n 边值问题理 论,讨论了该阉憨正剐型情况的解法,得到了它的可解性定理 关键词:双解析函数r i e m a n n 边值问题h i l b e r t 边值问题逆问题 开口弧段上半平面实轴 中囹分类号: 0 1 7 5 圆 t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hs q u a r er 0 0 t s a n dt h ei n v e r s er i e m a n nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rb i a n a l y t i cf u n e t i o n s a b s t r a c t b o u n d a r yv a l u ep r o 磋e mf o r8 壬l a l y t c f u n e t i o n si 8o 矬e 。ft h em o s ti m p o r t g n t b r a n c h e si nt h et h e o r yo fc o m p l e xf u l l c t i o i l 8 t h e ya r en o to n l yi m p o r t a n ti nt h e o f yb u t8 | 8 0e ) 【t e n 8 i v ei i la p 壬) l i e a t i o n n o n l i n e a rr i e m a n nb o u n d a r yv 8 l 船ep r o b l 瞄 a n dn o n i i n e 盯h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i l lb cs t u d i e di nt h i sp a p e r ,b e c a u s e t h e yh 批b e e nr e s e a r c h e d8 e l d o m t 沁r e 8 e a r c ho fb i a i “y t i cf i l 工l c t i o n s ,p o l y 鞠丑j y t i c f u n c t i o n sa n di n v e r s ef h e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si 8a ni m p o r t a n tq u e s t i o nf o r d i s c u s s i o ni nr c c e n t l yy c a r s t h i sp 印e rw i l la l s od i s c u s sak i n do fi n v e r s ei u e m a n n b o 佳n d a r y 越u cp r o b l e m sf o rb i a n a l y t i cf u n e t 主。璐 f i r s t l y ,t h es o l u t i o no fa 姑n do fr i e m a n b o u n d a 。yv a l u ep r o b l e mw i t hs q u a r 。 r o o t so n mo p e ns m o o t h l ya t ci sc o n s i d e r e d b ya n 8 l y z i n g 瓶e8 t r u e t u r eo f t h eu n k n 。w n f u n c t i o n ,t h ep r o b l e mi st r a n s f o r m e di n t oat y p i c “m e m a n nb o u n d 甜yv a l u ep r o b l e m o n8 no p e n8 r c ,a n di t ss 越u t i o n sa sw e l la st h ec o n d i t i o 粥o fi 据s o l v a b i i i t ,fa r eg i v e n a c c o r d i n gt ot h ek n o w nt h e o 彤 s e c o n d 坟h i 玛e r tb o h n d 8 r yv 越u ep r o b l e mw i t h8 8 糟f o o t si nt h e 即p e rh 函f _ p l a n ei sd i 8 c u s s e d a 8a b o e ,b ya n a l y z i n gt h es t r u c t u r eo ft h eu n k n 。m f u n c t i o n ,t h e p r o b l e mi 8t r a n s f o 艄e di n t oat y p i c a lh i l b e r tb o u n d a r yv 甜u ep r o b l e 】丑i nt h eu p p e r h a l f - p l a n e t h e nt h ep r o b l e mi 8f u r t h e re q u i v a l e n tt oal ( i n do fr i e m a n nb 。u n d a r y 训u ep r o b l e mo nt h er e a la x i 8b ye ) ( t e n 8 i o no fs y m m e t r yw i t hr e s p e c tt ot h er e a la x i s a sar e s u l t ,w ee s t a b l i 8 ht h et h e o r e l s 。fi t ss o l v a b i l i t ya c c o r d i gt ot h ek n d w h 穗e o r y - f i n a l l y ac l a s 8o fi n v e r s em e m a n nb o u n d a r yv a l u cp r o b l 锄f o rb i a n a l y t i cf u n c - t i o n so t h er e 甜 l x i 8i sp r o p ( ) 8 e d 。b y 砖白n i n a t i n gp a r a r n e t i cu n k n c w nf t m c t i o n s 龇l d u s i n gt h en o t a t i o n0 fm a t r i xf o r mw h i c hw i l lb eg e n e r a l i z e de a s i l y ,t h ep m b l e mi 8t r a n s _ f o r m e di n t ot w or i e m a n nb o u n d a r yv a l u cp r o b l e m sf o ra n 出y t i cf u n c t i o n so nt h er e a l a x i s w ed i s c u s st h es o l u t i o n i t sn o r m 啦c 8 s ca n do b t a i nt h et h e o r e mo f 赴ss o l v a b 越y a c c o r d i n gt ot h ec 1 8 8 8 i c 舡t 1 1 e o r yo fr i e m a n nb o l l n d a r yv a l u ep r o b l e m s k e yw o r d s : b i a n 甜y t i cf u n c t i o n ; r i e m a l mb o u n d a r yv a l u ep m b l c m ; h i l b e r tb o u n d 龃y 抛1 u ep r o b l e m ;i n v e r s ep r o b l e m ; o p e na r c s : u p p e rh a l f - p l a n e ; r e a l a 越s c h i n e s el i b 腿r yc l a s s i 6 c a t i o n :0 1 7 5 8 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i e m a n n 边值逆问题 第一章引言 1 1 文献综述 解析函数边值问题是复分析研究的一个重要方面,它既有理论意义又有广泛的应 用,如在弹性力学、断裂力学及工程技术中都有重要的应用前苏联学派在这方面做 出了许多杰出的工作,如穆斯海里什维里的专著奇异积分方程【5 】和维库阿的著作 奇异积分方程组及某些边值问题【6 】等建国以来,国内也有不少学者从事这方面 的研究工作,特别以路见可教授的解析函数边值问题【8 】为代表该书系统地论述 了解析函数的各种基本边值问题及其在奇异积分方程上的应用,包括r i e m a n n 边值 问题,h i l b e r t 边值问题,复合边值问题,周期边值问题,双周期r i c m a n n 边值问题, 双准周期r i e m a n n 边值问题等等 2 0 0 2 年,路见可教授在文献f 1 1 中给出了一种特殊的非线性r i e m a n n 边值问题 即一种带平方根的r i c m a n n 边值问题在光滑封闭曲线上的解法,即求解 、+ 0 ) = g ( ) 一0 ) + 0 ) ,l ,( 1 11 ) 其中l 是复平面中一条光滑封闭曲线,已知函数g ( t ) ,9 ( ) h ( l ) ,且g ( ) o 未知 函数( z ) 是以l 为跳跃曲线的分区全纯函数,在z = 。o 处有有限阶,要求 皿+ ( ) 在l 上连续、单值通过对未知函数m ( 。) 的结构分析,把该带平方根的硒c m a n n 边 值问题化为一般的线性r i c m a n n 边值问题,再利用已知的r i e m a n n 边值理论,就给 出了该问题的解和可解条件 2 0 0 3 年,在文献f 4 中路见可教授又求解了下列带平方根的h i l b e r t 边值问题: r c ( a ( ) 、皿+ ( ) 1 = c ( ) ,l( 1 1 2 ) ( l 等记号同问题( 111 ) ) ,其中a ( t ) o 与c ( ) 均h ( l ) 同样是把该问题化为文献 1 1 中的情况再求解 文献1 、 4 】中所求问题的积分路径都是一条光滑封闭曲线,我们可以把积分 路径换为其他类型的曲线,譬如说开口光滑弧段或无穷直线,从而做出推广本文在 第二章和第三章中就要考虑这些问题 我们知道,解析函数在机械和数学物理方面有着广泛的应用,例如,在研究平面 上的无源和无漩的物理场方面显示出其强大的力量近年来有关双解析函数、多解析 函数以及r i c m a n n 边值逆问题的理论研究也是人们关注的重要课题对于双解析函 数的研究可以追溯到前苏联维库阿院士的著作广义解析函数f 7 】 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年) 带平方根的边值问题及双解析函数的r i c m a n n 边值逆问题 在我国,赵桢教授于1 9 9 4 年、1 9 9 5 年在文献【1 6 、 1 8 中提出了双解析函数 的概念并初步研究了它的性质,阐明了双解析函数的力学背景及其理论意义和实际应 用,并给出了双解析函数的第一表达式 晔) :寻警删q 州九 “名、。 其中( = + 细g ( 复平面中的区域) ,以及第二表达式w ( z ) = 却( z ) + 垂( z ) ,这里 妒( z ) 和西( 。) 都是任意的解析函数 1 9 9 8 年,王明华在文献 2 1 】中进一步研究双解析函数的性质,并提出了双解析 函r i e z n a z m 边值问题近年来,有不少学者提出并研究了多解析函数及其相应的边值 问题,如汪玉峰、杨丕文、郑神州等 解析函数边值逆问题在工程中具有广泛的应用,例如在接触力学,断裂力学及其 关联的平面弹性等间题中均有应用但其研究也只有十多年的历史 1 9 9 6 年,李星在文献1 1 1 中首次提出一类r i c m a n n 边值逆问题,并借助于经典 r i c m a n n 边值问题的解法,分别讨论了该问题的正则型和非正则型情况的解该逆问 题是:求一对函数( 壬( 。) ,( ) ) ,其中壬( z ) 是以l ( 一条光滑封闭曲线) 为跳跃曲线的 分区全纯函数,皿( ) 是属于h ( l ) 的函数,满足下列边值条件 j m + ( 。) = g 1 ( ) 中( 。) + g l ( 。) ( 。) l ,( 1 13 ) l 中+ ( ) = g 2 ( ) 中一( ) + 9 2 ( t ) m ( ) 其中已知函数岛( ) ,缈( ) h ( l ) 0 = 1 ,2 ) 基于对文献 1 1 】的推广,在文献【1 2 中李星又提出了一类周期m e m a n n 边值逆 问题,以及杨晓春在文献1 3 1 中提出了一类正则型函数组的m e m a n n 边值逆问题 把双解析函数与r i e m a n n 边值逆问题结合起来2 0 0 3 年,王明华在文献 1 5 】中 提出了一类双解析函数的r i c m a n n 边值逆问题,借助于r i e m a n n 边值逆问题和 双解析函数的硒e m a n n 边值问题中的已有结果,在单连通域上研究了该问题正则 型情况的解该问题是:求一对函数( ( z ) ,( ) ) ,其中w ( 。) 是以l ( 一条光滑封闭曲 线) 为跳跃曲线的分片双解析函数( ( ) 有界) ,皿( ) 何( l ) 满足下列边值条件 i + ( ) = g 1 ( ) w 一( ) + ( ) 皿( ) , 警( ) = g 1 ( 。) 警( 。) + 圳( 。) ,l ,( 1 1 4 ) l + ( ) = g 2 ( t ) w 一( ) + ,2 ( ) 皿( ) , 【2 簪( ) = g 2 ( t ) 2 等( ) + 丘( ) ( ) , 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根自边值问题及双解析函数的r i c m a i m 边值逆问题 其中g j ( ) ,办( ) ( j ,= 1 2 ) 都是属于h ( l ) 的已知函数 文献【1 5 】中的边值条件是齐次的且具有相同的因子,我们可以考虑边值条件是非 齐次的且具有不同因子的双解析函数r i c m a n n 边值逆问题,这将是本文第四章的工 作 1 2 本文的主要工作 为了充实解析函数边值问题的理论,本篇论文做了以下三方面的工作: ( 1 ) 考虑了带平方根的r i e m a n n 边值问题在一条开口光滑弧段上的解,即求解 + ( ) = g ( ) 、一( ) + g ( ) ,l = 。6 ,n ,6 ,( 1 21 ) 其中l = n 6 ( 自n 到6 取作正向) 是一条开口光滑弧段,g ( ) ,9 ( ) 日已给于l 上,且g ( ) o ,而未知函数( z ) 为全平面用f 剖开后所成的区域s 中在无穷远处 具有有限阶的全纯函数, m ( ) 仍表示它在l 正、负侧的边值,、中+ ( t ) 在l 上连 续且单值 ( 2 ) 求解了上半平面中带平方根的h i l b e r t 边值问题,即求一个在z + ( 上半平面) 内全纯、在万= z + + x ( x 为实轴) 上连续的函数( 。) ( 要求皿( o 。) 有限) ,满足下 列带平方根的h i l b e r t 边值条件 r c 【a ( z ) 、皿+ ( z ) 】= c ( z ) z x ( 1 2 2 ) 其中a ( z ) o 与c ( z ) 均( x ) ,、+ ( z ) 在x 上连续且单值 ( 3 ) 研究了实轴上具有不同因子的双解析函数r i c m a n n 边值逆问题,即求函数组 ( w ( 。) ,。( z ) :2 ( z ) ) ,其中w ( :) 是以x ( 实轴) 为跳跃曲线的分片双解析函数( w ( ) 有界) ,( z ) 0 = 1 ,2 ) ,( x ) ,满足下列边值条件: w + 警 w + 尝 z ) = g 1 1 ( ) ,一( z ) 十九1 l ( z ) 皿l ( z ) + ,1 l ( z ) , + ( z ) = g 。( z ) 警 ( z ) + 似z ) 嘶) + ,1 z ( z ) , 3 1 z ) = g 2 1 ( z ) y 一( z ) + 2 l ( z ) 1 ( z ) + ,2 l ( z ) , 。 + ( z ) = g 。( z ) 警 一( 。) + z 。 ) 。( z ) + ,2 z ( z ) , 其中g 北( z ) ,e ( z ) ,矗( z ) ( j ,k = l2 ) 都是属于膏( x ) 的已知函数 3 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的f u c m 卸n 边值逆问题 第二章带平方根的r i e m a n n 边值问题在开口弧段上的解法 2 1h + 类函数 定义2 1 【8 】设,( ) 定义于l = 晶上( 可能除去端点= o 或b 外) 如果,( ) 在不包含= n 的、在n 附近的任何一段子弧上( h 6 i d c r 连续类) ,而在= o 附 近, m ) = 牌,o a - , 其中,+ ( ) 在包含= n 的一段子弧上h ,则称,( ) 在= o 附近成类同样 可定义,( ) 在t = 附近:类如果_ r ( ) 在不包含n ,b 的任何子弧上,而在 。,6 附近都蛾,则称,( ) 在整个l 上: 2 2 问题的提出 我们考虑带平方根的r i c m a n n 边值问题在一条开口光滑弧段上的解,即求解 、+ ( ) = g ( ) 、一( ) + g ( ) ,l = n 6 ,n ,6 ,( 2 21 ) 其中l = 曲( 自。到6 取作正向) 是一条开口光滑弧段,g ( ) ,9 ( ) h 已给于l 上,且g ( t ) o ,而未知函数皿( z ) 为全平面用l 剖开后所成的区域s 中在无穷远处 具有有限阶的全纯函数, + ( ) 仍表示它在l 正、负侧的边值,、+ ( ) 在l 上连 续且单值 注意,实际上,当= n 或b 时( 2 21 ) 式仍能成立,但可以有可积奇异性一 般对于皿+ ( ) 在端点n 6 附近,要求它有可积奇异性,即不到1 阶的奇异性不过, 有时为了某种特殊目的,我们也可要求( :) 在z = n 或z = 6 附近保持有界,当 然这时+ ( ) 也有类似性质我们把要求在o = n 与。= 6 附近都有界的解类记作 。= ( n ,6 ) ;把在n 与6 附近都允许无界( 但有可积奇异性,下同) 的解类记作 o ;而 把在z = n 附近要求有界,在z = 6 附近可以无界的解类记作 ( o ) 同样也可定义解 类 ( 6 ) 显然, 2ch ( c ) c ,c = o 或6 2 3 未知函数皿( z ) 的结构 在求解问题( 2 2 1 ) 之前,我们先来分析一下未知函数皿( z ) 的结构 假设皿( z ) 在区域s 中有( o ) 个奇数阶零点:n l ,n 。,。,在z = 。处 4 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i o m a n n 边值逆问题 有阶极点 ( 1 1 当+ = 2 n 是偶数时,有 ( z ) = 兀( 2 ) 中( z ) 2 ,z s ,( 23 1 ) 其中 兀( z ) = ( z 一。1 ) ( z 一。2 ) ( 。一n )( 2 3 2 ) ( 如果皿( 。) 在s 中没有这样的零点,即= o ,则兀( z ) ;1 ) ,圣( 。) 是s 中的全纯函 数在s 中作连接。,n z ,n _ v 的适当割线,取定 r 玎万的某一单值分支,又要求 + ( ) 在l 上连续且单值( 除去端点n ,b ) ,则有 0 ) = ( 。) 中( z ) ,z s ,( 23 3 ) 1 中( 。) 在z = 处有”t = ;( ,一) 阶极点 ( 2 ) 当+ = 2 n + 1 是奇数时,在l 上取一个点,不妨设为o v + l n ,6 ,构 造n ( 2 ) 如下 ( 。) = ( 一0 1 ) ( 2 一血2 ) - ( 。一n ) ( z n + 1 ) ( 2 32 ) 此情况下, ( 2 31 ) 式仍然成立,不过( 2 3 2 ) 式应修正为( 232 ) 7 式同样在s 中作 连接n 。,n z ,“- v ,n w + ,的适当割线,并取定、i 可可的某一单值分支后,( 23 3 ) 式 仍然成立 圣( :) 在。v + ,点处可能有不超过1 2 阶的奇异性,它在z = o 。处的阶数 为m = :( k 一一1 ) 2 4 问题的求解 根据以上对出( z j 的结柯分析,叫越( 22 1j 日j 以变为 矿( f ) :g ( ) 旷。) + 湍f l _ 函净吼6 : ( 2 4 1 ) 这是典型的开口弧段上的r i c m a n n ( f k ) 问题【8 】 由于g ( ) o ,可以在l 取定l o g g ( ) 的一单值连续分支引进函数 叱) = 熹z 警啦批, ( 2 az ) 它在s 中全纯【“,r ( o 。) = o ,在。= n ,6 附近,r ( z ) 一般有对数型奇异性: r ( 。) 2 1 。g ( 。一。) + 西n ( 。) ,在2 5 。附近i ,f 2 4 3 ) r ( z ) = 仙l o g ( 6 一z ) + 吼( z ) ,在z = 6 附近l 5 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i c m a n n 边值逆问题 其中 :黧翥二誉 , a a , 协= 6 + 讽= 笋j l o g ( n z ) ( 或l o g ( 6 一z ) ) 为作出适当割线后取定的某一单值连续分支,而饥( 。) ,吼( z ) 分别在:= n ,6 附近沿l 剖开的邻域乩,觇中全纯 令x ( z ) = e r ( “,由( 2 43 ) 知) ( ( z ) 在z = n ,6 附近的性质: 撩2 蒜j 喜二嚣卜 江a s , x ( 。) = ( 6 一z ) “舶( z ) ,在z = 6 附近i 其中舶( z ) 灿( z ) 分别在以仉中全纯,( n z ) * ,( 6 一。) m 仍是按( 24 3 ) 式中的方 法所取的分支 再令 x ( z ) = ( o z ) k ( 6 一z ) h x ( 。) ,( 24 6 ) 并记 k = 一( a 。+ a b )( 247 ) 称为问题( 241 ) 的指标其中a 。,h z 为整数,定义如下: ( 1 ) 若“。( 或0 _ 6 ) z ,即n ( 或6 ) 是特异端点,则令a 。= 一n 。( 或k = 一0 6 ) ( 2 ) 若o 。( 或0 6 ) 隹z ,即o ( 或6 ) 是普通端点,则分两种情况: 1 ) 在h ( o ) ( 或 ( 6 ) ) 类中,令o a 。+ 。 1 ( 或o 扎+ 0 6 1 ) ; 2 ) 在 o 类中,令一1 a 。+ “。 0 ( 或一1 九+ m 0 ) 实际上,可以不必区分特异端点与普通端点,统一处理如下:若在h ( o ) ( 或 ( 6 ) ) 类 中求解,则令a 。= 一【n 。 ( 或h = 一【n 6 ) ;若在 o 类中求解,则令a 。= 一n 。 ( 或 h = 【- 0 6 ) ( 符号“ 】”在这里表示取整) 记 c = k + m( 2 48 ) 考虑且。问题( 2 4 1 ) 的解【8 】: ( a ) 如果c 一1 ,则问题( 2 41 ) 的一般解为 吣) “k z 而出+ 眯) i ,z 阻( 2 a 。) 其中p c ( z ) 为c 次任意多项式( p - - ( :) ;o ) f b l 如果c o 可任意小) 在普通端点附近,解西( z ) 有界时一般并不等于零 求出了月问题( 24 1 ) 的解,再利用( 231 ) 式也就解决了我们提出的问题( 22 1 ) , 于是得 定理2 1 开口弧段上带平方根的r i e m a n n 边值问题( 221 ) ,当c 一1 时,其 一般解为 吣) :n 妒怯z 而硝两出+ 脚) l ,z ( 2 a 1 2 ) 其中只( z ) 为c 次任意多项式( p - t ( 。) io ) 当c 一1 时,当且仅当满足可解条件( 2 41 0 ) 时有唯一解 吣) 一去n 妒而黼出l ,z ( 2 4 1 3 ) 7 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i c m 璺里里望彳直逆问题 第三章上半平面中带平方根的h i l b e r t 边值问题 3 1n 类函数 定义3 1 【s 】设,( z ) 是定义在x ( 实轴) 上的连续复函数如果: ( 1 1 在包含原点在内部的充分大的闭区间j 上,( z ) h “; ( 2 ) 在,之外,即在土的邻域内满足条件 i ,( z 1 ) 一,( z 2 ) l al 一圭l ( o 肛1 ) ,z 1 z 2 x 一,: l 1m 2 l 则称,( z ) j l ;r 一( x ) ,或简记为“若不强调弘,可记为h 3 2 问题的提出 设l = x 为实轴,z + 为上半平面,z 一为下半平面我们的问胚是:求一个在 z + 内全纯、在孑干= z + + x 上连续的函数( z ) ( 要求( ) 有限) ,满足下列带平方 根的h i l b c r t 边值条件 r a ( z ) + ( z ) = c ( 。) z x : ( 3 21 ) 其中a ( z ) o 与c ( z ) 均疗( x ) , 面干研在x 上连续且单值 问题( 3 2 1 ) 的指标定义为 k = 二l a r g a ( 茁) l 设皿( z ) 在z + 内共有 ,个奇数阶的不同零点0 1 ,0 2 :,o ,其中连同 n 。,n 。的位置均预先任意指定当为奇数或偶数时,情况是不一样的,下面 将分别讨论 3 3n 为偶数时,问题的解 当= 2 n 是偶数时,记 ( z ) = ( 2 一。1 ) ( 。一血2 ) ( z o ) , ( 33 1 ) 在z + 中作连接n 。,n 2 ,n 的适当割线,取定n ( z ) 的某一单值分支于是皿( z ) 兀( z ) 在么+ 内全纯,在x 上连续,且在z + 内无奇数阶零点,所以 撕町万= 瓶可可壬( z ) , ( 3 3 2 ) 其中m ( z ) 在z + 内全纯,连续到x 上 于是,问题( 3 2 1 ) 就可变为 r c a ( z ) ( z ) 西+ ( z ) _ c ( z ) ,z x ( 33 3 ) 8 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i o m a i l n 边值逆问题 这是一个典型的上半平面中的h 问题,其系数属于h 类函数,其指标为 = * s 硎:+ 坤s 丽:= 一州 先把问题( 33 3 ) 中的未知函数圣( 。) 对称扩张【8 】到下半平面z 一:石( z ) = 面两 再令 吣,= 焉:! 因此( 3 3 3 ) 又可改写为 q + ( z ) = g ( z ) n 一( z ) + 9 ( m ) ,z x ,( 3 3 4 ) 其中 一一 g 。,= 一;罡号器,c z ,= i i ;考;蚤荔 c ss s ,、 a ( z ) 兀( z ) 。a ( z ) 、n ( z ) 。 于是,h 问题( 33 3 ) 就等价于j r _ 问题( 334 ) 在r 0 中求解并要求满足附加条件 n 一( z ) = 五丽 g 如) = ( 兰) “g , ( 3 s | 6 ) 显然g o ( z ) 疗g o ( z ) o ,g o ( 。) = g ( ) o ,且g o ( z ) 的指标i n d x g o ( z ) = o ,故 可以在x 上取定l o g 瓯( z ) 的一单值连续分支,且易证l o gg o ( z ) 疗 引进函数 叱) = 熹e 掣蛾刚, ( 3 37 ) 则r ( 。) = o ( 见文献 8 】中定理152 ) ,且r 土( z ) 疗又由于i g o ( z ) i = 1 ,故 叱,= 去c 望虮 其中 吣旧啪兰) “ + 2 a r g ( z + 2 ) 一2 a r g 盼( 。) 、百砑 ( 3 3 8 ) 为一实函数由此立刻知道吼 r ( z ) = r ( z ) ,r 一( z ) = f 丽( 339 ) 9 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i e m a n n 边值逆问题 再记 则由( 3 3 9 ) 知 再令 。z + ; ( 孤1 0 ) z z 一 ( 33 1 1 ) 则由( 3 3 9 ) 知,f ( 。) = ( 爱) “y ( 。) 现考虑h 问题( 3 33 ) 的解【8 】: ( 1 ) 当0 ,即n 时, 喇= 等c 瓜需熹两 。均 为问题( 3 34 ) 的一个特解,且 研,= ( 磊) “掣e ( 当) “而赢 因此, 喇= 扣卅酬一祟l e 甄稿嵩两 + ( 等) “e ( 兰) ” c ( z ) 如 a ( m ) 、兀( :r ) y + ( z ) 0 ( 3 3 1 3 ) 就是,问胚( 3 3 3 ) 的一个特解 于是,h 问题( 3 33 ) 的一般解为 m ( z ) = 壬o ( z ) + x ( z ) q ( z ) ,( 33 1 4 ) 其中( 2 ) 以( 33 1 3 ) 式给出,x ( z ) 以( 3 31 0 ) 式给出,q ( 。) 为次任意实系数 多项式 ( 2 ) 当一2 ,即k v 一2 时,当且仅当可解条件 e 丽赢一。小z ,s ,叫( 3 。1 5 ) j ma ( z ) 、兀扛) y + ( z ) 扛+ i y 。4。 满足时,j r 0 问题( 3 3 4 ) 有唯一解 吣,= 等忙丽 1 0 一c 丽 ( 33 1 6 ) k 0 0 + 一 ,、【 = 球 = 一x 时锄 耋 i | y 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及鼠解析函数的r i e m a n n 边值逆问题 由于这时兄问题( 3 3 4 ) 在凰中的解唯一,且n ( 。) 亦必为其解,则必然有f 2 ( z ) = q ( z ) , 从而圣( 2 ) = q ( 。) ,即( 3 31 6 ) 式就已经是问题( 3 33 ) 的唯一解 求出了问题( 3 3 3 ) 的解,再利用( 3 3 2 ) 式也就解决了问题( 32 1 ) ,于是我们 得 定理3 1 上半平面中带平方根的h i l b e r t 边值问题( 3 21 ) ,当k 时,其一 般解为皿( z ) = 兀( 。) 中( z ) 2 ,其中n ( z ) 以( 33 1 ) 式给出,中( z ) 以( 3 3 1 4 ) 式给出;当 一s 一2 时,当且仅当满足可解条件( 331 5 ) 时有唯一解皿( z ) = ( z ) 垂( z ) 2 ,其中 n ( 。) 仍由( 33 1 ) 式给出,圣( 2 ) 则由( 3 3 1 6 ) 式给出 3 4n 为奇数时,问题的解 当= 2 n + 1 是奇数时,在l 上取一个点,不妨设为n o ,构造( z ) 如下 n ( 名) = ( ? 一n o ) ( 。一n 1 ) ( z n 2 ) ( z n _ )( 34 1 ) 于是皿( 。) ( 。) 在z + 内全纯,在x 上除有问断点。o 外连续,且在z + 内无奇数阶 零点同样在z + 中作连接o o ,钆n 2 ,n 的适当割线,并取定 ( z ) 的某一单值 分支后, ( 332 ) 式仍然成立,不过其中的丌( 2 ) 应为( 3 4 1 ) 式,其中的西( z ) 在z + 内全纯,其边值除在n 。处可能有不超过1 2 阶的奇异性外,在x 上连续 此种情况下,问题( 3 21 ) 仍可变为h 问题( 3 3 3 ) ,并可进一步转化为j r 问题 ( 3 34 ) 注意( 3 3 5 ) 式中的g ( z ) 与9 ( z ) ,虽然兀( z ) 在x 上有零点o o ,仍然g ( 。) o 于x 上且风( 即分段h ) ,但有一节点o o ,在该处可能有不超过1 2 阶的奇异性 所以,此时( 33 4 ) 是一个在唯一节点n o 处有第一类间断系数的正则型r 问题( 不妨 称为彤问题) 我们要在 o 类中求解易见 11 去【a r g g ( 删! 要= k j v 一; 故此时彤问题( 3 3 4 ) 在 o 类中的指标是奇数: 1 一一【一( 一一一;) 】= 一一 ( 符号“】”在这里表示取整,见2 4 和文献 8 】中的4 24 ) 同33 一样,先考虑r i 问题( 334 ) 的解,再考虑,问题( 3 3 3 ) 的解,从而 解决我们提出的问题( 3 2 1 ) 本节中仍设g o ( z ) 形式上如( 336 ) 式,y ( 。) 形式上如( 3 31 1 ) 式,但其中的 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i e m a n n 边值逆问题 叱,= 熹c 等掣如一去f 警导如 = 去f 未望如嘉c 筹扣去e 勰虹a 2 甄上o 。i 矗i 乏拈一万上。而舵2 爵上。面巧了而刁【文屯纠 这里e ( z ) 形式上仍如( 338 ) 式此时仍有【8 】f ( z ) = r ( 。) ,f ( z ) = ( 爱) ”y ( z ) f 1 ) 当k 一1 ,即k 一1 时, 酬= 掣c 未西商a s , n o ( 。) = 因此 ( 暑) ”掣e ( 兰) ( 兰) ” 酬= 扣卅研炉祟忙兰 + ( 磊) ”f ( 兰) ( 兰) “ ! ! 型塑 a ( z ) 、伍两y + ( z ) 扛一z ) c ( z ) 如 a ( z ) 、伍两y + ( z ) 扛一z ) c f z l d z a ( z ) ( 。) y + ( z ) ( z ( 3 4 4 ) 就是日问题( 3 3 3 ) 的一个特解 于是,h 问题( 3 3 3 ) 的一般解为 中( 。) = 中o ( 。) + 赫弧( z ) , ( 3 4 5 ) 其中中o ( 。) 以( 3 44 ) 式给出,q x ( z ) 为次任意实系数多项式( q 一- ( z ) ;o ) ,由于 此时。么+ ,故应取y ( 。) = e 。( “ f 2 ) 当k 一3 ,即ksj 一3 时,当且仅当可解条件 c 而赢警赢丽- o 一。,。,州 ( 3 a 6 ) 一。a ( z ) n ( 。) y + ( z ) ( z + i y 4“、 满足时,彤问题( 3 3 4 ) 有唯一解( 34 3 ) 由于这时彤问题( 33 4 ) 在 o 类中的解 唯一,且易证蕊( 。) 亦为其解,则必然有瓯( z ) = q o ( 。) ,从而m ( z ) = q o ( z ) ,即( 3 4 3 ) 式就已经是h 问题( 3 3 3 ) 的唯一解 求出了h 问题( 3 3 3 ) 的解,再利用( 3 3 2 ) 式也就解决了问题( 32 1 ) ,于是我们 得 定理3 2 上半平面中带平方根的h i l b e r t 边值问题( 32 1 ) ,当k 1 时,其 一般解为( z ) = n ( z ) 壬( z ) 2 ,其中( z ) 以( 34 1 ) 式给出,壬( z ) 以( 34 5 ) 式给出; 当一_ 一3 时,当且仅当满足可解条件( 3 4 6 ) 时有唯一解( z ) = ( z ) 中( z ) 2 ,其中 ( z ) 仍由( 34 1 ) 式给出,西( z ) 则由( 3 4 3 ) 式给出 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)带平方根的边值问题及双解析函数的r i e m a n n 边值逆问题 第四章实轴上的双解析函数r i e m a n n 边值逆问题 4 1 基本概念 用g 来表示整个复平面,d 为g 上的一个区域,记 未= ;( 鑫+ t 南) ,毫= ;( 嘉一i 南) ,z = z + i v 。 磊2j 瓦万瓦2ji 瓦1 巧2 2 。扣f d 正象一个函数,( z ,9 ) 为解析函数的充要条件是在c 1 ( d ) 中满足c a u c h y r i c m a n n 方 程组的复形式梨= o 一样,双解析函数的定义如下 定义4 1 设复区域d c ,w ( 。) = n ( z ,9 ) + 2 ( z ,) ,其中“( z ,f ) , ( z ,9 ) g 2 ( d ) ( 沪( d ) 表示d 上的n 次连续可微空间) 如果w ( z ) 满足复微分方程 粤掣:o ,z d 则称m ,( 。) 为区域d 上的双解析函数 引理4 1 ( 双解析函数的第二表示式) 如果1 4 7 ( 。) 是双解析函数,则有以下表 示形式 i y ( 。) = 妒o ( 2 ) + 手妒1 ( 2 ) 其中仇( z ) ( = 0 ,1 ) 均为任意的解析函数 4 2 问题的提法 ( 4 1 1 ) 设l = 爿为买轴,z + 为上半平面,z 为f 半平面,x 的正向取定为z 轴的 正方向 求函数组( w ( z ) ,皿( z ) ,皿2 ( z ) ) ,其中,( 。) 是以x 为跳跃曲线的分片双解析函 数( w ( o 。) 有界) ,皿,( z ) u = 1 ,2 ) h ( x ) ,满足下列边值条件: f 附+ 0 ) = g ) w 一0 ) + t 扛) ,( z ) + ,0 ) , 嘲+ ( z ) - g 1 2 ( z ) 嘲( z ) 地z ( z ) 2 ( z ) + ,l 。( z ) ,( 4 2 1 ) 1w + ( z ) = g 2 - ( z ) w 一( z ) + 圯- ( 。) 皿,( z ) + ,2 。( z ) , 、 【 警 + ( z ) = g 。( z ) 警j o ) + 。z ( z ) 皿。( z ) + ,2 。( z ) , 其中q 扛) ,b k ( z ) ,乃k ( z ) ( j ,= 12 ) 都是属于h ( x ) 的已知函数 记 b c 。,。f ;:;三f ,卯c z ,= f 2 ;:;:;:;f ,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论