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分裂平衡不完全区组设计 稿要 分裂平衡不完全区组设计 摘要 分裂平衡不完全区组设计( s p l i t t i n gb i b d ) 是o g a t a ，k u r o s a w a ，s t i n s o n 和 s a i d o 【w o g a t a ，k k u r o s a w a , d r s t i n s o na n dh s a i d o ，n e wc o m b i n a t o r i a ld e s i g n s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n st oa u t h e n t i c a t i o nc o d e sa n ds e c r e ts h a r i n gs c h e m e s ，d i s c r e t e m a t h ，2 0 0 4 ，2 7 9 ，a s 3 - 4 0 5 最近为研究k 分裂认证码的需要而引进的一类设 计，用分裂平衡不完全区组设计构造的认证码在信息论的意义上是最优的 对于分裂平衡不完全区组设计存在性的研究已经做了一些工作；d u 【b d u ， s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ，t h ea u s t r a l a s i a nj o u r n a lo fc o m b i n a - t o r i c s ，2 0 0 5 ，3 1 ，2 8 7 - 2 9 8 ，b d u ，s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sw i t h b l o c ks i z e3x2 ，j c o m b i n d e s i g n s ，2 0 0 4 ，1 2 ，4 0 4 - 4 2 0 】以及g e ，m i a o 和w a n g ( g g e ，y m i a o ，l w a n g ，c o m b i n a t o r i a lc o n s t r u c t i o n sf o ro p t i m a ls p l i t t i n ga u t h e n - t i c a t i o nc o d e s ，s i a mj o u r n a lo nd i s c r e t em a t h e m a t i c s ，2 0 0 5 ，1 8 ，6 6 3 - 6 7 8 1 研究了 当 ，纠= ( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 3 ，2 ) 和( 4 ，2 ) 时，( t ，b ，f = 后，a ) 一s p l i t t i n gb i b d 的 存在性；w a n g 【j w a n g ，an e wc l a s so fo p t i m a l3 - s p l i t t i n ga u t h e n t i c a t i o nc o d e s ， d e s i g n s ，c o d e sa n dc r y p t o g r a p h y , 2 0 0 6 ，3 8 ，3 7 3 - 3 8 1 】研究了当( 后) = ( 3 ，3 ) 时， ( b ，k 乱x 入) s p l i t t i n gb i b d 的存在性本文研究了( u ，b ， 一2 ，入) s p l i t t i n g b i b d 的存在性，给出了当七= 4 ，5 时( 移，玩j ：2 x 七，a ) s p l i t t i n g b i b d 存在的 范围同时建立了可分解分裂平衡不完全区组设计的一些构作方法 关键词：分裂平衡不完全区组设计，舡分裂认证码，分裂可分组设计 作者；梁淼 指导教师：杜北梁 分裂平衡不完全区组设计a b s t r a c t s p l i t t i n gb a l a n c ei n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s a b s t r a c t i nt h ei n v e s t i g a t i o no fa u t h e n t i c a t i o nc o d e so g a t a ，k u r o s a w a ，s t i n s o na n ds a i d o 【w o g a t a ，k k u r o s a w a ，d r s t i n s o na n dh s a i d o ，n e wc o m b i n a t o r i a ld e s i g n sa n d t h d ra p p l i c a t i o n st oa u t h e n t i c a t i o nc o d e sa n ds e c r e ts h a r i n gs c h e m e s ，d i s c r e t em a t h ， 2 0 0 4 ，2 7 9 ，3 8 3 - 4 0 5 】f o u n dt h a ts p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sc a nb e u s e dt oc o n s t r u c tk - s p l i t t i n ga c o d e s ，w h o s ei m p e r s o n a t i o na t t a c kp r o b a b i l i t i e sa n d s u b s t i t u t i o na t t a c kp r o b a b i l i t i e sa l la c h i e v et h e i ri n f o r m a t i o n t h e o r e t i cl o w e rb o u n d s t h e r eh a sb e e ns o m ew o r kd o n eo nt h ee x i s t e n c eo fs p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c k d e s i g n s ：d u 【b d u ，s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ，t h ea u s t r a l a s i a n j o u r n a lo fc o m b i n a t o r i c s ，2 0 0 5 ，3 1 ，2 8 7 - 2 9 8 ，b d u ，s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t e b l o c kd e s i g n sw i t hb l o c ks i z e3 2 ，j c o m b i n d e s i g n s ，2 0 0 4 ，1 2 ，4 0 4 4 2 0 】a n dg e ， m i a oa n dw a n gf g g e ，y m i a n ，l w a n g ，c o m b i n a t o r i a lc o n s t r u c t i o n sf o ro p t i m a l s p l i t t i n ga u t h e n t i c a t i o nc o d e s ，s i a mj o u r n a lo i ld i s c r e t em a t h e m a t i c s ，2 0 0 5 ，1 8 ，6 6 3 - 6 7 8 】g a v et h es p e c t r ao f ( u ，b ，z ：xk ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d sf o r ( “，七) = ( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 3 ，2 ) a n d ( 4 ，2 ) ；w a n g 【j w a n g ，an e wc l a s so fo p t i m a l3 - s p l i t t i n ga u t h e n t i c a t i o nc o d e s ， d e s i g n s ，c o d e sa n dc r y p t o g r a p h y , 2 0 0 6 ，3 8 ，3 7 3 - 3 8 1 】g a v et h es p e c t r ao f ( qb ，z = 钰x 知，入) - s p l i t t i n gb i b d sf o r ( u ，南) = ( 3 ，3 ) t h i sa r t i c l ei n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo f s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ( 口，2 k ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d s ，a n dg i 嘲t h e s p e c t r u mo f0 ，2 缸，a ) - s p l i t t i n gb i b d sf o r 南= 4 ，5 w ea l s og i v es o m ec o n s t r u c t i o n s o fr e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d s k e yw o r d s ：s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t ed e s i g n ，k - s p l i t t i n ga - c o d e ，s p l i t t i n gg r o u p d i v i s i b l ed e s i g n i i w r i t t e nb yl i a n gm i a o s u p e r v i s e db yd ub e i l i a a g ，lf9 5 7 0 8 2 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：茎篮 日期： 芝：生垒 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：鎏盛k日 导师签名：垒型：害! 日 期：皇：乏呈 期：杉之期：形之 分襄平衡不完全区组设计 一引言 一引言 分裂平衡不完全区组设计( s p l i t t i n gb i b d ) 是o g a t a ，k u r o s a w a , s t i n s o n 和 s a i d o 【1 】1 最近为研究缸分裂认证码的需要而引进的一类设计，用分裂平衡不 完全区组设计构造的认证码在信息论的意义上是最优的设口，6 ，z ，k ，a 为 给定的正整数，分裂平衡不完全区组设计( 口，b ，f _ 牡xk ，a ) s p u t t i n gb i b d 是 一个二元组( x ，8 ) ，其中x 为口元集，嚣= b 。，岛，岛 为x 的z 子集( 区 组) 的集合，且满足下列两个条件： 1 对任意b 廖，均可表示成t 个长为七的互不相交的子区组的并：b = b x u b 2 u u 尻； 2 x 中任意一对元素 $ ，y ) 恰好包含在a 个区组b = b 1 u b 2 u u 玩中， 且z 最，y b j ( i j ) 设c 嚣，若x 中每一点都恰好包含在矽的一个区组中，即矽是x 的 一个划分，则称召为一个平行类分裂平衡不完全区组设计( x ，动称为可 分解的，如果召能被划分为若干个平行类本文中( t j ，b ，f = 乱x a ) s p l i t t i n g b i b d 的区组记作 口1 ，a 2 ，a k ；b 1 ，6 2 ，魄；c 1 ，c 2 ，) 设r 是包含某一固定点的区组的个数，从文 1 】我们得到如下关系式： r 一黼， a = 蒜器 对于分裂平衡不完全区组设计的存在性的研究已经做了一些工作：d u f 2 ，3 】以及g e ，m i a o 和w a n g 【4 】研究了当( 乱，惫) = ( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 3 ，2 ) 和( 4 ，2 ) 时， ( b ，f _ 札k ，入) 一s p l i t t i n gb i b d 的存在性；w a n g 【5 1 研究了当( 惫) = ( 3 ，3 ) 时， ( 弘b ，k 七，a ) s p l i t t i n gb i b d 的存在性在本文中，我们主要研究t = 2 的 情况，并将其简记作( u ，2x 忌，a ) 一s p l i t t i n gb i b d 由r 和b 均需为整数，我们得 到存在( u ，2x 七，”s p l i t t i n gb i b d 的必要条件如下。 定理1 1 若存在( 口，2 k ，a ) - s p l i t t i n gb i b d ，则 1 分裂平衡不完全区组设计 一引言 a ( t ，一1 ) 兰0 ( m o d 惫) ， a 钉( 口一1 ) 兰0 ( m o d2 k 2 ) 本文，我们首先研究( 2 詹，a ) s p l i t t i n gb i b d 的存在性，给出了当k = 4 ，5 时，0 ，b ，；_ 2 毛a ) s p l i t t i n gb i b d 存在的范围即我们将证明z 定理l 2 定理1 1 中的必要条件在詹= 4 时也是充分的 定理1 3 除了口= 1 0 且入三5 d1 0 ) 和可能的例外入= 1 且三2 6 ( r o o d 5 0 ) ，定理1 1 中的必要条件在詹= 5 时也是充分的， 其次我们研究可分解分裂平衡不完全区组设计，引入分裂拟横截设计 的概念，建立可分解分裂平衡不完全区组设计的如下构作方法 设让，膏，m 是正整数，分裂拟横截设计( s p u t t i n gw t d ) s p l i t t i n gw t d ( u 七，m ) 是一个三元组( x ，玩8 ) ，其中x 为u k m 元集，蛋构成x 的一个划分， 9 的元素口q 作组，b 的元素叫作区组，且满足下列四个条件， 1 对任意g 9 ，都有l g l = m ，且g 能够被划分成“个类：孚= 孚l u 9 z t j u 鼠， 其中i 吼i = k ，1 i 5 缸 2 对任意b 1 3 ，都有j b f = u k ，都可表示成牡个长为的互不相交的子区 组的并：b = b 1 u b 2 u u 风，其中鼠= b n 酝，0 i s t ， 3 对任意b 8 与任意g g ，都有l b n g l 1 4 x 中任意一对属于不同类的元素 z ，计恰好包含在一个区组b = b - u b 2 u u 玩中，且。厩，可b j ( i j ) 设t 3 c 舀，若x 中每一点都恰好包含在的一个区组中，即是x 的一个 划分，则称8 ，为一个平行类分裂拟横截设计( x ，g ，召) 称为可分解的，如 果8 能被划分为若干个平行类 定理1 4 假设( x ，_ ) 和8 ) 分别是( 1 ，t xk ，a ) - r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 和 ( v 2 ，k ，a ) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 如果存在r e s o l v a b l es p l i t t i n gw t d ( ux 如也) ， 贝存在( v 1 也，t x 后，a ) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 2 分襄平衡不完全区组设计 一引吉 分裂平衡不完全区组设计的区组集的子集称为一个部分平行类，如果 该子集是由互不相交的区组组成 定理1 5 假设( x ，a ) 和8 ) 分别是( 钉1 ，缸奄，a ) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 和 ( t j 2 ，缸k ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d ，其中嚣能被划分成若干个部分平行类8 1 ，饬，鼠， s 避啬铲如果存在r e s 。i v a b l es p l i t t i n gw t d ( ux 钝) ，则存在( u l t 】2 ，u x k ，a ) 一 r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 3 分裂平衡不完全区组设计二构作方法 2 1 直接构作 二构作方法 本小节介绍一些用来构作分裂平衡不完全区组设计的直接构作方法 引理2 1 1 存在( 9 ，2 4 ，4 ) s p l i t t i n gb i b d 证我们直接构作设计如下， 点集x = 蜀， 区组集b ： o ，2 ，5 ，6 ；3 ，4 ，7 ，8 ) ， o ，1 ，7 ，8 ；3 ，4 ，5 ，6 ) ， o ，4 ，5 ，7 ；1 ，2 ，6 ，8 ， o ，2 ，4 ，8 ；l ，3 ，6 ，7 ) ， o ，2 ，3 ，7 ；l ，4 ，5 ，8 ， o ，3 ，6 ，8 ；1 ，2 ，5 ，7 ， o ，1 ，4 ，6 ；2 ，3 ，5 ，8 ) ， o ，1 ，3 ，5 ；2 ，4 ，6 ，7 ， 1 ，2 ，3 ，4 ；5 ，6 ，7 ，8 ) 下面介绍一些用来构作分裂平衡不完全区组设计的循环构作 设( x ，+ ) 是钉阶a b e l 加群，x 中的分裂差族( s p l i t t i n gd f ) ( v ，z = t x k ，a ) s p l i t t i n gd f 是x 的r 个子集所组成的子集族 b 1 ，b 2 ，b 7 ) ，对于任 意b “( 1sh r ) 都可表示成t 个长为k 的互不相交的子集的并： 砂= 研u 功u u 啦，并且满足： u a h ， 一y ：。b ? ，! ，b _ 0 j ) ，茹可 = a ( x o ) ) 子集砂( 1 h r ) 叫作初始区组易见，如果x 中存在( z = t a ) 一 s p l i t t i n gd f ，则通过把它的初始区组在群x 的作用下循环生成区组集8 ，可 得到( 6 ，z = t k ，入) s p l i t t i n g b i b d ( x ，聊 引理2 1 2 存在( 1 7 ，2x4 ，2 ) s p l i t t i n gb i b d 证我们直接构作设计如下： 点集x = z 1 7 ， 区组集8 由下列初始区组在群五7 的作用下循环生成： 4 分襄平衡不完全区组设计 二构作方法 我们推广上面的循环构作 引理2 1 3 存在( 8 ，2 4 ，4 ) 一s p l i t t i n gb i b d 证我们直接构作设计如下： 点集x = 历u 伽， 区组集召由下列初始区组在群历的作用下循环生成： o ，1 ，2 ，4 ；3 ，5 ，6 ，茹) 设( g ，+ ) 是n 阶a b e l 加群，m = l ，2 ，m 一1 令x = g m = q ： s m ) g 可看作以下述方式作用在x 上的变换群： a ，+ p = ( a + 卢) ，即g 对于任意子集a c x ，同上定义集合a + 卢= 扛+ p ：。a ) 设 b 1 ，b 2 ，b r ) 是x 的r 个子集所组成的子集族，对于任意b 6 ( 1 h r ) 都可表示成u 个 长为k 的互不相交的子集的并；b “= b u 磁u u 磁，并且满足： u 1 s s ， z y ：z 。钟，仉霹a j ) ，z y = 入( g o ) ) ，v s m ， u 1 h s ， 一y ：也b ，y t 县；0 j ) = a g ，v s ，t m ，s t 子集b “( 1 h r ) 叫作初始区组易见，通过把所有初始区组在群g 的作 用下循环生成区组集日，可得到( 竹m ，玩z = “k ，a ) s p l i t t i n gb i b d ( x ，召) 引理2 1 4 存在( 1 5 ，2 5 ，5 ) 一s p l i t t i n gb i b d 证我们直接构作设计如下： 点集x = 历 1 ，2 u 。) 区组集层由下列初始区组在群z 7 的作用下循环生成： ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，1 ) ，( o ，2 ) ，( 1 ，2 ) ；( 3 ，1 ) ，( 2 ，2 ) ，( 3 ，2 ) ，( 4 ，2 ) ，茹) ， ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 0 ，2 ) ，( 3 ，2 ) ，( 5 ，2 ) ；( 2 ，1 ) ，( 3 ，1 ) ，( 6 ，1 ) ，( 6 ，2 ) ，茹) ， ( o ，1 ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 ，2 ) ，( 3 ，2 ) ，( 6 ，2 ) ；( 3 ，1 ) ，( 4 ，1 ) ，( 6 ，1 ) ，( 0 ，2 ) ，( 1 ，2 ) ) 5 分襄平衡不完全区组设计 二构作方法 2 2 s p l i t t i n gb i b d 递归构作 为建立本文结果，我们需要若干类型的辅助设计及有关的存在性结果 本小节我们对此作一介绍读者可从文【6 】中得到更多的相关信息 设t ，与a 为给定的正整数，与m 为给定的正整数集，可分组设计 g d k ，a ，m ；t ，】是一个三元组伍，9 ，8 ) ，其中x 为钉元集，g 构成x 的一个划 分，g 的元素叫作组，8 的元素叫作区组，且满足下列四个条件： 1 对任意b b ，都有i b i k ； 2 对任意g 玩都有i gj 尬 3 对任意b 召与任意g g ，都有j bng i 1 ； 4 x 中任意一对属于不同组的元素恰好包含在入个区组中 若g 包含岛个大小为佻的组，1si s ，且t ，= ：，也佻，则称此可分组设 计是一个型为m 1 。t m z 幻m ，“的可分组设计， 为方便起见，我们用g d k ，1 ，m ；t d 表示g d 鼢) ，l ，伽 ；t ，】，用记号k g d d 来表示g d k ，1 ，m ； 】 对于可分组设计，我们有如下显然结果 引理2 2 1 设m ，n 和t 为给定的正整数，则存在型为仃俨仃1 的参g d d 为建立本文结果，我们需要引入分裂可分组设计的概念设t ，为给定的 正整数，耳与m 为给定的正整数集，分裂可分组设计( s p l i t t i n gg d d ) s p l i t t i n g g d k ，1 ，m ；叫是一个三元组( 五g ，召) ，其中x 为t ，元集，g 构成x 的一个划 分，蛋的元素叫作组，召的元素叫作区组，且满足下列五个条件： 1 对任意b 召，都有l b i 西 一 2 对任意g g ，都有i g i m ； 3 对任意b 嚣，都可表示成牡个长为的互不相交的子区组的并：b = b 1 t j b 2 u u 鼠； 6 分裂平衡不完全区组设计二构作方法 4 对任意b 舀与任意g g ，都有bng 至多包含一个子区组； 5 x 中任意一对属于不同组的元素d ，y 恰好包含在一个区组b = b 。u 岛u u 风中，且$ b i ，y 马a j ) 若9 包含岛个大小为讹的组，1 i s ，且口= 名l t t r n i ，则称此分裂可分组 设计是一个型为m 1 - 讹缸m b 的分裂可分组设计我们用记号k - s p l i t t i n g g d d 来表示s p l i t t i n gg d k ，1 ，m ；u 】 引理2 2 2 存在型为驴的2 七一s p l i t t i n gg d d ，其中t 22 证我们在x = z 。x 1 ，2 ，) 上构作设计如下，它的组集是9 = g 1 ，g 2 ，瓯 ， 其中g i = 0 1 x “2 ， ，区组集8 由以下区组组成： ( 蟊1 ) ，( ，2 ) ，( ，七) ；( i + j ，1 ) ，( i + j ，2 ) ，( i + j ，) ，0 u - 2 ，1 j u - - i 一1 易验证( x ，9 ，廖) 是型为k ”的2xk - s p l i t t i n gg d d 本文主要使用。填洞”构作，运用此构作，我们还需要组长并不都相等 的分裂可分组设计，为了得到这些设计，我们引入下面的加权构作 定理2 2 3 如果存在下述设计， 1 型为9 l 出驰的k - g d d ； 2 对每个后k ，存在型为h 的2 k - s p l i t t i n gg d d 则存在型为( h 9 1 ) ( h 9 2 ) ( 危乳) 的2xk - s p l i t t i n gg d d 证假设( x ，9 ，召) 是给定的型为g 1 9 2 肌的k g d d 它的组集为孚= g i ，g 2 ， 瓯 ，i c i i = 历对于每个区组b 召，记b = 0 1 ，a 2 ，o i ) ，设b + = bx 1 ，2 ，九 ，在点集b + 上构作型为驴的2 k - s p l i t t i n gg d d ( b ，幻，4 且) ，幻= 峨 l ，2 ，埘i1 s 后) ，下面我们构作所需设计，它的点集为 组集为 x = x 1 ，2 ，耐， 1 分襞平衡不完全区组设计 二构作方法 区组集为 g = g tx 1 ，2 ， ) i1 i u ) ， 嚣= u s e a 易验证+ ，矿，b ) 是型为( h 9 1 ) ( h 9 2 ) ( 危乳) 的2 k s p l i t t i n gg d d 在介绍。填洞”构作之前，我们还需引入不完全分裂平衡不完全区组 设计设口，入为给定的正整数，t t ，0 不完全分裂平衡不完全区组设计 ( ”，w ；2 惫，入) s p i t t i n gi b i b d 是一个三元组( x ，y ，8 ) ，其中x 为t ，元集，y 是 x 的铷元子集( y 称为洞) ，召的元素叫作区组，且满足下列三个条件， 1 对任意b g ，都有l b i = 2 k ，都可表示成2 个长为的互不相交的子区 组的并：b = b 1 u b 2 ； 2 y 中任意一对元素 z ，可) 都不包含在任意区组b = 玩u 岛中，使z 最，可岛0 j ) ； 3 x 中任意一对元素协可) 或者同时包含在y 中，或者恰好包含在入个 区组b = b 1 u b 2 中，使z 最，可b j c i j ) 当叫= 0 和1 时，( w ；2 七， s p l i t t i n gi b i b d 的存在性显然等价于 ( 口，b ，扛2 惫，a ) s p l i t t i n gb i b d 的存在性，现在我们给出本文的主要构作 构作2 2 4 如果存在下述设计； 自 1 型为9 1 9 2 肌的2 k - s p l i t t i n gg d d ； 2 对每个i ，l i t ，存在( 吼+ 伽，伽；2x ，入) 一s p l i t t i n gi b i b d ； 3 存在( 乳+ w ，2 南，a ) 一s p l i t t i n gb i b d ； 贝4 存在扣，2 k ， s p l i t t i n gb i b d ，嘉# 中t ，= 埘+ 1 s s 。皿 证假设( x ，9 ，廖) 是给定的型为g x 9 2 乳的2 xk - s p l i t t i n gg d d ，其中孚= g 1 ，g 2 ，g 。) ，i c t i = g i ，1 饥对于每个组g ，1 i 设( 瓯u w a ) 是 ( 皿+ 仞，w ；2 角，a ) s p l i t t i n g i b i b d ，其中1 w i = t l ，x n w = d 又设( 瓯u 彬a ) 是( 乳+ 仞，2 岛，a ) s p l i t t i n gb i b d 现在我们构作所需设计，它的点集为 8 分裂平衡不完全区组设计 二构作方法 区组集为 x + = x u w 层= u ( u 1 s 如a ) 其中是8 中每个区组重复a 次后得到的区组集容易验证僻，b ) 是 ( 2 k ，a ) - s p l i t t i n gb i b d 特别地，我们得到如下构作 引理2 2 5 设m ，n ，k 和u 是正整数， 0 如果存在下述设计： 1 ( k m + t ，铷；2xk ，a ) 一s p l i t t i n gi b i b d ； 2 ( k n + t u ，2 七，a ) 一s p l i t t i n gb i b d ； 则存在( k m u + k n + 训，2xk ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d 证由引理2 2 1 和引理2 2 2 ，存在型为耐n 1 的2 - c d d 和型为驴的2 k - s p l i t t i n gg d d ，应用定理2 2 3 即得型为( 七m ) ”( n ) 1 的2 k - s p l i t t i n gg d d ，再由 已知条件根据构作2 2 4 即得所需结论 我们还需下述构造，其证明是容易的 引理2 2 6 如果存在( u ，2 a 1 ) s p i t t i n gb i b d 和( u ，2 k ，a 2 ) 一s p l i t t i n gb i b d ， 则存在( 口，2 ，a 1 + a 2 ) s p l i t t i n gb i b d 2 3r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 递归构作 在这一小节中，我们将研究可分解分裂平衡不完全区组设计( r e s o l v a b l e s p l i t t i n gb i b d ) ，建立一些构作方法，并由此得到几个无穷类的可分解分裂平 衡不完全区组设计 引理2 3 1 设忌和m 是正整数，存在r e s o l v a b l es p l i t t i n gw t d ( 2x 后，m ) 9 分裂平衡不完全区组设计 二构作方法 证我们在x = 1 ，2 ，2 忌 上构作设计如下，它的组集为9 = g i ，g 2 ， g 2 ，其中q = z 。xa 两个部分为岛= g o 一1 ) ，g u 一1 ) k + 2 ，g j k ) ， 1 j 2 区组集嚣由下列区组组成： 0 ，1 ) ，( 为2 ) ，( 霸南) ；( y ，k + 1 ) ，( y ，后+ 2 ) ，( y ，2 七) ) ，0 1 。，y s m 一1 平行类由下列区组组成： 下列每个初始区组在群磊的作用下循环生成一个平行类： ( ( o ，1 ) ，( o ，2 ) ，一，( 0 ，后) ；( y ，惫+ 1 ) ，( y ，k + 2 ) ，( 可，2 后) ，0 s m 一1 易验证( x ，9 ，b ) 是r e s o l a b l es p l i t t i n gw t d ( 2x 后，m ) 下面我们来证明定理1 4 和1 5 定理1 4 假设( x ，4 ) 和召) 分别是( t ，1 ，t x 七，$ ) - r e s o l v a b l es p u t t i n gb i b d 和 ，t x a ) r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 如果存在r e s o l v a b l es p l i t t i n gw t d ( u 七，忱) ， 则存在( u 1 忱，uxk ，入) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 证设t 1 = 必k ( u - - 1 ) ，r 2 = 谍哥，用a t ，a 2 ，a 。表示a 的t 1 个平行类对 于任意a = 口l ，眈，a u ；b 1 ，b 2 ，6 k ；c 1 ，c 2 ，“) = a 1 u a 2 u u a 。a ， 在a y 上构作r e s o l v a b l es p l i t t i n gw t d ( ux 七，忱) ，它的组为 n ) 8 a ， t | 个类为axy ，1s 缸它的区组集为d ，且口a 可划分成t ) 2 个平行类 甜，1 t 记 = l j a “口 在 。) xy 上构作心，七，a ) r e s o l a b l es p l i t t i n gb i b d ( z ) y ，酽) ，伊可划分 成t 2 个平行类研，磁，记 廖x = u 蚝x 酽 易验证f , z mus x ) 是( v l v 2 ，t x a ) ，s p l i t t i n gb i b d 下证可分解性 设d ，= u a 。 研，则d a 能被划分成x y 上的r - 地个平行类毋， 1 i 2 ，1s jsr 。设醛= u ：“辫则8 x 能被划分成x y 上的化个平 1 0 分曩平衡不完全区组设计二构作方法 行类彰，1 i r 2 所以刀 u b x 能被划分成x y 上的r ， 2 + r 2 = 觜 个平行类由此定理得证 定理1 5假设( x ，以) 和( y , b ) 分别是( 口1 ，t x 毛a ) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 和( 也，uxk ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d ，其中召能被划分成互不相交的部分平行类 既，玩，玩，5 坐k 幽( u - x ) 如果存在r e s o l v a b l es p l i t t i n gw t d ( u v 2 ) ，则 = | ! 事在( 仇t ，2 ，t 七，a ) r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 证r z = 坐k ( z , 出- 1 ) ，r 2 = 酱哥，用a ，, 4 2 ，4 。表示4 的7 1 个平行类对 于任意a = 口1 ，o a ，a k ；b l ，6 2 ，巩；c l ，c a ，c k ) = a 1 u a 2 u ua a ， 在a y 上构作r e s o l v a b l es p l i t t 咄w t d ( ux 也) ，它的组为 口) xe 口a ， 个类为axk1 i u 它的区组集为口 ，且d a 可划分成忱个平行类 钟，1 i v 2 记 z 一= u a 伊 在 。) xy 上构作她，钍xk ，a ) - s p l i t t i n gb i b d ( 如) x 伊) ，记 b x = u z e x 伊 易验证( x kd “u 日x ) 是( t ，1 忱，t 七，a ) 一s p l i t t i n gb i b d 下证可分解性 设口，= u a g 由砑，则口_ 能被划分成xxy 上的r t 忱个平行类残q ， 1 t 耽，1 s j r 1 不失一般性，我们设 口= a y i a 一4 j ，暑，y ) ，1 歹r 1 我们将证明日xu ( u ，g 如口) 能被划分成x y 上的s 个平行类，其中他= 8 一r 2sr 1 因为口飞( u l g 。口) 能被划分成r 1 忱一亿个平行类所以d u 能 被划分成r ， 。- n + s = r i v z + 仡= 觜个平行类，从而证得x y , u e x ) 是( l u 2 ，t 后，a ) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 设骘= 缸) xb i 口反 ，磷= u ：x 鹭，s ；y ( u b 甑b ) ，l s 则 1 s 。9 i s i = 现s 一县b l bj = 忱s 一忱r 2 = 0 2 7 且y 中每个点恰在s 1 ，曷中出现n 次设群= ax y i a 4 ，硝= u 。群，可得口= 易见s ! f 能被划分成，1 歹n ，使 分裂平衡不完全区组设计二构作方法 u 1 s 。( u l g s 。4 于) = u l g s 。2 巧b 例如，易选取钆，1sjs 竹再递归定义假设已选取& ( 1st t 1 j n ) 设= y ( u 1 s 趔& j ) ，如下定义s 0 1 j ( 1 j n ) ： 最+ l ，1 = l 乞ns t + 1 ，& + l 。m = l kn ( & + 1 ( u 1 9 s 。一1s 0 1 ，j ) ) ，2 m n 设置= u ，g s 。舻，则最u 彰，1 i 5 是x y 上的一个平行类由此定理 得证 现在我们应用这两个构作来得到可分解分裂平衡不完全区组设计的下 述无穷类 定理2 3 2 对于任意正整数佗 存在( 8 8 ，2x4 ，4 ) r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 证由引理2 l 2 知，存在( 8 ，2 4 ，4 ) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d ，由引理2 3 1 知， 存在r e s o l v a b l es p l i t t i n gw t d ( 2 x 4 ，8 ) ，应用定理1 4 即得结论 定理2 3 3 对于任意正整数n ，存在9 ，2 4 ，4 ) r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 证由引理2 1 1 知，存在( 9 ，2 x 4 ，4 ) s p l i t t i n g b i b d ，且显然区组集能划分成9 个 互不相交的部分平行类由引理2 3 1 和定理2 3 2 知，存在r e s o l v a b l es p l i t t i n g w t d ( 2 4 ，9 ) 和渺，2x4 ，4 ) 一r e s o l v a b l es p l i t t i n gb i b d 应用定理1 5 即得结论 分裂平衡不完全区组设计三扣，2x4 ，a ) s p l i t t i n gb i b d 三( v ，2 4 ，入) 一s p l i t t i n gb i b d 在这一节中，我们将研究p ，2 4 ，a ) s p l i t t i n gb i b d 的存在性由定理 1 1 ，我们得到( ，2x4 ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d 存在的必要条件如下： 当入兰1 ，3 ( r o o d4 ) 时， 毫1 ( r o o d3 2 ) 当a 三2 ( r o o d4 ) 时，口兰1 ( m o d1 6 ) 当入三4 ，1 2 ( r o o d1 6 ) 时，口三0 ，1 ( r o o d8 ) 当a 三8 ( r o o d1 6 ) 时，口三0 ，1 ( r o o d4 ) 当入兰0 ( r o o d1 6 ) 时，t ，8 ， 由引理2 2 6 ，我们只需考虑下述情况：( 1 ) 当a =