（理论物理专业论文）分形晶格上自旋模型的重整化群分析.pdf

型i ! ：! ；些查兰竺! i 兰堡堕塞 分形晶格上自旋模型的重整化群分析 摘要 相变和临界现象是一个跨学科领域，一直受到广泛关注。分形晶格的相变问题又是物 理学中的一个重要课题，实践证明，对于分形晶格，最有效的方法是重整化群方法。这也 是应用最广泛的一种理论研究方法，它回避直接求配分函数，而代之以研究使配分函数保 持不变的变换，这些变换构成所谓重整化群。然后找出重整化群变换的不动点，在所有不 动点中那些不稳定不动点( 或鞍点) 是发生相变的临界点，这样就可以求出所研究系统的 临界指数和分形维数，就知道了其临界行为。 准晶是一种多重分数维图形。为了便于研究准晶系统的性质，人们提出了各种准晶模 型，主要的是一维f i b o n a c c i 模型。本文在前人研究二元f i b o n a c c i 模型的基础上，对替代 关系为a 斗a b c ，b 斗a ，c b 序列上的三元广义f i b o n a c c i 链的伊辛模型进行了解 析分析，用类似满足三元序列上替换规则的长、中、短三种原子间距所构成的模型说明 f i b o n a c c i 链的变换，利用重整化消元变换，解得临界温度耳和关联长度的临界指数y 的 值，与相应周期系统相同，从而一维伊辛模型无相变的结论对三元广义f i b o n a c c i 链同样 成立。 特殊钻石型等级晶格是一种非均匀晶格，本文在这种晶格上运用重整化群变换研究了 b i j g 模型的相变和临界行为。特殊钻石型等级品格上b e g 模型的相变温度仍为无穷大，但 在系统中有无晶体场时，结果具有明显的区别。在晶体场强度不为零时，用重整化变 换得到的线性变换矩阵解出的本征值都不大于一，即没有得到不稳定不动点，从而无法进 步分析临界性质，计算临界指数；在等于零时，求得关联长度的临界指数v 值。发现 这种品格的临界行为与一般钻石型等级晶格的不同，且计算出的v 值不同，并不属于同一 个普适类。 关键词：分形，相变，重整化群，临界指数 坌垄量丝圭窒堡堡型竺星鳖些壁坌堑 t i t er e n o r b l a l i z a t i o ng r o u p a n a l y s i s o fs p i nm o d e l so nf r a c t a l l a t t i c e s a b s t r a c t m u c ha r e n t i o nh a sb e e np a i dt op h a s et r a n s i t i o na n dc r i t i c a l p h e n o m e n aw h i c hi sa n i n t e r d i s c i p l i n a r yf i e l d p h a s et r a n s i t i o no nf r a c t a l1 a t t i c e si sa l s oa ni m p o r t a n tf i e l di np h y s i c s i n t h es t u d yo ff r a c t a ll a t t i c e s ，t h er e n o r l t l a l i z a t i o ng r o u pa p p r o a c hi sp r o v e dt ob et h em o s t p o w e r f u lm e a n s t h i sm e t h o di so n eo ft h em o s tw i d e l ya p p l i e dt h e o r e t i c a la p p r o a c h t h i sw a y d o n ts o l v ep a r t i t i o nf u n c t i o nd i r e c t l y , b u ts t u d yt h et r a n s f o r m a t i o nt h a tm a k e s p a r t i t i o nf u n c t i o n u n c h a n g e d t h e s et r a n s f o r m a t i o na r em a d eu po fs o c a l l e dr e n o r m a l i z a t i o ng r o u p t h e nf i n dt h e f i x e dp o i n t so ft r a n s f o r m a t i o n ，a m o n gw h i c ht h o s eu n s t a b l eo n e so rs a d d l ep o i n t sa r ec r i t i c a l p o i n t so fp h a s et r a n s i t i o n i ti sk n o w nt h a ts y s t e m c r i t i c a lc h a r a c t e rt h r o u 曲c a l c u l a t i n g c r i t i c a le x p o n e n t sa n df r a c t a ld i m e n s i o no f s y s t e m q u a s i c r y s t a li sam u l t i p l ef r a c t i o n a ld i m e n s i o np a t t e r n m a n ym o d e l sh a v e b e e np r o p o s e d t oc o n v e n i e n t l ys t u d yt h ep r o p e r t yo fq u a s i l a t t i c es y s t e m a m o n gw h i c ho n ed i m e n s i o n f i b o n a c c im o d e l i st h em a i no n e b i n a r yf i b o n a c c im o d e lh a db e e ns t u d i e dp r e v i o u s l y i nt h i s t h e s i s ，t h ei s i n gm o d e lo no n ed i m e n s i o n a lt e r n a r yg e n e r a l i z e df i b o n a c c im o d e lg e n e r a t e db y t h es u b s t i t u t i o na - - - a b c ，b a ，c 斗bi ss t u d i e db yr e n o r r n a l i z a t i o nt r a n s f o r m a t i o n w e u s et h em o d e lw h i c hi sm a d eu po f t h r e ek i n d so f a t o m i cs e p a r a t i o n ，i e 1 0 n g 、m i d d l ea n ds h o r t t os h o wt h et r a n s f o r m a t i o no ff i b o n a c c ic h a i n t h o s et h r e ek i n d so fa t o m i cs e p a r a t i o ns a t i s f y t h es u b s t i t u t i o nr u l eo nt e r n a r ys e q u e n c e c r i t i c a lt e m p e r a t u r ela n dc r i t i c a le x p o n e n tv o f c o r r e l a t i o nl e n g t hw h i c ha r et a l c u l a t e dd on o td i f f e rf r o mt h o s ef o rar e g u l a rp e r i o d i cs y s t e m s ot h ec o n c l u s i o nt h a to n ed i m e n s i o n a li s i n gd i dn o th a sp h a s et r a n s i t i o na l s oa p p l yt ot e r n a r y g e n e r a l i z e df i b o n a c c ic h a i n i nt h ea r t i c l e p h a s et r a n s i t i o na n dc r i t i c a lb e h a v i o rf o rb e gm o d e li ss t u d i e db y r e n o r m a l i z a t i o nt r a n s f o r m a t i o no np a r t i c u l a rd i a m o n d t y p eh i e r a r c h i c a ll a t t i c et h a ti so n ek i n d o fn o n u n i f o i t f ll a t t i c e t h et e m p e r a t u r eo fp h a s et r a n s i t i o no c c u r sf o rb e gi s i n f i n i t y o n p a r t i c u l a rd i a m o n d t y p eh i e r a r c h i c a l1 a t t i c e b u tt h er e s u l ti sd i f i e r e n to b v i o u s l y , w h e nt h e r ei s c r y s t a lf i e l dao rn o t w h e nc r y s t a lf i e l ds t r e n g t had o e sn o te q u a lz e r o ，t h ee i g e n v a l u e sf o r m a t r i xo fal i n e a rt r a n s f o r m a t i o nw h i c hc o m ef r o mr e n o r m a l i z a t i o nt r a n s f o r m a t i o nd o ntg r e a t e r t h a nn u m e r i c a lv a l u eo n e t h a ti st os a y , t h e r ej sn o tu n s t a b l ef i x e dp o i n t s oc r i t i c a le x p o n e n t s c a ntb ec a l c u l a t e da n dc r i t i c a lc h a r a c t e rc a r ltb ea n a l y z e df u r t h e r w h e nae q u a lz e r o c r i t i c a l e x p o n e n tvo fc o r r e l a t i o nl e n g t hc a nb ec a l c u l a t e d i tj ss h o w nt h a tt h ec r i t i c a lb e h a v i o ro ft h i s 1 a t t i c ed i f i e rf r o mt h a to fg e n e r a ld i a m o n d + t y p eh i e r a r c h i c a j l a t t i c e m o r e o v e r , c r i t i c a le x p o n e n t l ，i sd if i e r e n t i ti n d i c a t e st h e s et w ok i n d so f1 a t t i c ed o ntb e l o n gt ot h es a m eu n i v e r s a lc l a s s k e y w o r d s ：f r a c t a l ，p h a s et r a n s i t i o n r e n o r m a l i z a t i o ng r o u p c r i t i c a le x p o n e n t 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写的研究成果，岜不包含为获得河：l tz l ：业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一i 司工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的浣明并表 示了谢意。 学位论文作者签名：蒋罾劳 f l 期：二炒廖 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权河北 ：亡业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入肴关数据库进行检索，并采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 蒋浮芳 导师签名：，i 呵美胜 j r 甄：趟 r 同期：及c 喊f r 型! ! ；! ；些查兰丝尘兰堡垒兰 第一章绪论 卜1 引言 相变问题是统计物理学的一个重要分支。自1 8 6 9 年t a n d r e w s 发现临界点以来，对相变问题的研 究已有一百多年的历史，至今依然是物理学研究中十分活跃的领域之一。表征相变的状态方程最先由 v a nd e rw a l l s 于1 8 7 3 年提出，1 9 3 7 年l a n d a u 建立了二级相变理论”o j ，这是一个平均场理论。用这一 理论描述相变现象，定性基本正确，物理图像清晰，但在定量上和多数实验数据之间存在偏差。 d e v o n s h i r e 在1 9 4 9 年把l a n d a u 理论扩展至一级相变。以后g i n z b u r g - l a n d a u 理论联系相界面问题；将 表象理论普遍推广，微观理论相继发展。 物质在临界点附近的性质，又是统计物理学中的一个专门课题。临界点是一个新相的序参数从零开 始连续增加的点。在气液相变中，它是气液共存峨线的终点。在自旋系统，比如伊辛模型中，它是铁磁 态变为顺磁态的相变点即居里点。在超导体中，它是在无外磁场条件下当降低温度时首先出现凝聚相的 点。 统计理论，在求热力学量时都遵循一条极其传统而规则的途径。在给定体系的能量后，计算配分函 数，然后用热力学公式求热力学量。但在处理相变问题时，却碰到了许多麻烦。原因在于，在相变时， 粒子之间的相互作用起重要作用，它是个真正的多体问题，用单粒子近似或平均场近似都显得十分粗糙， 特别是如果讨论临界现象，由于在临界点处，一些物理量，如比热容、磁化率等有奇异性，是发散的。 对有奇点的函数，在奇点附近处理起来很不容易。另外，更麻烦的是，在临界点处涨落很大，比其它点 大4 n 倍。而且在临界点处，关联长度毒 。，临界现象是个具有极强关联时出现的现象。对于这种 强关联体系，相互作用不能忽略。平均场近似不是一个好的近似，配分函数的计算相当困难。这些情况 使得人们不能不寻求传统途径以外的其它方法，以研究临界现象。 在量子场论中，“重整化群”的概念被首先发展起来，最初讨论的是电动力学中的“重整化电荷” 问题 j ，后来研究了这类电荷变换的群性质，称之为重整化群。重整化群方法就是一种有别于过去传统 理论的新方法。1 9 7 1 年，美国康潭尔大学的威尔逊( k e n n e t h ，gw i l s o n ) 把量子场论中的重整化群方法应 用j 二临界现象的研究，并提出重整化群在不动点附近的性质决定了体系的i 临界行为，建立了相变的临界 现象理论1 4 “，这是临界现象研究中的重大突破，他因而荣获1 9 8 2 年诺贝尔物理学奖。经重整化群计 掉的结果与实验值较为符合。例如实验测得磁介质m n f z 的临界指数为0 ，3 3 5 0 0 0 5 ，重整化群给出的 1 结果为03 4 0 ，而平均场理论得到的为二j 。 2 目前，重整化群理论主要应用丁对连续相变的研究，人们期望这些理论不但普适于连续相变，而且 也能在一。级非连续相变中得到戍用。其中一级相变时状态不连续改变 j “，在相变时两相状态形成平 衡，热力学量不呈现奇点。连续相变是二级或更高级相变的统称，是状态连续变化的相变，它必定在某 个临界温度发生。出现临界现象的温度i 曩喊称为临界区，临界区的行为通常用临界指数来描写。朗道理 给出的临界指数与统计模删求出的( 例如一维i s i n g 模型的精确解和三维l s i n g 模型的近似解) 临界指数 小旧似却都满足标度律。在这样的情况i - ，k a d a n o f f 提u ：了酱通。件假。根据这个假设，备种物理体 糸i 分成若干普适类。不论体系中原r ，分子和它hj 相互 f 4 - ) tj 的细】| j _ 如何，只要体系的维数相同，序参 坌丝莹丝圭垦篁堡型墼里兰些竺坌丝 斟的分量数相同，则它们的临界特性相同。 分形与临界现象存在着紧密的联系。分形具有一个重要的特征：可通过一个特征数，即分形维 数测定其不平度、复杂性或卷积度，分形维数通常是：作整数，在特殊情况卜也可能是整数，但它总是不 人丁分形所嵌置的欧氏空间的维数。而在临界现象中一些重要的物理量的临界指数大都具有非整数值， 这种类似是非常深刻的，它们都隐藏在标度不变性后面。标度不变性是不仅是分形的重要特征之一，同 时也是重整化理论的基础，从这些看来，重整化群理论可以作为研究分形系统临界现象的一种方法。 利用重整化群方法，已经成功地解决了许多关于分形的问题i ”l 。例如，科赫曲线上的伊辛模型， 准线性品格上的自旋模型，塞尔宾斯基铺垫上的自旋统计模型等等。利用重整化群方法解决这些问题的 思路是相同的，因为对于这些模型，要写出其配分函数是很困难的，因此，这些问题都转向求使配分函 数保持不变的变换，这些变换构成所谓重整化群，然后找出重整化群变换的不动点，在所有不动点中那 些不稳定不动点( 或鞍点) 是发生相变的临界点，这样就可以求出所研究系统的临界指数和分形维数，就 知道了其临界行为。 1 _ 2 科研背景及本文工作 准晶态物质是传统固态晶体物质与玻璃态物质中间的过渡态新物质，准晶体的结构与晶体结构、玻 璃态物质结构有本质区别。准晶体结构虽然不具备经典晶体学意义上的平移周期，但它却具有自相似性 平移准周期，准晶结构与分数维模型有密切的关系”。准晶是一种多重分数维图形。 为了便于研究准晶系统的性质，人们提出了各种准晶模型。主要的是一维f i b o n a c c i 模型。准晶物 理研究中的一个比较活跃的领域是磁性研究，这方面的研究得力于伊辛模型。伊辛本人在1 9 2 5 年严格 求解了一维伊辛模型的相变问题，得出一维伊辛模型在任何温度下，都不会发生自发磁化，即不会发生 顺磁一铁磁相变。本文在前人研究二元f i b o n a e c i 模型l 】”的基础上，对替代关系为爿辛爿b c ， b 斗爿，c b 序列上的三元广义f i b o n a c c i 链，用类似满足此序列上替换规则的长、中、短三种原子 间距所构成的模型来说明f i b o n a c c i 链的变换，对其上的伊辛模型进行了解析分析。利用重整化消元变 换，解得临界温度和关联长度的临界指数v 的值，与相应周期系统相同，即此一维三元广义f i b o n a c c 链_ i 的伊辛模型同样也不会发生相变。 自旋模型是人们研究热力学对象普遍采用的- - e e 模型。i s i n g 模型是最典型的离散白旋模型，在此 基础上，人们进行推广提出了多种自旋模型。1 9 7 1 年b l u m e 等l l ”提出的b e g 模型，就是把白旋s 的取 倩摊j - 到0 ，1 。本文在一种分形晶格一特殊钻石型等级晶格( 与一般钻石型等级品格的几何特征不同) i j ，运用重整化群变换研究了b e g 模型的相变和临界行为。发现晶体场强度不为零时，没有得到不 稳定小动点即临界点，无法进一步分析临界 生质：在为零日寸，计算出了关联氏度的临界指数v 值。 结粜显示这种晶格的临界行为与一般钻石型等级品格”的不同，且计算出的v 值不同，不属于同。个 凿遥类。 竺丝塑丝：! ：皇些堡型些兰竺! ! 矍竺丝 建的分量数相同，j l ! l j 它们的临界特| 生相同。 分形与临界现象存在着紧密的联系。分形具有一个重要的特征：可通过一个特征数即分形维 数测定其不平度、复杂性或卷积度，分形维数通常是：1 e 整数在特殊情况f 也可能是整数咀它总是不 大丁分形所嵌置的欧氏空间的维数。而在临界现象中一些重要的物理量的临界指数大都具有非整数值， 这种类似是非常深刻的它们都隐藏在标度不变性后面。标度不变眭是不仅是分形的重要特征之一，同 时也是重整化理沧的基础，从这些看来，罩整化群理论可以作为研究分形系统临界现象的种方法。 利川重整化群方法，已经成功地解决了许多关f 分形的脚翘i i 。例如，科赫曲线上的伊辛模型， 准线性昆格上的自旋模型，塞尔宾斯基铺垫上的自旋统计模型等等。利川重整化群方法解决这些伽题的 思路是相同的，因为对于这些模型，要写出其配分函数是很困难的，因此这些问题都转向求使配分函 数保持不变的变换，这些变换构成所谓重整化群，然后找出重整化群变换的不动点，在所有不动点中那 些不稳定不动点( 或鞍点) 是发生相变的临界点，这样就可以求出所研究系统的临界指数和分形维数，就 知道，其临界行为。 卜2 科研背景及本文工作 准晶态物质是传统同态晶体物质与玻璃态物质中间的过渡态新物质，准晶体的结构与晶体结构、玻 璃态物质结构有本质区别。准晶体结构虽然不具备经典晶体学意义上的平移周期，但它却具有自相似性 平移准周期，准晶结构与分数维模型有密切的关系”。准晶是一种多重分数维图形。 为了便于研究准晶系统的性质，人们提出了各种准晶模型。土要的是一维f i b o n a c c i 模型。准晶物 理研究中的一个比较活跃的领域是磁性研究，遮方面的研究得力于伊辛模型。伊辛本人在1 9 2 5 年严格 求解了一维伊辛模型的相变问题，得出维伊辛模型在任何温度下，都不会发生自发磁化，即不会发生 顺磁一铁磁相变。本文在前人研究= 元f i b o n a c c i 模型”“的基础上，对替代关系为一- a b c ， b 斗a ，c 一b 序列上的三元广义f i b o n a c c i 链，用费似满足此序列上替换规则的长、中、短二种原子 问距所构成的模型来说明f i b o n a c c i 链的变换，耐其上的伊辛模型进行了解析分析。利用重整化消元变 换，解得临界温度b 和关联长度的临并指数y 的值，与相应崩期系统相同，即此维三元厂义f i b o n a c c i 链i 的伊辛模型同样也不会技生相变。 自旋模型是人1 f i e f 究热力学对象普遍采用的砷模型。l s i n g 模型是最典型的离散自旋模型，在此 基础上，八辑1 进行推广提出了多种自藏模型。1 9 7 15 - b | u m e 等l l ”提出的b e g 模型，就是把自旋s 的取 值摊1 剖0 l 。本文在一种分彤晶恪一特殊钻石型等级品格( 与一般钻。仃霉| 等级品格的几何特征不同) h 运用重整化群变换研究了b e g 模型f 匀相变和临界行为。技现晶体场强度不为零时没有得到不 格菇1 小动点即临界点，无法进步分析临界性质；在为零喇，计算出了关联陡度的临界指蛰v 值， 站果显示这种晶格的临界行为与般钻石型等级品格”的不同，且计算出的v 值不刷，不属于- 个 结粜显示这种晶格的临界行为与一般钻打型等级品格”“的不同，且计算山的v 值不同，不属于同个 * 适类。 北t 业人学颂i 学位论立 第二章基本知识 2 1 相变简介 2 1 1 相变和艋界现象 相变是自然界中普遍存在的一类突变现象【i oj 。它是有序和无序两种倾向矛盾斗争的表现，相互作 用是有序的起因，热运动是无序的来源。在缓慢降温的过程中，每当一种相互作州的特征能量足以和热 运动能量七z 1 相比时，物质的宏观状态就可能发生突变。换句话说，每当温度降低到一种程度，以至热 运动不再能破坏某种特定相互作用造成的秩序时，就可能出现新相。多种多样的相互作用导致形形色 色的相变现象。 热力学方法是描述相变的晟常见方法，热力学函数包含了极其丰富的内容，物质系统的各种宏观性 质都可用热力学函数来统一描述。在选取了不同的观测对象作为热力学变量，可得到八个不同的热力学 函数。当热力学变量选定之后，物质系统的热力学平衡条件应为相应的热力学函数达到极小，冈此分析 特征函数的极小值可以说明物质相变的宏观规律。当然，在不同条件的物质系统的状态，要t e f ：j 不同的热 力学函数描述，而其宏观参数可通过求偏微商的方法得到，即一级偏导为热力学变量的共轭变量( 场量) ： 一：级偏导为物性张量。直接反映强度量和广延量之间的关系。热力学描写相变的方法主要是选择系统的 特征函数，相变时两相的特征函数相等如果一级导数不连续，则相变是一级相变；如果一级导数连续， 但二级导数不连续，则相变是二级相变。以此类推，可以定义三级和三级以上相变。 二级相变的相变点称为临界点，在临界点，某些热力学嚣趋于无穷，有很强的涨落和关联，这种现 象称为临界现象，所以二级相变义称为临界现象。另外，发生相变时，表征系统内部状态的序参量是 连续变化的，故二级相变也称为连续相变。气一液通过临界点的相变，铁磁体的顺磁一铁磁相变 ( b = o ) ，反铁磁相变( b = o ) ，液4 h e 超导相变，二元溶液相变以及台金的有序一无序相变等等都属临 界现象问题。 人们对相变的研究开始得很晚，1 8 6 9 年，t a n d r e w s 提出临界点概念标志着这一研究的开端。之后， r c u r i e 首先指山了铁磁相变与气一液相变的相似性，并对其进行了定量研究。受c u r i e 启发，p i e r r e w e i s s 丁1 9 0 7 年提出了顺磁一铁磁相变的分子场理论( 亦称平均场理论) 。另一有关现象是台金的有序一无序 蝴变，1 9 2 8 年g o r s k y 引进了有序度( d e g r e eo f o r d e r ) 概念，b r a g g 和w i l l i a m s 进一步发展，于1 9 3 4 年提 出了k 程序( 1 0 n gr a n g eo r d e r ) 概念。这些研究，包括v a nd e rw a a l s 讨论的气一液相变禾i 麦克斯韦提出 的等面积法则等，使人们认识到各种相变现象的相似陛。1 9 3 4 年ld l a n d a u 首先试图对一：级相变提供 统一一描述，用序参量的幂级数展开来表示相变点附近的白由能，提出了朗道二级相变理论l 。需要指出 的是，刚道理论虽能同答相变存在，但所得临界指数与实验洳得值不符。以上这些理论尽管具体形式不 尽相同，但总体上看均属于平均场理论的阶段。 1 9 4 4 年l o n s a g e r 做出的二维伊辛模型的严格解使对相变理论的研究进入了第二阶段。l 。o n s a g e r 的工作第一次证明了，从体系的没有奇异性的哈密顿量出发，住热力学极限r ，能导致热力学函数在临 界点附近的奇异性。这也揭示了朗道理论的缺陷：在相变点，比热不是不连续，而是对数发散，向第一 阶段的相变理论提出了严重挑战。而在5 0 年代由李政道及杨振宁提出的相变理论( 被称为杨一李定理) 揭示了相变问题的本质，提出了相变产生的机制，从而是人们对相变问题的认识达到一个新的深度。在 3 坌丝坌竺：! 坠竺堡型塑塞兰些壁坌堑 5 0 至6 0 年代，由于实验技术的发展，积累了不少实验资料：一再发现与平均场理论的预言有明显差别， 为进一步深入的理论研究提供了条件。 6 0 年代w i d o m 的标度理论l 】9 j 导致了相变研究第三阶段的开始。1 9 4 5 年，b w i d o m 提出了标度假 设，井在总结实验事实的基础上于1 9 6 5 年提出了标度理论及热力学函数为齐次函数的概念，确定了相 变点附近力学量与临界指数间的关系，使人们在理论上研究相变问题得到突破。1 9 6 6 年，l e k a d a n o f f 提出了标度变换的概念口，给出了一个富有启发性的论证，试图从微观上说明标度理论，并导出了临 界指数间的关系以及与关联函数相关的f i s h e r 和t o s e p h s o n 标度律。这有力地支持了标度理论，也为重 整化群理论的建立打f 了基础。 1 9 7 1 年，美国物理学家k ，g w i l s o n 把量子场论中的重整化概念应用到相变理论中并运用标度律和 普适性概念，建立了临界现象的的重整化群理论，使相变理论得到突破性的进展，更为从微观上计算临 界指数提供了强有力的工具p j 。 2 一l 一2 平均场理论 相变的现象和原因极为错综复杂，长期以来人们用平均场理论( 包括l a n d a u 理论，外斯的分子场 理论等) 描述相变现象，平均场理论是从对热力学函数的一些合理假定得出的结论，这个理论的出发点 是用一个“平均了的场”，即“内场”来代替其他粒子对某个特定粒子的作用，从而把复杂的多体问题 近似的化为单体问题。 许多不同领域提出的平均场理论，形式虽然不同，但实质却一样，主要表现是在临界点附近的行 为相同，l 临界指数彼此相等。各种名目的平均场理论中有6 个临界指数，它们的数值都是一样的”“， 如式( 2 1 ) 所示： t 2 = 0 ， 占= 3 卢= 1 2 ， y = 1 2 ， 临界指数的含义于下面讲到。平均场理论定性基本正确， 有偏差，原因是平均场理论没有很好的考虑涨落和关联， 至t 关联长度趋于无穷。 y = 1 = 0 ( 2 1 ) 物理图像清晰，但在定量上与多数试验结果颇 恰恰是在相变发生的临界点涨落非常显著，以 2 一卜3 标度律和相变普适性 从系统内部看，发生连续相变时，系统内部出现各种尺度的涨落，涨落的范围用关联长度米描述， 关联自旋间的距离称为关联长度。发生相变时，涨落i x 域的线性长度，可小至晶格常数，大至无穷大。 但剥物理现象起作用的只是无穷人关联，它对所有i | 缶界现象产生本质的影响。 从现象看，发生相变时可能出现热力学函数的奇异行为，如，比热突变、磁化率发散等为了描述 在临界点附近热力学量及关联函数的行为，引入了若干临界指数，它们以幂律形式来刻画这些量的临界 行为1 14 , 2 2 1 ，它们分别是： m 。l t tl ”( 22 ) co c i ，一叮。，( fo c l 丁一盯1 )( 23 ) z * l 了1 一瓦l 7 h 吖5 善o c l t r ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 26 ) 望! ! ；三些奎兰竺：! i 兰堡兰兰 g ( y ) o c l z “2 4 ( 当t = t ) ( 2 7 ) 其中m ，、c 、z 、h 分别是自发磁化强度、比热、零场磁化率、磁场，用临界指数、d 、，、占分 别来描述这些热力学量的临界行为。而f 、g 0 ) 是关联长度和关联函数，p 、玎分别描述关联长度和 临界点t 的关联函数的行为。可以证明，所有临界指数中只有两个是独立的，之间存在下列关系 口+ 2 卢- i - y = 2 d + ( 占+ 1 ) = 2 ( 2 8 ) ( 2 9 ) y = y ( 2 1 7 ) ( 2 1 0 ) 甜= 2 一d v ( 2 1 1 ) 其中，d 为空间维数，这些关系称为标度律。只要用某种方法求得任意的两个临界指数，便可求得其 它的四个。 普适性是由古瑞夫斯( r o b e r tc r i f t i t h s ) 根据实验数据提出来的假设发展起来的，后来在重整化群理 论中得到了极自然的解释，而在一些实验中也得到了证实。普适眭是指，自然界中各种完全不同的物质 系统，当他们发生连续相变时，其i 临界行为可能划分为若干普适类，属于同一类的系统具有完全相同的 临界指数。普适类的划分是由系统的空间维数d 及系统的内部自由度数目行( 或序参量的分量个数) 来决 定的。对短程作用系统，临界特性和作用力性质无关。 2 2 分形 2 2 1 分形论的形成 自然界是宇宙万物的总称，是各种物质系统相互作用相互关联的总体，它包括大至宇宙天体的形 成演化，小至微观世界中基本粒子的运动。人们对自然界的认识经历了一个长期的过程。今天我们知道， 自然界大部分不是有序的、稳定的、平衡的和确定性的，而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机 的状态之中，它存在着无数的非线性过程。 经典物理学所研究的是可逆过程，这类过程的反演也仍然遵循经典物理定律，无论是宇宙中的星 系还是地面上的物体，无论是生物还是微生物，它们的机械运动尤一不服从经典力学的规律。量子力学 研究对象是能革不连续的微观世界，而爱因斯坦的相对论则提供了幅适用于光速或近光速运动的、比 牛顿力学更普遍的宁宙统一图景。对于非线性科学而言，经典力学、量子力学、相对论都无用武之地， 必须有新的理论米研究这些集有史以来人类的全部智慧尚不能解决的科学难题。 经典几何学研究的对象是规则光滑的几何构型。例如一条几何曲线总是处处连续，而且是处处司 微的。然而，自然界存在着千姿百态的自然构犁：连绵起伏的群山，奇形怪状的海岸线，蜿蜒曲折的江 i f ，高度无规的利料裂缝等等。这样一些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但并1 处处可微。冈此，传 统数学无能为力，把这类几何课题排斥在研究对象之外。事实上数学家甲就发现这个问题的存在，1 8 7 5 年数。家莱蒙德就提出，存在一类连续但不u 微的函数，这使经媳数学陷入危机，p 是分形几何学府远 币i 。 在漫长的岁月中，对白然界的持续思考，使曼德布岁特对臼然界平现实t h = 界逐步形成幅剖训， 竺丝塑丝圭里璧堡型塑塞塞些矍坌堡 开始是不清晰的未聚焦的映像，大约历经了3 0 年的不懈奋斗，终于以奇异而真实的面目出现于世，这 就是分形论“。1 9 7 3 年，曼德布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 在法兰碰学院讲课时，首次提出了分维和分形几 何的设想”“。分形( f r a c t a l ) 一词，是曼德布罗特创造出来的，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎 的”物体。1 9 7 7 年，他出版了第一本著作“分形；形态偶然性和维数”( f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) ，标志着分形理论的正式诞生。 分形理论( f r a c t a lt h e o r y ) 使人们能以新的观念、新的手段来处理问题，透过扑朔迷离的无序的混乱 现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系。其研究对象为自 然界和社会活动中广泛存在的无序( 无规则) 而具有自相似的系统。 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在 的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这 是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。正如美国著名物理学家惠勒所说：“可以相信， 明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人! ” 2 2 2 分形的分类和基本特征 什么是分形呢? 事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说， 分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者，例如一个 球，可用它的半径作为它的特征长度) ，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。 1 9 8 6 年曼德布罗特提出：组成部分与整体以某种方式相似的形叫做分形“。可以展开加以说明， 分形是指一类无规则、混乱而复杂，但其局部与整体有相似性的体系，称这样的体系为自相似体系，也 可以是其它形式的相似性。体系的形成过程具有随机性，体系的维数可以不是整数，换句话说，可以是 分数，称为分形维数维，记为d ，而分形的嵌入空间，即欧几里得空间的维数记为d 。 分形思想的基本点可以表述如下：分形研究的对象是具有自相似的无序系统，其维数的变化是连 续的。 分形可分两类：一类是规则分形，又称决定论的分形( d e t e r m i n i s t i cf r a c t a l ) ，它是按一定规则构造出 的具有严格自相似的分形，例如文献1 3 ，1 4 ，2 5 中谈论最多的分形：k o c h 曲线，均匀康托集，塞尔宾 斯基铺垫，塞尔宾斯基地毯，作为例子，本文只画出了无分支k o c h 曲线这一有代表性的分形，如图2 1 所不；另一类是无规分形，它是在生k 现象中和许多物理问题中产生的分形，其特点是不具有严格的自 枉i 似性，只是在统计意义上是自相似的。例如：海岸线和云的形状都是无规分形。 ，、 ， ，、 一， 、一向f 一。7 一八一，一，一如 “7 乙j = i 。广( o 气a ： 。，。歹? 。厂。i 图2 1 无分支k o c h 曲线的形成 f i g 2l t h ef o r m a t i o no f n o n - b r a n c h i n gk o c hc u r v e s 墼! ! 三些查兰堡兰兰堡篁兰 自相似。l , t l l l 标度不变性是分形的两个重要特征。自相似性是包括人类社会在内的自然界中普遍存在 的 个客观规律。一个系统的白相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都 是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部 分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以 后简单的和整体完全重台。但是，表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数，并不会因为放大或缩 小等操作而变化，所改变的只是其外部的表现形式。 一个具有自相似特性的物体( 系统) 必定满足标度不变性，或者说这类物体没有特征长度。所谓标度 不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示原图的形态特征。 因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化， 所以标度不变性又称之为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何 变化，看到的情形都是一样的，从观察到的图像，无法判断所用放大镜的倍数。 2 2 3 描述分形的几何参数 描述分形的自相似对称性的基本特征有许多几何参数，其中最基本的是分形维数，另外还有拓扑维 数，分岔度，连接性和不均匀性【l ，这里只介绍其中的两个。 2 2 3 1 分形维数 维数”是几何学和空间理论的基本概念，在欧几里得空间要确定一个点的位置，需要引入确定的 坐标系。如果用直角坐标系，则一个几何点的位置在普通欧氏空间要用3 个独立的坐标来表示，即用三 个实数( x ，y ，z ) 代表空间的一个点。而独立的坐标数目与空间的维数相一致。也就是说，普通空间为3 维空间。若要确定平面上一个几何点的位置，则要两个独立的坐标来表示，即用两个实数( x ，y ) 代表平 面f 的一个点，所以平面的维数是2 。相类似，直线是l 维的。显然，若空间中一个点的位置需要i q 个 独立坐标( 葺，屯，矗) 才能确定，则表明这是一个1 1 维空间。所以在欧氏空间中，要确定物体或几 何图形中任意一点的位置，所需要的独立坐标数目，就是该物体或几何图形的维数。称此维数为欧儿里 得维，或经典维，记为d 。显然d 是整数。 分形维数的定义方法有多种，我们采用下列方法来定义 “1 。 把分形看作是嵌置于欧几里得空间的点集，为确定其维数，核心是如何测量一个点集的大小。晟简 单f f j 方法是用线元、面元或体元去覆盖它。一条有限长的曲线段可用线元占去覆盖它，如果用_ f j ) 次 覆盖便耗尽了整个线段，便可记： l = ( 6 ) j 生! 厶占o ( 2j 2 ) 显然，当占j 0 时，l o 便代表曲线段l 的眭度。如果用j 2 的面元去覆盖它，便可形式地写出与上相 腹系的面积的大小： lq = n ( 5 ) f i 2 ! 鸟厶占1 ( 2 1 3 ) 吲枰，也。q 写出与其相联系的体积的人小： l ，= n ( 5 ) 83 型。厶d 2 ( 21 4 ) 显然，对一条曲线米说，它的面积利体积均为0 。 炎_ 似地，对个曲面，我们可分圳川线元、面元平体积元去覆盖，得与其相联系的艮度、而积雨 体_ f l ! ： 7 竺丝堂丝；! ! 墼堡型塑塞兰些堡坌丝 a = ( 艿) 占生! ! 4 6 一 a = n ( 8 ) 8 2 ! 鸟4 占o a v = n ( 8 ) 8 3 ! 与4 占1 当j 专0 时测得曲面面积为以，而与其相联系的曲线长为o o t 体积为0 。 现在对某点集s 写出： m e = n ( 8 ) 8 4 一仁美裟 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 集合s 的分形维数出是由测量出m d 从0 过渡到的临界维数，在l 临界维数tm d 具有有限值。 利用上述可求出d ，：既然当d = 办 m a 具有有限值，则当j 0 时有 ( 占) 。c 歹1 = 万