（概率论与数理统计专业论文）汽车保险奖惩系统及其定价的研究.pdf

中文摘要 摘要：精算学是将数学方法应用于保险所形成的一套理论体系，是应用数学研究领 域和金融保险研究领域这两者之间的一个边缘学科汽车保险奖惩系统是现代精算 学中的一个重要研究课题，是广泛应用于世界各国保险公司的一种经验估费系统， 主要是根据投保人索赔记录来确定续期保费 本文主要用马尔可夫链，数理统计理论和最优化方法等来研究汽车保险奖惩系 统及其定价，重点是奖惩系统的设计与改进，主要研究内容和成果如下： 1 在保险实践中，要求索赔的事故次数比实际发生的事故次数要少，根据这个 特点，文中用调零的复合分布类来拟合同质性保单的索赔次数，具体的讨论 了该分布类中两种特殊分布，对分布中的参数进行了估计，给出了数值算例， 并分析了拟合结果 2 考虑索赔次数的奖惩系统，在最小化保险人损失的目标下构建我国现行汽 车保险转移规则下的最优奖惩系统然后，对有线性约束的路径相关奖惩系 统进行研究，通过对等级增加必要的下标使新规则成为马尔可夫链，在线性 费率等级的约束下得到最小化保险人损失的线性路径相关最优奖惩系统 3 将索赔金额因素引入奖惩系统，分别在期望值原则，期望方差原则下构造基 于索赔次数和索赔金额的最优奖惩系统，并证明期望值原则下的系统能保 持财物平衡 4 构造考虑索赔额大小和应负责任的奖惩系统，建立转移矩阵，并给出了求费 率系数的方法 5 从平均自留额水平，瞬时弹性和收敛速度三个方面对我国五大奖惩系统进 行实证分析，指出存在的优缺点为后面的理论研究和保险实践提供参考 关键词：奖惩系统；索赔次数；索赔额；平均自留额； 分类号：f 8 4 0 6 3 a b s t r a c t a b s t r a c t ：a e t u a r i a ls c i e n c ea p p l i e sm a t h e m a t i c a lm e t h o d si ni n s u r a n c ea n di sa s c i e n c eb e t w e e na p p l i e dm a t h e m a t i c sa n di n s u r a n c e b o n u s m a l u s s y s t e m o f a u t o m o b i l ei n s u r a n c ei sa ni m p o r t a n tt o p i ci 1 1a c t u a r i a ls c i e n c e m a r k o vc h a i n ，s t a t i s t i c a lt h e o r ya n do p t i m i z a t i o nm e t h o da r eu s e d t o s t u d y b o n u s - m a l u ss y s t e m s ，m a i n l yf o c u s i n go nr e v i s i n ga n dd e s i g n i n go ft h eb o n u s m a l u s s y s t e m t h ep r i m a r yr e s e a r c hc o n t e n ta n dr e s u l t sa r eo b t a i n e da sf o l l o w e s ： 1 b a s e do i lt h ec h a r a c t e r i s t i ct h a tt h ec l a i mn u m b e rw h i c hr e p o r t e di s1 e s st h a nt h e p r a c t i c a la c c i d e n tn u m b e ri n ap o r t f o l i oo fi n s u r a n c ep o l i c y h o l d e r , t h ep a p e r p r e s e n t e dan e wc l a s so fc l a i md i s 砸b u t i o nt o f i tt h ec l a i m sn u m b e r s0 1 1 h o m o g e n e o u sp o l i c y h o l d e r s p a r a m e t e r se s t i m a t e db ym a x i m u m l i k e l i h o o di nt h e t w od i s t r i b u t i o n s f i n a l l y , w eg a v eae x a m p l ea n da n a l y z e dt h er e s u l t s 2 w es t u d yo p t i m a lb o n u s - m a i n ss y s t e mi nw h i c hc l a i mf r e q u e n c yi su s e da s p o s t e r i o rf a c t o r t w oo p t i m a l f o u rl e v e lb m s sw i t hp r e s e n tc h i n e s eb m s s t r a n s f e rr u l ea r eo b t a i n e du n d e rt w oo b j e c t s ，m i n i m i z ei n s u r e r se x p e c t e d l o s s w ea l s os t u d yp a t h d e p e n d e n tb m sw i t hl i n e a rb mc o e f f i c i e n t s i ft r a n s f e r r u l ei sr e l a t e dt om o r et h a no n ep a s tp e n o d s c l a i mr e c o r d ，w ec a ng e tan e wr u l e b ya d d i n gas u b s c r i p tt oe a c hb m l e v e l t h en e wr u l ei sam a r k o vc h a i n a n o p t i m a lb m si so b t a i n e dt o m i u j i l l n mi n s u r e r se x p e c t e dl o s su n d e rl i n e a r r e s t r i c t 3 b e s i d e sc l a i mn u m b e r , c l a i ma m o u n ti su s e di nb m s i nt h eb m s ，i nt h eb m s c o n s i d e r i n gb o t hc l a i mf r e q u e n c ya n dc l a i ms e v e r i t y , e x p e c t e dv a l u ep r i n c i p l e a n de x p e c t e d v a r i a n c ep r i n c i p l ea r eu s e dt ob u i l do p t i m a lb m s 4 w ec o n s t r u c t e da na p p l i e db m si n v o l v i n gc l a i ma m o u n ta n dr e s p o n s i b i l i t yt o a b a t eu n f a i ri nt h eb m si nw h i c hc l a i mn u m b e ri sc o n s i d e r e da so n l yf a c t o r 5 w ed op r a c t i c a lr e s e a r c ho nb m s ，w ec o m p a r e a n dc o m m e n to nt h e b o n u s - m a l u sa u t o m o b i l ei n s u r a n c es y s t e m so ff i v ec h i n e s ea u t o m o b i l e c o m p a n i e si nd e t a i l ，a tt h es a l n et i m ep o i n to u tt h el a c k s k e y w o r d s ：b o n u s m a l u ss y s t e m ；c l a i mf r e q u e n c y ；c l a i ma m o u n t ； c l a s s n 0 ：f 8 4 0 6 3 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名： 签字e t 期：年月e t 签字e 1 期：年月日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 4 4 致谢 本论文的工作是在我的导师付俐教授的悉心指导下完成的，付俐教授严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢三年来付俐 老师对我的关心和指导。 付俐教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给予 了我很大的关心和帮助，在此向付俐老师表示衷心的谢意。 付俐教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心 的感谢。 郑丽丽 2 0 0 7 年1 1 月 于北京交通大学理学院 1 引言 精算学是将数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系，是概率统计研 究领域和金融保险研究领域这两者之间的一个边远学科。汽车保险奖惩系统是现 代精算学中的一个重要的研究课题。 1 1 研究背景及意义 近年来汽车拥有量大幅度攀升，交通事故时有发生，造成人身伤亡和经济损 失，使人们逐渐认识到汽车保险的重要性。中国即将成为汽车保险的大国。 目前，我国经营机动车辆保险业务的保险公司就有1 0 多家，汽车保险的保费 在非寿险公司中的份额已经达到6 0 左右。在2 0 0 3 年以前，我国实行全国汽车保 险统一费率，为了确保在不同地区、不同保险环境下各保险公司都能盈利，导致 了较高费率，这违背了费率厘定和市场竞争的公平原则。2 0 0 3 年中国保监会对车 险条款和费率管理体制进行了改革沿用多年的全国机动车辆统一保险条款费率不 复存在，汽车保险费率全面市场化，各保险公司纷纷制订了各自有特色的条款和 定价体系。同时各家保险公司为了抢夺市场展开了激烈的竞争，并且随着中国“入 世”，国外的保险公司进入中国，车险市场的竞争更加激烈，同时也为了与国际接 轨，保险公司逐渐认识到：要想在竞争中获胜，除了加强管理，提高服务质量外， 必须科学、合理地厘定保费。 机动车辆保险的价格不仅事关投保人的利益，而且与保险公司的命运息息相 关。保费厘定涉及两个方面：一个是基本保费的确定，一个是续期保费的确定， 其中第二个方面有奖惩系统决定，更显重要。公平合理的续期保费不仅受初次投 保人的关注，而且直接影响投保人的保费，因此奖惩系统与保险定价密切相关。 然而，当前机动车辆保险中的奖惩系统无论是在理论上，还是在应用上都存 在一些不足和有待完善的地方。因此，设计科学合理的奖惩系统已经成为一个重 要的课题，对汽车保险定价具有很现实的意义。 1 2 奖惩系统简介 1 2 1 奖惩系统 “奖惩系统”的英文为“b o n u s m a l u ss y s t e m ”，在有些国家称为无赔款优待系统 ( n oc l a i md i s c o u n ts y s t e m ) 。它是一种经验定价方法，奖惩系统的本质是对于发 生了一次或多次索赔的投保人合理地增收保险费或给与惩罚“m a l u s ”，而对没有 任何索赔发生的投保人合理地给与保费折扣或奖励“b o n u s ”，并且力求使这种系 统在某种意义上达到最优。 保险公司在对保险产品定价时，通常力图达到两个目标：一是在险种水平上， 收取的总保费应该足以支付所有未来赔付责任；二是尽可能地达到对每个被保险 人的公平，即对每一个投保人收取的保费应尽可能地反应其真实风险水平，从而 避免被保险人之间的“补贴”。在自由的市场中，如果某一公司的定价系统不能很 好的反映投保人的真实风险水平，就必然导致逆选择风险“好的”司机将选 择其他保险公司，而高风险保单将可能留下来。奖惩系统或无赔款优待的广泛使 用正是为了达到上述定价目标，尤其是为了达到在被保险人之间的公平。 在本文中我们将对汽车保险中第三者责任保险奖惩系统的性质、最优系统的 构造等问题进行分析和研究。汽车第三者责任保险是指因使用被保险的汽车发生 意外事故致使第三者人身伤亡或第三者财产损害，被保险人依法应负经济赔偿责 任时，保险人依照汽车责任保险条款的规定，对被保险人依法应承担的经济赔偿 责任进行赔偿。汽车保险的设计因各国国情与社会需要的不同而不同，就第三者 责任保险而言，各保险先进国家均在承保内容上力求扩张，以使所有车祸受害人 均能获得合理的赔偿，这已成为现代汽车第三者责任保险的必然趋势。 1 2 2 最优奖惩系统 构造奖惩系统是精算师们的一个重要目标，它也是学者们十分关注的一个问 题。对于一个考虑索赔次数的系统，目标就是如何构造奖惩等级及转移规则已实 现保险人的目标。 假设对某一投保人观察t 年，用k ，表示其在第，年的索赔次数，从而关于该投 保人的信息就是向量k ，= ( k l ，k ，) ，那么在已知信息( k i ，一，k ，) 的条件下，可以对 该投保人在下一投保期间的索赔次数风险( + ，) 进行估计。因此，奖惩系统的构 造可以看成是自然界与精算师之间的连续的统计博弈。每次博弈都可定义为一个 三位体q 。= ( a 。，d ，。r 。) ，其中： ( 1 ) 人。表示自然策略空间。a 。是未知参数a ( 索赔频率) 的可能取值； ( 2 ) d ，+ 表示在时间( t + 1 ) 时保险人的策略空间。显然d ，+ 是丑+ 。( 屯) 的函 数，其中丑+ 。( t ) 应能使每一观察向量都对应一个值 + ，； ( 3 ) 用r 。= 蜀+ 。( + ，a ) 表示保险人在时刻( f + 1 ) 的损失函数或风险函数，它 是当实际状态为a 时，保险人做出决策 + ( 七，) 时的损失工，+ ( 。丑) 的期望，即： 心，( 扎，旯) = 研上i “( 丑+ - ，a ) 】= l “( 丑+ - ，a ) p 也j a j 其中罗是对所有可能的索赔向量k ，求和，p 伍，iaj 是索赔频率为a 的投保人 发生置的概率。 记胄( ， ，；a ) = r ( ，a ) 是保险人的总期望损失。对于a 的每一个值以 ，i l 及对所有的( ，丑，如果矗( ，丑+ ，；a ) 尺( 丑，；旯) ， 则系列( ，丑。，) 被称为一致最优的。但由于在保险实践中，对高风险和 对低风险的投保人不可能收取太大差异的保费，因此一致最优的系列是不实际的。 若定义最优系列( ， + ，一) 满足 础，一n 。；力2 。棚5 e d 础，。妒；d w a l d 和w o l f o w i t z 证明这样定义的最优解是存在的。由此得到的奖惩系统为 最优奖惩系统，目前，几乎所有关于最优奖惩系统构造的文献均是基于这个理论 进行的。 特别地，当所构造出来的奖惩系统满足以下两个条件时，我们称它是财务平 衡最优奖惩系统： ( 1 ) 系统是公平的，即在每次续保时，每个投保人缴纳与他们的索赔频率估计 值成比例的保费； ( 2 ) 系统能保持财务上的平衡。即在这一连续过程的每个阶段，从每个投保人 收取的保费等于该投保人的期望赔付成本，或对个封闭投保组合收取的 平均保费水平保持不变。 影响奖惩系统的一个重要因素是对保费原理的选择。精算学中的保费原则有 如下几种：期望值原则、期望方差原则、零效用原则等。期望值原则就是用纯保 费平衡方程构造系统；方差原则意味着在纯保费的基础上加上一个与预期风险方 差大小成比例的安全附加；在零效用原则下，保险人的目标是最大化公司的效用。 此外，在奖惩系统的构造中，信度理论始终起着十分重要的作用，其中损失 函数三( ) 和信度的选取将会影响奖惩系统的构造和对系统的评价。最常见的损失函 数是平方误差函数和指数函数等：在经典的平方误差损失函数下，保险人的目标 是： r a i n 【( 丑“一a ) 2 ，( ak k ) d j t “t + l 利用贝叶斯理论，保险人应按后验索赔分布的期望研人ik 。】对投保人征收保 费，l e m a i r e 等在这一理论和方法下通过对索赔次数的泊松伽玛分布，泊松一逆高 斯分布、负二项一贝塔分布、广义复合分布等假设下构建晟优系统；指数损失函数 常与零效用原则联系在一起，这种方法下，在期望损失为零的约束下，保险人的 目标是： m i n 研e x p ( 一c ( 一日芝) ) 】 ，j e ( 丑己) = e ( a ) 其中且巴是在索赔金额的期望等于1 的假设下任意等级z 的保费。 1 2 3 奖惩系统在实践应用中被证明具有以下的作用川： 1 、有助于减少各费率组别中的风险非同质性现象 在厘定车险费率时，除了要考虑车辆型号、司机性别、年龄、婚姻状况等显 性因素外，还应该考虑到驾驶员的判断能力、反应敏捷性、超车欲望等隐性因素。 这些隐性因素往往难以判断和度量，但它却与风险质量有着非常直接的关系。所 以，保险人在综合考虑了这些因素的基础上，以被保险人以往的索赔记录作为调 整费率的依据，这样可以降低存在于各费率组别中的风险的不均匀性，使每个投 保人缴纳的保费与他的实际风险帽匹配，从而使保费的收取更趋于合理。 2 、可避免小额赔款的发生 由于奖惩制度的存在，当被保险车辆发生事故时，保单持有人会面临是否索 赔的问题。一般而言，保单持有人会把因索赔造成的多支付的保费与发生的损失 额进行比较，若前者大于后者，则为了碍到下一年度续保时的保费优惠，驾驶员 往往会选择自己承担损失。这样一来可以降低保险公司的索赔成本和管理费用。 3 、有利于鼓励司机安全行车 在采用了奖惩制度的车险市场中驾驶人员会自觉、主动地提高安全驾车的意 识，因为只有在记录“清白”的基础上，保户才可能享受更多的保费优惠。而索 赔次数越多，缴纳的保费就会越高。 1 3 、研究现状与存在问题 在b m s 研究方面，美国宾夕法尼亚大学沃顿商学院的j e a nl e m a i r e 教授、中国 人民大学的袁卫教授、天津财经学院的孟生旺教授做出了巨大的贡献。正是因为 他们的研究使得现实的奖惩系统有了参考依据，大大促进了奖惩系统的研究和应 用。 对b m s 研究总结起来主要有三个方面：一是有关奖惩基础理论和对奖惩系统 的评价；二是有关奖惩系统的设计：三是奖惩系统带来的影响以及其相关研究。 其中第二方面研究的核心，也是研究的热点。下面分别介绍奖惩系统在这三个方 面的研究现状，然后说明奖惩系统研究中存在的问题。 1 r 3 1 奖惩系统研究现状 ( 1 ) 奖惩系统基础性理论和对奖惩系统的评估 早在1 9 7 2 年，l o i m a r a n t a 1 就发表了一篇开拓性的文章，在此文中，l o i m a r a n t a 用马尔可夫链来研究b m s 的渐进属性( b m s 的效率、最小方差等级保费等) ，并 系统地研究了b m s 的转移规则、转移矩阵等。其它早期用马尔可夫链研究b m s 的还有m o l n a r 和r o c k w e l l 5 1 ( 1 9 6 6 ) 、l e m a i r e ( 1 9 7 6 ) 等人。而在等级保费的确 定方面，有突出贡献的是n o r b e r g 、b o r g a n 等人( 1 9 8 1 ) 以及g i l d e 和s u n d t ( 1 9 8 9 ) 等，但总的来讲，这些等级保费的确定方法只适应于具有马尔可夫属性的b m s 。 b m s 投入使用后，很多精算师对其进行了分析和评估，在b m s 评估工作中 做出最大贡献的是l e m a i r e ，在他的专著l e m a i r e ( 1 9 9 5 ) 中，l e m a i r e 全面总结了 有关b m s 评价的方法与指标等，同时对包括台湾在内的3 0 个国家和地区的b m s 做了详细的分析与比较。另外，p a o l av e r i c o ( 2 0 0 2 ) 与f a b i ob a i o n e ( 2 0 0 2 ) 就基 于索赔次数b m s 的充分性与透明度做了极具意义的工作。 ( 2 ) 奖惩系统的设计 在理论上，根据转移规则的不同，将现有文献中出现过的b m s 分为两类：一 方面是基于索赔次数的b m s 的理论研究；一方面是在考虑索赔次数的同时又考虑 索赔额的b m s 的理论研究。而且，在基于索赔次数的b m s 理论研究中也包括两 大类：一类是只利用后验信息( 索赔次数) 的b m s 研究；另一类是同时考虑先验 信息的b m s 理论研究。同样，考虑索赔额大小的b m s 的研究也包括这两类。下 面对研究现状分别作介绍。 基于索赔次数的b m s 理论研究 b i c h s e l 和b u h l m a n n ( 1 9 6 7 ) 等系统地提出了期望值保费原理，也就是每个投 保人所缴纳的保费应与其未知索赔次数成正比。后来，l e m a i r c ( 1 9 7 9 ) 在假设投 保人的索赔次数服从负二项分布的基础上，根据期望值原理和g e r b e r ( 1 9 7 4 ) 提 出的指数效用原理，创建了奖惩系数表。在l e m a i r e ( 1 9 9 5 ) 一文中，l e m a i r e 又 用平方差损失函数和期望值保费计算原理，以及用负二项分布作为索赔频率的拟 合分布获得了一个最优b m s 。t r e m b l a y ( 1 9 9 2 ) 则认为利用二次误差损失函数，零 效用保费计算原理和泊松逆高斯分布作为索赔频率分布可以得到最优b m s 。后 来，j f w a l h i n 和j p a r i s ( 1 9 9 9 ) 仍然根据期望值原理和零效用原理，假设索赔次 数服从非参数分布模型创建了最优奖惩系统，同时将其与索赔次数服从复合分布 下的b m s 做了比较。在国内，有关b m s 的研究主要是基于后验信息，对此作出 大量工作的是孟生旺。孟生旺n 2 1 根据期望值原理、半方差理、方差原理、标 准差原理、零效用原理等，同时假设索赔次数服从混合负二项模型、二项贝塔模 型，以及其它复合泊松模型，比较系统地创建了一系列最优b m s 。 以上这些工作，虽然采用了不同的定价原理，同时做了不同损失分布的假设， 产生了不同效果的奖惩系统，但是它们的基本原理相同，都是基于后验信息索赔 次数的b m s 。 为了更好的奖励“好”司机，惩罚“坏”司机，g r e g t a y l o r ( 1 9 9 7 ) 试着将先 验信息纳入了基于索赔次数的b m s ，j e a qp i n q u e t ( 1 9 9 8 ) 研究了有无过失事故的 b m s ，等等。 考虑索赔大小的奖惩系统的理论研究 虽然精算师们早就认识到了基于索赔次数的b m s 的不足，但是到目前为止， 有关考虑索赔大小的b m s 的研究工作还是不多。考虑索赔大小的b m s 颇有价值 的文献有p i c a r d ( 1 9 7 6 ) ，j e a np i n q u e t ( 1 9 9 7 1 9 9 8 ) ，n i c h o l a se f r a n g o s 和 s p 如d o n d v r o n t o s ( 2 0 0 1 ) 的文章。p i n q u e t ( 1 9 9 7 ) 考虑事故严重程度设计奖惩系 统，按事故的严重程度分成两类：大损失和小损失。为了把大损失从小损失中分 离出来，有两种选择：一是规定一个限额，在这个限额以下的被认为是小损失， 其余的是大损失；二是对造成财产损失和人身伤害的事故进行细分，对造成人身 伤害事的被保险人惩罚更为严厉。而n i c h o l a se f r a n g o s 和s p y r i d o nd v r o n t o s 的 主要工作也是将索赔次数与索赔额大小一同考虑在b m s 里，但是他们假设索赔大 小与索赔次数相互独立。另外，n i c h o l a s e f r a n g o s 还建立了一个广义b m s 模型。 在此模型中，他们同时考虑了投保人的先验信息，也就是投保人的个人特征。在 国内，孟生旺首先涉及到了这方面的工作，他侧重的是在不同分布、不同保费原 理下的考虑索赔大小的b m s 。他分别根据期望值原理、方差原理以及标准差原理， 研究了在负二项- 帕累托损失模型、负二项对数正态损失模型以及负二项伽玛损 失模型下的b m s 。 奖惩系统的影响以及其他相关研究 我们知道，基于索赔次数的b m s 有很多不足，其中一个关键问题是引起追逐 奖励行为。为此，h o l t a n 认为是否向保险公司索赔是一个决策问题，决策行为取 决于投保人的索赔和不索赔这两种选择给投保人带来的预期回报的大小。由于追 逐奖励行为的存在，保险公司的索赔次数与索赔大小数据不能真实地反应投保人 的风险，为解决此问题，j e a n f r a n c o i sw a l h i n ( 2 0 0 0 ) 利用l e m a i r e 算子模拟出了 b m s 系统下索赔次数与索赔大小的真实分布。既然在基于索赔次数的b m s 下追 逐奖励行为不可避免，有人就提出，是否可以用其它办法来取代b m s 呢? 对此， j o n h o l t a n ( 1 9 9 4 ) 找到了一种替代办法，j o n h o l t a n 认为，高自负额奖惩系统可以 解决追逐奖励行为问题，同时也具备b m s 的某些优良特性。针对j o n h o l t a n 的观 点，l e m a i r e 和h o n g m i n z i ( 1 9 9 4 ) 马上给予了回应，并指出了高额免赔额系统存 在的优点与不足。s a n d r ap i t r e b o i s ( 2 0 0 5 ) 提出用不同等级的罚金来代替传统的 b m s 。 1 3 2b m s 研究中存在的问题 怎样提高损失数据的拟合精度 因为机动车辆保险中b m s 的研究是建立在投保人索赔历史记录的基础之上， 而索赔历史主要包括索赔额大小和索赔次数。而目前绝大部分保险公司的b m s 都 建立在历史索赔次数记录上，索赔次数拟合精度的高低直接影响b m s 的执行效果。 因此，如何提高索赔次数数据拟合精度一直是讨论的热点。 对考虑索赔次数b m s 的改进 现在的绝大多数b m s 只考虑到索赔次数( 韩国和香港除外) ，而且关于奖惩 系统讨论的文献大部分都是理论模型，与实际操作中的b m s 还有一定差距，数学 理论上正确，但与现行的保险条款不是很相符。比如，理论模型中假设奖惩系统 6 中等级数是无限，但实际中等级数是有限的，那么，根据不同索赔次数分布，建 立最优准则，确定最优的各等级费率系数，这是汽车保险定价的关键。 怎样在b m s 中考虑索赔额的大小 现有的b m s 只是考虑了索赔次数，而没有考虑索赔大小，这样的b m s 没有 全面利用投保人的风险信息。索赔次数固然反映了投保人的一部分风险，但它不 能全面衡量保单的风险，因为相同索赔次数带来的实际损失往往差别是很大的。 有人已经在这方面有所研究，但是他们的主要工作是考虑索赔大小b m s 的理论模 型。如何设计考虑索赔额的奖惩系统，建立其相应的应用模型，使其在保险实践 中简便可行，是有待解决的问题。 在b m s 中考虑自负额和先验变量 针对现有b m s 存在的不足，在b m s 中考虑自负额，即投保人也要负担部分 赔付责任，从长期看，高风险的投保人要比低风险的投保人多付自负额这部分费 用。从某种程度来说，自负额与b m s 有着同样的目的。 随着保险越来越细分和注重考查投保人的先验信息，所以我们有必要在自负 额模型中考虑投保人的先验信息，同时对保险公司考虑保费的收支平衡，使其自 负额的确定更加科学。 1 4 本文主要目的与研究内容 通过前面的分析和阐述，可以看到，奖惩系统与汽车保险定价密切相关，使 它成为现在精算学中的一个重要的研究课题。 本文的主要目的是对奖惩系统进行了研究，包括对国内五大奖惩系统的分析， 路径无关奖惩系统的构造、以及考虑索赔次数的奖惩系统的构造。具体研究内容 如下： 第二章在保险实践中，要求索赔的事故次数比实际发生的事故次数要少，根据 这个特点，文中用调零的复合分布类来拟合同质性保单的索赔次数，具体的讨论了 该分布类中两种特殊分布，对分布中的参数进行了估计，给出了数值算例，并分析了 拟合结果 第三章在封闭市场环境假设下讨论仅考虑索赔次数的单因素奖惩系统，分别 在最小化保险人损失和最大化保险人效用的目标下构建我国现行汽车保险转移规 则下的最优奖惩系统，然后，对有线性约束的路径相关奖惩系统进行研究，通过 对等级增加必要的下标使新规则成为马尔科夫链，在线性费率的等级的约束下得 到最小化保险人损失的路径相关最优奖惩系统。 第四章引入索赔额，利用贝叶斯理论构造基于索赔次数和索赔额的奖惩系 统。假设一次事故可能导致多次第三者责任保险索赔，任意保单索赔次数服从负 二项一帕累托分布，每一次索赔的索赔金额服从指数伽玛分布。然后针对考虑索赔 次数奖惩系统的不公平问题，构造了考虑索赔额和应付责任的奖惩系统，给出了 求费率系数的方法。 第五章以奖惩系统的基本数学理论为基础，分析我国2 0 0 6 年的五大奖惩系 统的奖惩系统，指出缺点和不足，为理论研究和保险实践提供参考。 对汽车保险中的奖惩系统做了研究，其逻辑结构如下： 第1 章引言 研究背景、b m s 现 状、最优b m s 第5 章我国汽车保 险b r 4 s 的研究 删s 研究绪论 车险 奖惩 系统 及定价 中国b m s 实 证分析 奖 惩 系 统 的 设 计 第4 章考虑索 赔额的b m s 模 型 第3 章路径依 赖的b m s 第2 章索赔次 数拟合 1 5 小结 本章阐述了论文的研究背景和研究意义，简要地介绍了奖惩系统和最优奖惩 系统，然后重点介绍了奖惩系统的研究现状和存在的问题，针对研究中存在的问 题指明了尝试研究的方向，最后指出了本文的研究目的和研究内容，其中主要创 新点如下： 1 、用调零的复合分布类来拟合同质性保单的索赔次数； 2 、在线性费率的等级的约束下得到最小化保险人损失的路径相关最优奖惩系统； 3 、构造了考虑索赔额和应付责任的奖惩系统，给出了求费率系数的方法； 4 、分析我国2 0 0 6 年的五大奖惩系统的奖惩系统，指出缺点和不足。 2 调零的复合分布类拟合索赔次数 索赔次数分布的研究无论是对于经典风险模型还是对于保险公司的实务都是 很有意义的工作。p o i s s o n 分布在风险理论研究中具有非常重要的地位，对同质性 保单，一般用p o i s s o n 分布，事实上，只有在较为理想的环境下，单位时间内的风 险事件出现的次数才服从p o i s s o n 分布。在保险实务中，单位时间内保单组合中无 索赔记录的保单所占比例较大，主要是保险公司采用了回避风险的机制，如免赔 额、无赔款优待费率体系等，使得投保人在发生事故时会权衡利益得失而决定是 否索赔，往往使得风险事故次数比实际索赔次数大得多。基于索赔次数的这个特点， 本文引出用调零的复合分布类来拟合同质性保单的索赔次数。 用随机变量x ，y 分别表示保单个体在单位时间内发生的事故次数和保单实际 的索赔次数。假设随机变量x 和y 的概率函数之间满足如下关系式 p ( y = 0 = 伊+ ( 1 一妒) p ( x = 0 )( 2 1 ) p ( y = j ) = ( 1 一妒) p ( = ，) j = l 一2 ( 2 2 ) 其中随机变量肖可以服从的分布有泊松分布、一般泊松分布、负二项分布和 双参数的泊松分布等。一般把形如式与式( 2 1 ) ( 2 2 ) 这样的分布类称为调零的复合 分布2 1 由式( 2 1 ) 中j p ( y = o ) = 矿+ ( 1 一纠p ( j = o ) o ，可以得到矿 i 笔黑； j 一，t = u j 由( 2 2 ) 知妒 1 ，当妒 0 时，索赔次数不等于零的概率都在增大，那么索赔次数为 零的概率在减小。下面讨论随机变量x 服从泊松分布和一般泊松分布时的情况， 此时，y 的分布分别称为调零的泊松分布和调零的一般泊松分布。z 服从其它分 布也可以类似讨论。 2 1 调零的泊松分布 当随机变量x 服从泊松分布，即 ， 2 i p ( x = k ) = 二。( k = o ，l ，) 斤! 此时( 2 1 ) ( 2 2 ) 可以表示为 p ( y = o ) = 妒+ ( 1 一咖 d 一 ，t p ( y = k ) = ( 1 - 纠乇，k = 1 , 2 耳! 则随机变量y 的均值和方差分别为 ( y ) = ( 1 一妒) 五，v a r ( y ) = ( y ) 【1 + a 一( y ) 】 下面讨论调零的泊松分布中参数的极大似然估计。 假设在n 份样本保单中，在一年中的索赔次数为0 , 1 ，肌次的保单数分别为 ，一，显然n ，- - - - 1 ，且有勺= 1 - - ? t o ，2 j n = 析，霄= ，詈表示样本索 9 赔次数的均值构造似然函数为 一一2 k 三( 矿，旯) = 【9 + ( 1 一妒) p “】“f i t ( 1 一妒) 三i 等 k = l 则对数似然函数为 】i l ( 妒，a ) = 月。l n f f + ( 1 - p ) e - 2 】+ ( n 一，) 【l n ( 1 一力一a + ，廊1 i l a 一”h ( 七! ) k = l 似然方程组为 曼坐墨! 翌! 墨2 ：鱼! ! 二 ：! ：+ n o - n ：o a 妒妒+ ( 1 一c p ) e 一41 一妒 笔竽= 而n o ( 妒- 1 ) e - a 0 等= o a 丑 妒+ 一妒) e 一2 ” 旯 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 由式( 2 3 ) 得 n o = 4 p + ( 1 一力一( 2 5 ) 刀 霄 然后结合式( 2 4 ) 消去变量a 得方程矿+ ( 1 一咖，弓一n o ：0 解此非线性方程即可 求出参数妒的极大似然估计，然后代入式( 2 5 ) 可以求参数卫的估计值。 2 2 调零的一般泊松分布 当随机变量x 为一般泊松分布，即 p ( x 锄= 气笋竽( 嘲l ，) 此l i v j - ( 2 1 ) 、( 2 2 ) 式可以表示成 以，= 0 ) = 妒+ ( 1 一妒) 已一9 p ( x - k ) - ( 1 一力学竽l ，2 ) 其中o - 0 ，这是一个参数为 ，丢) 的负二项分布，也称为泊松伽玛分 布。其均值、方差分别为： 5 芳， 占2 2 芳o + 去， 类似的还有泊松逆高斯分布等。 对规模较小的保单组合，可以假设泊松分布参数取有限个值，比如取大、中、 小三种值，分别代表高、中、低三种风险。如孟生旺文章中的二元、三元泊松分 布，这种分布称为非参数的混合泊松分布，它适合于规模相对较小的保单组合。 下表3 1 是某公司的1 0 6 9 7 4 辆投保车辆在一个保险期间内，第三者责任险的 索赔次数的观察值及其泊松分布和两种泊松伽玛分布假设下的参数估计和拟合 值。 表3 1 索赔次数的参数估计 拟合值 索赔观察值 p o i s s o n ( 2 ) p o i m o n ( a )p o i s s o n ( 2 e ) 次数 人g a m m a ( a ，)s g a m m a ( y ，y ) o9 6 9 7 89 6 6 8 89 6 9 8 6 9 6 9 8 6 l9 2 4 09 7 7 59 2 2 29 2 2 2 27 0 44 9 47 1 27 1 2 34 31 75 l5 1 4903 3 2 4oooo 合计 1 0 6 9 7 41 0 6 9 7 41 0 6 9 7 41 0 6 9 7 4 参数估计 a = 1 6 0 4 9 兄= 0 1 0 1 1 a = 0 1 0 1 1 口= 1 5 8 7 7 8 尹= 1 6 0 5 2 本文将在3 2 和3 3 中使用泊松伽玛分布进行数值分析 3 2 路径无关的b m s 一般来说，一个机动车辆保险的b m s 应用模型必须具备以下条件： ( 1 ) 投保人可以被分成若干有限的等级，每个等级用c ；表示，或者简单的表示 为i ( i = 1 , 2 ，j ，j 表示等级总数) ，年保费的多少只依赖于不同的等级。 ( 2 ) 在某个保险期内( 通常为一年) ，一个投保人所在的等级由他前期所在的等 级和历史索赔次数记录唯一确定。 因此，一个b m s 由下面的三个因素决定： ( 1 ) 保费水平b = ( b j ，b ：，6 j ) ； ( 2 ) 初始等级为c f 0 ； ( 3 ) 转移规则，即当索赔次数己知时决定由原等级转移到新等级的原则。 当然，上面的这些条件是针对只考虑索赔次数的b m s ，如果b m s 还综合了 其他因素，条件会更加复杂。 记转移规则为疋，其中t k ( i ) = ，表示当索赔次数为k 时，投保人将从q 等级 转到c ，等级。疋的矩阵形式为： 其中 = 器 正= ( f 扩) ， 当l ( 0 = ，时 其他 。 若某个投保人的索赔次数频率为五，则在一个时期从q 转移到c ，的概率弓( a ) 满足： 弓( 丑) = p t ( a ) t ；t ， i - 0 这里只( a ) 为具有索赔频率五的司机在一年内发生k 此索赔的概率。显然， 日( 旯) 0 ，且有： 弓( 五) = 1 ( 3 1 ) 1 6 则矩阵 m ( 丑) = ( 弓( a ) ) = p a x ) r , k - 0 是一个马尔可夫链的转移矩阵( 因为这个转移过程只依赖于现状而不依赖于 过程的历史和形成的方式，所以这个过程形成了一个马尔可夫链) 。 我们假设索赔次数与索赔金额相互独立，假设索赔金额的期望等于1 。记s p , 为 等级i 的纯保费，在期望值原则下，如果损失函数取为误差平方的形式，则j 个等 级的b m s 是下述问题的解 m i n e ( 人一b e ) 2 ， ( 3 2 ) 即 m i nj ( 2 - s p ) 2 乃( 五) 印( 丑) e i = l 其中仿j ) ；f = 1 ，j 是索赔频率为a 的投保人的平稳分布。 用取值 l ，2 ，s 的随机变量z 表示索赔频率随机变量a = a 的条件下当时间趋 于无穷大时投保人所处的等级，即p “z = f i a = 旯) = 以( a ) 。 定理3 1 1 1 7 1 ：( 3 2 ) 式的解为： s p , = e ( a i z = 归1 i 2 z l ( a ) 峨( 兄) ， 相应的奖惩系数为： d d 胍= 1 0 0 二 e ( 人) 显然( 踞乃) = 1 ，即由此得到的b m s 是财务平衡的。可见，从单个投保人 。面 的角度看来，其续期保费将因要根据索赔记录调整而发生变化；但从整个封闭保 单组合看来，按照( 3 3 ) 的费率模式，保险人每年收到的纯保费将保持不变而且 的等于期望赔付金额。 以表3 1 索赔数据为例，先验索赔频率为0 1 0 1 1 ，若我们假设索赔金额与索赔 次数相互独立，任意选取的投保人的索赔频率服从泊松一伽玛分布，既先验索赔频 率a 服从参数分别为1 6 0 4 9 和1 5 8 7 7 8 的伽玛分布。 假设奖惩系统的转移规则中共有4 个等级，初始等级是最高费率等级4 ，概率 转移矩阵为 m ( a ) = p oa p o 0 0 p o 00 p 21 一p o p 1 一p 2 p i1 一p o p l 0 1 一p o p o 1 一p o 在上述数据和假设的基础上，平方误差损失目标函数及期望值原则下的奖惩 系数为 b f , = 1 3 7 9 ，旺= 2 1 9 1 ，阴= 4 1 2 ，口f 4 = 1 0 0 ( 3 4 ) 目前大部分保险公司的b m s 都是采用路径无关奖惩系统。如四章的研究对象 我国五大奖惩系统就是如上的基本b m s 模型。此类b m s 只考虑了前期的奖惩等 级和前期的索赔次数，操作简单。另外由于( 3 1 ) 式的存在，保证了每一个投保 人都在奖惩范围内。实践证明，基本的b m s