用数学软件分析二极管电路的混沌.pdf

第 16 卷 第 2 期 五邑大学学报 自然科学版 vol.16 no.2 2002 年 6月 journal of wuyi university (natural science edition) june 2002 ft) 文章编号1006-7302200202-0062-05 用数学软件分析二极管电路的混沌 张才国汤艳芬 五邑大学 数学物理系广东 江门 529020 摘要用 mathematica 软件对二极管电路进行相图分析清楚地展现了通过改变信号源 电压通向电路混沌的过程说明了二极管对信号源频率变化的响应情况探讨了电路中 电阻元件对进入混沌的影响. 关键词二极管相图混沌 中图分类号o415 文献标识号a 近 30 多年来混沌科学得到了飞速的发展人们誉之为 20 世纪继相对论和量子力学之 后的第三大成就. 系统产生混沌的根本原因在于状态变量之间的相互耦合在于系统的非线性. 电路中二极管是一个基本的非线性元件. 由于二极管的非线性使含有二极管的电路具 有一定的复杂性而显得丰富多彩. 二极管电路涉及到非线性微分方程除少数情况外非线性 微分方程一般都无精确的解析解1因此常用计算机进行模拟观察解的表现以判断是否 存在混沌现象. 本文中我们选二极管上的电荷 q 和电流 i 作相平面利用 mathematica4.0 软 件包画相图进行仿真分析得到了一些有益的信息. 1 二极管电路的微分方程 图 1 是一个简单的电子电路它是由电阻 电感和二极管等元件构成的一个串联电路. 在输 入端接入正弦波函数发生器在二极管上可以得 到电压输出. 用计算机进行电路分析时首先必须建立 构成电路的元器件的数学模型2. 同一个器件可 以有多个模型来模拟究竟选取哪一种模型这 通常是根据作用于器件的信号幅度和频率来决 定. 美 国 的 wolfram 公 司 开 发 的 著 名 数 学 软 件 mathmatic4.0 中对上述电路采用了下述数学模型 2sin( 22d d 00 21 12 21 12 veq cc cc q cc cc ir t i l= + + + + 1 等式右边是函数发生器信号源的交变输出左边第一项是电感上的电压第二项是电阻 r 收稿日期2001-05-08 作者简介张才国1944- 男湖南冷水江人副教授从事正电子方面的研究. l d 信号发生器 信号发生 器接地端 图 1 二极管电路 图 1 二极管电路 万方数据 第 16 卷 第 2 期 张才国等用数学软件分析二级管电路的混沌 63 上的压降第三项则是将二极管模拟成了电容和电阻的组合. 由于 c1c2以及 q 的绝对值的设 置可以反映出二极管不同的正反向导电特性. 括号中的第二项明显地反映了二极管的电容效 应. e0反映了二极管具有一个小的偏置电压. 其中取 l=10010-6 hr=60 c1=0.110-6 f c2=40010-12 fe0=0.1 v. 我们分别采取改变信号源电压参数 v0和信号源频率参数 f 的办法利用 mathematica 软件包 画相图对上述非线性微分方程进行仿真分析. 2 二极管引导混沌 式1是一个非线性微分方程它满足产生混沌的条件. 电路产生混沌主要是利用二 极管的非线性特性. 为了研究二极管在混沌状态下的行为我们在频率 f=7.0105 hz 时改变 交变电源的幅值得到了分别对应的相图图 2和分岔图图 3. 在图 2 中4 幅图都是以二极管上的电荷变化为横坐标以电流的变化为纵坐标分别对 应着给定交变电源的幅值为 0.11 v0.14 v0.19 v0.35 v 时得到的相图. -1.5 10-10-1 10-10-5 10-115 10-111 10-10 -0.0006 -0.0004 -0.0002 0.0002 0.0004 0.0006 0.112 - 1 . 5 1 0 -10 - 1 1 0 -10 - 5 1 0 -11 5 1 0 -1111 0-10 1 . 5 1 0 -10 2 1 0 -10 - 0 . 0 0 0 6 - 0 . 0 0 0 4 - 0 . 0 0 0 2 0 . 0 0 0 2 0 . 0 0 0 4 0 . 0 0 0 6 0 . 1 4 -2 10 -10 2 10 -10 4 10 -10 6 10 -10 -0.001 -0.0005 0.0005 0.001 0.0015 0.19 -2.5 10 -10 2.5 10 -105 10-10 7.5 10 -10 1 10 -91.25 10-9 -0.001 0.001 0.002 0.35 图 2 f=7.0105 hz 时二极管的相图 在 v0=0.11 v 时相图呈变形椭圆而左右不对称. 这说明二极管上的电流基本上是周期 性的电路处于 1p单周期运动状态. 同时也体现了二极管正反向加压空间电荷积累的 不对称性. i/a i/a i/a q/c i/a q/c q/cq/c 0.110.14 0.19 0.35 万方数据 五邑大学学报自然科学版 2002 年 64 当 v0=0.14 v 时相图出现新的特征电路要在两个电源震荡周期内才恢复原状态即电 路处于 2p 运动状态产生了分岔. 再增大电压依次可出现 4p8p 等运动状态. 当 v0=0.18 v 后 情况变得比较复杂相图杂乱无章但似乎又有一定的内部结构相点的运动显示出混沌状态. 当 v0=0.19 v 时相图又出现了 2p 倍周期现象在 v0=0.26 v 时相图又出现了 4p 运动 状态当 v0=0.35 v 时电路又进入了混沌. 由上可以看到通向混沌的步骤非常明显混沌区的特征不是简单的混乱而是包含着 极其复杂的规律性. 图 3 是在给定交变电源的幅值 00.3 v 范围内的分岔图它以电源 电压 v0为横坐标以二极管上电荷 峰值 q0为纵坐标. 图中第一次分 岔发生于 v0=0.14 v 处当 v0=0.18 v 后开始进入混沌区混沌区内又嵌 着窗口. 在 v0=0.190.3 v 的区域内 时又可以看到明显的两分支四分 支等混沌现象. 这个分支图典型地描 绘了在二极管电路中随着电源电压 的增加所发生的沿倍周期分岔系列 通向混沌的情况它具有普适性. 上述结果完全满足其他文献上 介绍的产生混沌的一般规律2 6 这 也从一个侧面反过来说明了描述二 极管电路的数学模型式1在上设 频率下是可行的. 3 二极管的频率响应 为了进一步探讨信号源频率参数 f 对二极管电路的影响我们在图 1 电路中固定电源电 压 v0=0.3 v改变交变信号源的频率得到了二极管上空间电荷随时间变化的图像如图 4. 0.00110.00120.00130.0014 5 10 -9 1 10 -8 1 . 5 10 -8 0 . 3 0.000180.0001850.000190.000195 -2 10-10 -1 10 -10 1 10-10 2 10-10 3 10-10 4 10-10 0.3 f=1.0104 hz f=1.0106 hz 图 4 不同频率下二极管上空间电荷随时间的变化 q0/c 110 810 610 410 210 0 -210 - 9 -10 -10 -10 -10 -10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 v0/v 图 3 二极管的分岔图 q/c q/c t/s t/s 0.30.3 万方数据 第 16 卷 第 2 期 张才国等用数学软件分析二级管电路的混沌 65 1频率在 1.0102 hz 以下时电流随电荷的增加而减小. 这说明电路中不产生震荡可 以认为因为频率小等效电容阻抗很大二极管反向截止电流随电荷增加而减小说明系 统尚未达到共振状态. 这与文献7中的论述相符合. 但是 在 1.01021.0103 hz 范围内规律 性不是很明显有时产生异常这可能与参数的选取有关或者式1的数学模型在低频时 有一定缺陷. 在交流信号下工作时二极管体现一动态交流电阻正向动态电阻很小反向动态电阻 很大. 同时当 pn 结两端接正向电压时其交界面两边的空间电荷量将减小正向电压越大 空间电荷量减少越多当接反向电压时其交界面两边的空间电荷量将增大反向电压越大 空间电荷量增加越多而不是简单的截止. 这就相当于电容的充放电作用. 二极管除了具有单 向导电的特性外还存在一定的电容效应. 2当频率大于 1.0103 hz 时可以看到分岔和无序的现象. 在频率为 1.0103 hz 左右时 相 图 呈 现 单 周 期 情 况二 极 管 上 电 荷 随 时 间 的 变 化 图 对 应 着 整 流 的 特 征. 频 率 在 1.01031.0105 hz 范围内也可以发现倍周期的现象. 频率在 1.0105 hz 时系统已进入混 沌.由图 4 关于二极管上电荷随时间变化的图像得到在频率小于 1.0105 hz 时整流的效果 较明显而在 1.0105 hz 以上时二极管上电容的阻抗作用变小. 这说明当较高频率的电压 加在二极管两端时尽管反向电阻很大但结电容对高频的容抗很小高频电流可以从结电容 通过. 这充分体现了二极管的非线性特征展现在二极管电路的分频现象上6为我们分析二 极管的特性提供了一定的信息. 4 两种特殊情况 1在图 1 电路中当电阻 r=0 时固定 f=1.0106 hz可以得到一些特殊的相图如图 5 所示. -2.5 10 -10 2.5 10 -105 10-10 7.5 10 -10 1 10 -91.25 10-9 -0.0015 -0.001 -0.0005 0.0005 0.001 0.0015 0.1 -4 10 -10 -2 10 -10 2 10 -10 4 10 -10 -0.0015 -0.001 -0.0005 0.0005 0.001 0.0015 0.3 q/c q/c 图 5 r= 0时二极管的相图 图 6 二极管元件换成电容器时的相图 与图 2 比较可知在 r=60 v0=0.1 vf=1.0106 hz 时电路处于 1p 运动状态而图 5 中当 r=0v0=0.1vf=1.0106 hz 时电路则已进入混沌状态. 即电阻很小时在电压较 小的情况下也能产生混沌. 这说明由于电阻为 0电路中损耗变小使得加在二极管上的 有效电压得到加强促使它较快进入混沌状态. 也就是说如果电阻增大加在二极管上的有 效电压变小所以要达到产生混沌的所需电源电压必然增大. i/a i/a 0.3 万方数据 五邑大学学报自然科学版 2002 年 66 2如果在图 1 电路中将二极管元件换成电容器可以得到图 6 所示的相图. 并且不管 怎么改变电源电压值所得相图形状都相似. 这与 rlc 振荡电路中电容器上的电流电荷对 应关系相符合. 5 结论 简单电路能否产生混沌现象是混沌工程学中极富挑战性的课题之一. 混沌学与工程领 域相互结合产生了各种新颖的理论和技术. 例如混沌计算机图形学混沌生物工程学混 沌图像处理技术混沌控制理论混沌噪声理论混沌经济学混沌函数论计算机非线性分 析理论和技术下一代人工智能等. 混沌的研究对现代科技已经和正在发挥巨大而广泛的作 用. 二极管电路是最基本的电子电路涉及到电子信息控制等诸多应用领域电路中混沌 的研究和探讨无疑是非常有意义的工作. 我们用 mathematica 软件包对二极管电路进行了相图分析清楚地展现了通过改变信号源 电压通向二极管电路混沌的过程说明了二极管对信号源频率变化的响应情况探讨了电路中 电阻元件对进入混沌的影响. 最后用相图解析了 rlc 电路中电容器上电流电荷的对应关系. 参考文献 1 王东生曹磊混沌分形及其应用m. 北京中国科学技术大学出版社1995. 2 董荔真倪福卿非线性电子线路分析基础m. 北京高等教育出版社1985. 3 周凌云王瑞丽吴光敏非线性物理理论及应用m. 北京科学出版