（应用数学专业论文）kuramotosivashinsky方程边界控制问题的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展。近几年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 以及k s 方程的边界控制问题。本文我们主要研究了充分非线性k s 方程解的 存在性以及稳定性和k s 方程的精确边界控制问题。 在第三章中我们考虑对充分非线性k s 方程通过适当选取边界反馈条件下 解的存在性和稳定性。首先应用b a n a e h 压缩不动点定理和构造g r e e n 函数证明 了其解的存在唯一性，然后应用分部积分理论、泛函知识及g r o n w a l l 不等式证 明了其解的稳定性，即系统在d i r i c h l e t 边界条件下全局指数稳定估计和在 n e u m a n n 边界反馈条件下全局指数稳定的和日2 局部指数稳定的。 在第四章处理k s 方程的精确边界控制时，运用f o u r i e r 基函数的展开以及 f o u r i e r 变换的方法研究带有周期边界条件的k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程在有限时 间区间 o ，明上的精确控制。首先研究线性化k s 方程的精确控制，运用 r e i m a n n 1 e b e s g u e 收敛定理以及r i e s z 基函数的性质证明了在给定的时间t 0 ， 对于两个任意给定的函数吖。( x ) ，蚝( 功属于一定的s o b o l e v 空间，总能找到一个 控制函数使得线性化k - s 方程有一个存在于某一合适的空间的解u ( x ，r ) 使其满足 u ( x ，0 ) = ( x ) ，u ( x ，t ) = “。( x ) 。然后结合线性化k s 方程的精确控制，再通过 定义f r e d h o l m 算子并应用此算子的一些理论可以找到k s 方程的控制函数，使 其达到精确控制。 关键词：充分非线性k - s 方程；边界控制；反扩散系数；精确控制；f o u r i e r 基函数 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t b o u n d a r yc o n t r o li so n ek i n do fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rc o n t r o l s ，w h i c hh a sb e e n e m p h a s i z e di nt h ec o n t r o lt h e o r ya n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n dd e v e l o p e d + r e c e n t l yp e o p l em o r ea n dm o r et a k e n o t i c eo nt h eb o u n d a r yc o n t r o lo fb u r g e r s e q u a t i o n ，k d ve q u a t i o n ，a n dk - se q u a t i o n i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d yt h ee x i s t i n g a n ds t a b i l i z a t i o no fs o l u t i o no ft h es u f f i c i e n t l yn o n l i n e a rk se q u a t i o na n dt h ee x a c t b o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e mo f t h ek - se q u a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t i n ga n ds t a b i l i z a t i o no fs o l u t i o no ft h e s u f f i c i e n t l yn o n l i n e a rk se q u a t i o n w i t ht h eg i v e nf e e d b a c kb o u n d a r yc o n t r o l c o n d i t i o n s b yc o n s t r u c t i n gag r e e nf u n c t i o na n dt h eb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r y , w e p r o v et h eu n i q u ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n t h e nw i t ht h ei n t e g r a li np a r t , f u n c t i o n a n a l y s i sa n d ，g r o n w a l li n e q u a l i t yt h es t a b i l i z a t i o no fs o l u t i o ni sp m v e d ，t h a ti s ，t h e g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ye s t i m a t eo ft h es y s t e mu n d e rt h ed i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dr g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dh 2 一l o c a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f t h es y s t e mu n d e rt h en e u n n m a nb o u n d a r yn o n l i n e a rf e e d b a c kc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 ，b yt h ee x p a n s i o n so ft h ef o u r i e rb a s i sf u n c t i o n sa n dt h e p r o p o s i t i o n so ff o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n s ，t h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e mo f t h ek u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n 、i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n si nt h el i m i t t i m ei n t e r v a l 【0 ，t i sc o n c e r n e d f i r s t l y , e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h el i n e a r i z e dk s e q u a t i o ni ss t u d i e d b yr e i m a n n l e b e s g u et h e o r e ma n dt h ep r o p o s i t i o n so f r i e s zb a s i s f u n c t i o n s ，o n e c a n p r o v e t h a tf o r g i v e nt 0 ，f o ra n yt w o f u n c t i o n 0 “o ( x ) ，“l ( 功g i v e n i nas u i t a b l es o b o l e vs p a c e ，o n ec a na l w a y sf i n dac o n t r o l f u n c t i o n st h a tt h el i n e a r i z e dk - se q u a t i o nh a sas o l u t i o ns a t i s f y i n gt h a tt h ei n i t i a l s t a t e u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) a n dt h et e r m i n a l s t a t e u ( x ，t ) = u 1 ( 曲t h e nb yd e f i n i n g a f r e d h o l mo p e r a t o ra n du t i l i z i n gi t st h e o r i e s ，t h ec o n t r o lf u n c t i o no fk se q u a t i o nc a l l b ef o u n da n di tc a l lb ee x a c tc o n t r o l l e d k e yw o r d s ：s u f f i c i e n t l yn o n l i n e a rk s e q u a t i o n ；b o u n d a r yc o n t r o l ； a n t i d i f f u s i o np a r a m e t e r ；e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ；f o u r i e rb a s i s f u n c t i o n s i i 学位论文版权使用授权书 f 9 3 8 0 伯 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文羼等 保密口，在 年解密后适用本授权书。 不保密e 学位论文作者签名：程、 幺馏 指 1o $ 箨- - f 月彳日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：柱悦硅 日期：2 却盘# 手月彳日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对边界控制的发展概况和背景作一些简单介绍，同时阐明边界控制的 研究意义以及主要的研究内容。 l1 本课题的研究背景 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到 复杂。在控制领域也是这样，最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技 术的不断发展，人们认识的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都 是非线性的。非线性是本质，普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条件 下的一种特殊的表现形式。因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门方向， 见文献 1 2 。 控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描述的演 化系统，通过选取适当的控制装置作用于系统，对给定的时间区间、初始值和终 点值，我们可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点值。这是控 制理论中的一个古典问题，在这方面已有大量的研究成果，例如l e e 和m a r c u s 的书中可以初步了解到通过o d e 描述的有限维系统见文献 3 】r u s s e l 的调查报 告及在l i o n s 的著作中可以了解到由p d e 描述的无限维系统见文献 4 】， 5 】。 用常微分方程来描述的线性系统，又称为集中参数系统，具有有穷多个自由 度；用偏微分方程来描述的非线性系统，又称为分布参数系统，具有无穷多个自由 度。古典控制论主要研究集中参数控制，但现实世界中所发生的各种现象，从数学 角度来讲，大部分是非线性分布的，如物体温度变化，地下水渗流，汽油形成，生物 种群演化等都是通过分布参数系统来描述的。现代控制论的研究方法从建立在传 递函数基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性 系统发展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数系统控制，反 馈控制发展到分布参数控制系统。对被控系统根据工程实际要求提出实现准则， 寻求系统在满足一定条件下，使实现准则达到所要求的理想状态。这里我们主要 研究由非线性p d e 来描述的无限维动力系统的边界控制问题。 江苏大学硕士学位论文 随着人们对实际问题研究的不断深入和完善，很多控制系统都需要建模成分 布参数控制系统。一般来讲，由偏微分方程或积分方程描述的系统称之为分布参 数系统，简称为d p s ( d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ) ，也称之为无限维系统，即 i p s ( i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ) 。而严格地讲，所有物理系统都具有分布特性。 工程实际和社会、经济系统中的许多过程都具有分布特性，属于分布参数系统。 随着控制理论和计算机技术的迅速发展，对实际分布参数过程的控制要求不断提 高，对分布参数过程的建模和控制也就提出了更高的要求。因而研究分布参数系 统及控制，具有重大的理论意义和实际应用价值。 而分布参数过程的控制方式一般有以下几种形式： ( 1 ) 分布式控制。该方式的控制作用是分布式的，即为空间变量z 和时间 变量f 的函数。分布式控制就是给定一个性能指标，在允许控制域u 内寻找一 个最优分布控制作用“( 以t ) ，当系统在满足初始条件和边界条件的约束下，使 性能指标，达到极小。 ( 2 ) 边界控制。对于许多实际过程，尤其是工业过程，其过程特性属于分 布参数系统，但其控制作用往往不是分布式的，而是在系统的边界上实施，如橡 胶工业中的轮胎硫化过程中，热量均通过轮胎的边界向深部传送，这种控制就属 于边界控制。因而研究分布参数系统的最优边界控制，既具有一定的理论意义， 又具有实际应用的价值，引起了广泛的关注。对于实际过程的边界控制，一般采 用逼近方法处理。 ( 3 ) 点控制。许多实际过程的控制中，有时难以实施分布式控制，而且一 般从实际角度来讲，适当选取几个点对系统实施控制，比实施分布式控制更具有 经济意义。这种控制采用的工具有动态规划方法，参数优化方法和函数逼近方法 等。 ( 4 ) 反馈控制。反馈控制即最优控制策略是系统状态或是系统输出的函数。 对于线性系统，考虑二次型性能指标时，可得出线性最优反馈控制律，而且类似 于l p s ，也可以导出r i c a t t i 方程。 ( 5 ) 精确控制。某系统在时间区间 o ，朋上具有精确能控性是指对于t = 0 时 任意给定的初值j 。以及f = t 时任意给定的终值墨，一定能找到 o ，列上的控制 函数使得系统的解精确地满足终端条件，也就是说，系统借助于控制，能将一个 江苏大学硕士学位论文 在t = 0 时任意给定的初始状态在t = t 时变为一个任意给定的终端状态( 通常为 一个理想状态) 。利用边界控制就能实现的精确控制称为精确边界控制。 由于物理和技术的原因，一些系统只能在区域的边界上设置控制装置来进行 研究。近二三十年来，边界控制问题一直受到控制理论界的重视而得到不断深入 地研究。近几年来，人们越来越多关注的是b u r g e r s 方程、k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程、k o r t e w e g d ev r i e s b u r g e r s ( k d v b ) 方程以及k u r a m o t o s i v a s h i n s k y ( k s ) 方程的边界控制问题，并且在这一领域取得了丰硕成果。 k d v 方程首先是由k o r t e w e g 和d e c r i e s 于1 8 9 5 年研究浅水波运动时提出的， 它的原始形式是矾= 吾墨( 圭矿+ 詈叼+ 吾们k ) ，人们经过研究知，当方程建立 在整个实数轴r 上或者是在一个周期性区域上时总可以通过一定的变量替换转 化为标准形式： 甜t + “# + “船z = 0 。 k d v 方程不仅是描述水波运动的方程，也是描述电磁波和声波的方程。其 实它对任何包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统都是一个非常好的逼近模 型。特别地，现在k d v 方程普遍被看成是一个非线性色散系统中的微小振幅单 向传播长波的数学模型。 k d v b 方程也是用来描述水波、电磁波及声波的方程。它的一般形式如下： “f 一翻n + 国+ u u ，= 0 其中s 和艿是正参数。当s = 0 时，如上k d v b 方程变为k d v 方程： “。+ u u ；+ 面。= 0 ，而当占= 0 时，如上k d v b 方程就变为b u r g e r s 方程： “，一翻口+ 堋z = 0 。 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程( k s 方程) 则是由k u r a m o t oe ta l 研究在反应扩 散系统中的相湍流和s i v a s h i n s k y 研究飞机火焰传播时分别提出的。这类问题也 常出现于膜震动( 如见文献 6 ，1 9 8 2 年) 和n a v i e r - s t o k e s 方程的分叉解( 如 见文献 7 ) 等。在文献 8 中，n i c o l a e n k o 等对于一维k s 方程的整体吸引子 以及分叉解等进行系统的深入的研究。在文献 9 中b n i c o l a e n k o 提出了一类广 泛的k s 型的方程( 其中包括商维k s 方程) 。在文献 1 0 中，郭、井等研究了 广义k - s 方程时t o o 解的渐进行态，行波解的详细结构。用李群和无穷小变换 江苏大学硕士学位论文 方法得到的相似解以及用谱方法得到的近似解等。在文献 1 1 中，郭证明一维广 义k s 方程整体吸引子的存在性以及维数的有限性。1 9 9 3 年郭，苏在文献 1 2 3 中对于高维广义k s 方程的整体吸引子的存在性首先给出了证明，并对它的 h a u s d o r f f 维数和分形维数作了估计。 1 2 本课题的国内外研究现状和水平 边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的熏视而得到 不断深入地研究和发展。近几年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 以 及k s 方程的边界控制问题。从2 0 世纪6 0 年代以来，k d v 方程在数学和物理 方面都得到了广泛研究。在研究k d v 方程时，大部分学者通过直接解方程或者 应用反散射( i n v e r s es c a t t e r i n g ) 方法( 即非线性傅立叶变换) 来找到方程的解。 j a b u m s 、c i b y m e s 、h c h o i 等学者对b u r g e r s 方程进行了研究，见文献 1 4 一 1 6 ，b y r n e s e t a l 研究了b u r g e r s 方程的局部指数稳定性( 若初始条件在r 空间下非常小) ，v a n l ye ta l 将这一结果进一步完善( 把它延伸到f 空间) 但仍 是局部的。m i r o s l a vk r s t i c 对b u r g e r s 方程的全局稳定性进行了研究，见文献 1 7 。 k d v b 方程是同时表现了扩散和色散特点的最简单的非线性数学模型之。 b i l e r 、r a s s e l 和z h a n gb i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研究，见 文献 1 s 一 2 0 。b i l e r 、b o n a 和s m i t h 对空间区域是整个实数轴的k d v b 方程进 行了研究，见文献 2 1 ， 2 2 。r o s i e r 对系统在一个闭域上的可控性进行了研究， 见文献c 2 3 3 z h a n g 对系统在一个闭域上的稳定性进行了研究，见文献 2 4 。l i u 和k r s t i c 研究了k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈稳定性问题，见文献 2 5 。 a n d r a sb a l o g h 和k r s t i c 研究了k d v b 方程的稳定性和数学模型。曹海霞对充分 非线性的k d v b 方程解的稳定性作了研究，参考文献 3 8 3 。对k 。s 方程的研究 也已取得丰硕成果，f o i a se ta l 和n i c o l a e n k oe ta l 对k - s 方程全局吸引子和惯性 流形进行了研究见文献 2 6 。在此基础上，k s 方程的控制问题研究也得到很大 的发展，h ee ta l 研究了k - s 方程稳定性的数字模拟及它的最优控制，c h r i s t o f i d e s 基于一个g a l e v k i n 舍位构造了线性控制项研究k - s 方程的局部稳定性见文献 2 7 ，王景峰也对k s 方程的稳定性作了研究，参考文献 3 9 。对偏微分方程的 精确控制的研究一直受到国内外学者的广泛关注，在这方面的研究也有很大进 4 江苏大学硕士学位论文 展。w e i j i u l i u 和g r a h a m h w i l i a m s 研究了半线性热传导方程的精确初值问题，见 文献 2 8 。l i a n g y u l i 和x u z h a n g 研究了半线性波动方程的精确控制问题，见文献 2 9 】。s p b a n k s 对广义的k d v 方程的精确边界控制和最优控制做了 研究 13 。b i n g y u z h a n g 研究了k d v 方程的精确边界问题，见文献 3 0 1 ，但是对 于k s 方程的精确控制问题的研究相对少一些。 1 3 本课题研究的基本内容 本文我们主要研究了充分非线性k - s 方程解的存在性以及稳定性和k - s 方 程的精确边界控制问题。对充分非线性k s 方程，我们通过适当选取边界反馈条 件，首先应用b a n a c h 压缩不动点定理和构造g r e e n 函数证明了其解的存在唯一 性，然后应用分部积分理论、泛函知识及g r o n w a l l 等不等式证明了其解的稳定 性，证明了系统在d i r i c h l e t 边界条件下全局指数稳定估计和在n e u m a n n 边界反 馈条件下l2 全局指数稳定的和h 2 局部指数稳定。在处理k - s 方程的精确控制时， 运用f o u r i e r 基函数的展开以及f o u r i e r 变换的方法研究带有周期边界条件的 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程在有限时间区间【o ，t 】上的精确控制。首先研究线性化 k s 方程的精确控制，运用r e i m a n n 1 e b e s g u e 收敛定理以及r i e s e 基函数的性质 证明了在给定的时间t 0 ，对于两个任意给定的函数“。( x ) ，“，( 工) 属于一定的 s o b o l e v 空间，总能找到一个控制函数使得线性化k - s 方程有一个存在于某一合 适的空间的解u ( x ，t ) 使其满足u ( x ，0 ) = “。( x ) ，u ( x ，t ) = u 1 ( x ) 。然后结合线性化化 k s 方程的精确控制，再通过定义f r e d h o l m 算子并应用此算子的一些理论可以 找到k - s 方程的控制函数，使其达到精确控制。 1 4 本课题研究的意义、价值 边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展。而由于一些技术上的原因，许多系统需要在区域的边界 上设置控制装置来进行研究。近- - = 十年来，国内外的学者都很关注边界控制问 题的研究，特别是对k d v 方程、b u r g e r s 方程、k d v b 方程及k s 方程的研究， 在理论上至今已经证明了这些方程解的存在唯一性，并且给出了解的一些稳定性 估计。k d v 、k s 方程都是用来描述水波、电磁波及声波等的方程，此类方程具 江苏大学硕士学位论文 有很广泛的物理背景，所以，对此类方程的解的存在性、唯一性及稳定性的研究 意义广泛。不仅如此，边界控制问题在水利、电磁学、国防等方面都有很重要的 作用，特别是水利方面。因此，边界控制理论不但在理论上而且在应用方面都有 极大的价值，所以对此类方程的边界控制问题进行研究意义重大。 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 我们所研究的边界控制就是在系统的边界上加上菜种可行性条件，从而保证 系统的解存在且唯一，并在一定的空间上保证此解是稳定的。在证明解在给定的 边界反馈条件下的稳定性时，我们经常会用到某些不等式和分部积分理论。在证 明解的存在唯一性时我们经常采用先建立非线性映射，然后证明此映射是压缩映 射，应用b a n a c h 压缩不动点定理说明此映射存在唯一不动点，则这个不动点即 为方程的唯一解。对于精确边界控制问题，运用f o u r i e r 基函数的性质找到控制 函数使系统达到精确控制。 因此，本章中我们将介绍一些常用的不等式、b a n a c h 压缩不动点定理、g r e e n 函数的性质、f r e d h o l m 算子理论以及s o b o l c v 空间知识。 2 1不等式 ( 1 ) c a u c h y 不等式 对任意口，6 。，有幻譬+ 譬 i , t n 因( 口- b ) 2 0 且( d 一6 ) 2 = 口2 + b 2 2 a b 故有口2 + b 2 2 a b 0 ，即证。 ( 2 ) 带s 的c a u c h y 不等式 对任意a , b 0 和s 。，有口6 譬+ 等 证明囡为a b = ( 、居口) ( 牟) ， 占 所以运用c a u c h y 不等式有 ( 而) ( 专譬+ 五b 2 ，即证。 ( 3 ) y o u n g 不等式 对任意口，b 0 ，1 b g 0 时，我们定义 o f 三 p 土 o ，1 p ，g o 。，土+ 土：1 ，有口6 墅+ e - t p b q 证明因为曲： 石日) ( 专) i p 应用y o u n g 不等式有 曲： 形口) ( 南壁+ e - t p b _ _ _ 里q ，即证。 p 7 ppq ( 5 ) g r o n w a | | 不等式 设g ，氏y 是定义于( f o ，+ m ) 上的三个局部可积函数，使得害也是定义于 ( 。，+ m ) 上是局部可积的，并且对任意的，t o 满足： 去g y 吨n 出娜卜( s 茎q ，厂y ( s ) d s _ a 3 其中r ，c l 】，口2 ，吗是正常数。则对任意的，t 。，有 8 口 6 h h p g ，、l 1 1 )o厂 江苏大学硕士学位论文 _ y 0 + ，) ( 旦王+ 口2 ) e x p ( a 1 ) ( 6 ) p o in c a r e 不等式 设c 0 ( q ) 表示有界开区域q c r ”上一切m 次连续可微，并在边晃砌的某 邻域内为0 的函数集合。即 c f ( q ) = 岳e c “( _ ) 缸( x ) = o ，当xe 硷的某邻域 那么对任意的u c o ( q ) 有 l 磊胪吣) 陬c l 磊肌1 2 疵 ( 2 t 1 ) 其中c 是仅依赖于区域q 及m 的常数。 证明因为q 是有界的，我们可以把q 放在某个边长为口的立方体q ，内，适 当选择坐标系，使得 q 。= ( z ，x ：，x 。) r ”| o x ，口( f = l ，2 ，n ) 。 在q ，q 上补充定义“= 0 ，经补充定义后，“( x ) 在q 上t n 次连续可微，而且在 边界上等于0 。对任意的x q ， 吣) = r 氧 。 渺 再利用c a u c h y s c h w a r z 不等式，我们有 l u ( x ) 1 2 a f 斟也 z ) 在q ，上积分不等式( 2 2 ) ，我们得 扩出崭斟出i 础 2 出 ( 2 ，) 然后逐次应用不等式( 2 3 ) - t - o “( x ) ( h m ) ，即得不等式( 2 1 ) 。( 参考文献【3 4 】， 3 5 ，【4 3 ) 2 2b a n a c h 不动点定理压缩映像原理 设( z ，p ) 是一个完备的距离空间，t 是( x ，p ) 到其自身的一个压缩映射，则 r 在ze 存在唯一的不动点。 9 江苏大学硕士学位论天 证明( 存在性) 若r ：( j ，尸) 。( x ，p ) 是一个压缩映像，则取初始点ex ， 构造迭代产生的序列 x = t x 。0 = 0 , 1 ，2 ，) 贝0 有p ( x 。“，x 。) = p ( t x ，t x 。一1 ) a p ( x 。，z 。一1 ) 搿”p ( x l ，x o ) 从而对任意的p n ，有 p ( x ，以) p ( x n + ik _ 1 ) i m l ( 口”+ p 一1 + + e l ”1 ) p ( x l ，x o ) 兰二p ( x l ，x 0 ) 斗o ( 当 斗m 时) l 一“ 由此可知k ) 是一个基本列。 又因为( z ，i 口) 是完备的，所以存在算+ x ，使得矗斗x 0 _ 。) 又x 。= t x 。，两边取极限，则有x + = t x + ，故x + 为不动点。 ( 唯一性) 若x + 、x “均为不动点，则 k 一x ”l = t x 一t x ”l g l x - - x * * i 由此推出x = x “，故不动点是唯一的。 综上所述，定理得证。 2 3f o u r i e r 变换的性质 定义：设f 三1 ( r ”) ，称 f f ( x ) - - 2 ( x ) = 【。，( _ y ) p 。“咖 是，的f o u r i e r 变换。 性质1 ：映射f ：，专，是r ( r ”) 到r 但“) 的有界线性算子。 性质2 ：若，( y ) 口( r ”) ，则夕是一致连续的。 性质3 ：( r i e m a n n - l e b e g u e 定理) 若，( y ) l 1 ( r ”) ，则当h 。0 0 时，厂( x ) 斗0 证明对，( x ) = z 【砌】( 石) ，s u ( x ) = 1 - i n ，1 _ ，n ；用竹。表示x 。0 的f 个数，用 ，表示x j = 0 的j 个数，l n ，n ，o n ， o ，存在简单函数g ，q 吏l l f - g l l ， 。于是 j 夕l l 夕一富i + i 誊i f l ，一g l i 。+ 富i 詈+ j 雪i 从而，夕( x ) 斗o ，h 寸+ 。( 参考文献 3 7 ) 2 4f r e d h o l m 算子理论 定义1 ：设m c z 是一个闭线性子空间，称 c o d i m m 皇d i m ( x m 1 为m 的余维数。 定义2 ：设z ，y 是b a n a c h 空间，t ( z ，y ) 称为一个f r e d h o l m 算子，是指： ( 1 ) r ( t 1 是闭的； ( 2 ) d i m n ( t ) ； ( 3 ) c o d i m r ( t ) 。 f r e d h o l m 理论归结起来，有 若4 是x 上的紧算子，且t = i - a ，则 ( 1 ) n ( t ) = ( 田营r ( t ) = x ： ( 2 ) 仃( 丁) = c r ( t + ) ： ( 3 ) d i m n ( t ) = d i m n ( t ) o o ： ( 4 ) r ( t ) = n ( t ) 1 ，r ( t ) = 1n ( t ) ： ( 5 ) c o d i m r ( t ) = d i m n ( t ) ( 参考文献 3 5 】) 2 5 s o b o l e v 空间 定义一个范数i | i l 栌，( 。) ，其中卅是非负整数而且1 p 。o 江苏大学硕士学位论文 = i 二i i d 4 邢l 。 当1 p m l o 目4 $ l p l i 口, i i ，。( n ) = m a x 。制。0 d 4 叫j r 下面我们给出类s o b o l e v 空间 “( q ) = 满足扔c ”( q ) ：m i 胪， m 的完备空间，并且其模忙i i ”， m 町9 ( q ) = 空间形“，) 中的g ) 中的闭集合 命题： s o b o l e v 空间矿”心) 是一个可分的h i l b e r t 空间，且内积为 协y ) 护：= i d 4 徊4 瓣 0 l 口l j mn 对于这个证明可以参照文献 3 6 注：我们可以把空间矿“2 ) 写为h ”) ，町2 ( q ) 写为日f ) 而且 日o ( q ) = r ( q ) 2 6g r e e n 函数的导出及性质 设函数矗( 工，y ) 关于x 属于c 2 ( 孬) ，在q 中满足一a x h = 0 ，对满足同样光滑 条件的调和函数“( x ) ，利用g r e e n 函数第二公式 ( 必v v “) 出2l n 。嘉一v 考) 您 可得 l 凳一厅嬲，= 一0 “威= o ( t ) 将调和函数的基本积分公式与上式相加，并记g ( x ，y ) = 七0 一y ) + 厅( x ，y ) 且要求在a q 上g = 0 ，于是得到 吣) = 如) 争。 ( 2 ) 若a u 0 令( 1 ) 与u ) 的g r e e n 表示： 毗) = l n 篙坝) 导魍+ 肌训蚍，y e o 相加得： 江苏大学硕士学位论文 “杪) = l n “( x ) 秘，+ 6 1 ( t ，) “( x ) 出， 函数g = o ( x ，y ) 叫做区域q ( 关于l a p l a c e 算子d i r i c h l e t 问题) 的g r e e n 函数。 由上文知，求解区域q 的g r e e n 函数必须解一个特殊的d i r i c h l e t 问题： f 一，h = o ，x q m k ( x y ) ， 然后得到g r e e n 函数g ( x ，力= 七( z ，y ) + h 。从而通过( 2 ) 式可以得到调和方程的具 任意连续边值的d i r i c h l e t 问题的解。称这种求解方法为g r e e n 函数法。 下面叙述g r e e n 函数的几个重要性质： 1 生质1 x y ) g ( x ，y ) 2 ) ； i x y l 性质3g r e e n 函数具有对称性，即 o ( x ，y ) = g ( y ，工) ，v x ，y q ，z y ； 性质4 l 等西乩 三维空间中有界域q 上g r e e n 函数在静电学中有明显的物理意义。设是q 由封闭的导电面所界的真空区域，y 是q 内一点，在此点置一点单位负电荷，它 所产生的电位是一_ # 1 。如果导电面是接地的，那么，q 的电位就可以用 斗石饼一卅 g r e e n 函数 g x ，y 2 一i 稠1 + 矗工，y 来表示，其中h ( x ，y ) 正好是导电面上的感应电荷所产生的电位， g r e e n 函数的对称性的物理意义是：在x 处的单位点电荷在y 处产生的电位 等于在y 处的单位点电荷在z 处产生的电位。这在物理上叫做互易原理。( 参考 文献 3 4 3 ) 江苏大学硕士学位论文 第三章充分非线性k s 方程边界控制的指数稳定性 3 1 引言 近年来，边界控制问题受到了控制理论界的重视并且得到了不断的深入研 究。k s 方程是k u r a m o t o 研究反应扩散系统和s i v a s h i n s k y 研究火焰燃烧时独 立提出的，见文献 3 2 ， 3 3 。对于k - s 方程的控制问题，研究了它的最优控制和 控制的数值模拟，通过g a l e r k i n 方法证明了线性控制下的局部稳定性。最近 段时间，受k d v b u r g e r s 方程的带边界反馈条件的控制问题以及对流项非线性 的加强研究的启发，本文证明了充分非线性k - s 方程在边界条件下的指数稳定性 问题。 本文讨论的充分非线性k _ s 方程如下： “f + “+ 五甜崩+ “，= 0 ，0 0 是反扩散系数，“”。是充分非线性对流项。粗略来讲，当旯足够小时带 边界条件的上述方程是渐进稳定的，当五充分大时带边界条件的上述方程是不 稳定的。对于边界反馈条件的给出，有其物理背景，例如在有两个装满可燃气并 且有很小的空隙的同轴汽缸的燃烧器实验装置中，没有控制条件时在k s 动力下 前部火焰将会产生“褶皱”。在燃烧器的底部改变燃料供应可以控制火焰，在本 文中解决边界控制火焰要求在燃烧器底部的小范围上调节燃料，这时火焰的观测 可以通过不同的检波器摄影、可视的激光装置实现，在本文研究的系统中可以通 过在边界改变四个变量”，“。，材。中的任意两个来实现。除了物理意义还有数 学意义k s 方程可以作为热传动方程的非线性高阶形式的推广，因为带n e u m a n n 边界条件的非控制的k - s 方程不是渐近稳定的，所以确定n e u m a n n 边界反馈是合 理的。在本章中首先通过构造一个g r e e n 函数以及b a n a c h 压缩映像原理证明了 解的存在唯一性，然后要研究的是在边界控制条件下解的稳定估计问题。下面首 先给出主要的结果，然后对线性方程进行谱的分析，最后建立一个g r o n w a l l 形 式的微分不等式来证明结果。 1 4 江苏大学硕士学位论文 3 2 符号主要结果 记日3 ( o ，1 ) 为一般的s o b o l e v 空间。s 为任意实数，对s 0 记日j ( o ，1 ) 为 c o ( o ，1 ) 在日5 ( o ，1 ) 中的完备化空间，l i 1 1 为l x ( o ，1 ) 的范数。 首先考虑以下带有d i r i c h l e t 边界条件的充分非线性k s 方程 材r + “勰+ 血躺+ “”甜j = 0 ，0 0 ， “：( 0 ，t ) = “，( 1 ，t ) = o ，r 0 ， u ( x ，0 ) = “o ( x ) ，o x 1 该系统的能量表示为 e ( r ) = f “2 ( 墨t ) a x ， ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 以及它的高阶能量表示为 矿( f ) = f 2 ( 墨t ) d x ， 为了确定介于系统稳定与不稳定之间的临界值刀，需要讨论下列特征值问题 一+ 五屯= 印，0 x 1 ， 妒( o ) = 矿( 1 ) = c a o ) = ，( 1 ) = o ( 3 6 ) 对于一个给定的 ，带有以上边界条件的算子导+ 五导是自伴算子并且它的 逆是紧算子，其特征值是一个序列，并且满足 ! i m o 一= 佃， 定义仃( 五) = r n i n 盯。( 五) ：则有下列的结论： 引理21 函数盯( 五) 在r 上是严格递减的，并j l o - ( 4 2 2 ) = o 。 此引理的证明见文献 1 ，由此确定了临界值五= 4 2 2 。 下面系统的稳定性估计都是在五 4 z2 这一条件下讨论的。 定理2 1当五 4 z2 时， ( i ) 当“o ( x ) 上2 ( o ，1 ) 时，系统( 3 ，2 ) 一( 3 5 ) 的解满足下列的全局指数稳定估 计 江苏大学硕士学位论文 e ( t ) e ( o ) e 。2 ”，v t 0 ( 3 7 ) ( i i ) 当“o o ) e 掰( o ，1 ) 时，系统( 3 2 ) 一( 3 5 ) 的解满足下列局部指数稳定估计 矿( f ) c ( 五2 + 仃( a ) ) e ( 0 ) ) + 矿( o ) e x p ( c f ( o ) ”) e 7 ”，t ( o ，r ) ，m 2 ( 3 8 ) 其中c 是依赖于r 而与 和uo 无关的一类正常数。 但是对于下列的n o u m a n n 边界问题： “f + “脚+ 砌搿+ u m