（基础数学专业论文）单叶函数某些子族的性质.pdf

摘要 本文主要针对单叶函数的一些子族进行研究全文共分五章 第一章，我们简要地介绍了单叶函数论发展的背景以及本文可用到一些定 义和记号 在第二章，结合口次星形函数的几何性质及p 型螺形函数( 见定义b ) 的解 析刻画，我们定义了一类新的函数类鹾( 见定义1 2 4 ) ，并研究了该函数类的增 长、掩盖定理及系数估计等性质 第三章，在考虑零点阶数的情况下，我们给出了函数类宠( 见定义1 2 5 ) 精细 的增长、掩盖定理和精确的系数估计， 第四章，我们研究了一类负系数p 叶解析函数的某些性质，包括它的系数 估计，偏差定理，闭包定理，极值点定理 在本文的最后一章，我们研究了关于近于凸函数的菜一子族t s ( a ，仞，得到 了它的系数不等式性质 本文的主要结果是在已有结果的基础上更深入的研究，将原有的结果作了 系统深入的推广，通过本文的工作，使得我们对单叶函数一些子族的性质有了 进一步的认议 关键词：单叶函数；解析函数；口次星形函数；p 型螺形函数；n 次殆 星函数；近于凸函数 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t hs o m es u b c l a s s e so fu n i v a l e n tf u n c t i o n s t h i sp a p e ri sc o m p o s e d o ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p e db a c k g r o u n do fu n i v a l e n tf u n c t i o n ，s o m e d e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n si nt h i st h e s i s 。 i nc h a p t e rt w o u s i n gt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fs t a r l i k ef u n c t i o no fo r d e r 口a n da n a l y s i s & p i c t o f s p i r a l - l i k e f u n c t i o no f t y p e8 ，w e d e f i n e a n e w c l a s s o f f u n c t i o n s 鲁a n d o b t a i n i t s p r o p e r t i e s o fg r o w t h 、c o v e r i n gt h e o r e ma n dc o e f f i c i e n te s t i m a t e i nc h a p t e rt h r e e ，c o n s i d e r i n gt h ez e r oo fo r d e r ，w eo b t a i nm o r er e f i n e dg r o w t h c o v e r i n g t h e o r e ma n ds h a r pc o e f f i c i e n te s t i m a t eo ff u n c t i o n 宠 i nc h a p t e rf o u r ，w es t u d yf l o r a ep r o p e r t i e so fp - v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f - f i c i e n t s ，i n c l u d i n gi t sc o e f f i c i e n te s t i m a t e ，d i s t o r t i o nt h e o r e m ，c l o s u r et h e o r e ma n de x t r e m ep o i n t s t h e o r e m i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yas u b c l a s st s ( a ，p ) o fd o s e - t o - c o n v e xf u n c t i o n sa n do b t a i ni t s p r o p e r t i e so fc o e f f i c i e n ti n e q u a l i t i e s t h ep r i n c i p a lr e s u l t so ft h i st h e s i ss u c c e e dt ot h ek n o w nr e s u l t s ，a n dw ee x t e n dt h e md e e p l y a n ds y s t e m a t i c a l l y o w i n gt oo u rr e s e a r c hw o r k w eh a v eaf u r t h e rr e a l i z a t i o na b o u tt h ep r o p e r t i e s o fs u b d a s s 髓o fu n i v a l e n tf u n c t i o n s k e yw o r d s ：u n i v a l e n tf u n c t i o n ；a n a l y t i cf u n c t i o n ；s t a r l i k ef u n c t i o no fo r d e r 口；嘟r a l 一 l i k ef u n c t i o no ft y p ep ；a l m o s ts t a r l i k ef u n c t i o n so fo r d e r 口；d o s e - t o - c o n v e xf u n c t i o n 江西师范大学学位论文独创性声明 本人声明所晕交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究r t 作及取得的研究成果。尽我 所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得江西师范人学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明， ：表示谢意。 学位论文作者繇豢盛蕴签字日期：2 受堕：兰 江西师范大学学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属江两师范大学。本人保证毕业离校 后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为江两师范大学。学校有权保留学位论文并向 国家土管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 学位论嫦者弛盈懿 签字日期：2 丝垡： 导师签名： 签字吼珥正一 第一章引言与预备知识 单叶函数论是复分析中的一个重要组成部分，其历史源远流长，它的根源 可追溯到著名的p d e m a n n 映照定理，在上个世纪相当长的一段时间内，有不少 数学家如p k o e b e ，l b i e b e r b a c h ，c l o e w h e r ，g m g o l u z i n ，p l d u r e n ，c h p o m m e r e n k e 和l d e b r a n g e s 等，为单叶函数论的发展作出了重要的贡献，从而使得它的内容非常丰 富和完善，获得的结论也十分优美和深刻 三十年代，我国一些数学工作者也相继投入到单叶函数的研究中来，其中 陈建功教授是我国最早从事单叶函数的数学工作者在他的带领下龚升、胡 克等人也在单叶函数的研究方面做了许多重要工作，其中许多研究成果达到 了国际先进水甲，使单叶函数成为我国的数学研究之一 熟知，b i e b e r b a c h 猜想是单叶函数最重要的问题之一，这个猜想未证明之前， 在很长一段时间晕对单叶函数论的发展具有决定性的影响，该猜想于1 9 8 4 年 被美国的d eb r a n g e s 教授证明，这引起世界轰动，被评为2 0 世纪最大的数学事 件之一 自著名的b i e b e r b a c h 猜想被证明以米，单叶函数论还有许多难而有趣的问题 去研究探索，如研究单叶函数子族精确的增长、掩盖定理及系数估计等问题， 一直是人们研究的重要课题之一本文就是在前人研究的基础上，对单叶函数 一些子族的几何性质作了比较深入系统的研究在本文的第二章，在研究了星 形函数的一类重要了族的几何性质及p 型螺形函数的解析刻画的基础上，我 们自然引入了单叶函数的一类子族畿( 见定义1 2 4 ) ，并系统地研究了该族的性 质，包括增长、掩盖定理及系数估计等 在文f 9 】中，作者引入了单叶函数的一类子族诬，并系统地研究了该旅的一 些性质在本文第三章，我们在考虑零点阶数的情况下( 即z = 0 为，( 。) 一z 的n 阶零点) ，也研究了函数族罐的一些性质，这些性质包含和推广了文【9 】9 中结果 近年来，负系数p 叶解析函数也是人们关注较多的一种单叶函数的子族，本 文的第四章，在考虑零点阶数的情况下，也对该族展开了研究，得到了一些结 果，该结果已部分地发表在南昌工程学院学报上 近于凸函数是一类重要的单叶函数族，在本文的最后一章，我们研究了近 于凸函数某一子族的系数不等式性质 江西师范人学硕士学位论文 1 2 预备知识 。f 面介绍本文的一些有关定义 定义1 2 1 1 2 1 】若，( 名) s 且满足 毗f 搿】 。 则称，( 孑) 是d 上的星形函数，记所在的类为伊 定义1 2 2 设0 t f 0 ，1 ) ，若，( z ) s 且满足 叫搿】 ：d 则称，( 名) 为d 上的q 次星形函数，记所在的类为9 ( q ) 定义1 2 3 【3 】若函数，( z ) ：。+ 萎扩s ，满足条件 吡端】 a ，( o a n c 0 6 口 在文【9 】中，作者引入了p 型螺形函数的一类了族 定义1 2 5 1 9 1 设q f o ，1 ) ，卢( 一号，署) ，0 ) s ，则，( z ) 禽当且仅当 舭p 铬】 一凤z ed 定义1 2 6 1 2 3 1 若函数，( z ) a 。) 且满足 l型lp，(zd)a b ( f z f 也) ) l r 。叫 贝u 称，f 名) 日( p ，a ，b ) ，其中一l b as1 ，0 a c o s p 显然当口= 0 时，f ( z ) 岛，当p = 0 时f ( z ) 只( q ) 本章系统地研究了函数族碟的性质，包括它的判别条件及增长、掩盖定 理 下面给出本章中要用到的两个引理 设p ( z ) = 1 + 萎p n z n 在d 内解析，记所在的类为b 引理2 1 1 【4 j 函数p ( z ) b 且满足瓣e 防( z ) 1 0 ， 。d 3 江西师范人学硕士学位论文 当且仅当 p ( 名) 哥， f o d 引理2 1 2 【5 l 方程l 丝z - - z 2 l = 七( o 0 于是p ( z ) 2 ( 1 一q ) c o s ， f 1 4 a ( 1 一a ) c o s 2 用z 2 + 1 + 2 c o s p ( 1 2 a ) 1 一f i 一4 0 r ( 1 一口) c 0 6 2 用z 2 ) 。 2 ( 1 一口) c o s ， f 1 4 a ( 1 一口) 】茁2 + 1 + 2 c o s s o 一2 q ) z ) 1 一【1 4 a ( 1 一口) c 0 8 2 明z 2 ) 。 2 ( 1 一口) c o s p f 1 4 a ( i a ) 】z 2c o s 2 p + 1 + 2 c o s ，( i 一2 q ) z ) 1 一f i 一4 a ( 1 一口) c o s 2 用z 2 ) 2 所以f ( x ) 是递增函数于是 舭知+ p = 苦器杀黑茹+ 知( 1 一q ) c o s ， 1 一z 2 【1 4 a o q ) c o s 2 用 = ，+ 墨秽杀寒筠 州叫c o s pk 南i 南 ( 2 2 ) ，l 。2 ( 1 一a ) ( 1 2 a ) r 2 c o s 2 p s1 十丁= 罩丌j 面f 五丽 + ( 1 一q ) c o s p f 刁亏希丽+ 百而青希丽】 其中z = r e 甜d ，0 【0 ，2 霄) 考虑( 2 2 ) 右端不等式 附峨错采丽m l f ( z ) l - + 号 呈姿 糟l n t s 2 【一4 n ( t 一口) c 2 明) + 了育三i ( 1 茏- 彳f a ) 三c 丽o s pl n ；+ r v 1 - 4 a ( 1 - a ) c o s 2 3 ：l 一爿hl 眷属糕| 由于躲l n l 华乎i = o 从而 hl，(圳妯啬忑乏品砾瓣也哥+rv丽1-4a(1-a)cos2f11 r 2 1 4 a ( 1l 赢一( 一 一 一q ) c 0 8 2 用) 气= 盖寸= 爵= ；百 l 1 一，、1 4 口1 1 一o j c o s 4 p j 进一步可得 叭圳警鲁孚孥差薹薹薯 江3 ， 【1 _ t 以j 币j 翮盥坦业篙糟糯等必 由于例= r ，令仇= 1 - - 4 a ( 1 a ) c o s 2 3 ，n = ( 1 一o , ) c o s ，则( 2 3 ) 可简写成 叭圳警锗军n r a - , 。+ a c o s 0 1 ( 1 一价吲) 。= r 。 对( 2 2 ) 左端不等式采用同样的计算方法可得 叭硎警鲁至孥墓薹篓墓， 【1 + r 、l 一4 a ( 1 一q ) 0 0 2 卢1 一。j 氲r 石再磊丁万一 似划2 篙雾 而i z ( 1 - - m 藩l z ) 舻邬l 篙筹 7 江西师范人学硕士学位论文 当m = o 时，且口c 伪p = 南时，有e 2 i 谚_ 2 0 t e i p c o s p = o ，根据1 1 一错i = ( z ) i z i = r ，可得 h 鲰错= r 鲁l n i f ( 列 l + r 采取同样办法对r 在区间k ，川上积分可得 名i e 1 2 l l ，( z ) si z l e l 。i 8 第三章关于型螺形函数的一类子族的增长、掩盖定理 和系数估计 3 1 引言 最近，在文【9 】中，作者根据d 上的q 次星形函数的定义及p 型螺形函数 的解析刻画，在d 上引入了p 型螺形函数的一类子族宠( 见定义1 2 5 ) ，并研究 其增长、掩盖定理以及系数估计( 见定理d 和定理e ) 定理d 【9 1 设，( z ) 魂，则有 1 + ( 1 - l 2 a ) l z l 科si f ( 列f 蒜而，v z ed 定理e1 9 】设，( 力= 名+ n 2 2 2 + 宠，则l n 2 is2 ( 2 一曲c o s p 估计是精确的 本章，在考虑零点阶数( 即，( 孑) 露，且z = 0 是，( z ) 一z 的膏+ 1 阶零点) 的情 况下，得到族宠的增长、掩盖性质及系数估计，所得结果推广了文【9 】中相应 的结论 为证明本章中的主要定理，需如下两个相关引理 引理3 1 1 【9 】设，( 名) 昂，p ( 一墨，考) 令z ( ) = f - , e z p ( - e j a r ) f ( z ) 其中z d o ) ， t 1 0 ，+ o o ) 则有 ( i ) i z ( t ) l 作为t 的函数，在t 【o ，+ ) 上严格单凋减小； ( 我) 熙毪抖= 1 ，且对于任意t ( o ，+ o o ) 有掣= 一e 一妒燃； ( i i i ) 掣= 一i f ( z ( t ) ) e o s 下面的引理便是熟知的推广的s c h w a r z 引理 引理3 1 2 1 0 1 若f ：d d 是解析的，且z = 0 是，( z ) 的七佧) 阶零点，则 i f ( z ) l i z l 如d ) 证明因z = 0 为，( z ) 的七( 七j ! v ) 阶零点，故可设，( 孑) = z b ( z ) 其中从z ) 在d 内 解析，且9 ( o ) 0 于是 出) = 等， 定义9 ( o ) = 掣，则9 ( z ) 在例 i 内解析考虑9 ( 彳) 在d 内任一点z o 处的值，若， 满足条件 r 1 ，根据最大模原理，有 i g ( z o ) l _ 嚣m 训一- l z l = 叫, - 等l 专 令r 一1 即得i g ( z o ) l 1 ，于是 i g ( 0 ) j = i 掣b 江西师范人学硕士学位论文 g ( z o ) l = l 掣卜 即 i ，( z o ) i 1 2 j d 一 由幻的任意性可知i f ( z ) ism ( z d ) 3 2 主要结果及证明 定理3 2 1 设，( z ) 韶，且z = 0 是厂( 孑) 一z 的后+ 1 ( 七) 阶零点，则有 再f 磊i z l 褥鲥l s f 带平，比d 证明当n = 0 时，结论显然成立现就q 0 的情况给出证明 设，( z ) 鬻，固定石d 、 o ) ，。 令2 j d = 裔，则硒o d 定义d 上的函数 贰，= 紫翟e dp k 由定义瓣e k 诏妖孚】q c o s p 得 卜端一2 0 l p i 莉1 ，z ed 从而 眇一蕊1 硒l 蕊1 邳，专。 于是1 2 a e o s p g ( 毒) 一1 f 1 令p 偿) = 2 a c o s 3 9 ( ) 一1 ，则b ( ) l 1 且p ( o ) = 2 a c o s 9 e 一徊一1 作d 上的函数 球，= 等器球。 易知危( o ) = 0 ，i 九( f ) l 1 且芒= 0 是_ l ( 毒) 的k ( 七) 阶零点，由引理3 i 2 得 l _ 7 l ( 专) i 障r ， d 由此可得 l 意2 a 希磐c 生o s ，3 e 褊e i # 阳 ic o s 纠( 1 2 q2 口) 夕( ) +】l 。h 。 整理可得 i 砰1 2 丛acosfle；z)y(f 阳t i ( 一) + e 够r 卜卜 单叶函数某些子族的性质 l 亲善基旧印一p e i l 3 - 1 i 于是9 ( 专) 落在复平面上以n 为圆心，以r 为半径的圆内，其中 n = 华粥罴筹，r = 高藩端 n2 1 = 砑币赢忑万f 习r r 2 r 砸问菘丽磊研 从而 g 琵a rs 蹰e 9 ( 专) 瓣e 口+ n 通过简单计算可得 瓣e 口一r = 尘 笋苦譬再三曼主垂掣史一= = j 型 竺专 竺麦丢掣= 。p 丁干器， 和 叫释器辫c o s p 警 因此 瞄p 哥篾蒜吲9 o ，( z d ) 于是 ( 1 + it a n 卢) z f 7 ( z ) 一( q4 - t a z x p ) f ( z ) = ( 1 一a ) 烈z ) ，( 名) ， 展开得 ( 1 + i t a n 卢) k + ( 七+ 1 ) 口七+ i z 七+ 1 + ( 七+ 2 ) 口七十2 名七+ 2 + 】一( a + 看t 觚所( z + 口k + 1 z k + 1 + 8 七+ 2 + 2 + ) = ( 1 一a ) o + c l z + c 2 + + c 七一i z 七一1 + c 七z 鬼+ c k + 1 z 七+ 1 ) ( z + 口七+ 1 名七+ 1 + a k + 2 z 七+ 2 + ) ， 比较两边系数得 c 1 = c 2 = 2 一1 = 0 ， 1 2 单叶函数某些子族的性质 即 【( 1 + i t a n ) ( k + 1 ) 一( 口+ i t a n 历】o + 1 = ( 1 一口) ( c + n + 1 ) k ( 1 + 饥a n p ) 口k + 1 = ( 1 一q ) c k 考虑到正实部函数州z ) = 1 + c 1 z + c 2 z + 的系数满足i c ls2 ，奄= 1 ，2 ，从 而有 吲s 警，j = 川，2 七 当歹= 后+ 1 时，得到 a k + 1 l 估计是精确的可考虑函数 2 ( 1 一q ) c o s p 2 1 一 m 两 丽毒至【( 1 + z ) 。 二二型j = 石 t + 坐芈塑冉1 虑 i ：z 十2 ( 1 - a ) e - i a c o s 卢孑+ 1 + 冠 注记2 定理3 2 2 推广了文【9 1 中的结果，当七= l 时，上述定理便是前文所述 的定理e 第四章关于一类负系数p 叶解析函数的某些性质 4 1 引言 用厶表示单位圆盘d = z c ：h 1 ) 内的单叶解析函数 化) = z p 一咻 的全体所构成的函数族，其中o + ，0 我们把a n ( p ) 称为负系数单叶函数族 若函数，( z ) a 。且满足 l 鱼糕l 反( z d ) (41)a b (i z f 心) ) 7 i 一 ”1 ”7 则称f ( z ) 日( p ，a ，b ) ，其中一1sb a 冬1 ，0 p 1 参见文献【l3 】 在文献【13 】中，( z ) ：z 一萎n + ，z + ，的情况下作者利用，( z ) 日( 展a ，b ) ，得 到了它的系数估计，偏差定理等 而本章是在i ( 0 ：矿一萎咻。矿t 的情况下，利用不等式关系引进了负实系 数单叶函数族，( 名) 日( 展a ，b ) ，得到了它的系数估计，闭包定理；h a d a m a r d 定理； 偏差定理；极值点定理，因而推广了作者的相关结果 4 2 主要结果及证明 ( 1 ) 系数估计 定理4 2 1 设一1sb as1 ，0 卢1 ，则，( z ) ：z p 一曼a m k 扩日( 磊a ，8 ) 当 且仅当 ( p + 七) 2 ( 1 一p b ) 口k + p a p b 量p 2 + p 2 1 证明必要性 设，( z ) 日( 卢，a ，b ) ，则由( 4 1 ) 式可得 l 踹l _ l 三等等卜 因为孵e zs 陆所以有 r1 l 矿驴1 一n p + k ( p + 七) 2 z p + 一1 1 i 豫e i 丝l 百一l p 1 a 一却2 矿。+ b a p + k ( p + 七) 2 汐- 1l l七= nj 江西师范人学硕士学位论文 沿实轴令。一1 一，则有 ( p + 七) 2 ( 1 一p b ) n + p5a p b 角，2 + 矿一1 七= n 充分性 因为 + 矾1 - p b ) a p + 卵一b 舻+ 矿一i 七n 取z = r ( o r 1 ) ，并令r 一1 ，于是 ( z i ( z ) ) 7 1 i 一卢i a b ( z 1 7 ( z ) ) l = l 矿矿一咻七( p + 七) 2 矿似1 一l i - 舭一b p 2 p 一1 + j 5 r k p + 七) 2 七= nk = n o o = a p + k ( p + k ) 2 ( 1 一p b ) 一筇+ b 角严一矿+ ls o 七= n 所以由最大模原理可知i ( z ) h ( z ，a ，b ) 当p 一1 时，定理4 2 1 是文献f 1 3 中所对应的结果 推论4 2 1 设0 ps1 ，一1 b a 1 ，( z ) ：矿一萎n 舛k 矿+ h ( b , a ，b ) 则 n 卅ts 等揣邝砘州，) n 卅s 可鬲砑= 万矿t 忙n 竹十1 j 而 即 且估计是精确的 。 证明因为i ( z ) 眉( p ，a ，功于是有 0 0 ( p + 七) 2 ( 1 一p b ) n + p a p 一口角，2 + p 2 1 ， k - = n ( p + 七) 2 ( 1 一p b ) 口女+ p ( p + 七) 2 ( 1 一卢b ) n 押a p b 角，2 + 矿一1 k = n 吣s 等籍( 七- - - n , r t + ”) 咻 s 气鬲葡t ! 两( 七 1 ，) 估计是精确的可考虑函数 ，( z ) = 矿一垒鲁亏j 黼矿+ k ( 七= 佗，礼+ t ，) ( 2 ) 闭包定理 1 6 单叶函数某些子族的性质 和 定理4 2 2 设函数 贝u 对0 as1 ，有 和 而 ，( z ) = 矿一a p + k z 舛日( p ，a ，b ) ， j b = n 9 ( 名) = 矿一b 十奄日，a ，b ) 七= 竹 ( z ) = ( 1 一a ) ，( 名) + 幻( z ) = 矿一白+ 1 名p + ( 卢，a ，b ) k = n 证明设，( = ) ，9 ( 石) ( p ，a ，b ) ，那么由定理4 2 1 可得 ( p + 后) 2 ( 1 一p b ) o + psa p b 励，2 + p 2 1 ， k f f i n ( p + 后) 2 ( 1 一犀b ) 6 女+ p a p b 角，2 + 矿一1 七= t o 芝二+ 七) 2 ( 1 一卢b ) c k + p = ( p + 七) 2 ( 1 一卢b ) 【( 1 一舢口+ p + 概+ p 1 k=n奄；n = ( 1 一a ) ( p + 七) 2 ( 1 一卢b ) n k + p + a ( p + 七) 2 ( 1 一郎) 6 + ， k f n k = n s ( 1 一a ) ( 以p b 角严+ 矿一1 ) + a ( a p b 卢护+ 矿一1 ) = a p b 励严+ 矿一1 即h ( z ) 何( p ，a ，b ) ( 3 ) h a d a m a r d 定理 由定义1 2 7 ，下面证明h a d a m a r d 定理 定理4 2 3 若，( z ) 和9 ( z ) 属于h ( z ，a ，8 ) ，则( ，阜9 ) ( 2 ) ( 卢，a 1 ，b ) ，其中 ( a p b p 矿+ 矿一1 ) 2 。聊一矿+ l a 12 7 面f f 虿f i - = _ 旷+ 万一 证明设，( 名) = 矿一萎q 卅女扩+ 日( p ，a ，b ) ， 七；：n 由定理4 2 i 可得 9 ( z ) = z p 一6 _ p + i 矿+ 日( 展a ，b ) 七= n 幺a 卢( p 一+ b k 卢) 2 矿( 1 + - 矿，b 一) 一1 口押s l ， 惫矗a p b | 3 矿+ 矿一。4 ，。 1 7 江西师范人学硕士学位论文 和 量桀黼b n 弋_ 、鲨：! ! ! ：二芏竺! k 1 二一4 疗一8 n 2 + 竹2 1 w p - 二一 k = n 。 通过简单的计算可以得到 鱼a 3 - 粉1 瓜鬲 1 。! 。 聊+ 矿一 肿计炉“ 现要找最小的a 1 ，b a l 1 使得 一, ”0 + w k ) 2 ( 1 - e r b ) 了1 咖k + p 1 七；竹。- l 严， 一，r，r u 蓐十p 。屉叩一 只要 币巧南丽万面而 则( 4 3 ) 式成立由( 4 2 ) 式又得 瓜鬲等籍 因而只要 1 a _ b b 8 p + p 一1 ， 1 a 1 p b p p 2 + 矿一1 ( p + 七) 2 ( 1 一p b )。a 卢一b 励2 + 矿一1 即 ( 4 2 ) ( 4 ，3 ) a 1 ：- b z f + f - 1 ( a b - b l i p 2 + p 2 _ 1 ) 2 于是 艟等等茅+ 学 所以( ，9 ) ( 孑) 日( 卢，a ，b ) ( 4 ) 偏差定理 定理4 2 4 设，( z ) ：矿一曼坼k 扩k 日( p ，a ，b ) ，则有 p i z l p 一兰毛i 糌i z i ，+ 。i z ，( 名) is 纠名l ，+ 兰笔；气籍l ：i p + i ，( 七= 竹，n + t ，) ， 且估计是精确的 证明因为 。，钕) = p z p 一( p + 七) 咻t 2 p 帖， 而 k 妻f f i n , ( h t 糟( 肘1 ) 单叶函数某些子族的性质 从而 i z f k ) i i 矽一p + 砷口升勺s p 坩+ p + 砷0 p + i l 。p o ，名d 令t 表示s 中函数，( z ) ：名一萎a n z n ， o ) 组成的类设，( z ) t 若存在 9 ( z ) 一名一曼k z n 9 ( z d ) 且满足 驼e 。f z 9 f ( z ( z ) ) 1 口( 。sa 1 ) ， 则称，( z ) 为d 上的a 级近于凸函数，记所在的类为t s ( e o 设p i o ，1 ) ，若，( z ) t s ( a ) 且满足 池t 等p 刮等一t 卜( z e 珧 则记，( z ) 所在的类为t s ( a ，所参见文献【2 0 】 下面是本章中证明主要结果要用到的引理 引理5 1 11 3 9 1 函数吠名) ：z 一萎b ，t z n 属于t s ( 当且仅当萎( n 一晓) ks1 一n 5 2 主要结果及证明 定理5 2 1 设0 p q ，若，( z ) t s ( a ，仂，则，( 名) s ( 释) 证明由于对任意的复数埘，有她( 铷) m ，( z ) t s ( a ，所 于是 酬等卜卢l 错一，卜 经过简单计算得 酬等】 筲，( z ed ) 如果0 p 叱则可得 os 甾 篱d ) 州；堕掣竺， 则p ( 。) 是在单位圆d 内解析的函数，注意到p ( o ) = 1 ，瓣e p ( z ) 0 ( 石d ) ， 设烈名) = 1 + p l z + p 2 2 2 + ，于是 批向( ，+ 两l m o t 至o o 陬矿) ， 即 z 一妻吲z - - b 2 2 2 - 舻一纠( 1 + 篙c t - - p t z 仰2 川) ， z f 瑚。z “一(6 3 2 3 一一k 矿) f + 二若( 1l z + 耽；2 + ) ) ， n f f i 2 、7 比较两边系数可得 一n a n - - - - - - k + 焉( p 。一1 - b 2 p 一2 一k 一1 聊) ， 考虑到正实部函数p ( z ) = 1 + p ，z + p z z 2 + 的系数满足p ns2 唧1 ) ，从而 竹l a i i h l + 斜( 1 柏计仙- 1 i ) 由弓i 理5 1 1 ，萎( n - a ) b 1 一n 可得 叫蕊1 - - o r ， 从而 即 于是 当n ：2 时，有 机fsi b , 。l + 槲 掣+ - 】， 帆is 瓦1 - - o r + 攀高掣 邮堕业等端高型幽 1 一n1 一口 口：i 邵五y + 币_ 丽f 万 2 2 参考文献 【1 j m s r o b e 叽s o n o nt h et h e o r yo fu n i v a l e n tf u n c t i o n s ，a n n m a t h ，1 9 3 6 ，( 3 7 ) ：3 7 4 - 4 0 8 1 2 ll s p a b e k c o n t r i b u t i o nal at h g o r i ed e sf u n c t i o n su n i v a l e n t e s ，c a s o p i sp 巨s t m a t ，1 9 3 2 ，( 6 2 ) ：1 2 - 1 9 ( i nr u s s i a n ) p ls s m i l l e r ，p t 。m o c a n n d i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，n e wy o r k ：m a r c e ld e d - d e r ，2 0 0 0 | 4 lt o s h i oh a y a m i ，s h i g e y o s h io w a ，a n dh w s r i v a s t a v a c o e i t m i e n ti n e q u a l i t i e sf o rc e r t a i nc l a s s e so f a n a l y t i ca n du n i v a l e n tf u n c t i o n s j o u r n a lo fi n e q u a l i t i e si np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 2 0 0 7 ， 8 ( 4 ) ：l l o 1 5 1 钟玉泉复变函数论i m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 4 1 9 3 - 2 0 0 1 6 j 冯淑霞，刘太顺a 次的殆星映射的充分判别条件朗数学物理学撤，2 0 0 7 ，2 7 ( 3 ) ：5 0 6 - 5 1 4 1 7 1l i ux s ，n l ed i s t o r t i o nt h e o r e mf o rs o m ec l a s so fa l m o s to tf j l ，j o u r n a lo fx i a n g t a nn o r m a lu n i v e r - s i t y ( n a t u r a ls d 钮c ee d i t i o n ) 。2 0 0 4 2 6 ( 4 ) ：7 1 0 1 8 1f e n gsx ，l uk p t h eg r o w t ht h e o r e mf o ra l m o s ts t a r l i k em a p p i n 琴o fo r d e r 口o nb o u n d e ds t a r l i k e c i r c u l a rd o m a i n s j c h i n e s eq u a r t e r l yj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，2 0 0 0 ，l s ( 2 ) ：5 2 5 4 【9 j 徐庆乍，土朝华关于p 型螺形函数的一类了族四江两师范人学学报( 自然科学版) ，2 0 0 8 ， 3 2 ( 5 ) ：6 0 6 - 6 0 0 【10 ji g r a h a m ，g k o h r g e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yi n 嘲ea n dh i g h e rd i m e n s i o n si m l n e wy o r k ：m a r c e l d e k k e r ，2 0 0 3 ，3 5 【1 l ll v a h l f o r s c o m p l e xa n a l y s s m n e wy o r k ：m c g r a w - h i u b o o k c o ，1 9 7 9 ，6 9 - 9 0 ，1 2 3 - 1 3 6 【1 2 l 徐庆华多复变函数双全纯映照了族的忭质及其之间的关系f d j 合肥：中国抖学技术人学博上论 文，2 0 0 6 【l3 | 高纯一，上智刚关卡一类负实系数单n l 。函数族的性质长沙交通学院学j 乏2 0 0 4 ，2 0 ( 4 ) ：1 2 1 14 lm k a o u f ，a o m o s t a f a s o m ep r o p e r t i e so fas u b c l a s s0 fu n i f o r m l yc o n v e xf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v e c o e f f i c i e n t s ，d e m o n s t r a t i om a t h e m a t i c 2 0 0