（计算数学专业论文）一般线性模型中线性估计的可容许性特征及优良性.pdf

中文摘要 摘要：对于g a u s s m a r k o v 模型可容许性的研究已经比较成熟，有了系统和完 整的理论结果。本文主要研究了一般线性模型( y ，x p ，占k ( o ，仃2 ) ) 中参数估 计的可容许性特征，得到了一般线性模型在无约束，有等式约束及有不等式约束 下，可容许线性估计均具有条件广义岭估计的形式的结论，并且讨论了这一条件 广义岭估计的优良性，证明了其在均方误差和均方误差矩阵意义下都优于约束最 小二乘估计，给出了参数矩阵k 的选取方法。 本文首先概述了一般线性模型，岭估计及约束岭估计的发展历史和研究现状， 在第二章介绍了矩阵的一些基本知识和可容许性的一些基本结论，第三章讨论了 一般线性模型最佳线性无偏估计的几个等价条件，以及线性估计的可容许性特征， 得到了一般线性模型的可容许线性估计均具有条件广义岭估计的形式，给出了一 个齐次线性估计为可容许估计的充分必要条件。第四章分别在带等式约束条件以 及不等式约束条件下，讨论了一般线性模型线性估计的可容许性特征，给出了在 约束条件下齐次线性估计为可容许估计的充分必要条件，同时利用齐次线性估计 与非齐次线性估计之问的关系，把齐次线性估计的可容许性特征推广到了非齐次 线性估计的可容许性特征。第五章给出了约束线性回归模型中回归系数的条件广 义岭估计，讨论了它的优良性，证明了它在均方误差及均方误差矩阵下都优于约 束最小二乘估计，并给出了参数矩阵k 的选择。 关键词：一般线性模型；可容许性；条件广义岭估计；等式约束；不等式约束； 矩阵损失函数；均方误差 分类号：0 2 1 2 4 a bs t r a c t a b s t r a c t ：t h et h e o r ya b o u tt h ea d m i s s i b i l i t yi nt h eg a u s s m a r k o vm o d e li s c o m p a r a t i v em a t u r i t y , a n di n c l u d e si n t e g r a t e ds y s t e m i cr e s u l t s i nt h i sp a p e r , w es t u d y c h a r a c t e r i z a t i o n so fa d m i s s i b l ei nt h eg e n e r a ll i n e a rm o d e l ( y ，r 届si s ( o ，仃2 ) w ed e m o n s t r a t et h a ta na d m i s s i b l el i n e a re s t i m a t o ri sa st h ec o n d i t i o n a lg e n e r a l i z e d r i d g e - t y p ee s t i m a t i o ni nt h en oc o n s t r a i n t ，e q u a l i t yc o n s t r a i n t ，i n e q u a l i t yc o n s t r a i n t g e n e r a l l i n e a rm o d e l w es t u d yt h es u p e r i o r i t yo ft h i sc o n d i t i o n a lg e n e r a l i z e d r i d g e - t y p ee s t i m a t i o n ，a n dp r o v et h a ti ti ss u p e r i o rt ot h er e s t r i c t e db e s tl i n e a ru n b i a s e d e s t i m a t o ri nt e r m so f m e a ns q u a r e s w ea l s og i v et h ec h o i c eo f t h em a t r i xk w ef i r s ts t a t eg e n e r a ll i n e a rm o d e l ，r i d g e - t y p ee s t i m a t o ra n dg e n e r a lr i d g e - t y p e e s t i m a t o r , a n dt h ec o n s t r a i n tb i a s e de s t i m a t o r a n dt h e n ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i c t h e o r ya b o u tm a t r i xa n ds o m ec o n c l u s i o na b o u tt h ea d m i s s i b i l i t yo fe s t i m a t o ri n g a u s s m a r k o vm o d e l i nt h et h i r d c h a p t e r , w ed i s c u s s i o n s e v e r a le q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o no ft h eb e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t i o n ，w ep r o v e dt h a ta d m i s s i b l e c h a r a c t e r i z a t i o no fa d m i s s i b l eo fl i n e a re s t i m a t i o ni sa sc o n d i t i o n a lg e n e r a lr i d g e t y p e e s t i m a t i o ni ng e n e r a ll i n e a rm o d e l an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a t h o m o g e n e o u sl i n e a re s t i m a t o ri sa d m i s s i b l ee s t i m a t o ri so b t a i n e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ed i s c u s s i o nt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fa d m i s s i b l ei nt h eg e n e r a ll i n e a rm o d e lu n d e r e q u a l i t yc o n s t r a i n ta n di n e q u a l i t yc o n s t r a i n t ，w eg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a th o m o g e n e o u sl i n e a re s t i m a t o ri sa d m i s s i b l ee s t i m a t o r , a n db yu s i n gt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nh o m o g e n e o u sa n di n h o m o g e n e o u sl i n e a re s t i m a t o r , w eo b t a i nt h e c h a r a c t e r i z a t i o no fa d m i s s i b l ei n h o m o g e n e o u sl i n e a re s t i m a t o r i nt h ef i f t hc h a p t e r , w e p r o p o s et h ec o n d i t i o n a lg e n e r a l i z e dr i d g e - t y p ee s t i m a t o ro fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n ti n r e s t r i c t e dl i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l ，a n dp r o v et h a ti ti ss u p e r i o rt ot h er e s t r i c t e db e s t l i n e a ru n b i a s e de s t i m a t o ri nt e r m so f m e a ns q u a r e se l l o ra n dm e a ns q u a r e se r r o rm a t r i x ， w ea l s og i v et h ec h o i c eo fp a r a m e t e r sm a t r i xk k e y w o r d s ：g e n e r a ll i n e a rm o d e l ；a d m i s s i b l e ；c o n d i t i o n a lg e n e r a l i z e dr i d g e t y p e e s t i m a t i o n ；e q u a l i t yc o n s t r a i n t ；i n e q u a l i t yc o n s t r a i n t ；m a t r i x l o s sf u n c t i o n ；m e a n s q u a r e d e r r o r c l a s s n 0 ：0 2 1 2 4 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：拿国争 签字r 期：z d 。8 年月z 只 导师签名：7 - 6 7 b 三 签字同期：埔乡月同 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：拿国孚 签字同期：2 p p 踞6 月z 同 3 7 致谢 研究生阶段的学习即将结束，回想在北京交通大学的求学过程，首先要感谢 我的导师张尚立老师，他在学习上给予我不倦的教诲，悉心的指导和深切的关怀。 张尚立老师严谨求实的治学态度、精益求精的科研作风和精深渊博的领域知识给 了我极大的帮助和影响。他不仅为指导我的学习和科研工作倾注了大量的心血， 在生活上也给予了我很大的关心和帮助，在此，谨向张老师表示深深的敬意和衷 心的感谢! 其次，我要感谢理学院的各位老师对我的大力支持与鼓励。在校期i h j ，我得 到了理学院诸位老师给予的指导与帮助。许多老师都曾给我上过课，他们兢兢业 业，勤勤恳恳，把自己的一生都献给了科学教育事业，值得我永远学习。他们高 尚的道德情操和对数学独到的见解深深地影响了我，使我不断进步。在此，向他 们表示我最衷心的祝福和谢意! 最后我要借此机会向养育我成人的父母表达我最深切的感激之情。家人多年 来默默无闻的在背后支持我，给了我一个舒适安定的学习环境，正是他们无私的 支持和不断的鼓励使我得以顺利完成学业，衷心感谢他们! 1 引言 线性模型是现代统计学中内容丰富、应用最广泛的一个研究分支。随着计算 机的同益普及与数字计算能力的不断提高，它被广泛应用于生物、医学、经济、 管理、金融、工农业、工程技术等领域，并在其中发挥着重要作用。近几十年来， 很多学者对线性模型进行了深入细致的分析和研究，使它无论在广度和深度上都 有不少新的发展，例如有偏估计、可容许性理论、非参数回归、稳健回归、大样 本理论、序贯理论、b a y e s 方法、回归诊断等等。这些新的研究方法中，多数在 一定程度上扩大了线性模型的研究范围，有的具有很强的实用价值，有的则是对 原有方法及其理论的修正和改进。总之，这些新的理论和方法进一步将线性模型 的研究推向了新的高峰，使得线性模型更加广泛地应用于国民生产各个领域。 1 1 一般线性模型的发展历史及研究现状 线性模型的参数估计问题的研究可以追溯到上世纪初。著名数学a m l e g e n d r e 和c f g a u s s 分别先后于1 8 0 6 年和1 8 0 9 年独立地把最小二乘法应用于观测数据的误 差分析，后来，a a m a r k o v 于1 9 0 0 年证明了最小二乘估计的方差最小性质，即著 名的g a u s s m a r k o v 定理，奠定了最d - - 乘法在参数估计理论中的地位，r c b o s e 在1 9 4 4 年引入的可估计函数的概念以及广义逆矩阵的应用，使得设计阵为列降秩 的线性模型的估计理论表述得更加严格而简洁。误差协方差阵为列降秩的线性模 型的估计理论的研究始于本世纪6 0 年代中期g o l d m a n 和z e l e n 率先提出了用满秩线 性变换把模型化为协方差阵为盯2 i 且带约束的情形，1 9 7 1 年以来c r r a o 采用推广 最d - - 乘的途径，提出了所谓的“最小二乘统一理论”( t h eu n i f i e dt h e o r e mo f l e a s t s q u a r e ) ，这种方法既适用于设计阵列满秩或列降秩，又适用于协方差阵奇异情形。 导出的估计形式简单便于理论研究，得到普遍采用，使得奇异的线性模型和多元 线性模型的参数估计问题也可顺利得以解决。 1 2 岭估计与广义岭估计 线性有偏估计是针对病态瞅来改进l s e 最直接的方法。1 9 5 5 年s t e i n 证 明了最小二乘估计在平方损失下的不可容许性，紧接着j a m e s 和s t e i n 提出了著名 的j a m e s s t e i n 压缩估计( j a m e s s t e i ns h r i n k a g ee s t i m a t i o n ) ，在二次损失下，它优于 原有的最小二乘估计。这种新的结果使得大量的统计学家对有偏估计的研究产生 了兴趣，并相继提出了很多新的有偏估计。除了压缩估计，在众多的有偏估计中， 影响较大还有主成分估计( p r i n c i p a lc o m p o n e n t se s t i m a t i o n ) 、岭估计t ( r i d g e e s t i m a t i o n ) 、广义岭估计( g e n e r a lr i d g ee s t i m a t i o n ) 和p l s 估( p a r t i a ll e a s ts q u a r e s e s t i m a t i o n ) 等。1 9 6 5 年，w f m a s s y 针对设计矩阵的病态提出了一种有偏估计 一主成分估计。它的本质是先把回归自变量变换到它们的主成分，然后选择其中 一部分重要的主成分作为新的自变量，对它们应用最小二乘法作l s 估计，然后再 转换到原来参数的估计。这种中间转换过程避免了由于设计阵的病态而导致的估 计误差。 1 9 7 0 年，h o e r l 和k e n n a r d l 5 训提出了另外一种有偏估计，称为岭估计( 也称 狭义岭估计) 。其基本思想是在设计矩阵计算中引入一个偏参数，通过对此参数的 合理取值来消除由于复共线性带来的估计误差。岭估计定义为 ( 七) = ( x x + 肼) x 乡，这罩k 0 ，岭估计是一中压缩型有偏估计，在文 1 中给出， ，t t 2 在均方误差意义下，当0 k 羔时，对一切d 0 ，g m s e ( f l ( k ) ) 0 ， l ( o ，口) = ( 臼- 0 ) ( 8 一口) 对二次损失( 2 2 1 ) ，其风险函数为： ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) r ( b ，p ) = e ( 莎一9 ) d ( 8 一国( 2 2 3 ) 称为广义均方误差，简记为g m s e ( 痧) 。特别的，当d = ，时，风险函数为 r ( 0 ，9 ) = e ( 疹一秒) ( 痧一p ) 全e i 否一秒1 1 2 ， ( 2 2 4 ) 称为痧的均方误差，常记为m s e ( r ) 。对于矩阵损失( 2 2 2 ) ，风险函数为 r ( 痧，口) = e ( 莎一秒) ( 否一力，( 2 2 5 ) 6 阵矩交为 p晕 这 p p 一、，、卜们叫习 o j叶u i k o p 厂“l 一 i i 中 小 = 称为0 的均方误差矩阵，常记为m s e m ( a ) 。 定义2 2 1 ：设萌和反为口的两个估计，如果对于风险函数尺( ，) ，有 1 ) r ( 舅，0 ) r ( 0 2 ，秒) ，对一切口成立； 2 ) 至少存在一个r ，使得不等号成立， 则称q 关于风险函数尺( ，) ( 或者说，关于r ( ，) 所对应的损失函数) 一致优于 谚。若在某个估计类中，不存在一致优于秽的估计，则称否在该估计类中关于风险 函数凡( ，) 为0 的可容许估计，简称痧为秒的可容许估计。否则，称痧为目的不可容 许估计。 2 2 2 线性模型中参数估计的可容许性 为方便记，若关于风险函数( 2 2 3 ) 和( 2 2 5 ) ，痧分别为口的可容许性估计，则分 别记为痧二日( 特别的，当d ：j 时，简记为百秒) 和痧0 。下面的定理主要刻画了 这几种可容许性之间的关系。 定理2 2 1 【。1 若痧秒，则 1 )口口； ， d 2 ) 对于一切d 0 ，0 0 。 证明：( 1 ) 用反证法，设否一秒，但痧口并不成立。则存在另外一个估计矿， 使得对一切秒，有 e ( o 一护) ( 矿一e ( o 一目) ( 秒一口) ， 且对某个眈不等号成立。因为a b 可推出t r ( a ) t r ( b ) ，且a b 可推出 t r ( a ) t r ( b ) ，在上式两边取迹，得到 e l i o 一口旷e 归一o l i 2 ，且在某个鼠不等号成立， 即矿一致优于口，与假设百口相矛盾。( 1 ) 得证。 ( 2 ) 仍采用反证法。假设对某个d 0 ，o 一g 不成立。则存在一个估计矿，使 得对一切秒，有 e 1 1 秒一o l l ：e l | 舀一目i | ：， 且在某个皖不等号成立，设五为d 的最大特征根，记f = 五d ，则有 e 归一o l l ：se 归一p 旺，对切秒成立 ( 2 2 6 ) 做新的估计0 ”= f ( o 一目) + 口，其风险函数为 e l l 矽”一口 | 2 = i i 否一秒| 1 2 + e i l 秒疹l | ： = e ( o 一目) 7 f ( o 一否) + e ( p + 一百) f ( 1 9 一秒) ，( 2 2 7 ) 因为f 1 ，f 2 f ，所以 e i 口一否旺： - = i o 一百：， ( 2 2 8 ) 又注恿刽 e l l 乡一百l l ：+ e ( o - o ) f ( 8 一痧) = e ( o 一百) f ( o 一百) + e ( 否一分) f ( o 一否) = e ( o 一口) f ( o 一痧) ， ( 2 2 9 ) 从( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 可以得到 e l i 口”- 0 1 2se i l 百一秒l i 2 + ( p 一口) f ( o 一9 ) + e ( 臼一秒) 7 f ( o 一9 ) = | | 否一口i | 2 + e ( 9 一口) f ( 9 一功一e ( 痧一口) f ( 0 一秒) = e i p 一口| | 2 + e l l 口一秒：+ i i 痧一日 i ： e 怜一0 1 2 在某个皖不等号成立，即矿一致优于痧，与假设疹一目相矛盾。定理得证。 显然，x j ：- - o jd 0 ，百二伊可推出否0 。基于这一点，我t - j r 需要讨论均 方误差下的可容许性问题。 定理2 2 2l 1 1 若蚕0 ，则彳百a o 。当a 可逆时，其逆办真。 证明：设痧0 ，根据定理2 2 1 ，有舀2 口，下面证明痧2 矽可推出彳痧一a r ， 用反证法。若a g a r 不成立，则存在估计矿一致优于彳百。于是，对一切口有 e 耖o - a o2 e 一a o 2 ， ( 2 2 1 2o ) 且对某个岛不等号成立。记只= 彳( 彳) + a ，注意到( ，一只) 只= 0 ， u - p 。) a = o ，所以 归- a o l 2 - i o 一只p + 只矿一彳圳2 = 妙- p o n 帜9 - a o2 ，( 2 2 1 21 ) f l = j ( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) ，有 e p a o - a o 旷e 1 1 秒+ 一彳秒1 1 2 l l 彳痧一a o l l 2 = e 肛帆， 对一切秒成立，且在某个o o 不等号成立。若记旷= ( 彳) + a 7 q ，则p o = a o ”， 于是，上式变为 0 彳乡”一a o 旷 0 未知，设为p 阶未知参数矩阵，k 为一尼p 矩阵，使k p 可估。k p 的 形如勿的估计( 为矩阵k 刀) 组成齐次线性估计类。以下考虑k 的矩阵损失函 数为： l ( d y ，k p ) = ( d y - k f l ) ( d y - k f l ) 7 ( 2 2 1 3 ) 定理2 2 3 川在模型( 1 2 1 2 ) 下且设k 可估，则l ，是k p 的线性可容许估计的 充分必要件是： l = l x t x 矿； 肼= k ；或者肼k ，但对任何a ( o ，1 ) ，下式不成立： 2 l x t x z 一k r 一彳z 一疋7 一k - 0 一a ) ( l x k ) t 一( x 一足) 0 证明：先考虑充分性。设为m xr t 矩阵，则根据文 1 】中引理4 1 1 ，我们只需证 明：对任何m x 行矩阵a ，a x p 不能一致优于l y 。分两种情况： a 肼= s 。这时由 r ( sp ，o z ，l y ) r ( s f l ，盯2 ，肼) = 仃2 l 爿7 一x z 7 + ( 1 2 ( 一s ) 芦炒( i x - s ) ，( 2 2 14 ) 有r ( s p ，盯2 ，l y ) = o r 2 s t s 。 若似= s ，则由 r ( s p ，c r 2 ，a y ) r ( s p ，仃2 ，肛) = 仃2 a x t x 么+ ( 彳彳一s ) 筇( 似- s ) ，( 2 2 1 5 ) 知r ( s p ，0 2a y ) = o r 2 s t s ，故肛不能一致优于y 。若删s ，则由 ( 2 2 1 5 ) 知，固定盯2 ( 例如，令仃2 = 1 ) 而适当地选择，知从夕也不能一致优于 t ，yn b s 。由定理条件，知l x t x l s t s 不成立，因为若此式成立，将有 2 i x t x 艺一k f 一义z 一泖一k 7 - ( 1 - a ) ( l x k ) t 一( l x k ) l x t x z + s 丁一s 7 - s t z z 一l x t s7 一( 1 - a ) ( l x - s ) t 一( x s ) 7 = ( t x - s ) t 一( l x s ) - 0 一a ) ( l x - s ) t 一( l x s ) 7 = 4 ( 从一s ) t 一( i x - s ) 0 ， 对任何a 0 成立，这与条件矛盾。因此，存在非零向量口，使 口( a t x z 一s 丁s ) 口 0 ( 2 2 16 ) 若a x = s ，则由( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) ，知 口( 足( o ，l ，l y ) 一r ( o ，l ，a x p ) ) = 口( l x 丁一石z 7 一s 丁一s ) 口 l ，则o a ( z 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) ， 固定盯2 = l 并适当选择，知a x a 也不能一致优于】，。若口= 1 ，则由( 2 2 1 4 ) f g l ( 2 2 1 5 ) ，知 r ( s p ，0 2 从) 兰r ( s 7 ，仃2 ，l y ) 若0 0 及属，使 8 ( s f l ，磊，l r ) - g ( s ，似) 不为零矩阵，因而从一致优于y 。这说明 ，都不满足时，y 不是k 的线性可容许估计。这就证明了必要性，因而证 明了本定理。 由本定理及文 3 的定理立得如下结论。 推论2 2 1 在模型( 2 2 1 2 ) 下且设足可估，则】，是k 的线性可容许估计的充 分必要件是以下两条件，同时成立： l = l x t x 矿； 从= k ；或者崩k ，但以下a ，b 成立一条： l o a a = 2 l x t x l 一k t x z 一l x t k 至少有一个负特征根； b a 0 ，r k ( a ) 0 这里五，t 的意义为有非奇异阵p 使得黝p ；d i a g ( 2 1 ，丸) ， p b p = d i a g ( r 。，乙) ，此处b = ( l x - k ) t 一( i x - g ) 。 以上定理完满的解决了在矩阵损失( 2 2 1 3 ) 下，线性估计在齐次线性估计类中 可容许性的问题。 下面考虑一元带约束的g a u s s - m a r k o v 模型： f y _ x ，p e ( o ，盯2 v ) ， ( 2 2 1 9 ) 【f l x ，v x p 0 使得 2 l v l + 2 l v n v l - 删从一k 从z 五( 肼- k ) a ( l x 一尺) 则必有l v n = 0 ，l x = k ；其中t = x x + v ；a = ( x t + x ) 一一j 。 3 一般线性模型中线性估计的可容许性特征 3 1 一般线性模型介绍 l y = x p + f 以s ) = 0， ( 3 1 i c o 以占) = 盯2 1 2 引理3 4 对一般线性模型m = ( y ，x ，盯2 ) ，如果可估，则c 声是c 唯一的 b l u e ( 几乎处处意义下) 由上面的引理，我们可以得到一般线性模型最佳线性无偏估计的一些等价条件。 定理3 1 对一般线性模型m = ( y ，x ，口2 ) ，以下几条等价： ( 1 ) 尺( x ) c 尺( ) ； ( 2 ) 对的任意广义逆及任意c 尺( x ) ，c ，( x 一x ) 一x 一y 是c 的b l u e ( 3 ) 对的任意对称自反广义逆一。及任意c r ( x ) ，( x 。一x ) 一x 。一y 是 c 的b l u e ( 4 ) 存在对称自反广义逆一。及任意c 尺( x ) ，c ( x 。z ) 一x 。一y 是c 的 b l u e 证明：( 1 ) j ( 2 ) ，取t = ，再由引理3 4 即知 ( 2 ) j ( 3 ) ，( 3 ) ( 4 ) 显然 ( 4 ) j ( 1 ) ：令矽= ( x 。一x ) 一x7 。一，m = x ( x 。一x ) 一x7 。一由于 c o v ( c 7 ，b y ) = 0 ，v c r ( x ) ，e ( b y ) = 0 c ( x 。一x ) 一x 。一6 = 0 ，v c 尺( j 7 ) b x p = 0 r x ( x 。一x ) 一x 。一6 = 0 ，v y r ”，b x = 0 m 场= o ，v b n ( x 7 ) n ( x ) cn ( m v ) i ( v m ) c 尺( x ) 根据条件c 矽是c p 的b l u e ，从而由引理3 3 即知对任意7 乏”，下式成立： 尺( 蹦) cr ( x ) ， ( 3 2 ) 由条件，x 矽也是y x , 6 的无偏估计，因此 7 x = e ( y x 矽) = y x ( x 。一x ) 一x 。一e ( y ) = y x ( x 。一x ) 一x 。一x 由y 的任意性可知x ( x 。一x ) 一工7 。+ x = z ， 于是x = 似。从而 r a n k ( x ) = r a n k ( m ) ，又因为 m m 7 ，一= x ( x 。一x ) 一x 。一。一x ( x 。一z ) 4 彳。一 = 并( x 。一x ) 一x 脬一x ( x 7 。一x ) 一x 7 腰+ = 肖( x 7 。一x ) 一彳肘一= m ， 故 r a n k ( x ) = r a n k ( g ) = r a n k ( g m z - r , ) r a n k ( z m ) r a n k ( m ) = r a n k ( m ) = r a n k ( x ) 即r a n k ( x ) = r a n k ( t g7 ) ，结合式( 3 2 ) 立即得至= f j r a n k ( x ) = r a n k ( z m ) c 尺( ) 。 定理证毕。 我们定义模型( 3 1 ) 的广义岭估计为屏= 1 x 7 一】，其中 s ，：形+ k ，形= x t x ，k r ；为对角矩阵。在下面一节罩我们讨论的线性估 计的可容许性特征，我们将证明模型( 3 1 ) 中的参数的线性可容许估计具有条 件广义岭估计的形式。 3 2 一般线性模型线性估计的可容许性特征 引理3 2 1 在模型( 3 1 ) 中对于任意a r 。，下面三个命题等价： 1 a y 在齐次线性估计类 f y ：f r 。 中是的可容许估计； 2 x _ , 4 t r ：且f ( ( 似) c 【o ，1 】； ii 3 a = ( 矿一) 2 ( 一) 2 x t 一对于某个h r 盖，f ( h ) c 0 ，l 】，其中= x 7 一x 。 证明：首先证明命题l 与2 的等价性。 由文【8 】定理6 0 可知，a y 是呵容许估计等价于以下三个条件 ( 1 ) u ( t a 7 ) “( x ) ； ( 3 2 1 ) ( 2 ) a x w k r ；： ( 3 ) 朋一k7 一a x w x 2 r ； 取k = i 则( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 式变为 。4 酮矿一= w x 么 和 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) a x w 一一a x w x 么7 瓞：( 3 2 5 ) 由( 3 2 1 ) 得a7 = t 一魁，l r p 。，把它代入( 3 2 4 ) 中，由于l = l ，( 3 2 4 ) 包含了 x a t = t a w 7 ，( 3 2 6 ) 另一方面，( 3 2 6 ) 式两边右乘t 一删一，将= x 7 一x 代入得到( 3 2 1 ) 式，将( 3 2 6 ) 式左边和右边分别乘于缈一x 7 一，t 一删一可得到( 3 2 4 ) 式，这 表明( 3 2 6 ) 式等价于( 3 2 1 ) 式和( 3 2 4 ) 式。 li 由( 3 2 2 ) 式可知，d = ( 一) 2 a x ( w 一) ：r 乞所以( 3 2 3 ) 式可以写成 d d 2 r ：，此式成立当且仅当r ( d ) c o ，1 】，又因为r ( d ) = r ( a x ) ，证明完 成。 下面证明命题2 与命题3 的等价性： 先由命题3 推出命题2 ， ll a = ( 形一) 2 h ( 矿一) z x 7 一且日为对称矩阵，所以利用x ? 一t = x 可得 llll x a t = x ( 矿一) 2 ( 一) 2 7 一t = x ( 形一) 2 ( 矽一) 2 x 所以x a t r 乏，其中 i i 形= x 7 一x = ( ( t 一) 2 x ) ( ( r 一) 2 x ) 注意到 j ! li 允v = ( 矿一) 2 ( 矽一) 2 x 丁一x = ( 形一) 2 日( w 一) 2 矿 则有f ( 肛) = f ( ) c 【o ，l 】即从与日的非平凡特征根重合，命题2 成立。 ll 由命题2 推出命题3 ，令h = w2 a x w2 ，注意到丁一黝r ：有 i 1 11 h = 矽2 w w a x ( 形一) 2 = ( 一) 2 x t 一脚( 形一) 2 r 乏 而日和脑的非平凡特征根重合，故f ( h ) c 0 ，l 】并且有 1 4 ( w 一) 2 日( 矿一) 2 x 7 一= 矿一x a x t = 矿一彳7 一x a = a ，即命题成立。 引理3 2 2 ：下列命题成立 1 对于矩阵m ，l r ：，不等式m 成立当且仅当“( ) “( m ) 且 r ( l m + ) c 【0 ，1 】： 2 对于矩阵m r ：，工r ：，不等式m 三成立当且仅当f 1 m 一： 3 若l r ：，且u r 朋则有f 一f l u ( u r u ) + u r 。= ( 骁砚) + ，其中 鱿= i 。一硼+ ，注意到“【( 线鱿) + 】一“( q u ) ，可知 ( 绋l o u ) + = 既( 砚瓯) + = ( q v l o u ) + q u = 吼( 吼l 线) + 吼 证明：1 充分性：由m 酞：，l r ：，l m 显然有u ( l ) u ( g ) ，肼+ 0 ， 在l m 两边同乘于肘+ ，即可得到0 l m + m m + 1 即有r ( l m + ) c 0 ，1 】： 必要性：由r ( l m + ) c 【o ，1 】可得出0 l m + sm m + ，在两边同乘 于m 即得l m 。 iillilll 2 l2 舰2 l2 l l2 = ，j 三2 m l2 一i 0 ，因此2 舰2 的特征根都小 il llil 于1 ，可得( 2 讹2 ) 一= l 2 m l 2 的特征根都大于l ，从而有，一2 m l 2 0 两 i 边同乘于l2 即得f 1 一m 一0j f 1 m 一 3 利用+ 号逆的定义即可验证。 下面我们给出本章的一个重要定理。 定理3 2 1 在模型( 3 1 ) 中未知参数= a y 是可容许估计，当且仅当 = 反一1 尺7 ( 月。r ) + r 厦， 其中 k r ：，r 1 8 l ，群= s ：。x ? 一y ，s 膏= 形+ k ，= 彳? 一x 证明：对于某个k 乏：，r r ，。令 b = s ：1 x 7 一一s ：尺( 尺s ：1 r7 ) + 尺s ；1 x 7 一， 、 。 首先证充分性，由引理3 2 1 知，要证明b y 是可容许估计，只需证明 x b t r s ，r ( 以) c 【0 , 1 】，x b t 很明显是对称阵，注意到 b x = 1 x 7 一x 一r ( r s - 1 r7 ) + 月s ；7 一x = s ：肜一s 二1 r ( 尺s ；1 r ) + 尺s 二1 w ， 令 illl d = 2 1 矽2 一2 1 r ( r s - x 。r ) + 尺s ? 缈2 而b x 的非平凡特征根与对称阵d 的非平凡特征根重合，那么下面只需证明 f ( d ) c 【o ，1 】，矩阵r ( r s - k 1 r 7 ) + r 和& 都是对称非负定矩阵，且s 是非奇异矩阵， 可知 “【( 月7 ( 见掣r ) + r 】cu ( s x ) ， 而 ( r s - k r ) + 髓：r = ， f l r ( r ( 兄1 r ) + 尼掣) = f ( ( 胚；1 r ) + 尺1 r ) 即非平凡特征根重合，要么为0 ，要 么为l ，即有 r ( n 7 ( r r ) + 只1 ) c o ，l 】， 这样由引理3 2 2 的命题1 ，可得到 r ( r s - x r ) + r & ， 以及 iiil 2 1 r 7 ( 月r ) + 船；。w 2 w 2 2 ， 也就是0 脚d ，因此d 的所有特征根都是非负的实数值，根据引理3 2 2 的 命题( 2 ) ，从不等式wss k 可推出s w 一，所以 1 w 一十1 r7 ( 峨r ) + 兄掣， 并且可推出 ii ii 矽2 s ：w 2 i + w2 s ；r ( r s - x r ) + r s - k 。w 2 ， 即d i 。，这表明 f ( 肘) = r ( d ) c 【o ，1 】 这样就证明了b y 的可容许性。 必要性， 设a y 是的可容许估计，根据引理3 2 1 命题3 可知，对于某个 ii h r ：| r ( ) c 0 ，l 】，有a = ( w 一) 2h ( w 一) 2x 7 一。我们需要证明对于任意的矩阵 日，存在k r ；，r r ，j 使得对a 具有曰的形式，即a = b 。 ll 设r r 川是满足r ( r ) = 【( 渺一) 2h ( w 一) 2 】的任意矩阵，对于某个适合的r ， 这样的矩阵总是存在的。那么 liii 骢【( 形一) 2 h ( w 一) 2 】= r ( 形一) 2 h ( w 一) 2 】+ = n ( r ) = r ( g ，) ， 其中绋，= i r r + 由此可得如下两个等式： i ! i ! 绕， ( 一) 2 h ( w 一) 2 = ( 一) 2 h ( w 一) 2 = ( 形一) 2 h ( w 一) 2 级， 以及 l ! !1 1 g ，【( 一) 2h ( w 一) 2 】+ = ( 矿一) 2h ( w 一) 2 】+ = 【( 一) 2h ( w 一) 2 】+ 绞 jl 令k = ( 渺一) 2 h ( w 一) 2 】+ 一级酝， 因为 ! l r ( g ，醵) = r ( 酝，) = 1 5 2 ( ( 一) 2 h ( w 一) 2 】+ ) ， ll 并且矩阵级，幽鲚( 肜一) 2 h (