（计算数学专业论文）hiv反应扩散模型的数值分析.pdf

摘要 本文针对一个艾滋病病毒( h ) 传播过程中的反应扩散模型的有限差分解给出 一些数值分析。利用有限差分方法，分别对非定常问题和定常问题建立相应的有限差 分方程组。主要内容包括利用三种单调迭代算法计算相应的差分解，讨论非负差分解 的存在性和唯一性，讨论非定常问题差分解的渐近性。研究结果表明，非定常问题有 唯一的非负解，定常问题可能有不同的非负解，这些不同的非负解可以通过选择不同 的初始迭代值，利用单调迭代算法得到。渐近性态的研究也表明非定常问题的差分解 收敛于唯一的定常差分解。数值结果证实了理论分析。 关键词：反应扩散方程，有限差分方法，h i v 传播，单调迭代，渐近性。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hf i n i t ed i f f e r e n c es o l u t i o n so far e a c t i o n - d i f f u s i o nm o d e j i nt h et r a n s m i s s i o no h u m a ni m m u n o d e f i c i e n c yv i r u sf m y ) t h er e a c t i o n - d i f f n s i o ns y s - t e r ni sd i s c r e t i z e db yt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，a n dt h ei n v e s t i g a t i o ni sd e v o t e dt o t h ef i n i t ed i f f e r e n c es y s t e mf o rb o t ht h et i m e - d e p e n d e n tp r o b l e ma n di t sc o r r e s p o n d i n g s t e a d y - s t a t ep r o b l e m t h e 固d 8 t e n c e ( a n du n i q u e n e s s 、o fan o n n e g a t i v ef i n i t ed i 氐e r e n c e s o l u t i o na n dt h r e e m o n o t o n ei t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rt h ec o m p u t a t i o no ft h es o l u t i o n s a r eg i v e n t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h et i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o ni nr e l a t i o nt ot h e s t e a d y - s t a t es o l u t i o ni sd i s c u s s e d i ti ss h o w nt h a tt h et i m e - d e p e n d e n tp r o b l e mh a sa u n i q u en o n n e g a t i v es o l u t i o n ，w h i l et h es t e a d y s t a t ep r o b l e mm i g h th a v et h ed i f f e r e n t n o n n e g a t i v es o l u t i o n sd e p e n d i n g o nt h ep a r a m e t e r si nt h ep r o b l e m t h e s ed i f f e r e n tn o u - n e g a t i v es o l u t i o n sc 姐b ec o m p u t e df r o mt h em o n o t o n ei t e r a t i v ea l g o r i t h m sb 甲c h o o s i n g t h ed i g e r e n ti n i t i a li t e r a t i o n s t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o rr e s u l tl e a d st oc o n v e r g e n c eo f t h et i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o nt oau n i q u es t e a d y - s t a t es o l u t i o n s o m en u m e r i c s lr e s u l t s a r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t s k e y - w o r d s r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，f i n i t ed i f f e r e n c es o l u t i o n , h i vt r a n s m i s s i o n ， m o n o t o n ei t e r a t i o n s ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内客外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均巳在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：垄焦 日期：型z 三! ： 学位论文授权使用声明 本入完全了解华东师范大学有关保督，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 学位论文作者签名：袭豉 导师签名：上办调 i e i 期：! 竺z ：! ! 第一章引言 近些年来，艾滋病的病原体人类免疫缺损病毒( h ) 已经引起了社会上相当大的 关注，h i v 在人口中传播的动力学性质已经成为生物数学中一个基本研究问题，各种不 同的数学模型也己随之建立。这些模型涉及到疾病的感染期、潜伏期、性行为中的异 种性影响和h i v 传播中的检诊影响。如果考虑至u 扩散效应，那么模拟这些模型的数学方 程就称为反应扩散方程。一个简单的只涉及易感人群和已感人群( 分别记为乱和口) 的反应扩散模型，可以一般地表示为： a u 巩一d ( 1 ) v 2 钍= “，一a u v ( u + 移) 一p ( 1 ) 让 0 ，z f 1 ) ， a i t ，出一) ( 2 ) v 2 ”= a u v ( u + v ) 一p ( 2 ) f0 o ，z f 1 ) ， b ( 1 ) 钍三口( 1 ) a 6 - + 卢( 1 ) 牡= 00 0 ，z a q ) ， ( 1 1 ) b ( 2 j t ，- - 口( 2 ) o r o r + 2 ) 秽= 0 o ，z a n ) ， 牡( z ，0 ) = 妒( 1 ( z ) ，v ( x ，0 ) = 妒( 2 ( 刁( z n ) ， 其中，q 为破= 1 ，2 ，) 上一个光滑有界的连通区域，勰为q 的边界，以足 边界n 上的外法向导数。p ( 。) ip ( z ，t ) 及d ( 0 “= 1 ，2 ) 是扩散系数。假设对2 = l ，2 ， d ( 0 0 ，妒( 。( 。) 为非负函数，且在q 上。妒( 1 ) ( 功 0 。边界条件包括d i r i c h l e t 边界 条件( a ( 0 = 0 ，z c ) = 1 ) ，n e u m a n n 边界条件或r o b i n 条件陋o ) = 1 ，p ( d o ) 。存模 型中，u 、。和( f = 1 ，2 ) 均为正数，分别代表补充率、联系率和死亡率。( 参 见【8 ，2 0 】) 除了非定常问题( 1 1 ) ，我们还考虑其丰甘应的定常问题： l d ( 1 ) 百玲“= u a u v ( u + 口) 一p ( 1 ) 让( z q ) ， 一d ( 2 ) v 2 = a u v ( u + 口) 一p ( 2 ) 。( z q ) ， ( 1 2 ) 【窃1 ) 钍= o ，b 5 2 u = 0 ( z a q ) ， 其中，刮( f = 1 ，2 ) 是口( ) 兰z c o ( x ) 在与时间无关的情况下的边界算子 反应扩散方程及其相应的定常问题，包括( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，已经有许多研究者对之 进行了研究工作，各种方法的建立也是从问题研究的不同角度出发的，包括解的存在 性和唯性，及非定常问题的动力性质( 参见1 2 ，6 ，1 0 ，1 2 】和其中的参考文献) 。对于反 应扩散方程的数值解的讨论，也已经有了一些一般性的框架工作( 参见【l l ，1 3 1 6 ，1 9 】) 。 1 在本论文中，我们对( i i ) 和( 1 2 ) 进行一些数值分析，即：先通过有限差分方法 把( 1 ，1 ) 和( 1 2 ) 离散化，然后再对离散后的方程进行分析。对于非定常问题( 1 1 ) ，我 们利用抛物型方程的欧拉向后差分隐式方法得到相应的非线性代数方程组。利用欧拉 向后差分隐式方法来近似，对于保证原连续问题解的性质是很重要的，因为用显式或 半显式方法来近似原问题都有可能会导致解不正确的定性性质( 参见f 1 3 ，1 4 】) 。本论文 的目的在于：研究问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 非负有限差分解的存在性和唯一性。以及讨论非 定常问题差分解的渐近性。我们利用上下解方法及有关的单调迭代法，具体来说就是 三种不同的单调迭代算法来计算有限差分解。 本文分为五个部分。 在第二章中，通过有限差分方法将问题( 1 ，1 ) 离散为一个非线性代数方程组，利用 三种上下解方法及有关的单调迭代法对( 1 1 ) 进行数值求解，讨论其非负差分解的存在 性和唯一性。第三章与第二章基本平行，只是讨论的对象为问题( 1 2 ) 的有限差分方程 组。可以表明( 1 2 ) 在选择不同的参数的情况下会有不同的非负差分解，这些解可以通 过选择不同的上下解作为初始值，利用单调迭代算法得到。第四章中，我们重点讨论 当时间趋于无穷大时问题( 1 1 ) 非定常解的渐近性态，我们证明存一定的条件下，非定 常解收敛于定常问题( 1 2 ) 唯一的差分解。相应的数值结果将在第二、三、四章中最后 一节列m ，以表明与理论分析的一致性。 2 第二章非定常问题的数值分析 第一节有限差分方法 我们对区域q 进行网格剖分，k 三k k l 为第n 步上的时间步长。b 为 空问钆方向上的步长p = 1 ，2 ，p ) 。令，锄p 和万分别为q ，勰和孬 o ，刁内 的网格点集合，其中豆= qu 勰，t 0 足一任意大的常数。设研足孬上的网格 点，啦。与钝。为乱和口在( ，t 。) 处的近似。为方便起见，定义礁o = 妒( 慨) 0 1 ，2 ) 和 f o ) ( m 地n ) = u 一口啦，n ”( 撕n + 地，”) 一i f l l ) u i m( 2 ，1 ) l ，( 2 ( 地一，饥n ) = a u i n 地，n ( 地一十地，n ) 一p ( 2 ) v i ，竹 并且定义离散算子 工( 。i 毗m 】= 簖1 ( 啦，。一妣p 1 ) 一d ( 。w i ， ( 2 ，2 ) 其中扣) w i 。是a l a z 在，“) 处的标准中心差分近似。利用抛物型方程的欧拉向 后隐式差分方法，我们将方程( 1 1 ) 离散为： i l 1 【毗，旬= ，牡( 啦。，让，。) ， l ( 2 ) 【口l 一1 = 严( q 一) ( ) ，( 2 3 ) i8 ( 1 h m 】= 0 ，召( 2 f 钝。】= 0 ( i 8 ) ， l 地m = 稚”，忱o = 谚2 “) ， 礼= 1 ，2 ， 其中崩f ( f = 1 ，2 ) 足对边界微分算子口( 2 ( 2 = 1 , 2 ) 合适的近似( 参见【1 ，7 ，1 1 ，15 ) 。如果 边界条件是d i r i c h l e t 条件( 口u ) = 0 ，萨) = 1 ) ，那么边界的近似就变为啦，。= q 。= 0 。 为了说明有限差分方程( 2 3 ) 解的存在性和唯一性，以及方便地建立计算算法， 我们用矩阵形式表示( 2 3 ) 。令m 为瓦= q p t ja q 上所有的网格点，在这些网格点上 解( 珥。，t k ) 的值足需要我们去确定的。通过适当的排列，定义向量 巩= ( 乱1 m ，t m ，。) t ， k = ( l 一，v m 。) r ， f ( ( 【名，k ) = ( ，( ( 让1 弗，口l 一) ，( d ( 让 f 一，黏 彳冉) ) 1g = l ，2 ) ， ( 2 4 ) 皿( 1 ) = ( 妒p ，妒船) 。( f = l ，2 ) ， 其中，( ) 7 表示一个列向量的转鬣。方程( 2 3 ) 可表示为如下形式： l ( f + 4 1 ) = 玩一l + 女。f ( 1 ( ，k ) ， ( ，+ k n a ( 2 ) ) v n 一lq - k f ( 2 ( ，k ) ， ( 2 5 ) i 砺= m ( ， = m ( 2 ) ，佗= 1 ，2 ，3 ， 其中，f 是单经矩阵，对任意的= l ，2 ，a 警) 是一个m m 的矩阵，与l i t ) 和酽) 幸苷 关。因为我们关心的是有限差分方程的数学结构，所以( 2 5 ) 的具体推导在此省略( 参 见【1 ，7 ，1 1 ，1 3 ，1 5 】中的具体推导) 。 从( 2 2 1 的_ 中心差分近似以及对孬的连通性的假设，我们容易知道短阵a ( o 常常满 足以下的性质。这一性质是本文的一个基本假设。 ( h ) ：对于每一个z = l ，2 ，矩阵a ( 2 ) = ( 趔) 不可约，并且满足 礤 0 ，? o “j ) ，并且墨粥o 对于t ：1 ，2 ，m ( 2 6 ) ( h ) 的一个直接推论是对于任意一个非负且不恒为零的对角矩阵e ，都有( 0 + a ( 1 ) 一1 存存且为正( 参见 3 ，z t j ) 。我们设 g 是矩阵a m 的最小实特缸值，垂g 是格 对应的单位特征向量。若( 2 6 ) 中的第三个不等号至少对某个f 严格成立( 例 如d 洒c 1 1 l e t 边界条件和r d b i n 边界条件) ，则学为正数，西5 d 也可以选择为正的。 相反，即若( 2 6 ) 中的第三个式子对于每个i 等号都成立( 例如纯n e u m a n n 边界条件) ， 则假设( h ) 变为： ( h 7 ) 对于j = 1 ，2 ，矩阵a ( ) = ( 3 ) 不可约，并且满足 m q a ( o 。 0 ，a 。( o 。o ( i 力，端= o 对于i = 1 ，2 ，m ( 2 7 ) j = l ( h ，) 的一个直接推论就足，最小特征值a g = 0 ，对任意常数c ，a ( 0 ( c e ) = c a ( 2 ) e = 0 ，其中e = ( 1 ，l ，1 ) r 为一个分量全为一的m 维向量。 第二节非负解的存在性和唯一性 为了讨论( 2 5 ) 解的存在性和唯一性，建立一些计算算法，本章我们利用上下解方 法及有关的单调迭代法来进行分析。首先给帆上下解的定义。 4 定义2 1 向量( 玩，讫) 和( 玩，凭) 称为( 2 5 ) 对有序的上下解，如果( 玩，讫) ( 良，识) ，并且满足： ( j + a ( 1 ) 玩玩一l 十k f ( 1 ) ( 玩，皖) ， ( j + k a ( 2 ) 诼讫一l + k f ( ( 瓯，讫) ， ( f + k a t l ) 炙玩一1 + k f ( 1 ( 文，豫) ， ( 2 8 ) ( j + k a ( 2 ) 玩s 皖一1 + k f ( 2 ( 玩，记) ， 玩2 田( 1 j 芝玩，p o 霍( 2 p o 上述定义中，向量问的大小比较是其分量伽的相互比较。为了构造( 2 5 ) 的对有 序上下解，我们先考虑 a ( 1 【，+ 圭u e 一( n + p ( 1 ) u + ( 2 9 ) 因为( ( o + 1 ) j + a ( 1 ) 一1 0 ，我们知道上述方程的解u + 满足0 0 ，及( 2 , 1 3 ) 的成立，利用( 2 5 ) 和( 2 9 ) 对和u + 进行比较后，可得：对所有的n 0 都有26 u + 。接下来要证明 ( ，k ) ( 户( 1 ) e ，p ( 2 】e ) ，竹= 0 ，1 ，2 ，( 2 1 5 ) 由( 2 1 3 ) ，n = 0 时显然成立。利用归纳法，假设当矿0 时，( 2 1 5 ) 成立，我们证明 当n = 矿+ 1 时依然成立。如果存在某个i o 使得t 如 + 1 p ( 1 ) ，我们有 ，n + 1 = m a x u + 1 ：i = 1 ，2 ，m ) 1 w p ( ” 由( 2 5 ) 可知， q ；卅1 + k 呓卅1 一壤 p 1 ) 牡坛n 盹；矿+ ，+ k 嚷：+ ，一矿 ( 嚷：) + 0 j ；lj = 1 这就构成了矛盾。所以，对于所有的i ，都有地，。+ 1 1 ) ，即：巩+ 1 p ( 1 ) e 类似 可证k + 1 2 ) e 。至此归纳法证明结束。口 为求解( 2 5 ) ，我们选择一对同样的上下解作为迭代初值，即( 2 1 0 ) 中的( 1 ) e ，p ( 2 ) e ) 和( 6 矽+ ，o ) ，建立三种革调迭代算法，分别称为p i c a r d ，g a u - s e i d e l 和j a c o b i 算法。 通过这三种算法还u 丁以得到( 2 5 ) 的非负解的存在性和唯一性。 设1 o 0 ，且满足 伊m a x 一丽0 f ( o ( u o ) , u 1 2 ) ) ；( 耐，0 ) ( u ( 1 ) ，缸( 2 】) 妯) ， z = 1 ，2 ；i = 1 ，2 ，m ( 2 1 6 ) 其中，( 让( ”，牡( 2 ) = ( 口) ，时是矿第t 个分量。定义：r ( ) = d i a g ( 前“，馏) ， 硝1 = j + k ( 0 + 水) ，2 = 1 ，2 ( 2 1 7 ) 显然从假设( h ) 町知，对2 = 1 ，2 ，逆矩阵( 硝) 一1 存在且为正矩阵( 参见【3 ，17 】) 。我们 首先讨论p i c a r d 单调迭代算法。 ( a ) p c a r d 算珐 将( 鳄，锷) = ( p ( 1 ) e ：p ( 2 ) e ) 和( 毋) ，j 毋) = ( 6 u + ，o ) 作为迭代初值，通过以下 线性迭代格式叮以确定迭代序列，记为 露，可磐) p ， 磐) ，! 盘哪 p ， 肿犁= 雄；+ k r ( 1 ) 砖。1 + 触( 露一 硝= 碟+ k r c 2 ) 露。1 + f ( 2 ) 防一 硝掣= 比l + k r ( 1 ) 醪。1 + f ( 1 ) 簖一 群毋- - v ( m ) 。+ i - r ( 2 ) 讶4 + f ( 2 ) u l u _ ! m 一 口护= 型护= 田( 1 ) ，矿护= z 妒= 皿( 2 】， ”，球。1 ) ， ，咿”) ”，霄q ) ， ”，蜉。1 ) ，竹一l ，2 ， m = 1 ，2 ， ( 2 1 8 ) 我们称这两个序列分别为极大序列和极小序列。显然从( 硝) 一1 的存在性可知，对每 个m 来说，这两个序列町以通过计算一个线性方程组来得到。假设时口j 步长k 满足 以下条件： 1 m a x a - - n ，2 a p ) 0 用反证法证明，假定对某( i o ，n o ) ( n o 1 ) ，有吃。= 0 。同样 地，由( 2 5 ) ， 一兹3 + 嘻。一- = o j = 1 j o 根据假设( h ) 和嵋20 ， = 0 如果记0 u 讲 ( 2 2 7 ) 因为a ( 2 ) 不町约，所以我们有口+ 1 0 ，或存在丘，靠使得 龆，k k + ，0 ( 2 2 8 ) ( 参见 1 7 ，p p 2 0 】) 。由假设( h ) ，我们假定j l o ，矗蕊l ( q = 1 ，2 ，p 一1 ) ，矗 i o + 1 。如果罐k + 1 o 那么从( 2 2 7 ) 有吃+ 1 ，n o = 0 。类似地，如果( 2 2 8 ) 成立，我 们可得咳。= 0 在上述过程中，将n o 换成v j , ，伽，从( 2 2 7 ) 和( 2 2 s ) 就有呸，伽一 g 0 由此类推可得吒+ 1 邶= 0 从以上任一种情形我们都有吃+ 1 。= 0 。同理可 得磕一1 伽= 0 对屹一l 伽或唁“m 进行同样的讨论，有磕- 2 m = 吃+ 2 ，t i o = 0 。重 复上丽的过程，可以得到= 0 。这一结论再加上( 2 5 ) ，也就意味着一l = 0 。 最后可得w o = 0 ，这与条件m ( 2 0 矛盾。即：如果皿( 2 ) 0 ，就有对所有几= 1 ，2 ，w 0 口 从上可知，定理2 1 给出了方程( 2 5 ) 非负解的存在性和唯一性，以及当初值函 数皿( 2 ) 为任意正的非平凡丽数时，( 2 5 ) 的解为正的。同时也给出了一个求解的算法。 如果矩阵a ( 。) 的阶数很大，( 2 1 8 ) 中的每一步迭代都需要用另一种迭代格式。这 对于数量巨大的网格点来说足需要占用大量空问和资源的。为了弥补这种不足，保持 单调序列的收敛性，我们给出另外两种迭代算法，g a u s s - s e i d e l 算法和j a c o b i 算法。为 了更好的说明，我们将矩阵刎写成以下韵形式： 4 9 = d ! ) 一m 驴一c g ， z = 1 ，2 ， ( 2 2 9 ) 其中，醚) ，掰和一硝分别为硝的对角阵、上三角阵( 去除对角阵) 和下三角 阵( 去除对角阵) 。由假设( h ) ，硝是一个正的对角阵，础和c g 都为非负矩阵。 下面两种迭代算法都是在p i c a r d 算法上做7 一些修改而得来的，具体描述如下。 ( b ) g a u s s s e i d e l 送行 g a u s s - s e i d e l 迭代是将( 2 1 8 ) 中的矩阵硝和k r ( d 以z 移一碟和础+ k r ( d o = 1 ，2 ) 代替，得到的极大和极小序列分别记为：( 驴，可妒) g 及 毋。，讶k 。 ( c ) j a c o b i 送行 j a c o b i 迭代足将( 2 1 8 ) 中的矩阵硝和r ( f ) 以硝和搿+ 硝+ r ( o ( 1 ： 1 ，2 ) 代替，得到的极大和极小序列分别记为： 移粤，可粤) j 及 磐) ，! 堂 j 。 因为硝是对角元素均为正的对角阵，上三角矩阵硝) 一c g 的对角元素也为j 下， 所以它们的逆矩阵存在且非负。这也就足说，这两种迭代算法中每一步的迭代序列都 被唯一确定，都呵以通过标准程序计算得到，而不需计算系数矩阵的逆。这从本质上 简化了实际的运算。类似- 于p i c a r d 迭代，以下的定理给出了后两种迭代算法迭代序列 的收敛性。 定理2 2 令定理2 1 中的条件都成立，则定理2 1 中所有的结论对于序列 刁粤，可? g 1 0 基，掣) g ， 露，破n 】) j 和 酚) ，讶) j 都成立而且有， 四，露) 尸 犁，露 g 露，露) ) j o ) 磐，鲤”h l 磐，j 窖k2 磐，j 磐h 。 对任意m ，n = 1 ，2 ， 证明：该定理前半部分的证明与定理2 1 的证明是一样的，我们在此省略。后半 部分( 即( 2 3 0 ) ) 的证明是【1 5 】中定理3 3 的一个直接推论。口 注2 1 ( 8 ) ( 2 1 9 ) 中对k 的条件与【1 5 1 中的不同。后者是与上下解有关的。 ( b ) ( 2 3 0 ) 中的比较结果表明，对于极大序列和极小序列来说，p i c a r d 迭代 比g a u s a - s e i d e l 迭代收敛速度快，g a u s s - s e i d e l 迭代算法的收敛速度又要比j a c o b i 迭代 快但是。g s t m s - s e i d e l 迭代和j a c o b i 迭代算法更容易操作，在每一步迭代过程中也不 需要另外的迭代格式。 第三节数值结果 在本节中，我们给出方程( 2 5 ) 解的一些数值结果。这些数值结果将会表明迭代序 列的单调收敛性，数值解的准确度以及三种不同的迭代格式的计算结果比较在以下 数值例子中，空间定义域q 为方形区域q = ( 0 ，1 ) x ( 0 ，1 ) 。令z ，y - 方向上的空间步长 均为h = i l m ，时间步长k = 缸，我们用有限差分方程( 2 5 ) 近似逼近( 1 1 ) 。定义矩 阵： 卜一2 i 、i 任卜鼍- l ， 一2 i b 一1 一l41 24 以及 = t r i d i a g ( - i ，b ，- i ) ，b = t r i d i a g ( - 1 ，4 ；一1 ) 其中，b 是( m + 1 ) ( m + 1 ) 矩阵，b 为( m 一1 ) ( m 一1 ) 矩阵。 1 l ( 2 z 1 ) ( 2 3 2 ) 以4 4 d = 8 例1 为了说明迭代序列的单调收敛性和数值解的准确度，我们首先考虑个测试 问题，它的真解连续形式已确切知道。该问题为： i 札a t d ( 1 ) v 2 “= ，一a u v l c u + ) 一p ( 1 ) t + 口1 ( 。，可，t ) 0 0 ，( 霉，暑，) q ) ， l6 咖a t d ( 2 ) v 2 v = a 删似+ 口) 一，( 2 ) 可+ 啦【z ，y ，t ) ( t 0 ，扛，们， i6 k a p = 0 ，t = 0o 0 ，0 ，a q ) ， iu 0 ，y ，0 ) = 妒( 1 0 ，暑，) ， u 扛，可，0 ) 一妒( 2 0 ，9 )( p ，) n ) ， 、 ( 2 3 3 ) 其中，毋( ：= l ，2 ) 为给定的函数。引进m 这样两个函数是为了构造出连续 解，从而使我们得到的数值解在每个网格点能与真解进行比较。令币- ( z ，们= 删丌。c 0 87 w ，如( z ，) = = s i n = x s i n 霄y 以及 乱( z ，可，t ) = u p ( 1 + 九( 戤y ) e 一( 2 d 1 2 + p 1 ”，z 4 ( z ，玑t ) = 咖( 。，掣) e 一2 d 2 一， ( 2 3 4 ) 容易看出，如果我们选择 口1 0 ，y ，t ) = n 句施( 盈+ 忽) ， q 2 ( x , 玑t ) = 芦砘一q l ( $ 7 玑) ， ( 2 3 5 ) 妒( 1 ( z ，| f ) = u p ( 1 ) + 妒l ( 。，掣) ， 妒( 2 ) ( z ，掣) = 也( 霉，掣) ， ( 2 3 3 ) 的连续解( + ，矿) 就等于( 矿，矿) = ( z l ，2 2 ) 。 ( 2 3 3 ) 相应的有限差分方程就由( 2 5 ) 给出，其中a ( 1 ) = ( d ( 1 ) h 2 ) e ，a ( 2 ) = ( d ( 2 胪) ，对于f 1 ，2 ，( 1 ( 依赖于( z ，t ，u ，口) ) 为： ，1 b 她u ，) = u 一砒埘扣+ 1 ，) 一口+ q 1 ( z ，蚺 ( 2 3 6 ) ，( 2 ，y ，t ，“，口) 一a u v ( u + u ) 一z ( 2 ) 口+ 仍0 ，玑t ) 显然，对于l = 1 ，2 ，a ( ) 满足假设( h ) 中的条件。 选择扩散系数以及物理系数为： d ( 1 = d ( 2 ) = 1 ， a = 1 8 ， p ( 1 ) = 1 ，p ( 2 ) ；2 0 2 ， “，= 1 ( 2 a 7 ) 通过简单的计算就知道( 玩，记) = ( 5 e ，3 e ) 和( 瓯，识) = ( o i u + ，o ) 是方程( 2 5 ) 的一对 有序的上下解，其中c ，+ 是( 2 9 ) 的唯一正解。令 - - 。( o ) ，- - y 。( o ) = ( 5 e ，3 e ) ，( i 掣，鳏) = ( 0 1 u + ，0 ) 及i ( 1 ) = 2 8 1 ，r ( 2 ) = 2 0 2 1 ，我们可以分别用p i c a r d ，g a u s s - s e i d e l 以及j a c o b i 迭代格式计算得到序列 刁磐，可磐) ，( 磐，j 岔 。迭代终止的条件为： 0 四一紫十0 妒? 一l 紫 和 磐) ，j 岔) 在当m o o 时 趋向于同一个极限( 咙，w ) ，因此极限( 簖，嵋) 就是方程( 2 5 ) 的唯一正解。我们令 ( 蜉“，可粤。) 为( 昵，嵋) 的数值鼹，此时露扩是当e = 1 0 6 时满足条件( 2 3 8 ) 的足够大 的迭代次数。为了表明迭代序列的准确性，我们运用三种不同的迭代格式在表2 1 中给 出数值解( w ，嵋) 在取一些不同的n 值时的一些数值结果，同时真的连续解( 矿，矿) 的 值和迭代次数也在表中给出以作为比较。 为了说明数值解的精确度，我们令( 点h ) ，上) ) 为在p i c a r d 迭代格式下的数 值解( 皖，嵋) 与连续解( 缸，矿) 在取不同的。值时的最大绝对误差。图2 2 给出当n 趋 于1 0 0 时误差e r l ( i n ) 与e r 2 ( t n ) 的图象。图中的数值结果表明，计算所得的数值解与 真连续解在k 的每个值上都非常接近，特别是当k 取很大时。 例2 下面我们讨论一种更实际的情况，即求当氆( 霉，协t ) = o 时方程( 2 5 ) 的解， 这时连续解是未知的。考虑在啦( z ，弘t ) = 0 的情况下的方程( 2 3 3 ) 。选择和( 2 3 7 ) 中 同样的扩散系数和物理系数，取网格步长h = k = u 2 0 ，显然条件( 2 1 9 ) 满足。我 1 3 表2 1 例1 中的数值解( w ，聆) 和连续的真解( 矿，矿) ( 以，驺) ( 0 1 ，0 6 )( 0 2 ，0 6 ) ( 0 , 3 ，0 8 )( o 4 ，0 6 )( 0 5 ，0 6 ) 迭代数 ( a ) 和“+ 数值解( p ) 0 9 9 1 7 6 6 0 l0 9 9 1 7 8 8 6 20 9 9 1 8 2 9 7 2 o 9 9 1 8 8 9 0 30 9 9 1 9 6 3 2 01 1 n = 1 0 数值解( g - s ) o 9 9 1 7 6 6 5 3 o 9 9 1 7 8 9 1 20 9 9 1 8 3 0 2 1o 9 9 1 8 8 9 5 10 9 9 1 9 6 3 6 71 3 2 7 数值解( j ) 0 9 9 1 7 6 6 6 3o ，9 9 1 7 8 9 2 4 0 9 9 1 8 3 0 3 40 9 9 1 8 8 9 6 50 9 9 1 9 6 3 8 22 6 3 0 真解 0 9 9 9 9 7 4 9 4 0 ，9 9 9 9 7 8 6 80 9 9 9 9 8 4 5 10 9 9 9 9 9 1 8 6l 数值解( p ) o 9 9 3 7 0 0 2 9o + 9 9 3 7 0 0 8 60 9 9 3 7 0 1 9 4 o 9 9 3 7 0 3 5 6o 9 9 3 7 0 5 6 61 2 n = 1 5 数值解( g s )o 9 9 3 7 0 0 5 6 0 9 9 3 7 0 1 l l0 9 9 3 7 0 2 1 80 9 9 3 7 0 3 7 90 9 9 3 7 0 5 8 81 6 3 8 数值解( j ) o 9 9 3 7 0 1 0 6 60 9 9 3 7 0 1 2 2 o 9 9 3 7 0 2 3 10 9 9 3 7 0 3 9 30 9 9 3 7 0 6 0 33 2 5 0 真解 o 9 9 9 9 9 9 7 70 ，9 9 9 9 9 9 8 00 9 9 9 9 9 9 8 6o 9 9 9 9 9 9 9 2l ( b ) 豫和矿 数值解( p ) 0 2 9 2 6 2 e - 3o 5 5 6 5 9 e 3o 7 6 6 0 8 e - 3o 9 0 0 5 7 e - 3 0 9 4 6 9 2 e - 3l l n = 1 0 数值解( g s ) o 2 9 2 6 2 e - 30 5 5 6 5 9 e - 3o 7 f ；6 1 0 8 e - 30 9 0 0 5 7 30 9 4 6 9 2 e 31 3 2 7 数值解( j ) o 2 9 2 6 2 e - 30 5 5 6 5 9 e - 3o 7 笳0 8 p 30 9 0 0 5 7 e - 3o 9 4 6 9 2 e - 3 2 6 3 0 真解 o 1 5 2 0 1 e _ 40 2 8 9 1 4 e - 40 3 9 7 9 孙40 4 6 7 8 , 1 e - 40 4 9 1 9 2 e - 4 数值解( p ) 0 9 2 4 3 4 e 50 1 7 5 8 2 e - 40 2 4 2 0 0 e - 40 2 8 4 4 8 e - 40 2 9 9 1 2 e - 41 2 n = 1 5 数值解( g s ) o 9 2 4 3 4 e - 50 1 7 5 8 2 e 4o 2 4 2 0 0 e - 40 2 8 4 4 8 e - 40 2 9 9 1 2 0 - 41 6 3 8 数值解( j ) 0 9 2 4 3 4 e - 50 ，1 7 5 8 2 e - 40 2 4 2 0 0 e _ 40 2 8 4 4 8 e - 40 2 9 9 1 2 e - 43 2 5 0 真解0 1 0 9 3 2 e 60 2 0 7 9 5 e - 60 2 8 6 2 1 e - 60 3 3 6 4 7 e - 60 3 5 3 7 8 e - 6 图2 2 误差e r l ( t 。) 和e r 2 ( t 。) 1 4 if摹efs-0 们来计算方程( 2 5 ) 的数值解。令( 群，碟) = ( 5 e ，3 e ) ，( 鳄) ，凹) = ( 0 1 u + ，0 ) 以 及r ( 1 ) = 2 8 i ，r ( 2 ) = 2 0 2 i ，其中扩是方程( 2 9 ) 的唯一正解通过p i c a r d ，g a u l - s e i d e l f 铂j a c o b i 代格式，我们得到序列 移，可警) 和 l 磐) ，j 尘o ) ，终止条件依 然是( 2 3 8 ) 。和例1 中一样，这两个序列也具有定理2 1 中给出的单调性质。并 且在m o o 时也收敛于同一个极限( ，w ) 。因此( 妮，w ) 是方程( 2 5 ) 唯一的 正解。我们令( e 磐”，i 絮1 ) 为( 磁，嵋) 在p i c 缸d 迭代格式下的数值解，此时m 是 当e = 1 0 川时满足条件( 2 3 8 ) 的足够大的迭代次数。图2 3 给出( ，w ) 在珊= 0 6 时 所有趣处的数值，n 取到1 0 0 。 图2 3 例2 中，当珊= 0 6 时( ，、曙) 的数值解 1 5 第三章定常问题的数值分析 第一节有限差分方法 为了数值求解问题( 1 2 ) ，如同第二章第一节的有限差分方法，我们在( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中 去掉n ，利用同样的记号，定义 ， l ，陬l = 一d 。a ”t 以， ( 3 1 ) 口1 其中，( 。毗为a 2 w o x 2 在轨点处的标准中心差分近似。我们将方程( 1 2 ) 有限差分 为 f l ；1 h 】_ ，( 1 ( 撕，地) ， 工1 2 【仇】= ，( 2 ( 蛳，地) a ) ， ( 3 2 ) 【盔”h l = 0 ，砰m = 0a 哪) ， 其中，醚“一1 ，2 ) 是b 5 ( f = l ，2 ) 合适的边界近似。 对于定常问题( 3 2 ) ，我们定义向量 将( 3 2 ) 写成矩阵形式： u = ( u l ，t m ) r ， v = ( n ，口j l f ) t ，( 3 3 ) 篙黝： 第二节上下解的构造 ( 3 4 ) 我们这里利用上一章中讨论非定常问题( 2 5 ) 的方法来讨论定常问题( 3 4 ) 。首先 我们给出上下解的定义。 定义3 1 向量( 玩，记) 与( 玩，记) 称为方程( 3 4 ) 的一对有序的上下解，如果 1 6 ( 玩，记) ( 玩，亿) ，而且满足 ia c * ) f f f ( 玩，玩) ， j a ( 2 ) 记2 胛( 玩，记) ， 3 5 ) l ) 玩f ( 1 ( 玩，记) ， l a ( 2 ) 钇sf ( 玩，记) 令u + 是( 2 9 ) 的难一正解，从( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 容易看出， ( 玩，记) = ( - ) e ，p ( 2 ) e ) ， ( 玩，记) = ( 6 u + ，o ) ( 3 6 ) 是( 3 4 ) 的一对有序的上下解，如果) ( 1 = 1 ，2 ) 及5 满足： 1 u p ( n ，p ( 2 2a p ( 1 p ( 粥， j 1 ( 3 7 ) 为了构造一对有净的上下解，我们考虑以下方程： a ( 1 ) u = w e 一1 ) 矿( 3 8 ) 因为( a ( i + 1 ) j ) 一1 0 ，所以上述方程只有唯一的解扩，且矿。s 矿sp 肛1 ) e 类似地，方程 a ( 2 ) y = a u * 一2 ) y +( 3 9 ) 只存在唯一解矿并有o a o + p ( 2 ) 以及 ? b 十 ) 时，( 3 1 0 ) 中的向量组就是方程( 3 4 ) 的一对有序的上下解。 我们下面考虑当假设( h ，) 成立时的一种特殊情况。在这种情况下， 对有序的上下解，为常向量。 因为对任意常数c ， ( 2 ( c e ) = c a ( ) e = 0 “= 1 ，2 ) ， ( 玩，记) = 口1 f ，哥2 司，( 玩，记) = 口- e ，o ) 是方程( 3 4 ) 的一对有序的上下解，如果常数苍0 = 1 ，2 ) 和a 1 ) 满足： i 百1 2 夸1 ) 0 ， 缸2 之0 ， f ( 1 ( d 1 ) e ，0 ) s0sf ( 1 ( 荟( 1 ) e ，d 2 ) e ) ， 【f ( 2 ( d 1 ) e ，吾2 ) e ) 0 f ( 2 ( 咎1 】e ，0 ) 我们可以构造 ( 3 1 2 ) ( 3 。1 3 ) 由于对于所有的地都有c 2 ) 他，0 ) = 0 ，我们从( 2 4 ) 可知上述不等式都成立，如果： i 百1 9 1 ) 0 ， c - ( 2 ) 2 - 0 ， ，一p ( 1 ) 咎1 0 s 。一。最1 ) 一i t ( 1 ) 各1 1 ， ( 3 1 4 ) id 各1 ) 一p ( 2 ) 可2 0 显然这些不等式都成立，如果常数百。) ( j = 1 ，2 ) 和咎1 ) 满足： 苓1 u p ( ，苓2 。亭1 p ( 2 ) ，0 0 ， c - x 2