（概率论与数理统计专业论文）风险的序及同单调性对保费的影响.pdf

摘要 风险理论发展有近百年的历史了，e d m u n d h a l l e y 构造了世界第一张生命 表，d a n i e l b e r n o u l i 提出了极大效用原理作为决策法则的思想在2 0 世纪， f i l i p l a n d b e r g 对风险理论做了更深入的研究，建立了风险论和一般随机过程 研究之间的联系由于与效用理论的紧密联系，风险的序已成为风险理论的一 个重要工具近些年来，对风险序的概念的推广及风险的组合问题的研究已成 为重要课题，促进了保险数学和数学金融研究的发展 本文分三部分研究了风险理论中的若干序关系及随机向量的同单调性对 保费计算的影响，一方面讨论了序关系，同单调性及保费计算原理的性质；另 一方面考察了停止损失序及同单调性在风险和的保费计算中的影响，得到了 若干有意义的的结果 第一部分着重回顾了风险的序理论及同单调性问题中的若干重要结果，给 出了推广的停止损失序的定义，并分别讨论该序的若干性质及成立的充分必 要条件 第二部分讨论了保费计算原理及其若干性质，研究了风险序列关于停止损 失保费的极限性质，最后在多种保费原理情形下讨论了通过合作达到最小保 费的问题 第三部分首先讨论了保费原理对若干序关系的单调性，然后以此为理论基 础研究了序关系及随机向量的同单调性对保费计算的影响，得到若干结果， 并举例解释说明了结果的实际涵义，具有一定的现实意义 关键词：风险；风险的序；同单调性；保费；保费计算原理；停止损失序； 极限性质；单调性 a b s t r a c t r i s kt h e o r yh a v ed e v e l o p e df o rn e a r l yh u n d r e dy e a r s e d m u n dh a l l yd e s i g n e da l i f et a b l ew h i c hi st h ef i r s ti nt h ew o r l d d a n i e lb e r n o u l ig i v e dai d e at h a tp r i n c i p l e o fg r e a tu t i l i t yi sar u l eo fr i s kd e c i s i o n o n2 0 t hc e n t u r y ，f i l i pl a n d b e r gr e s e a c h e d d e e p l e yi nr i s kt h e o r y , a n dh ee s t a b l i s h e dt i e sw h i c hr i s kt h e o r yw i t hg e n e r a ls t l c h a s t i cp r o c e s s b e c a u s eo ft h et i e sw h i c hw i t hu t i l i t yt h e o r y , t h eo r d e r so fr i s k sp l a ya k e yr o l ei n r i s kt h e o r y r e c e n t l y , e x t e n d i n gt h ec o n c e p t so fo r d e r sa n dr e s e a c h i n g r i s kp r o f o l i oh a nb e c o m ea ni m p o r t a n tt o p i n c p r o m o t et h ed e v e l o p m e n to fa c t u a r i a l m a t h e m a t i c sa n df i n a n c i a lm a t h e m a t i c s i nt h ef i r s tp a r t ，i m p o r t a n tr e s u l t sc o n c e r n i n go r d e r st h e o r ya n dc o m o n o t o n i c i t y o fr i s k sa r er e c a l l e d t h ed e f i n i t i o no fan e we x t e n d e ds t o p - l o s so r d e ri sg i v e n ，s u b - s e q u e n t l y , t h es u f f i c i e n t ，n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n dp r o p e r t i e sa r ea l s os t u d i e d ，a n d t h er e s p e c t i v er e s u l t si nc a s eo fs t o p - l o s so r d e ra r ee x t e n d e d i nt h es e c o n dp a r t ，t h ep r o p e r t i e so fp r e m i u mc a l c u l a t i n gp r i n c i p l e sa r ed i s * c u s s e d ，t h e nt h el i m i t i n gp r o p e r t i e so fo r d e rs e q u e n c eo ns t o p - l o s sp r e m i u ma r e s t u d i e da sw e l l ，a tl a s tap r o b l e mo fa c h i e v i n gt h em i n i n u mo fp r e m i u mb yc o o r p e r - a t i o nu n d e rc a s e so fd i f f e r e n tp r e m i u mp r i n c i p l e si sd i s s c u s s e d i nt h et h i r dp a r t ，t h em o n o t o n i c i t yo fp r e m i u mp r i n c i p l ef o ro r d e rr e l a t i o n s h i p i sg i v e nf i r s t l y , o nb a s eo fw h i c ht h ei m p a c t so fo r d e rr e l a t i o n s h i p so fr i s k sa n d c o m o n o t o n i c i t yo fr a n d o mv e c t o ro nc a l c u l a t i n gp r e m i u m sa r es t u d i e d ，a c c o r d i n g l y t oo b t a i ns e v e r a lr e s u l t s i nt h ee n d ，t h er e a l i s t i cm e a n i n go fs u c hr e s u l t sa r eg i v e n b ye x a m p l e s k e yw o r d s ：r i s k ，o r d e r so fr i s k s ，c o m o n o t o n i c i t y , p r e m i u m ，p r e m i u mc a l c u l a t e p r i n c i p l e ，s t o p - l o s so r d e r ，l i m i t i n gp r o p e r t y , m o n o t o n i c i t y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：砖叫 签名日期；i 岫降牛月2 , o 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名： 南f 4 签名日期：枷年妒d 日 导师签名：巧众口 签名日期：弘g 年y 月z 砂日 一序言 1 1 引言 一序言 保费计算原理是精算与风险理论中的一个基本概念，一直以来，许多学者 及精算人士都致力于对风险理论的研究，定义了许多新的保费计算原理，并得 到了关于它们的很多好的性质 设 是一种风险序关系，一般而言，保费计算原理n 应当具有下述性质 k ： 若两风险x ，y 满足x k 则有n ( x ) i i ( y ) 它表明，风险的保费与其序关系之间具有一致性，换句话说，风险的序关系是 比较其保费大小的一个参考因素 不难证明，若风险序 1 强于 2 ，即x ly 号x 2y ，且序 2 具有性质 k ，则序 l 也具有性质k 由此可见，在风险理论中，序与序之间强弱关系的结果为此处研究保费计 算原理对序关系的单调性提供了理论基础在本文中，称性质k 为保费计算 原理对序关系的单调性 此外，在考虑风险和的保费问题时，风险间的相依关系也是影响保费大小 的一个重要因素，例如，对于相互独立风险x ，y 而言，其和的保费应当具有 可加性 i i ( x + y ) = n ( x ) + i i ( y ) 它表明风险间的独立性不影响保费的计算 本文着重考虑了风险的同单调性对风险和的保费计算的影响，得到下述结 果： n ( x + y ) r i ( x ) + ( y ) ，其中x ，y 是同单调的 并通过举例解释了风险的同单调性的实际含义，最后再结合风险的序关系得 到了具有同单调性的风险和的保费大小比较结果，具有一定的现实意义 1 2 风险与风险的序 1 湖北大学硕士学位论文 风险的序与效用理论之间有着紧密的联系，由于在风险理论和实际问题中 需要比较风险之间的期望或损失效用，因而引入了风险序的概念鉴于其客观 的实际背景，从效用理论的角度能更好地理解风险序的涵义 一般地，称一个非负的、期望有限的随机变量为一个风险 定义效用函数u ( z ) 是一个递增的凹函数，其含义可理解为z 个某货币单位 的效用随其量z 的递增而递增，且对某个较小值z 而言，其效用的增量比某 较大值z 的效用增量要大 现考虑两个取整数值的随机变量x 与y ，分别表示在两种不同决策下某货 币单位的盈利结果对效用函数u ( z ) ，假设两期望效用e v ( x ) 与e v ( y ) 均有 限，且满足 e v ( x ) 0 ( z ) = 一( n z ) + ，n r u ( z ) = ( z n ) + ，o r 然而，在实际的保险问题中，人们通常都不知道效用函数或损失函数的确 定形式，但却可以证明，对于所有可能的效用函数或损失函数不等式( 1 1 ) ，( 1 2 ) 是成立的这样便引入了随机变量的停止损失序与增凹序，它们都是随机变量 族上的一个偏序 ，满足： z _ z z y ，耖 z ) = 争z z _ 【z y ，y z ) 兮z = y 由于研究实际问题需要，随后不等式( 1 1 ) 与( 1 2 ) 的形式被拓广了若取 口( z ) 为其它形式的函数，如单调增函数、凸函数，便可得到其它形式的序，如 2 一序言 随机控制序、凸序等更特殊地，若取口( z ) 为指数函数，则得到了指数序与 l a p l a c e 序等 1 3 随机变量的同单调性 一般地，称随机变量x 1 ，恐是同单调的，若存在风险z 及单调不减函数 f ，g ，使得x 1 = ，( z ) ，托= 9 ( z ) 同单调性的概念最初是由s c h m e i d l e r ( 1 9 8 6 ) 与y a a r i ( 1 9 8 7 ) 引入的，它在不确 定性风险的决策理论中起着重要的作用近些年来，国内外许多学者对随机向 量同单调性展开了研究，获得许多结果d h a n e n ej 等卜1 讨论并给出了同单调 性的四个等价定义，并研究了随机变量和的同单调上界：l u a nc u n c u n ( 2 0 0 1 ) 研究了当两随机变量同时具有独立性与同单调性时的等价性质，得到了重要 结果等等 一般而言，保费计算原理对风险和的保费计算与其相依程度之间是具有较 大关系的，比如对相互独立的两风险具有可加性而实际保险问题中并不能 一一总保证两风险具有独立性，此时保险公司有必要对这种风险和的保费做出估 计本文将保费原理同随机变量序及同单调性结合起来，得到了关于这个范围 估计的一个有意义的结果，并通过举例说明了随机变量同单调性的现实含义 1 4 保费计算原理 称一条规则是一个保费计算原理，记为，它把一个实数p 指定给具有分 布函数f 的取值有限的一个随机变量x ，用记号表示： p = ( x ) 这个抽象定义的实际解释如下：对任何风险x ，在这种计算原理下，保险 公司提出其保费p = n ( x ) 这表明保险公司愿意接受p 并且反过来作出一个 x 大小的随机赔偿因此，保险公司从这样一个合同中的收益为p x ，它是 个随机变量 注1 1 这里考虑的仅是一个孤立的保险公司，它无竞争者及再保险公司它 所定义的保费计算原理只考虑风险的平均索赔量及与其安全性有关的保费， 而不考虑此外的用来确定价格的通常的经济因素 注1 2 在保险公司实际收取的保费中，除了p 外，还有一项是佣金及其 它费用 3 湖北大学硕士学位论文 经典的保费计算原理有：净保费原理( 平衡原理) 、期望值原理、方差原理、 零效用原理、平均值原理 后来，v a nh e e r w a a r d e n 与k a a s 定义了d u t c h 保费原理 n ( x ) = e x + o m a x x a e ( x ) ，o ) 】，0 p 1 ，q 1 w a n g ( 1 9 9 6 ) 通过对分布函数的变形给出了另一个具有较好性质的保费计算 原理， n 9 ( x ) = 9 ( 1 一f x ( z ) ) 血， - ，0 其中g 是【0 ，1 】上的非减凹函数，满足g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = 1 1 5 本文主要定理 在第二部分中定义了推广停止损失序，并得到如下定理： 定理1 1 设e h ( x ) ，e h ( y ) o o ，其中 ，王 h ( x ) = h ( t ) d t ，0 则下列条件是等价的： ( a ) x 璺y ( b ) h ( x ) s lh ( y ) ( c ) e h ( x ) 一日( t ) 】+ e h ( y ) 一日( t ) 】+ 定理1 2 若x s ly ，则x 量y 定理1 3 设x l ，x 2 ，m ，k ，k 是随机序列，其中( m ，硷，k ) 是同单调的，若x i 曼k ，i = 1 ，2 ，n ，则有 h ( x x ) + h ( x 2 ) + + h ( x n ) s lh ( y 1 ) + h ( y 2 ) + + ，h ( y n ) 在第三部分中，讨论了风险序关于推广停止损失保费的极限性质，并研究 了通过合作达到最小保费问题 定理1 4 设 ) 是风险序列，若ke ax ，n o o ，则有 与x ，n _ 定理1 5 设x n ，x 都是风险，则x n 三马x 的充要条件是： ( 1 ) x n 与x ( 2 ) e ( 日( ) ) - e ( 日( x ) ) 4 二风险序的关系及同单调性 二风险的序关系及同单调性 2 1 风险的序 给定概率空间( q ，厂，p ) ，称一个非负的、期望有限的随机变量为一个风险 设e 为所有风险的分布函数的全体， 为赋予e 中的半序记风险x 与y 的分 布函数分别为f 与g ，约定f g 等价于x 0 ，得到指数序是种特殊的停止损 失序，但因其在保费计算与可靠性理论中的重要性，故将其单独定义下面还 给出推广停止损失序的定义 定义2 7 称风险x ，y 耷推广停止损失序袅下x 小于y ，记x 蛩y ， 若 ，o o h ( x ) - f ( x ) d x h ( x ) g ( x ) d x ，vt 0 ， ， ，t 其中h ( x ) 是【0 ，+ o o ) 上非减的正函数，且使得上述不等式两端均有限 下面讨论以上序的性质特征 定理2 1 下列叙述是等价的： ( a ) x s ty ( b ) 存在一概率空间( q ，夕，p ，) 及定义其上的两随机变量x ，y 7 ，满足 x l y f 。x 皇x l 。y 尘y t ( c ) 对于所有的单调增函数g ：r + f t ，有 e g ( x ) z ) ，巧1 ( z ) = m i n t ：f r ( t ) z 容易验证：x ：dx ，y ：dy 因此有 巧1 ( z ) = m i n t ：f x ( t ) z ) z ) = 巧1 ( z ) ， 即x y ，从而( b ) 成立 二风险序的关系及同单调性 ( b ) 号( c ) 由( b ) 可知，对任意增函数g ：r _ r ，有 e g ( x ) = e g ( x ) e g ( y ) = e g ( y ) ， 即x s ty 成立定理2 1 获证 下述定理给出了停止损失序的一个等价定义 定理2 2 下述条件是等价的： ( a ) x s ly ( b ) 对任意单调增凸函数函数g ，有e g ( x ) e g ( y ) 证( b ) 爿( o ) 取递增凸函数9 ( t ) = ( t z ) + ，由e g ( x ) e g ( y ) 得 e ( x z ) + e ( y z ) + 依定义2 2 ，x s ly 成立 ( o ) 考( b ) 设9 是一递增的凸函数，首先考虑9 ( 一o o ) 一的情况记 9 + ( t ) 表夕( t ) 的右导数，则对任意z r 有 9 ( z ) = 9 ( 一o o ) + 9 + ( t ) d t = 9 ( 一o o ) + ( z t ) d g + ( t ) _ 9 ( 刊+ 仁仁( ) + d 眦) d 9 + = 9 ( 一。o ) + e ( x y ) + d 9 + ( ! ，) 同理对y 也有上式成立由于对vy r ，e ( x 一耖) + e ( y y ) ；，故e g ( x ) e g ( y ) 其次假设9 ( 一o o ) = 一o 。令g n ( t ) = m a x - n ，9 ( t ) 】- 则对n n ，易知鲰( t ) 是递增的凸函数，且鲰( 一o o ) 一由上部分的证明可得 仁础) d f x ( 蟋仁g n d f y ( 吐n en 对不等式左端利用单调收敛定理得 撬仁础) d f x ( z ) 二仁撬础) d f x ( 加仁鲋) d f x ( 础 同理对右端有 ，0 0，o o j i 巴g n ( x ) d f y ( z ) = g ( t ) d f y ( z ) n - o o - ，一，一 7 湖北大学硕士学位论文 从而有 |g ( t ) d f x ( x ) l g ( t ) d f y ( x ) ， ，一 j 一 此即e g ( x ) e g ( y ) 定理2 2 获证 下面给出判定停止损失序的一个充分条件它说明这样一个结果：危险序 强于停止损失序 定理2 3 4 】设n i x i 0 0 ，e l y l z 2 ) 得s 即 又因为 e ( i ( x 1 x l ，托 x 2 ) ) e ( j ( m x l ，y 2 z 2 ) ) ， p ( x 1 z 1 ，x 2 x 2 ) p ( i 1 x l ，硷 z 2 ) 尸( x l ：z 1 ) + p ( x 2 2 7 2 ) + p ( x 1 z l ，x 2 x 2 ) = i + p ( x i x l ，配z 2 ) ， 尸( h x , 1 ) + p ( 砼x 2 ) + p ( y x x l ，配 x , 2 ) = 1 + p ( m x l ，场x 2 ) ， 而( x l ，托) ，( h ，y 2 ) r ( 日，乃) ，所以有 此即 p ( x 1 x l ，托x 2 ) p ( m x l ，y 2 z 2 ) ， f x l ，x 2 ( x l ，x 2 ) 巩。y 2 ( x l ，x 2 ) 8 二风险序的关系及同单调性 反过来，设f x 。，x 2 ( x l ，z 2 ) 巩，y 2 ( x l ，x 2 ) ，则对任意两不减函数，g 及 x l ，x 2 0 有 p ( ，( x 1 ) x l ，g ( x 2 ) z 2 ) = p ( x 1 f - x ( z 1 ) ，9 1 ( z 2 ) ) p ( m i - 1 ( 。1 ) ，m 9 - 1 ( z 2 ) ) = p ( f ( y i ) z 1 ，9 ( 玩) x 2 ) ， 其中i - 1 ( z ) = m i n t ：，( t ) z ，g - 1 ( z ) = m i n t ：9 ( t ) z ) 由引理2 1 得 c o y ( f ( x 1 ) ，9 ( x 2 ) ) c o v ( ( y 1 ) ，夕( 砼) ) 再由相关序定义得 ( x l ，x 2 ) ，c o r r ( m ，圪) ， 引理2 2 获证 定理2 4 若二元变量( x 1 ，) ，( ，硷) r ( f 1 ，毋) ，且( x 1 ，拖) c o r r ( m ，蚝) ，则有x l + 拖s lm + 硷 证下面先证等式 e ( x + y 一田+ = e ( x ) + e ( y ) 一d + 殿，y ( 。，d z ) d t ( 2 1 ) ，一 事实上， e ( x + y d ) + = e ( x + l ，一田+ e ( x + y d ) 一 = e ( x ) + e ( y ) 一d + e ( d x y ) + ， 而 e ( d - x - y ) + = 上z ( d - x - y ) + 慨 y ( 毛秒) ，o o = 0 0 d - x ( d - x - y ) d 取，y ( z ，y ) = d - xj f t 兰- yd t 慨州删) = 仁t d - td f x 州训，以 ， = 取，v ( t ，d t ) 疵 j 一 ，- o o = f x ，y ( z ，d z ) d z 9 故等式( 2 1 ) 成立 因为 湖北大学硕士学位论文 由引理2 2 得 再由等式( 2 1 ) 得 ( x 1 ，x 2 ) c o r r ( m ，k ) ， f x l ，x 2 ( x l ，x 2 ) 巩，y 2 ( x l ，x 2 ) ， e ( x 1 + 一d ) + e ( m + 硷一d ) + 根据停止损失序定义，故得x l + 托s lm + 场定理2 4 获证 下面讨论两随机变量的相关序与指数序之间的关系 定理2 5 【4 】 若二元变量( x l ，x 2 ) ，( m ，蚝) r ( f l ，f 2 ) ，且( x 1 ，x 2 ) c o r r ( m ，硷) ，则有x 1 + x 2 e x pm + 托 定理2 6 设e h ( x ) 0 且单调不减，故h ( x ) 在【0 ，+ ) 上递增连续可导，且 h ( o o ) 竺l i m 日( z ) = 0 0 ， 玉+ 0 0 令u = 日( z ) ，由积分换元定理得 ，o o 【( 召( z ) 一- f c x ) h ( x ) d x = 【p ( y z ) 一p ( x x ) h ( x ) d x ，t，t = 【p h ( y ) 日( z ) ) 一p h ( x ) 日( z ) ) 】 ( z ) d z = 【- ( 日( z ) ) 一鬲( 日( z ) ) 】 ( z ) 出 ：鼬【- ( u ) 一酬m ，月( = 【两( u ) 一万( u ) 】d 仳 ( 2 2 ) ，月( t ) 由于日( z ) 关于z 连续递增，且h ( 0 ) = 0 ，因此对任意d 0 ，存在t 0 ，使 得日( t ) = d ，当x 蛩y 时，由上式有 poo，o o 【_ ( t ) 一f - 1 , ( u ) d u = 【( 虿( z ) 一f ( 训 ( z ) d z 0 ， j dj t 由d 的任意性知 f 1 s lg 1 反之，由( 2 2 ) 式易知， f 1 s lg 1 = 兮f 蛩g 根据f 1 ，g 1 的定义即得 x y 每兮h ( x ) s 1 日( y ) 推论2 1 设x 是具有期望为p 的任意风险，乳服从单点分布，则乳袅x 证由日( z ) = 臂h ( t ) d t 及九( z ) 单调不减知日”( z ) 0 ，即日( z ) 是 o ，+ o o ) 上的凸函数，故由j e n s e n 不等式得 e h ( x ) 一日( t ) 】+ = em a x h ( x ) ，日( t ) 】一h ( t ) m a x e h ( x ) ，e h ( t ) 】一h ( t ) = m a x e h ( x ) ，日( t ) 】一h ( t ) m a x h ( e x ) ，h ( 0 】一h ( t ) = e 日( 乳) 一日( ) 】+ 1 1 湖北大学硕士学位论文 再由定理2 6 得 乳蛩x 定理2 7 若x s ly ，贝ox 袅y 证由条件知 e ( x t ) + e ( y t ) + ，vt 0 对于z 0 ，由于h ( x ) 单调不减且使得 h ( x ) f ( u ) d u 。， 故有 z 1 + i r a ( z ) z f ( u ) d 乱弋 d ix d ，若x d ， 其中x l 是留成风险，是其向再保险公司投保的再保风险，显然x 1 + x 2 = x 在这种情况下，显然x l 与x 2 不是正线性相关的但由于x 。与x 2 均可 表为初始风险x 的不减函数，因此由定义2 7 知，( x l ，恐) 是同单调的 下面讨论了同单调的随机向量的一些性质 】3 湖北大学硕士学位论文 称随机变量x ，y 是p q d ( n q d ) 的，若对任意z ，y r 有p ( x z ，y y ) p ( x x ) p ( y 秒) ( p ( x z ，y y ) p ( x 0 ，可选择适当的 0 ，五十+ d ：l = d ，使得 e 【日( m ) + + 日( k ) 一司+ = e ( 日( m ) 一) + + 十e ( 日( k ) 一d ：1 ) + ， ( 2 5 ) 又由于置曼m ji = 1 ，2 ，n ，故有 e 【日( 置) 一日( t ) 】+ e 【日( m ) 一日( t ) 】+ ，vt 0 而由于 ( t ) 在 0 ，+ ) 上单调不减非负，故 h ( o o ) 兰l i m 日( z ) = + 。o ， 1 6 二风险序的关系及同单调性 从而对上述的每一个z 0 ，存在相应的t ：【o ，+ o o ) ，使得日( ：) = ，继而有 e ( h ( x i ) 一d ：) + e ( 日( m ) 一a ) + ，i = 1 ，2 ，n 故 e ( 日( m ) 一五) + + e ( h ( y 2 ) 一五) + + + e ( h ( y n ) 一五) + e ( h c x l ) 一孟) + + e ( h ( x 2 ) 一五) + + + e ( h ( x n ) 一d ：1 ) + e ( h c x l ) 一五) + ( 日( 拖) 一五) + + ( 日( ) 一d ：1 ) 1 + = e hc x l ) + h ( x 2 ) + + 日( ) 一d 】+ ( 2 6 ) 结合( 2 5 ) ，( 2 6 ) 有 e 【日( x 1 ) + 日( 恐) + + 日( ) 一明+ e h ( y i ) + h ( y 2 ) + + h ( y n ) 一d 】+ ， 再由d 的任意性知 h ( x 1 ) + h ( x 2 ) + + 日( ) s 1 日( m ) + h ( y 2 ) + + 日( k ) 定理2 1 0 获证 推论2 3 设x 1 ，拖，m ，硷，k 是随机序列，其中( m ，蚝，k ) 是同单调的，若x i s lk ，i = l ，2 ，n ，则有 x l + 托+ + x n s lm + 硷+ + k 证由定理2 1 0 ，取h ( x ) 三1 即证 推论2 4 对随机向量x = ( x x ，x 2 ，x n ) 有下述不等式成立 x 1 + 恐+ + x n c x 巧j ( u ) + ：( u ) + + f 是( u ) 证显然i r a ( v ) ，v x ：( u i ，f 。- 。1 ( u ) ) 是同单调的，再由赋( u ) 与咒 同分布及推论2 3 ，结论成立 。 1 7 湖北大学硕士学位论文 三保费计算原理 3 1 保费计算原理的定义和性质 首先介绍保费计算原理的定义 定义3 1称一条规则是一个保费计算原理( 简称保费原理) ，记为，它把 一个实数p 指定给具有分布函数f 的取值有限的一个随机变量x ，用记号表 示； p = ( x ) 下面给出一系列经典的保费计算原理及其所期望的性质，它们在g e r b e rh 的著作1 中都有讨论，在此只简叙之 ( 1 ) 净保费原理( 平衡原理) ：p = e ( x ) ( 2 ) 期望值原理：p = ( 1 + 入) e ( x ) ，a 0 ( 3 ) 方差原理：尸= e ( x ) + a v a r ( x ) ，a 0 ( 4 ) 标准差原理；p = e ( x ) + 卢 瓦币两，卢 0 b f i h l m a n n ( 1 9 7 0 ) 引进了零效用原理 ( 5 ) 零效用原理：保费p 是下述方程的解： u ( 0 ) 了e ( u ( p x ) ) ， 其中u ( x ) 是效用函数，它是单调递增的凹函数 特别地，当取u ( z ) = 下1 - e - a 。，o 0 时，可得到前面所述的指数原理： p = = il o g e ( e 口x ) ，n 0 ( 6 ) 平均值原理：p = v - 1 ( e ( u ( x ) ) ) ，其中函数v ( z ) 满足u ( z ) 0 ，口”( z ) 0 特别地，当取v ( x ) = e 叮，a 0 时，也可得到前面所述的指数原理 ( 7 ) 分位数原理：p = m i n p l f ( p ) 1 一) ，其中0 0 ，u ”( z ) 0 由j e n s e n 不 等式得 v ( p ) = e ( 口( s ) ) 口( e ( s ) ) ， 由于u ( z ) 递增，故p e ( s ) 关于上述经典保费原理的其它性质，g e r b e rh u l l s 在文献【1 】中都有具体的 讨论其中值得一提的是性质优越的指数原理，可以证明它满足上述的五条性 质，而且当参数a 0 及a 。时，分别得到净保费原理和最大损失原理的 极限情形因为前者无保证负荷，而后者又导致超额的保证负荷，所以严格地 讲，指数原理倍受推崇另外可以证明：保证负荷越高，o 就越大在破产理 论中，a 被解释成调节系数，它对如何选择a 提供了一种指导 下面给出w a n