（基础数学专业论文）度规空间的理论及其应用.pdf

摘要 本文研究度规空间中的不动点理论及其应用在讨论度规空间拓扑结构及完 备性的基础上，建立完备度规空间上广义压缩映射的几个不动点定理，并给出其 应用主要内容如下t 第一章，介绍度规空间的基本概念及例，考察度规空间的拓扑结构，证明度 规空间中的闭集套定理 第二章，首先给出f r i g o n 不动点定理【3 】的推广及其简洁证明，同时对f r i g o n 在文【3 j 3 中提出的关于广义压缩迭代序列收敛性的公开问题给出肯定的回答；然 后，通过引入母函数，在度规空间上建立集值加压缩映射的不动点定理，统一 并推广了c a i n 和n a s h e d 【1 】if i g o n 【3 】，e s p i n o l a 和k i r k 4 ，t a r a f d e rf 5 l 等的相应 结果 第三章，作为度规空间中的不动点定理的应用，我们利用第二章中的结果， 在g ( r ) 空间中研究了v o l e t r r a 型积分方程解的存在性与唯性 关键词：度规空间；闭集套；集值压缩映射；集值咖压缩映射；不动点 ! ! ! ! 垒查童塑苎查兰查丝苎兰；型：! ：查丝圭篁圭 3 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nd e a l sw i t hf i x e dp o i n tt h e o r yi ng a u g es p a c ew i t hi t sa p p l i - c a t i o n o nt h eb a s i so fd i s c u s s i n gt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fg a u g es p a c ea n d i t sc o m p l e t e n e s s w ee s t a b l i s hs e v e r a lf e dp o i n tt h e o r e m sf o rt h eg e n e r a l i z e d c o n t r a c t i o nm a p p i n g so nc o m p l e t eg a u g es p a c e sa n dg i v et h e i ra p p l i c a t i o n s t h e m a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a s a lc o n c e p t so fg a u g es p a c ea n ds o m ee x - a m p l e s ，c o n s i d e ri t st o p o l o g i c a ls t r u c t u r e ，a n dp r o v et h en e s t e dt h e o r e m o fc l o s e d s e t e si ng a u g es p a c e i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tg i v eag e n e r a l i z e dt y p eo ft h ef r i g o n sf i x e dp o i n tt h e - o r e ma n das t r a i g h t f o r w a r dp r o o fo fi t a tt h es a m et i m e ，w eg i v eap o s i t i v e a n s w e rt oa no p e nq u e s t i o na b o u tc o n v e r g e n c yo fi t e r a t i v es e q u e n c ef o rg e n e r a l - i z e dc o n t r a c t i o nw h i c hi sb r i n gf o r w a r d e db yf r i g o ni n 【3 1 s e c o n d l y , b yu s i n gt h e i n t r o d u c e df u n c t i o n ，w ee s t a b l i s hs o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rt h es e t - v a l u e d - c o n t r a c t i o nm a p p i n g si ng a u g es p a c e s t h e s er e s u l t su r f ya n dg e n e r a l i z et h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fc a i na n dn a s h e d 【l | if i g o nf 3 】j e s p i n o l aa n dk i r k 4 ， t a r a f d e r 【5 】5 e ta 1 i nc h a p t e r3 ，a saa p p l i c a t i o no ff i x e dp o i n tt h e o r e m si ng a u g es p a c e s ，b y u s i n gt h er e s u l t si nc h a p t e r2w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n f o ri n t e g r a le q u a t i o no fv o l e t r r at y p ei ng ( 兄) k e yw o r d s ：g a u g es p a c e ；s e t v a l u e dc o n t r a c t i o nm a p p i n g s ；t h en e s t e dt h e o r e m o fc l o s e ds e r e s ；s e t v a l u e d 扛c o n t r a c t i o n ；f i x e dp o i n t 2 0 0 3 衄 南京师范大学基础数学刘小燕硕士论文 4 前言 1 9 6 6 年，j a l d u g u n d j i 在t o p o l o g y ( 2 】2 一书中给出了度规空间的定 义，研究了它的拓扑性质所谓度规空间是这样的拓扑空间，它的拓扑结构是由 分离的度规族( 即伪度量族) 导出的值得注意的是，这类比度量空间更广泛的 空间框架，在泛函分析中也有重要的应用最近几年，一些学者在度规空间的框 架下，建立了若干新型的不动点定理，并给出了有趣的应用 众所周知，不动点理论是非线性泛函分析理论的重要组成部分。它与近代数学 的许多分支有着密切的联系，在解决各类方程( 包括线性或非线性的微分方程、 积分方程以及算子方程) 解的存在与唯性问题中起着十分重要的作用b a n a c h 压缩映射原理是经典不动点理论中一个最基本的重要定理，有着极其广泛的应 用因此，长期以来吸引着诸多学者从各个方面对它进行推广性研究有些学者 通过减弱。压缩条件。，将定理推广，得到了一系列所谓。压缩型映射的不动点 定理( 参见【1 5 】) ；还有些学者考虑扩大“空间框架”。将压缩映射原理从完备度量 空间推广到更加广泛的空间框架中例如1 9 7 1 年，c a i n 和n a s h e df 1 】将压缩映 射概念推广到了h a u s d o r r f 局部凸线性拓扑空间( e ， 卜k ) 。 ) 中，其中仆l n 。 是一族半范证明了b a n a c h 压缩映射原理对于定义在相应的完备子集xce 上 的压缩映射同样是成立的另外，压缩映射的概念还被推广到了一致空间( 见1 5 】， 【6 】if 7 】) ，以及推广为h a u s d o r f f 局部凸线性拓扑空间上利用非紧性测度定义的凝 聚映射( 见f 1 2 1 ，【1 3 】) 2 0 0 0 年，f r i g o nf 3 】3 首次将压缩映射概念推广到度规空间，他在度规空间中 提出了一种新型的“广义压缩”概念，证明了完备度规空间上的每个广义压缩映 射有唯一的不动点，并给出了这一定理的一些有趣的应用f r i g o n 不动点定理 不仅是著名的b a n a c h 压缩映射原理的推广，同时还推广了c m n 和n a s h e d 【1 】i 以 及t a r a f d a r 【5 】的结果但是，需要指出的是f 3 】中给出的f r i g o n 不动点定理的证 2 0 0 3 衄 南京师范大学基础教学刘小燕 硕士论文5 明是繁琐的，他利用了商空间理论和较为复杂的技巧这种证法不能保证广义压 缩迭代序列的收敛性因此，f r i g o n 在文【3 】3 中提出了一个公开问题：在完备的 度规空间中，能否归纳地定义一个收敛于广义压缩，的不动点序列? 继b - m g o n 之后，a g a r w a l 和o r e g f 19 】于2 0 0 1 年，在度规空问中建立了 b o s e - m u k h e r j e e 意义下的集值压缩映射的不动点定理，并证明了这类集值压缩映 射的不动点具有同伦不变性，推广了【3 】和【1 8 】的结果 2 0 0 3 年，e s p i n o l 8 和 k i r k 【4 】在度规空间中建立了l 五i g o n 型广义集值压缩映射族的公共不动点定理。 从另一角度上推广了f r i g o n 不动点定理最近，e s p i n o l a 和p e t r u s e l1 1 1 j 在度规 空间引入了p m e n k e e l ”集值压缩的概念，并对这类集值映射族建立了相应的 公共不动点定理，推广了e s p i n o l a 和k i r kf 4 】等的结果 受此上述工作启发，本文继续致力于度规空间中不动点理论的研究为了讨 论方便起见，在文中我们首先介绍度规空间的概念，列举几个重要的度规空间例 子，证明完备度规空间中的闭集套定理；其次，给出f r i g o n 不动点定理的一种新 推广我们采用了与f r i g o n 完全不同的证法，相当简洁证明中同时肯定地回答 了f r i g o n 在f 3 】中提出的公开问题我们还在度规空间中建立了集值广义咖压缩 映射族的公共不动点定理，进一步统一并推广了f r i g o nf 3 】、e s p i n o l a 和k i r kf 4 】 等的结果此外，作为所建立的度规空间中不动点定理的应用，我们还研究了一 类积分方程解的存在与唯性问题，推广了经典泛函分析中的相应结果 第一章度规空间的拓扑结构与完备性 第一章度规空间的拓扑结构与完备性 在本章中，我们首先回顾度规空间的定义并给出三个具体例子然后，在泛 函分析中常用的限制条件下，给出度规空间的拓扑结构的简洁表示，并研究度规 空间的完备性，证明闭集套定理，为后面的讨论作准备 1 1 度规空间的定义及例 以下均设r = ( 一o 。，+ o o ) ，r + = 【0 ，+ 。o ) ，n 表示自然数集合 定义1 1 设e 是非空集，映射d ：e e r + 满足以下条件t ( g 1 ) d ( z ，z ) = 0 ，v 。e ； ( g 2 ) d ( x ，) = d ( y ，z ) ，vz 。e ； ( g 一3 ) d ( 口，z ) sa ( z ，y ) + d ( y ，z ) ，v 。，y ，z e ， 则称d 是e 上的一个伪度量( p s e u d o m e t r i c ) ，或一个度规( g a u g e ) d u g u n d j i 【2 】2 认为，使用“度规。比。伪度量”好今后。我们也使用“度规” 设口= 如la a ) 是e 上的一个度规族，如果对任意的z ，v e ，。，存 在如口使得d 口( z ，y ) 0 ，则称该度规族是分离的 定义1 2 【2 】设e 是非空集， 3 = 如ia a ) 是e 上的分离度规族则e 上以球族b ( d ) = ( z ，) iz e ，o t h ， o ) 为子基的拓扑7 - ( v ) 称为e 上 由度规族d 诱导出的拓扑，其中 u 。( z ，) = f e id 二( z ，y ) 0 显然，存在相应的o c o a o 使o 【- q o ，伽】 于是，我们有 d n 。( 啪) - * 高。l 一删2 悻( t o ) 一g ( 2 0 ) i o 故 d n ) 。e a 是c ( r ) 上分离的度规族因此( g ( r ) ， 如) 。 ) 是度规空间4 例1 2 局部凸的h a u s d o r f f 拓扑线性空间必是度规空间 证设x 是局部凸的h a u s d o r f f 拓扑线性空间， ) 。 是它的0 的绝对凸 邻域基，是玩的m i n k o w s k i 泛函，即 7 p n ( z ) = i n f t 0 iz c ，n ) ，z x 则p = p 口：a a ) 是局部凸空间x 的生成半范数族我们定义d 口：x x r + 如下t如( z ，y ) = p a b 一) ，z ，y x 则不难看出 d n ) 。a 是x 上的度规族 此外，因为x 是h a u s d o r f f 的，所以 p a ( x ) = 0 ( v a a ) 甘z = 日 从而，容易推得 d a ) 。 是x 上分离的度规族因此( x ，f 如) 。 ) 是度规空问 为了给出另一个重要的度规空间例子，我们需要一些预备知识 如果函数f ：r f 0 1 1 】是不减，左连续的，且i n f f ( t ) = 0 ，s u p f ( t ) = 1 ，则称 它为分布函数 d 表示所有分布函数组成的集合记d + = f d ：f ( 0 ) = o ) 如果映射：f 0 ，1 】【0 ，1 l 一【0 ，1 】满足以下条件：( 1 ) ( n ，1 ) = a ，a ( o ，0 ) = o ； ( 2 ) 陋，b ) = a ( b ，o ) ；( 3 ) 当c o ，d b 时，( c ，d ) a ( b ，o ) ；( 4 ) a ( a ( a ，b ) ，c ) = a ( a ，( b ，c ) ) ，则称它为t - 范数 a t ( a ，b ) = m a x a + b 一1 ，o ) ，a 2 ( a ，b ) = a - b ，a 3 ( a ，= m i n a ，6 ) 是常见的t 一范数 定义1 4 【9 , 1 0 设e 是一非空集，是一一范数，如果映射，：e x e d + 满足下列条件( 记，( z ，y ) = b ，) ： ( p m - 1 ) r ，( t ) = l ( v t 0 ) 骨z = ，； ( p m - 2 ) 足。( ) = 目，z ( ) ，vt r ； ( p n - 3 ) b ，；( t l + t 2 ) ( b ，( t 1 ) ，b ，：( t 2 ) ) ，v 。，z x ，t l ，t 2 0 则称三元组( e ，) 为m e n g e r 概率度量空间( 简称m e n g e rp m - 空间) ，其中， 称为e 上的概率度量 引理l a n 1 设( e ，) 是m e n g e r 概率度量空间对每个a ( 0 ，1 】，定义 第一章度规空间的拓扑结构与完备性 d ：e e 一【0 ，o o ) 如下。 d x ( x ，y ) = i n f t 0 i b ，( ) 1 一a ) 则d x ( z ，y ) 1 一a ； 例1 3 当t - 范数= m i n 时，m e n g e r 概率度量空间( e ，) 是度规空 间 证对每个a ( 0 ，1 1 ，定义d x ：e e r + 如下t 呶( ，y ) = i n f t 0 i b ，( ) 1 一a ) ，( 1 2 ) 则利用引理1 1 不难证明f 呶( z ，y ) ia ( 0 ，1 】) 具有以下性质t ( 1 ) d ( z ，y ) = 0 ，v a ( 0 ，1 】 号。= ； ( 2 ) d x ( x ，y ) = 出( ，z ) ； ( 3 ) d x ( 。，：) sd a ( z ，y ) + d x ( y ，。) ，v x ，y ，z e 所以 d a ：a ( 0 ，1 j ) 是e 上的分离度规族。故( e ，) 是度规空间 9 第一章度规空间的拓扑结构与完奋性 1 2 度规空间的拓扑结构 1 0 设( e ， d 口) a e a ) 是度规空间为了泛函分析中讨论的需要，通常假设t 如的 下标集a 是定向集，并且满足以下条件t n ，卢a ，吐p = = = d 0 ( $ ，掣) d 口( 。，可) ，z ，掣e( 1 3 ) 在这一限制条件下，度规空间的拓扑结构可以有如下简洁的表述t 定理1 1 设( e ， d o 。 ) 是度规空间，其中分离度规族d = d 口la a ) 满 足条件( 1 3 ) 则e 上以阮= ( q ) ja a ， o ) 和e ) 为局部基的拓扑f 就是( e ， d 口 。a ) 的度规拓扑，其中 u n ( z ，) = e fd 。( ，z ) e ) 证令 = vce3 ( z ，) 阮，使得( z ，s ) cy ) 显然c ，且、 容易验证 扛e ) 具有以下性质t ( a ) 如果v 乞，则z y ； ( b ) 如果h ，圪儿，则u n 屹虬； ( c ) 如果v 虬且v c w ，则w 0 ； ( d ) 如果v 乞，则存在w 丘，w c v 且满足对任意g 彬v “，； ( e ) 如果。，e ，z y ，则存在肛，k “，使得k n k = 0 事实上，( a ) 如果v 肌，则存在( 。，e ) cv ，因为如( z ，) = 0 e ，所以 z ( z ，e ) c v ，( a ) 得证 ( b ) 设k 虬0 = 1 ，2 ) ，则存在。( z ，c i ) cka = 1 ，2 ) 令e = m i n l ，e 2 ) ，o = i n 8 x o q ，0 2 ) ，则 ( 。，e ) c 。( z ，刚i 1 2 ( z ，8 2 ) chn k 所以k n 肛，( b ) 得证 ( c ) 由 乞的定义易得 第一章度规空间的拓扑结构与完备性 ( d ) 设v 0 ，则存在( z ，e ) cv 令w = ( 。，e 2 ) ，下面证明对任 意y 彬玩( ，e 2 ) cv 事实上，如果z v c y ，s 2 ) ，则如( ”，z ) e 2 又因 为y w = ( z ，2 ) ，所以如( ，y ) 0 ) 为子基的拓扑与以玩= ( z ，5 ) io a ， 0 0 e ) 为局部基的拓 扑是一致的，因此r 就是( e ， 如) 。e a ) 的度规拓扑4 以下我们均假设，在所涉及的度规空间( e ， 如) 。a ) 中，a 是定向集，度规 族 如) 。e 满足条件( 13 ) 容易看出，1 1 中给出的三个度规空间( 例1 1 一例1 3 ) 都满足此条件例 如，在例1 2 中，我们在a 上定义关系如下； d ，卢a ，n s 卢车等c ， 则a = ( a ，s ) 是一定向集并且，由m i n k o w s k i 泛函的定义不难看出 o ，卢ea ，qsp = = 争p a ( z ) p p ( z ) ( v 。e ) ， 从而易知，例1 2 中的度规空间满足条件( 1 3 ) 注由定理1 1 易知。对于( e ， 如) 。a ) 中的网f 。 ) d ，z e ， 烈。甘 l i d m 如( 。 ，。) 。o ( v 。a ) 第一幸度规空间的拓扑结构与完备性 1 3 度规空间的完备性与闭集套定理 定义1 5 设( e ， d a 。 ) 是度规空间， 。 ) 1 9 是e 中的网，其中d = ( d ，s ) 是定向集如果对任一e 0 ，存在知d ，使得 va ，p d ， ，p a o = ：= d n ( z ，z p ) 0 及q a ，ja o d ，当a ，p d 且a ，p a o 时， 有如( 。 ，z “) 0 及口a ，jx o d ，使得当a a 0 时， l z ( t ) 一z ( t ) i e 在f - 口，a l 上一致成立 这表明( 吼( ) ) 在r 上内闭一致收敛于z ( ) 注意到每个。 在r 上是连续的， 所以不难证明$ ( t ) 在r 上也是连续的，即x ( t ) e ( r ) 因此( g ( r ) ， 如) 。 ) 是 一个完备的度规空间# 定理1 3 设( e ， 叱) 。 ) 是完备的度规空间，满足条件( 1 3 ) 又设 。 是( e ， d 口) 。e n ) 中的非空闭子集族，满足t ( b ) 口，卢a ，n 卢弓c 品； ( b ) 对任给的e 0 及o a ，存在卢n 使d i a m 7 0 及o a ，j p a ，卢口使得 d i a m 0s 口 ( 1 5 ) 于是，当a ，p a 且a ，p 卢时，由条件( a ) 得。 甄c 嘞，卸耳c 如从 而，有如( 。 ，z p ) d i a m f 昂 e 再利用条件( 1 3 ) 得 d a ( x , x ，z p ) sd 卢( z ，3 4 ) e ( va ，p 2 卢) 因此 。 ) 是( e ，( d 口 。 ) 中的c a u c h y 网 由e 的完备性，可设l i m x = 因为va a ，当 a 且 口时，有 z & 注意到& 是闭集。所以。= l i m 。 晶对所有n a 都成立，即得 $ 。n 口 & 第一章 度规空间的拓扑蛄构与完备性 最后证明唯性设另有y 。亿 晶于是，由( 1 5 ) 得 d 。( z 。，y 。) d n ( z 。，。 ) + d ：( 。 ，y ) sd a ( 。，z ) + 咖( z ，玑) sd o ( z ，z ) + d i a m # s a 出( z 。，。 ) + e 注意到l i m a z = z ，故由上式即得如( 玑) e 进而由的任意性，得对任意 o t a ，d a ( x ，玑) = 0 因此。= y 。4 1 4 第二章度规空间中的不动点定理 在本章中，我们首先给出f r i g o n 广义压缩不动点定理的推广及其简洁证明， 同时对l 卟i g o n 在文1 3 】中提出的一个公开问题给出了肯定的回答i 其次，通过引 入压缩函数晚在度规空间上建立集值仁压缩映射的不动点定理，统一并推广了 f r i g o nf 3 】、e s p i n o l a 和k i r kf 4 】等的相应结果 2 1 基本概念及引理 设( e ， d a ) 。 ) 是度规空间我们用d i m 。和d 。分别表示e 上由d 口诱出 的o t 直径和广义h a u s d o r f f 伪度量，即对于x ，yce d i a m a ( x ) = s u p d a 扛，y ) ：z ，y x ， d 0 ( x ，y ) = m a x s u p 。x i n f y 如( z ，y ) , s u p y e y i n f x x 如( q ”) ) 对z ，y e ，定义： z ny 甘d 口扛，y ) = 0 显然，一。是e 上的一个等价关系【乩表示z 关于。的等价类，即。= 扣x ：“一。) 于是，对映射f ：e e ，我们有 ，( 【叫。) = ，( u ) ：u 。z ) = ，( “) ：d a ( u ，z ) = o ) 定义2 1 1 3 设( e ， 如) 。 ) 是度规空间，如果映射，：e e 满足以下条 件： ( 1 ) 对每个d a ，存在0 k a 0 及o a ，存在p n 使得 d i 8 n l 口( ，( 【z b ) ) 0 。存在。b 使得如( z ，2 ) d 口( 。，b ) + 进而，我们有 如( 。，) 如( 。，z ) + d o ( z ，) d 0 ( 。，b ) + e + 出( 可，z ) d d ( a ，b ) + e + d i a m 。( b ) ， 由的任意性，不等式( 2 3 ) 得证h 第二章度规空间中的不动点定理 2 2f r i g o n 不动点定理的推广及其简化证明 定理2 1 设( e ， d 口) 。a ) 是序列完备的度规空间，映射，：e e 满足以下 条件； ( i ) 对每个口a ，存在0 k 0 及n a ，存在p a 使得对任何。e ， d i a m p ( f ( x l a ) ) o ，我们取e = ；6 ( n ) ( ：5 n - 1 ( a ) ，n 2 ) 由条件( i i ) 存在卢a 使得对任何z e ， d i a m ( f ( z 】p ) ) s ( 1 - 妇弦= ；( 1 - 缸) 矗一l ( a ) s ；( 1 - k a ) 6 。一l ( 卢) 对任意的；r i ，q q 一1 ，因为。件1 ，( 川口) ，巧十1 ，( b j 口) ，由引理2 1 及条件 1 7 第二章度规空问中的不动点定理 ( i ) 得 d ， ( z i + l ，z j + 1 ) d ( ( 1 x d p ) ，川b ) ) + d i a m a ( ( 1 2 3 a ) ) 妇m 一 如( q ) ，如( ，( 【q 】口) ) ，妇( ，( f z i 】p ) ) ) + 三三粤以一。( 卢) 一 k a m a x d a ( 巧) ，咖( + t ) ，咖( 巧，z 件- ) ) + ! 粤厶一，( p ) sk b 6 n l ( p ) + ! 三粤6 。一l ( 芦) ：三毒粤“一。( 卢) 因此，我们有“( 卢) ：d i a n a p ( o 。) s ! 二掣堕( “一1 ( 卢) ) 由于l i m n - - c 。瓦( p ) ：6 ( 卢) + o 。，所以存在n o n ，使得( 卢) 6 ( 卢) + 1 0 取0 于是，由引理2 1 ，并利用条件( i ) 得 如扛n + 1 ，( 。) ) 5 邬( ，( p 。垴) ，( i x 。】口) ) + d i a m ，( f ( x 。】口) ) 如m l ，t x 咖( z 。，$ ) ，妇( ，( f z b ) ) ，如( z ，( i x n 】p ) ) + ( 1 一妇弦 七口m a x d 辟( z 。，z 。) ，d 口( z 。，f ( x ) ) ，d 卢( $ 。，j ：n + 1 ) ) + ( 1 一如) 1 8 = 如如( z n ，( x ) ) 4 - ( 1 一如k 令n 一，由上式得b 缸b + ( 1 一b ) e ，推得b e ，导致矛盾因此z 。是，的 不动点 最后证明唯一性假设( u ) = “，( v ) = ”且u 7 3 则存在o t a 使得 d a ( u ，u ) = 6 0 由( i i ) 知，存在卢a ，使得 11 d i 8 叩( ，( m ) ) i ( 1 一k p ) d a ( u , v ) i ( 1 一如) 如( u ，”) ( 2 6 ) 注意到u y ( u l a ) ，口f ( 1 v l a ) 于是，由引理2 1 ，条件( i ) 及( 2 6 ) 得 d a ( u ， ) d a ( l a ) ，( p b ) ) + d i a m # ( f ( i v l ) ) 半蛐，叽嘶，咄 这是矛盾的，因此，的不动点是唯一的 1 注2 1 将定理a 与定理2 1 作比较，因为度规空间的完备性蕴涵序列完备 性，条件( 2 1 ) 蕴涵( 2 4 ) ，所以不难看出定理2 1 是f r i g o n 不动点定理( 即定理a ) 的推广 注2 2 定理2 1 不仅证明了，有唯一不动点。，同时还证明了对任一z o e ， ，的迭代序列 z 。= ，“( z n 一) ) 收敛于该不动点从而肯定地回答了f r i g o n 在【3 】3 中提出的公开问题 由定理2 1 的证明容易看出，定理2 1 可以进一步推广为下面的形式： 定理2 2 设( e ， 如。 ) 是序列完备的度规空间，映射，：e e 满足以下 条件， ( i ) 对每个o t a ，存在0 k 0 及口a ，存在卢a 使得对任何z e ， d i 口( ，( k 】口) ) 0 ，( t ) 以 ( 圣一2 ) ( i 一) ( t ) = t 一( t ) 是不减函数 例2 1 设毋( ) = k t ，0 k o ) ， 其中妒( ) 是( t ) 的第n 次迭代 证必要性：设庐( t ) o ) 由妒的不减性知， 妒( t ) 是不增，下有 界的，所以存在极限l i r a 一。妒( ) = a ( t ) ( vt o ) 下面证明a c t ) ；0 假设存在某个t o 0 使n o = n ( o ) 0 ，则由l i m 。妒( t o ) = o l 0 知， 妒( t o ) = a o - i - 风，其中l i m 一。风= 0 于是，妒+ 1 ( t o ) = 妒( 伽4 - 风) 令n 一，注 意到西是右上半连续的，得 o z 0 = 撬s u p ( a 0 + 风) ( a o ) 0 使妒( o o ) 兰t o 由的不减性得 t o 曼毋( o ) 扩( t o ) 矿( o ) 2 1 第二章度规空间中的不动点定理 令n o o ，得0 o ) ，其中妒( ) 是妒( ) 的第n 次迭 代 证由妒的定义以及的不减、右上半连续性。易知妒是递增，右上半连续 的注意到庐( t ) o ) ，故有 ) = 扣+ ) j o ) 由引理2 2 即知l i m 。o o 妒”( ) = 0 1 设( e ， 如) 。 ) 是度规空间，c ( e ) 表示e 中所有非空闭子集组成的集族 定理2 3 设( e ， d o 。e h ) 是完备的度规空间，b ：e c ( e ) ( 0 a ) 是一 集值映射族，满足以下条件，存在函数族 九) 。 垂使得 ( i ) d a ( f a ( x ) ，f o ( u ) ) 札( g 。( z ，) ) ，vz ，y x ，其中 瓯( 。，) = m a x d a ( x , v ) ，d a ( x , f 口( ) ) ，如( ，圪( z ) ) ) ； ( i i ) 对任给的 0 及n a ，存在p q 使得 d i a m 口( 昂( z ) ) ；( j 一即) ( ) ，v z e ； ( i i i ) 口，p a ，卢a = ：= 争昂( z ) c 巴( z ) v z e i 则存在 r ) 。e 的唯一公共选择，：e e ，使得，在e 中有唯一的不动点 而且，。也是 r ) 。 的唯一公共不动点，即z = ，( ) = 几af 口( z ) 此 外，对任一x 0 e ，迭代序列 ，”( 。o ) 收敛于“ 证首先。证明 r ) 。 存在唯一的公共选择，：e e 第二章度规空间中的不动点定理 因为vz e ， 昂( z ) ) 。e i 是e 中的非空闭子集族，并且由条件( i i ) 、( i i i ) 知，定 理1 2 的条件( a ) ，( b ) 成立，故据定理1 2 ，存在唯一的y e ，使几a r ( z ) = 因此，我们可以定义映射，：e e ，使( x ) = 玑即我们有 ，( z ) = nf ；( z ) ，v z e ( 27 ) a e a 这表明，是 r 。e 唯一的公共选择 、 其次，任取x 0 e ，令z 。= ，“( 。o ) ，n = 1 ，2 ，由( 2 7 ) 易知 z n = ，( j 一1 ) n p n ( z n 一1 ) a e a ( 2 8 ) 下证 ) 是( e ，( 如) 。a ) 中的c a u c h y 列 令d 。= t z 。，z 。+ l ，) ，d i a m a ( o n ) = “( a ) ，n = 0 ，1 ，- 显然，( i n ( a ) 靠+ l ( a ) 0 因此。存在极限l i r a 。“( a ) = 6 ( a ) 0 使得 桌矗( q o ) = 6 ( a o ) 0 令e o = 6 ( a o ) ( k 一1 ( n o ) ，n = 2 ，3 ，) 对上述c o 及o ，由条件( i i ) t 存在卢o t 0 ， 使得对任何。e ， d i a m 口( 昂( z ) ) s ；( 卜一如) ( 印) s ；( j 一如) 一1 ( 咖) ) ( j 一如) ( 如一l ( 卢) ) ( 2 9 ) 对任意的戤，0 n - 1 因为x i + 1 昂) ，q + l 昂( ) 由引理2 1 ，并 注意利用条件( i ) 及( 2 9 ) ，得 如( z 件1 ，巧+ 1 ) sd ( 昂( 嗣) ，厢( q ) ) + d i a m z ( 昂( ) ) 如b ( 巧) ) + ；( 卜如) ( 晶一l ( 卢) ) ( 2 1 0 ) 墨三塞垒堡窒塑皇竺至垫皇窒堡 2 4 其中 g 口( x i 町) = m a x d 口( ，) m a x d b ( ，) 矗一l ( p ) 如( 乃( ) ) ，如( q ，昂( ) ) ) 妇( 巧+ 1 ) ，咖( q ，z i + 1 ) ) 注意到如( ) 是不减的，由( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 推得 d 卢( 。+ l ，十1 ) s 如( k l ( 卢) + 1 ( i 一如) 一l ( p ) ) = ；f 如( “一( 卢) ) + 矗一1 ( 国】= 咖( 矗一- ( p ) ) 注意到2 件l 蜥+ l o n ，由上式即得 ( 2 1 1 ) “( 卢) = d i a m s ( o n ) s 咖( 如一l ( 卢) ) ，n = 1 ，2 ， ( 2 1 2 ) 由于j i m 。“( 卢) = 6 ( 卢) + o o ，所以存在n o n ，使( 卢) 6 ( 卢) + 1 0 取0 于是，由引理2 1 及条件( i ) 得 第二章度规空间中的不动点定理 如( z 。+ l ，f ( x 。) ) 功( 昂( z 。) ，昂( z 。) ) + d i a m ( 昂) ) 如( i 劫( z n z 。) ) + ( j 一如) ( e ) ( 2 1 4 ) 注意到，当n 2n o 时， 郇( z 。) = m a x d # ( x 。，乩) ，咖( 昂( z 。) ) ，勘( 昂( 。) ) l m a x 如( z n ，z 。) ，如( ，f ( x 。) ) ，如( z 。，x n + ) m a x ，d 卢( z n ，f ( x 。) ) ) = 妇( 。，