第五节定积分在几何中的应用.doc

第五节 定积分在几何中的应用本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法微元法，然后讨论定积分在几何中的应用。一、微元法本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤中，关键是第二步，即确定在实用上，为简便起见，省略下标用表示任一小区间上的小曲边梯形的面积，这样取的左端点x为，以点x处的函数值为高，dx为底的矩形面积为的近似值（如图5-14中阴影部分所示），即上式右端dx称为面积微元，记为，于是面积图 5-14A就是将这些微元在区间上的“无限累加”，即a到b的定积分分通过上面的作法，我们可以把定积分和式的极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F的积分表达式，可按以下步骤确定：（1） 确定积分变量x，求出积分区间。（2） 在上，任取一微小区间，求出部分量的近似值（称它为所求量F的微元）。（3） 将dF在积分，即得到所求量，通常把这种方法叫做微元法（或元素法）下面用微元法讨论定积分在几何中的应用。二、平面图形的面积1. 直角坐标情形根据定积分的几何意义，由区间连续曲线及直线所围成的平面图形的面积A，由定积分的性质，此式可写为利用微元法求解可得同样的结果。其中d，就是面积元素例1计算由两条抛物线围成的图形面积。解 （1）如图5-15所示，确定积分变量为x由方程组解得两抛物线交点为（0，0）、（1，1），从面可知所求图形在直线x=0及x=1之间，即积分区间图 5-15图 5-16（2）在区间上，任取小区间对应的窄条面积近似于高为，底为dx的小矩形面积，从而得面积元素 (3) 所求图形面积为=（平方单位）例2、求曲抛物线与直线所围成的图形面积。解：（1）如图5-16所示确定积分变量为y，解方程组解得交点（1,-1）及(4,2)从而知这图形在与y=2之间，即积分区间（2）在区间上，任取一小区间，对应的窄条面积近似于高为dy，底为的矩形面积从而得到面积元素（3） 求图的面积为 =如果取x为积分变量，则积分区间须分成两部分，且每个区间对应的面积元素并不相同。所以计算比较复杂，因此应恰当选择积分变量。一般地，由区间上的连续曲线及直线所围成平面图形面积为面积元素是一般说来，求平面图形面积的步骤为：（1） 作草图，确定积分变量和积分区间；（2） 求出面积微元。（3） 计算定积分求出面积。2、极坐标情形图 5-17某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便。用微元法计算：由极坐标方程所表示的曲线与射线所围成的曲边扇形面积（图5-17）。以极角为积分变量，积分区间为，在上任取一小区间，与它相应的小曲边扇形面积近似于以为圆心角。为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素于是所求面积为 例3 计算心形线所围成的平面图形的面积（图5-18）。解 由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积，再2倍即得所求面积A。图 5-18对于极轴以上部分图形，的变化区间为。相应于上任一小区间的窄曲边扇形的面积近似于半径为、圆心角为的圆扇形的面积。从而得到面积元素于是 = = = =所求，所求面积为三 、体积1、 旋转体的体积设一旋转体是由曲线与直线、及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（图5-19）。现用微元法求它的体积。在区间上任取，对应于该小区间的小薄片体积近似于以为半径，以为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为从a到b积分，得旋转体体积为类似地，若旋转体是由连续曲线与直线及y轴所围成的图形绕y轴旋转而成，则其体积为例 4 求椭圆绕x轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）。解 将椭圆方程化为图 5-19体积元素为所求体积为 =当a=b=R时，得球体积例5 试求由过点0（0，0）及点P(r,h)的直线,及y轴围成的直角三角形绕y轴旋转而成圆锥体的体积（图5-21）。解 过OP的直线方程为即图 5-20图 5-21 因为绕y轴旋转，所以取y为积分变量，积分区间为0，h。体积元素为于是圆锥体的体积为2、 平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算。图 5-22如图5-22所示，取上述定轴为x轴，并设该立体在过点x=a、x=b且垂直于x轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积。A(x)为x的已知的连续函数。取x为积分变量，它的变化区间为。立体中相应于上任一小区间的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx的扁柱体的体积，即体积元素于是所求立体的体积为例6 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-23）。计算这个平面截圆柱所得立体的体积。解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，以过底圆中心且垂直x轴的直线为y轴。此时，底圆的方程为。立体中过点x且垂直于x轴的截面是直图 5-23角三角形。它的两条直角边的长度分别为，即。于是截面面积为因此所求立体体积为=习题 5-51. 求由下列已知曲线围成的图形的面积：（1）（2）（3）;（4）（5）（6）2. 求由下列各曲线或射线围成图形的面积：（1） (2) (3)和的内部 (4)3. 求由下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：（1） ,绕x轴（2） 绕x轴（3） 绕y轴（4） 绕y轴（5） ,绕x轴4.