（概率论与数理统计专业论文）加权多元经验过程的极限性质与两指标布朗桥的局部时.pdf

福建师范大学黄民香硕士学位论文 第4 章通过对加权的均匀经验过程的收敛性的讨论，给出一个一般加权经 验过程收敛性的结果 第5 章讨论多元经验过程的局部时和多指标布朗桥的局部时，最终验证多 元的经验过程局部时会收敛于多指标布朗桥的局部时 关键词；经验分布函数，多元经验过程，加权经验过程，布朗桥，局部时 i i 馐 _ i a b s t r a c t s t a t i s t i c a li n f e r e n c et h e o r yi sa l w a y sb a s e do nt h er e s u l t so fr a n d o ms a m - p l e 噩，恐，o ft h ep o p u l a t i o nx t h e ya r ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e dr a n d o me l e m e n t sw i t ht h es a m ed i s t r i b u t i o na st h ep o p u l a t i o nx g e n e r a l l y , xi sk - d i m e n s i o n a l ，a n di t sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n f ( z ) = p ( x z ) ，z 石产 i su n k n o w n h o wt oi n f e rr e a s o n a b l yf o rt h eu n k n o w nd i s t r i b u t i o nfi st h em o s t b a s i cr e s e a r c hs u b j e c t si nt h et h e o r yo fn o n - p a r a m e t r i cs t a t i s t i c a li n f e r e n c e u s u a l l y , l e t r ( z ) = 去喜 1 阢s 盘1 ，p ( z ) = 、丽( j k ( z ) 一f ( z ) ) ，z r 知， a n dc a l lra st h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o no fr a n d o ms a m p l ea n d 醴a st h ee m - p i r i c a lp r o c e s so fr a n d o ms a m p l e t h ee m p i r i c a lp r o c e s st h e o r ye s t a b l i s h e db y g l i v e n k o - c a n t e l l it h e o r e m ，k o l m o g o r o v - s m i r n o vs t a t i s t i c a lt h e o r y , d o n s k e rt h e o - r e me t c s h o w st h a tt h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n dt h ee m p i r i c a lp r o c e s s a r et h em o s tv a l i dt o o lt os o l v ei td i r e c t l y t h ec o n v e r g e n c yo fe m p i r i c a lp r o c e s s e s a r et u r n e dt ob et h ec o r eo ft h ep r o b l e mw h e nt h eg o o d n e s s - o f - f i tb e t w e e nt h e e m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n dt h et r u ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni sc o n s i d e r e d ， f u r t h e r m o r e ，b yt h es k o r o h o dt h e o r e ma n dd o n s k e rt h e o r e m s ，i ti sw e l lk n o w n t h a tb r o w n i a nb r i d g ei st h el i m i t i n gp r o c e s so ft h ee m p i r i c a lp r o c e s s e si ns o m e s e n s e s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c ha n di t sa p p l i c a t i o n ，w e i g h t e de m p i r i c a l p r o c e s s e sa r eg r a d u a l l yc o n c e r n e db ya l o to fs c h o l a r so v e rt h el a s tt w od e c a d e a n dr e s e a r c hi nt h i sa r e ah a v ee m e r g e df r o mt i m et ot i m e h o w e v e r ，t h ee x i s t e dr e s u l t sa r em o r ec o m p l e t ef o rt h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o n f u n c t i o na n dt h ee m p i r i c a lp r o c e s si nt h ec a s eo fk = 1 w h e n k 2 , t h a ti s ，t h e r e s e a r c ho nt h em u l t i v a r i a t ee m p i r i c a lp r o c e s sa n dm u l t i - p a r a m e t e rb r o w n i a n b r i d g eh a v em a n y a r e a st ob ep e r f e c t t h ep a p e ra t t e m p t st od os o m er e s e a r c h e s o nt h el o c a lt i m e so ft w o - p a r a m e t e rb r o w n i a nb r i d g ea n da w e i g h t e dm u l t i v a r i a t e i i i e m p i r i c a lp r o c e s s t h el o c a lt i m e so ft w o - p a r a m e t e rb r o w n i a nb r i d g ea n d t h e 嬲y l n p t o t i cp r o p e r t i e so ft h ew e i g h t e de m p i r i c a lp r o c e s s e s a r eo b t a i n e d t h eo r g a n i s a t i o no ft h i sp a p e r i sa sf o l l o w s ： c h a p t e r1b e g i n sw i t hs o m eb a c k g r o u n do ft h er e s e a r c h ，a n dt h ei n v e s t i g a - t i v es i t u a t i o na n dm a i n r e s u l t so fr e l a t e di s s u e sa th o m ea n da b r o a da r e i n c l u d e d i nc h a p t e r2 , s o m en o t a t i o n sa n db a s i cc o n c e p t sa r ei n t r o d u c e d a n dm e 御1 。 w h i l es o m eb a s i ck n o w l e d g ei sr a i s e di nt h ed e r i v a t i o no ft h i sa r t i c l e i nc h a p t e r3 , t h ee l e m e n t a r yp r o p e r t i e so fm u l t i - p a r a m e t e rb r o w n i a nb r i d g e a r ec o n s i d e r e d c h a p t e r4a i m st op r e s e n tag e n e r a lr e s u l to fc o n v e r g e n c eo ft h ew e i g h t e d e m p i r i c a lp r o e e s sb yd i s c u s s i n gt h e c o n v e r g e n c eo ft h ew e i g h t e d u n i f o r me m p i r i c a l p r o c e s s i nc h a p t e r5 , w ed i s c u s s et h el o c a lt i m e so ft h em u l t i v a r i a t ee m p i r i c a lp r o c e s s a n d n l l t i - p a r a i l l e t e rb r o w n i a ub r i d g e f i n a l l y , w eo b t a i nt h a tt h el o c a lt i m eo f t h em u l t i v 甜i a t ee m p i r i c a lp r o c e s sw i l lc o n v e r g et ot h eo n eo fm u l t i - p a r a m e t e r b r o w n i a nb r i d g e k e ”0 r d s ：e m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ；m u l t i v a r i a t e e m p i r i c a lp r o - c 既s t h ew e i g h t e dm u l t i v a r i a t ee m p i r i c a lp r o c e s s ，t w o - p a r a m e t e r b r o w n i a nb r i d g e l o c a lt i m e i v ， - 吣 中文文摘 统计推断理论是基于总体x 的随机抽查结果，即随机样本五，恐，k 它们是独立同分布于总体x 的随机元通常x 是k 维的，其分布函数 f ( z ) = p ( x z ) ，z r 知 是未知的如何对未知分布f 进行“合理”推断，对未知分布f 的优化拟合成 为非参数统计推断理论中最基本的研究课题 随着时间的推移和研究的深入，人们发现由g l i v e n k o - c a n t e l l i 定理、d o n s k e r 定理、k o l m o g o r o v - s m i r n o v 统计理论等所建立的经验分布理论表明经验分布函 数与经验过程是解决该问题最直接、最有效的工具甚至当考虑经验分布函数 与真实分布函数的拟合度时，经验过程的收敛性问题变成研究该问题的核心问 题 因此，早在十九世纪初许多人就研究这一重要工具并发现了经验过程：= v 丽( f n f ) ( 其中兄和f 分别是独立同分布的随机变量的经验分布函数和分 布函数) 实际上弱收敛于零均值的高斯过程这里的零均值g a u s s 过程，实际上 是单位区间上的标准布朗桥自此经验过程理论得到了迅速的发展并渗透到各 个自然科学中，形成了一批经久不衰的研究课题，并为经验分布理论的进一步发 展提供了有力的条件 由于经验理论应用的广泛性，使得该理论不断完善，不断丰富并衍生出许 多与经验过程相关的随机过程的收敛性问题例如，经验过程局部时的收敛性 问题、加权经验过程的收敛性问题等等在一些比较高级别的国际刊物上，如 a n n s t a t i s t ，i n s t s t a t i s t m a t h 和a n n p r o b a b 等，都有相当数量的关 于这类的论文的发表例如1 9 7 9 年p e t e rg a e n s s l e r 和w i n f r i e ds t u t e 受邀在 i n s t s t a t i s t m a t h 发表论文e m p i r i c a lp r o c e s s e s 【7 】，总结归纳了独 立同分布随机变量的相关结论，并特别地指出了一维加权经验过程是收敛于对 应的连续随机过程至此，越来越多的数学工作者对加权经验过程的性质和特点 感兴趣并且对一维的加权经验过程进行了透彻的研究例如tr e n y i ( 1 9 5 3 ) ， c h i b i s o v ( 1 9 6 4 ) ，0 r e i u y ( 1 9 7 4 ) ，m a s o n ( 1 9 8 6 ) ，w e l l n e r ( 1 9 8 6 ) 等 学者均在这方面做了研究参见文 3 , 4 ，8 ，9 】及其后的文献 至于k 2 情形这方面的文献相对少许多l u d g e rr u s c h e n d o r f 于1 9 8 0 年 v 福建师范大学黄民香硕士学位论文 发表的文1 2 1 针对k 2 情形定义了加权函数，并通过p o s s i o n 过程的转换最终 得到加权多元均匀的经验过程极限性质然而对一般多元分布函数情形如何? 因此，本文试图就k 2 ，分布函数f 未必是均匀分布的加权经验过程收敛性问 题加以研究 随着研究的深入，学者们并不满足于只是进行经验过程和加权经验过程的 收敛性问题，也不满足于只是局限在经验过程的研究近几年来，关于布朗桥的 研究也是这类研究中最为活跃的内容之一同时研究的范畴推广到逗留时，局 部时等问题上来 如s m i r n o v 提出了这样的问题一经验过程的局部时是否也会收敛于布朗桥 的局部时? 该问题由k h o s h n e v i s a n 在文【1 7 】中解决k = 1 情形的问题至于多 元情形，经验过程局部时是否仍收敛? 本文同时还将讨论了多元经验过程的局部时和多指标布朗桥的局部时，并 考虑经验过程的局部时是否会收敛于布朗桥的局部时 具体安排如下： 第1 章主要介绍本文的研究背景以及目前国内外相关问题的研究情况和主 要成果 第2 章引进一些符号和基本概念，并给出了本文推导过程中的一些基本知 识。 第3 章主要讨论多指标布朗桥的基本性质 第4 章通过对加权的均匀经验过程的收敛性的讨论，给出一个一般加权经 验过程收敛性的结果 第5 章讨论多元经验过程的局部时和多指标布朗桥的局部时，最终验证多 元的经验过程局部时会收敛于多指标布朗桥的局部时 v i h q 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 中文文摘 。v 1前言 1 2 符号与预备知识。 7 2 1 记号与约定 7 2 2 预备知识。 7 3两指标布朗桥的基本性质1 2 4加权多元经验过程的收敛性。1 8 5 两指标布朗桥的局部时。2 3 结论二2 8 参考文献2 9 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 3 2 致谢 ，3 3 个人简历 3 4 福建师范大学学位论文使用授权声明 。3 5 i 。 一型堕型堕墅墼型丝丝坠一 i i _ 睁i j 瓢渖嬲。 。 q 1 前 言 1前言 众所周知，假设检验问题是统计推断理论的核，5 - 内容之一，而统计推断理 论总是基于所要调查的对象即总体的随机样本设( 墨，恐，墨) 为总体x 的个随机样本，这里噩，咒，五。是与总体x 同分布的相互独立的随机变 量在实际应用中，总体x 往往是k 维的、x 的分布函数 f ( x ) = p ( x z ) ，z 础 是未知的如何通过随机样本( 置，托，) 对未知分布f 做出“合理 推 断，对未知分布f 的优化拟合成为非参数统计推断理论中最基本的研究课题 随着优化拟合问题的研究不断发展，它也成为概率论与数理统计中，如随机过 程的弱收敛和经验过程的极限理论等重要研究领域发展的主要推动力【7 9 ，1 1 1 关于统计推断中的优化拟合问题起码可追溯到1 9 0 0 年k a r lp e a r s o n 所提 出的) ( 2 检验该方法的主要思想是对未知分布f 作近似的离散化拟合，即假设 总体x 仅取有限个值x l ，x 2 ，x n ，p i = p ( x = 甄) ( 1 i n ) 是未知的用 q 表示溉，恐，中取戤的个数，即 0 f = 1 【x l ；。】= 帆1 ：礼，冠= 戤一 此时q 服从参数为( n ，鼽) 的二项分布由d em o i v r e - l a p l a c e 中心极限定理 知，对1 i n ， ， j 生叁与( o ，1 ) ，死一o o v n p i ( 1 一p i ) 一“ 这里n ( o ，1 ) 为标准正态分布，竺一表示依分布收敛利用多元中心极限定理， 经直接计算【1 8 | 知 肛蔷n 掣二娥) 1 福建师范大学黄民香硕士学位论文 这里x 2 ( 一1 ) 表示参数为n 一1 的妒一分布因此若要考虑对未知分布f 的近 似拟合检验，即检验f 的原假设 风：p i = p i o ，1 t n ， 则只须通过统计量 t ：5 n ( o r - n p t o ) 2 z n p l o t= 1 和x 2 一分布的分位点构造拒绝域以达到检验的目的 最简单的拟合经验问题实际上就是对假设检验问题中的原假设h o ：f = 昂 通过随机样本溉，恐，进行检验的问题 继p e a r s o n 之后，人们开始思考如何合理拟合f 的问题历史上有多位著 名的统计学家开展了这方面的工作，并逐渐发觉经验分布函数是拟合总体真实 分布f 的难得的有效工具所谓经验分布函数是指 r ( 。) = 丢塞1 阮剑= 丢坼；1 i n ，五z ，x er k 这里五z 对k 2 而言就是冠= ( x - ，k 膏) 的每个分量k l 均不大 于z = ( x l ，知) 的分量，即”翰，1 歹k ” 1 9 3 1 年，v o nm i s e s 就k = 1 情形提出拟合检验的检验统计量 = n ( r ( z ) 一蜀( z ) ) 2 p ( z ) 如， 上式中p ( x ) 是保证上述积分收敛的一个权重函数而著名数学家k o l m o g o r o v 在1 9 3 3 年提出了更具可操作性的检验统计量 玩=s u pl r ( z ) 一f o ( z ) 1 与此同时g l i v e n k o 和c a n t e l l i 证明了 p(1im s u pl r ( z ) 一局( z ) l = 0 ) = 1 t i 田2 这表明几乎肯定当1 1 充分大时经验分布r 与真实分布是完全一致的 一! 。譬绯r孥- 牡。扎! t 蟊j 不久，s m i r n o v 又提出了的检验统计量 讲= v r 元s u p ( r ( z ) 一f o ( x ) ) 巧=s u p ( f o ( z ) 一r ( z ) ) 统计量1 9 ，上砖，d j i 就是如今人们所称的k o l m o g o r o v s m i r n o v 统计量，简称 k s 统计量k o l m o g o r o v 和s m i r a o v 分别证明在原假设上南：f = f o 成立时 + 0 0 ( k o l m o g o r o v ，1 9 3 3 ) p ( 玩z ) _ ( 一1 ) j e 一巧2 2 2 j = - o o ( s m i r n o v ，1 9 4 1 )p ( 讲 z ) _ e 一舻 1 9 4 9 年，d o o b 在文【9 】中猜测统计量d n ，d ：，环与布朗桥有内在的联系， 因为d o o b 惊讶地发现k o l m o g o r o v - s m i r n o v 统计量队，阱，瑶的极限分布与 布朗桥最大值尾分布是一致的，即 + p ( 艘，i b ( t ) l z ) = ( 一1 ) j e 制护 0 ! - b ( 亡) ，t 【0 ，1 】) 3 乞 一塑塞堡壅奎兰重垦童堡圭兰堡丝圣1 一 = ；= = ；i = = = = = = = 目；= = = = = = = = = = = = = ；= 一 其中 b ( 七) ，t 【o ，1 1 ) 是布朗桥，它可表示为 b ( o = ) 一t w o ) ，t 【o ，1 1 ， 上式中 ( t ) ，t o ) 为标准布朗运动，即满足w ( o ) = 0 ，且e ( w ( t ) ) = o ， c 伽( ( s ) ，w ( o ) = s at ，v s ，t 0 的g a u s s 过程 1 9 7 1 年，文【1 9 1 证明对忌2 情形一般分布函数f ， 雕( t ) ，t r 知卜一b f ； 上式的收敛是指在距离 p ( f ，夕) = s u p 1 ，( z ) 一夕( z ) l z o , l l “ 拊b fd ( 0 ，1 】七) 空间上的收敛，而b f 为多指标f - 布朗母，即b f = b ) ，t 【0 ，1 n ，其中 b ) ：坼( 亡) 一f ( 亡) ( ( 1 ，1 ) ) ，t 【0 ，1 1 七， w ： 坼( 亡) ，t o ，1 】知) 为k 指标的f - 布朗单闼，它满足 w f ( t ) 一n ( o ，f ( 亡) ) ， c o v ( w f ( s ) ，坼( t ) ) = f ( s 八亡) ，s ，t 【0 ，1 】七 1 9 5 6 年，s k o r o h o d 得到更深入的结果，在【4 l 证明了对 风( 亡) ，t 【0 ，1 】知) 存在f 布朗桥b f ，使得 s u pl 阮( 亡) 一b f ( 亡) i 骂0 ，们 t e o ，1 】。 近二十年来，有关经验分布函数和布朗桥的研究文献大量涌现经验分布理 论得到了迅速的发展并渗透到各个自然科学中，不仅在统计推断理论，而且在 4 掌 r _ 蝻 1 前 言 物理、地理等其他学科中有着广泛的应用，如物理学中研究信号存在性问题、医 学上的生存统计分析等等 由于经验理论应用的广泛性，使得该理论不断完善，不断丰富并衍生出许 多与经验过程相关的随机过程的收敛性问题例如，经验过程局部时的收敛性 问题、加权经验过程的收敛性问题等等在一些比较高级别的国际刊物上，如 a n n s t a t i s t ，i n s t s t a t i s t m a t h 和a n n p r o b a b 等，都有相当数量的关 于这类的论文的发表例如1 9 7 9 年p e t e rg a e n s s l e r 和w i n f r i e ds t u t e 受邀在 i n s t s t a t i s t m a t h 发表论文e m p i r i c a lp r o c e s s e s 7 1 ，总结归纳了独 立同分布随机变量的相关结论，并特别地讨论了加权一元经验过程收敛于相应 的连续随机过程问题至此，越来越多的学者对加权经验过程的性质和特点感 兴趣并且对加权一元经验过程进行了较透彻的研究例如：r e n y i ( 1 9 5 3 ) ， c h i b i s o v ( 1 9 6 4 ) ，o r e i u y ( 1 9 7 4 ) ，m a s o n ( 1 9 8 6 ) ，w e l l n e r ( 1 9 8 6 ) 等 学者均在这方面做了研究参见文【3 ，4 ，8 ，9 】及其后的文献 至于忌2 情形这方面的文献相对少许多l u d g e rr u s c h e n d o r f 于1 9 8 0 年 发表的文【2 】针对恐2 情形定义了加权函数，并通过p o s s i o n 过程的转换最终 得到加权多元均匀的经验过程极限性质然而对多元非均匀分布函数情况又如 何? 本文试图就k 2 情形，分布函数f 未必是均匀分布的加权经验过程收敛 性问题加以研究 随着研究的深入，学者们并不满足于只是进行经验过程和加权经验过程的 收敛性问题，也不满足于只是局限在经验过程的研究近几年来，关于布朗桥的 研究也是这类研究中最为活跃的内容之一同时研究的范畴推广到逗留时，局 部时等问题上来 如s m i r n o v 提出了这样的问题一经验过程的局部时是否收敛于布朗 桥的局部时? 该问题由k h o s h n e v i s a n 在文【17 】中解决k = 1 情形的问题 至于多元情形，经验过程局部时是否仍收敛? 本文还将讨论了多元经验过程的局部时和多指标布朗桥的局部时，并考虑 经验过程的局部时是否会收敛于布朗桥的局部时问题 5 福建师范大学黄民香硕士学位论文 本文的主要工作大致介绍如下： 1 类似于布朗单的s c a l i n g 性质，讨论布朗桥的“等价转换”性质： 假设w = 睨，玩，舌 0 ，1 2 ) 和v = ，彩，t ( 0 ，1 】2 ) 为两指标的标准布 朗桥，验证经过下列“变换”后的随机过程仍为布朗桥， ( 1 ) 若w 和v 相互独立，那么对v a ( 0 ，1 】，令x = 咒，舛，亡【0 ，1 】2 ) ， 其中 五= 瓜w t 一施k ； ( 2 ) 令y = k ，彰，亡( o ，1 】2 ，其中 1 、 k = 每( 眠一l t l w b ) ；b 0 ，1 】 v 0 ( 3 ) 一w = 一m ，玩，t 【0 ，1 盼 2 在8 k o r o h o d 空间中，一般的加权多元经验过程依分布收敛于具有o s 连续轨道的随机过程，即 t h e o r e m4 0 1 9 对7 - 勿，在( d k ，d ) 空间中，熙依分布收敛于廊， 并且藤具有o s 连续的轨道 3 讨论两指标布朗桥局部时的极限性质，证明多元经验过程的局部时收敛 于多指标布朗桥的局部时 6 ， y 一 k 2 符号与预备知识 2符号与预备知识 2 1 记号与约定 本文约定在同一完备概率空间( q ，y - ，p ) 上讨论问题记( 瓯，钪) 表示【0 ，1 】知 上的连续函数的总体所构成的空间；即( q ，研) 表示【0 ，1 】上的连续函数的总体 所构成的空间用l a 表示集合a 的示性函数用磁表示k 维欧氏空间，即 r k 兰( 一o o ，+ o o ) 麾舻表示融的l e b e s g u e 测度下列约定k 维欧式空间中向量 的各种运算 定义2 1 1 若8 ，t r k ，v a r ，即8 = ( 8 1 ，乳) ，t = ( t l ，如) ( 1 ) 8 t 表示对所有i = 1 ，2 ，k ，有8 屯 ( 2 ) a t = ( 矾1 ，越2 ，a t k ) ( 3 ) 8at = ( 8 1 a t l ，8 kat k ) 。 ( 4 ) l t i = n 冬1 如 ( 5 ) 若8 t ，则8 ，t 】= 【8 1 ，t l 】 8 2 ，t 2 】【8 k ，芒七】 定义2 1 2 用表示七指标的微分算子，即对任意的函数z ，( 。) = 最，z = ( z ，z ) 其中i m 1 ，2 ，而) 对v m = 1 ，k 定义2 1 3 对v us 0 ，1 】七， ( 1 ) 我们称r 在u 上a - - m o n o t o n e ，若z ，y u ，且z y ，就有萎7 0 供中! r = a r ( y ) 一7 0 ) ) ( 2 ) 我们称r 是u 上的一a n t i t o n e ，如果一r 是一m 帆甜m e 的 2 2 预备知识 随机过程是一族随机变量，在这篇论文中，我们主要考虑两个特殊的随机 过程一个为加权经验过程，另一个为布朗桥先了解经验过程 7 。 堡型堕垄堕墅墅塞丝塑坠一 定义2 2 1 假设 冯) 努1 为一歹l j 独立随机变量，服从【o ，1 】知上的f 分布，令 r ( z ) = n 。一1 1 0 。茁】( 魏) ，z 【0 1 1 】七 i = 1 表示由样本噩，x 2 ，所决定的经验分布函数，定义经验过程 簖( z ) = 何( r ( z ) 一f ( z ) ) 其中z 【0 ，1 】知， 礼n 下面约定在不混淆的前提下，记解= 风根据文1 1 9 知； 一个零均值的高斯过程，记为z o ( x ) ，且协方差函数为 +e 藤 ) = f ) ( 1 一f ) ) = ：r c t ) ，t 【0 ，1 】七 风( z ) 弱收敛于 ( 2 2 1 ) 尻具有与风一样的协方差函数这是因为对所有的t q o ，有r ( 亡) = o ，其 中 q o ：0 【0 ，1 】知：t = 1 ，t 2 ，t k ) ，9 i ：岛= o u ( 1 ，1 ，1 ) ) 定义2 2 2 对忌= 1 情形，对【o ，1 】上的概率分布函数f ，称 q ) = f 一1 白) = i n f x 【0 ，1 】：f ( z ) y ) y 0 ，1 】，q ( o ) = q ( o + ) 为量化函数( q u a n t i t l ef u n c t i o n ) 当f 连续时，则q 就满足 q ) = f 一1 ) = i n f z 【0 ，1 】：f ( z ) = y ) f ( q ( 可) ) = y 【o ，1 】 为了讨论的方便，下列总假设f 是连续的 8 ：jq ：j 匈，4 # 嘲7 t 每稚j 一 ， 审1 2 符号与预备知识 引理2 2 1 对一随机变量x ，并且服从f 分布，当f 连续时，u ：= f ( x ) 为【0 ，1 】上的均匀分布 引理2 2 1 的证明是一般的，在许多经验过程的书都有提及，故这里略之 所以，根据引理2 2 1 ，对所有的n 0 ，我们记= f ( x 。) ，则每个玩都 服从【0 ，1 1 七上的均匀分布 定义2 2 3 令 瓯( 秒) = r ( ) = 去1 瞻卅 其中y 0 ，1 】七，称 g n ( 可) ，y 【0 ，1 p ) 为均匀经验分布函数 定义2 2 4 令 q n ( 秒) = 何( 倪( 可) 一玑) d - - - - 1 其中y 【0 ，1 】七，y = ( y l ，y 2 ，弧) ，称 n ( 秒) ，y 0 ，1 】南) 为均匀经验过程 众所周知，在s k o r o h o d 空间，q n 依分布收敛于一布朗桥，记为q o 即q o 是一零均值的高斯过程，且协方差函数为 七k 眈o ( s 以) _ 黔触一娶s 癞 ( 2 2 2 ) = ：7 ( s ，亡) ，8 ，t 0 ，1 】知 具有与q o 一样的协方差函数这是因为对所有的t q o ，有，y ( 亡) = l c t ，t ) = 0 ，其中 q o = 亡 0 ，1 】知；t = ( t l ，t 2 ，如) ，3 i ：t d = 0 ) u ( 1 ，1 ，1 ) ) 注2 2 2 对独立随机变量巩= f ( 五) ，巩= f ( 恐) ，= f ( k ) ，由上诉 定义可知， 风( q ( ) ) = a n ) ，y 0 ，1 】七，佗1 9 福建师范大学黄民香硕士学位论文 即，对于一般分布函数f 的风一过程的研究只需转化为均匀分布的均匀经 验过程的研究即可 其次，我们要了解与经验分布理论有关的一些重要的定义和定理 定义2 2 5 似立增量过程) 设t 为某个指标集，x = 五，t t ) 是( q ，莎，尸) 上的实值随机变量，我们称x 为一独立增量过程，如果对任意的t o t l 厶t ，有五。，瓦。一甄，五。一k 一。都相互独立 定义2 2 6 称( ) n o 为定义在概率空间( q ，厂，固上，取值于某空间e 中的 马氏链，如下述马氏性成立：对一切的t o ，t 1 ，i n 有 p 陬= i n f x o = i o ，一1 = i n - 1 】= 尸陬= i n i 一1 = i - 1 倘若左边的条件概率与佗无关，则称( ) 竹o 是齐次的马氏链 定理2 2 3 ( g l i v e n k o c a n t e l l it h e o r e