（计算数学专业论文）若干离散可积系统的对称与反向akns方程的精确解.pdf

摘要 本文研究的主要内容包括；与拟差分算子相联系的等谱方程族的对称与l i e 代 数结构；等谱微分差分k p 方程c a s o r a t i a n 解的条件与对称；利用h i r o t 8 方法来 构造二阶反向等谱a k n s 方程的孤子解及反向非等谱a k n s 方程的孤子解；构造新 的高阶方阵谱问题，得到a k n s 方程新的可积分解；g e n g 方程相应的对称约束、 可积分解与守恒律被给出 在第二章中，首先给出与般的拟差分算子相应的等谱与非等谱发展方程族及 其显式表达公式，并且给出等谱方程族的两套对称及相应的l i e 代数结构其次， 通过约化得到等谱g e l f a n d - d i c k e y 方程族及其k - 对称 第三章首先对等谱微分差分k p 方程的c a s o r a t i e m 解及其相应的c a s o r a t i a n 条件进行讨论，得到了更广泛的c a s o r a t i e m 条件，并证明了某些条件的推广并不能 引出新解有趣的是，我们建立了微分差分k p 方程的c a s o r a t i a n 条件与该方程 的一种不变性之间的联系，由此引出微分差分k p 方程的一个对称，并进一步获 得一个孓维封闭的l i e 代数 第四章主要研究了一个二阶反向等谱a k n s 方程的孤子解及二阶反向非等谱 a k n s 方程的孤子解首先导出二阶反向等谱a k n s 方程，然后得到其双线性形 式，并用h i r o t a 方法得到该方程的二孤子解与三孤子解，通过对二孤子解的渐进分 析，发现该二孤子互相作用后不仅有通常意义下的相位差，而且孤子的振幅也有变 化另外，还导出二阶反向非等谱a k n s 方程，并且给出其三孤子解 第五章给出了从一个2 2 方阵谱问题构造出高维谱问题的方法，并以a k n s 方阵谱问题为例说明，得到a k n s 方程相应新的可积分解；其次通过规范变换得到 g e n g 方程的对称约束、约束相应的三个可积分解、无穷守恒律 关键词： 拟差分算子；对称；非等谱方程；双非线性化方法；h i r o t a 方法 1 a b s t r a c t t h em a j o rc o n t e n t si n t h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e ：s y m m e t r i e sa n dl i ea l g e b r af o r t h ed i s c r e t ei s o s p e c t r a le q u a t i o nh i e r a r c h yr e l a t e dt o8g e n e r a lp s e u d o - d i f f e r e n c eo p e r a - t o r ：a n a l y s i so fc a s o r a t i a ns o l u t i o n st ot h ei s o s p e c t r a ld i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ek a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l l i ( k p ) e q u a t i o na n di t sc o n n e c t i o nw i t hs y m m e t r i e s ；s o l i t o ns o l u t i o n sf o rn e g - a t iv ei s o s p e c t r a la k n se q u a t i o na n dn e g a t i v en o n i s o s p e c t r a la k n se q u a t i o na r es t u d i e d b yu s i n gh i r o t am e t h o d ；n e wi n t e g x a b l ed e c o m p o s i t i o n so fa k n se q u a t i o n ，g a u g et r a n s - f o r m a t i o n ，b i n a r yc o n s t r a i n t ，i n t e g r a b l ed e c o m p o s i t i o n s ，i n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w so fg e n g e q u a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，s o m eg e n e r a lr e s u l t so fi n t e g r a b i l i t ya n da l g e b r a i cs t r u c t u r e s f o rh i e r a r c h i e sr e l a t e dt oag e n e r a lp s e u d o d i f f e r e n c eo p e r a t o r 缸ep r e s e n t e d t h e s e g e n e r a l r e s u l t si n c l u d eg e n e r a le x p r e s s i o nf o r m u l a so fi s o s p e c t r a lh i e r a r c h ya n dn o n i s o s p e c t r a lh i e r a r c h y ，e x p l i c i tl a xp a i r so ft h e s eh i e r a r c h i e s ，l i ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo ft h e s eh i e r a r c h i e s ， t w os e to fs y m m e t r i e so ft h ei s o s p e c t r a le q u a t i o n sa n dt h e i rl i ea l g e b r a i cs t r u c t u r e t a k - i n gt h ea d v a n t a g eo fr e d u c t i o nr e l a t i o n s h i p ，t h ed i s c r e t eg e l l a n d - d i c k e yh i e r a r c h ya n d i t sk s y m m e t r i e sa r ep r e s e n t e d t h ec a s o r a t i a ns o l u t i o n sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gc a s o r a t i a nc o n d i t i o n sf o rt h ei s o s p e c - t r a ld i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ek a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l l i ( k p ) e q u a t i o na r ed i s s c n s s e d ，am o r e g e n e r a lc a s o r a t i a nc o n d i t i o ni so b t a i n e da n di ti sp r o v e dt h a tt h i sg e n e r a lc a s o r a t i a nc o n - d i t i o nc a nn o td e r i v en e ws o l u t i o n s i ti si n t e r e s t i n gt h a tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc a s o r a - t i a nc o n d i t i o n sf o rt h ei s o s p e c t r a ld i f f e r e n t i a l - d i 胎r e n c ek p e q u a t i o na n dt h ei n v a r i a n c eo f t h i se q u a t i o ni sf o u n d ，w h i c hs h o wo u es y m m e t r i e so ft h ei s o s p e c t r a ld i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c e k pe q u a t i o n ，a3 - d i m e n s i o n a lc l o s e d l i ea l g e b r aa r ef u r t h e ro b t a i n e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，t h es o h t i o ns o l u t i o n so fn e g a t i v ei s o s p e c t r a la k n se q u a t i o n a n dn o n i s o s p e c t r a la k n se q u a t i o na r ep r e s e n t e d t h ed y n a m i c a lc h a r a c t e ro ft h e2 - s o l i t o ns o l u t i o nt ot h en e g a t i v ei s ) s p e c t r a la k n se q u a t i o na r ed i s c u s s e d ，i ti sf o u n dt h a t t h e i n t e r a c t i o n so ft h e2 - s o l i t i o ns h o w st h eu s u a lp h a s ed i f f e r e n c e sa n dt h ec h a n g i n g 日皿 p l i t u d e s t h ef i f t hc h a p t e ri sm a i n l yf o c u 8 e do ns t u d y i n g8n e wa p p r o a c ht oo b t a i nn e wi n - t e g r a b l ed e c o m p o s i t i o n s an e wa p p r o a c ht oc o n s t r u c tan e we r r mm a t r i xs p e c t r a l p r o b l e mf r o man o r m a l2 2m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e mi sp r e s e n t e d a k n ss p e c t r a lp r o b - l e n ai sd i s c u s sa sa ne x a m p l e ，t h ei s o s p e c t r a le v o l u t i o ne q u a t i o n so ft h en e wr r t 仇m a t r i x 2 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 3 一_ _ _ - 。- _ _ _ - _ - _ _ - 。1 。_ _ - _ _ - 。- 。_ h _ _ 。_ 。_ - - _ _ - _ _ p 。_ 。_ 。- i _ _ _ _ _ _ 。一 s p e c t r a lp r o b l e mi sn o t h i n gb u tt h ef a m o u sa k n se q u a t i o nh i e r a r c h y w i t ht h ea i do ft h e b i n a r yn o n l i n e a r i z a t i d nm e t h o d ，w eg e tt h en e wi n t e g r a b l ed e c o m p o s i t i o n so ft h ea k n s e q u a t i o n t h r e el l e wi n t e g r a b l ed e c o m p o s i t i o n sa n dt h ec o n s e r v a t i o nl a w so ft h eg e u g e q u a t i o na r ea l s oo b t a i n e d t h eb i n a r yc o n s t r a i n t so ft h eo e n gh i e r a r c h yo b t a i n e dw i t h t h eu s eo fg a u g et r a n s f o r m a t i o ni sf i r s tp r o p o s e d k e yw o r d s ：p s e u d o - d i f f e r e n c eo p e r a t o r ；s y m m e t r i e s ；n o n i s o s p e c t r a le q u a t i o n ；b i n a r y n o u l i n e a r i z a t i o nm e t h o d ；h i r o t am e t h o d 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 签名：日期： 2 1 圣彰 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 签名：茎蕴导师签名：日期： 第一章绪论 1 1引言 孤立子理论是数学物理领域的重要组成部分近几十年来引起国际上数学界和 物理学界的充分关注，研究工作十分活跃，涉及范围日趋广泛这是因为，一方面孤 立子具有粒子和波的许多性质，在自然界中具有一定的普遍性至今从数值计算、 理论分析和物理实验等方面都已得到证实，并且初步形成比较完整的理论体系，许 多科学领域，如流体力学、等离子体物理、超导物理、经典场论和量子场论等等都存 在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要现象，而且利用孤立子理论已经成功 地解释了许多物理上长期用经典理论未能得到解答的问题另一方面，随着孤立子 物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并且对无穷维代数、微分几 何、代数几何、拓扑学、动力系统和计算数学等数学分支产生了深远的影响因此， 孤立子理论的研究是数学物理领域的重要课题，也是非线性科学的前沿课题【l 】一【4 】 究竟什么是孤立子呢? 要回答这个问题，就有必要先回顾一下非线形波动发展 的简史 1 8 3 4 年，英国工程师j s c o t t r u s s e l ( 罗素) 在一篇题为论波动的报告中， 记述了他观察到的一种奇特的水波现象：在英国爱丁堡附近的一条狭窄的运河中， 他正在观察由两匹马拉着船在运河中行驶，当船突然停止前进时，运河中被船推动 的水并没有停止，而已汹涌的状态聚集在船头，然后以巨大的速度滚滚向前，且保 持着巨大的轮廓分明的光顺孤立的峰状外形，显然，他不改变形状与速度，沿运河 继续前进他骑马跟踪了一至二英里，在运河的拐弯处，这种孤立行进的水峰才终 于消失 1 9 9 5 年，国际上许多孤立子研究的科学家在爱丁堡附近的那条运河上重新见证 了1 8 3 4 年r u s s e l l 所观察到的孤波现象 r u s s e l 认为他观测到的是流体运动的一个稳定解，并称之为“孤立波”经过数 次实验，他还认为这种孤立波的波形应该具有s e c h 2 ( ) 函数的形式，但是r u s s e l l 并 未能成功证明并使物理学家信服他的观点尽管r ，u s 8 e l 认识到孤立波是具有关键性 质的新现象、新事物，但限于当时的数学理论和科学水平的限制，无法从理论上给 予孤立波以圆满的解释 1 8 9 5 年，荷兰科学家k o r t e w e g 与他学生d ev r i e s 在长波近似和小振幅的假设 下由e u l e r 方程导出了流体中单向传播的数学模型，其运动方程为 象地赛+ 蠡= o ， c 一1 1 1 ) 瓦u 瓦+ 丽2 u ， ) 1 2离散可积系统的若干性质 就是通常所说的k d v 方程用行波法，加上在无穷远处迅速衰减的条件，可得到 k , i v 方程行波不变的行波解为 u ( z ，) ：虿c 2 2 甲- c z 一如一研 ( 1 1 2 ) 这里常数c 是波速，下c 2 是振幅，显然振幅与波速有关，当c 固定时，波形和速度是 不变的，这就从理论上证明了j s 罗素观察到的孤立波的存在性然而，孤立波的 稳定性以及两个孤立波碰撞后是否会被破坏并未得到解决( 非线性方程不满足叠加 原理，人们丰日心碰撞可能会破坏孤子解) 由于担心孤立波“不稳定”从而没有太大 物理意义，孤立波的研究并没有大规模展开 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 设计了一个数值计算实验：将6 4 个质 量点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时能量集中在一个质点上，期望 经过相当长时间后非线性作用会使能量均分、各态历经等现象出现结果发现，经 过相当长时间后，几乎全部能量又回到初始分布，这与经典的理论相矛盾。当时， 由于只在频率空间米考虑问题，未能发现孤立波，因此该问题( 称为f p u 问题) 未 能得到正确的解释后来t o d a 研究类似的问题一晶体内部非线性振动时得到孤立 波解，该现象才得到解释。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 研究基本粒子模型的s i n e - g o r d o n 方程，得到该方 程孤立波的解析解，并发现该解具有弹性碰撞的特点，即碰撞后两个孤立波解也保 j 4 原有的形状和速度 1 9 6 5 年，为了解释f p u 问题中的现象，n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 从连续统 一体的观点来考虑f p u 问题，在连续的情况下，f p u 问题近似地可用k d v 方程 来描述n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 用数值模拟方法详细地考察和分析了等离子 体中孤立波的互相碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完整和丰富的结果，并 进一步证实了这类孤立波相互作用后不改变波形的论断他们的结果使人们感到惊 喜上面已经提到，由于这种孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性质，他们命名 这种孤立波为孤立子，于是孤立子这个词被用来生动地表示孤立波的粒子行为从 此，孤立子作为应用科学中的新概念诞生，并在广泛范围内应用 通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过互 相碰撞后不改变速度和形状( 位移有可能发生变化) 在物理领域，孤立子被理解为； 经互相作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波，或者被理解为：非线性演化方 程能量有限的解，即能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散到无限区域 中去 一 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 3 1 2 可积系统 众所周知，有限维h a m i l t o n 系统优美的几何理论已被建立，其中著名的l i o u v i l l e - a r n o l d 定理给出了h a m i l t o n 系统可积的一个充分条件对于无限维h a m i l t o n 系统情 形要复杂的多，无穷多个彼此对合的首次积分的存在，并不足以引出解的显式来 因此，对无穷维h a m i l t o n 可积系统还没有一个确切的定义，通常采用两种可积性定 义1 1 1 ，即l a x 意义下的可积性与l i o u v i u e 意义下的可积性 可积系理论中的核心问题之一是【l 】：( a ) 给定一个非线性演化方程，判断它是否 l a x 可积；( b ) 寻找尽可能多的可积系，导出有意义的非线性演化方程另个方 向是可积耦合，即非线性演化方程的一类扩展可积模型 判定个非线性演化方程的l a x 可积性，就是寻找l a x 对的零曲率表示，迄今 较为成功的方法是延拓结构法1 9 8 3 年，d r i n f e l d 和s o k o l o v 以k a c - m o o d y 代数 为工具系统地构造了k d v 方程的l a x 表示1 9 8 5 年，谷超豪、胡和生基于曲面论 中的基本方程提出一类方程的可积性准则，是这一方向上的一项重要进展【1 1 1 9 8 9 年，曹策问提出保谱发展方程换位表示的新框架，促进换位表示的发展f 6 】 1 9 8 2 年以来，屠规彰等提供寻找孤立v - ：y 程h a m i l t o n 结构的简单途径n1 9 8 9 年，屠规彰又运用约束形式变分技巧给出著名的迹恒等式吼m ，运用这一迹恒等 式，可以十分有效地建立相应方程的h a m i l t o n 结构现在，这一格式又被称为屠格 式，利用该方法建立了一大批可积的h a m i l t o n 系统 1 0 1 1 胡星标又将屠格式由 l o o p 代数a - 推广到a 2 上，给出迹恒等式的推广表示形式，从而扩大屠格式及其 应用范围1 1 2 1 研究h a m i l t o n 结构的另一系统方法是由f u c h s s t e i n e r 、f o k a s 和a n d e r s o n 等人 提出的f 坩4 1 在这一方法中，递推算子l 发挥着关键作用针对具有遗传强对称 性质的递推算子l 的等谱发展方程族，他们给出该方程族具有h a m i l t o n 结构的一 个条件：l 具有逆辛一辛分解陈登远为便于应用，发展了这一结果【4 】；同时，张 大军也对f u c h s s t e i n e r 、f o k a s 和a n d a r s o n 等人的结论进行改进，利用隐型表示理 论证明了在很自然的条件下， ( 1 + 1 ) 一维l 8 x 可积系统的递推算子存在且一定是其 相应的等谱发展方程的遗传强对称，相关结论被推广到离散孤子系统f l5 】f m 孤子方程可积的另一重要特征就是拥有无穷守恒律，自从m i u r a 、g a r d n e r 和 k r u s k a l 发现k d v 方程的无穷守恒律以后f 1 7 】，先后出现了一系列的构造方法，其中 w m l a t i 等人做出相当的贡献f l 8 l 一【l9 1 1 9 9 8 年，t s u e h i d a 和w a d a t i 又给出一个描 述多元系统守恒律的重要的迹恒等式f 2 0 1 陈登远、朱佐农、张大军等针对一些离 散系统也给出了一种直接从l a x 对出发构造守恒律的方法1 2 l 卜【2 3 1 最近张大军对 ( 1 - - 1 ) 一维可积系统的守恒律的构造方法做了较详细的综述f 2 4 1 4离散可积系统的若干性质 随着对可积系统研究的深入，人们逐渐发现很多可积系统之间有内在的联系 特别地，f l h s c h k a 指出“多数有限维可积系统都可以通过无穷维可积系统在有限维 不变子流形上的约束获到”【1 该思想的最好铨释之一是曹策问教授在1 9 8 8 年提 出的l a xx , - j a g 线性化方法，该方法来源于对孤立子方程的无反射位势函数和特征函 数关系的观察，给出了一个从( 1 + 1 ) 维孤立子方程的构造有限维可积系统的有效方 法l a x 对非线性化方法主要思想【n 6 卜1 3 0 j 是通过找到谱问题中位势函数和特征函 数之间的一种约束关系，这种约束大部分来自于方程的对称，所以通常又称为对称 约束，将这种约束代入原谱问题，可以将其约束成有限维h a m i l t o n 系统，并且可以 证明该系统在l i o u v i l l e 意义下足完全可积的1 9 9 3 年，耿献国教授将非线性化方 法推广应用到离散情形瞄u ，得到了有限维完全可积的离散系统目前，这种方法 主要有三个方而应用： ( 1 ) 1 通过对孤立子方程相应的谱问题非线性化可获得大量新的可积有限维 h a m i l t o n 系统，极大地促进了有限维可积系统的深入研究和发展 ( 2 ) 给出了“无限维系统可以约化成有限维系统”这一论断实现的途径，揭 示j ，有限维与无限维可积系统的内在联系 ( 3 ) 提供了求孤立子方程精确解的方法，如对合解与拟周期解等 程艺教授和李翊神教授等在1 9 9 1 年将l a x 对非线i 生化方法推广应用于2 + 1 维 k p 方程的谱问题及相应约束流【3 21 一1 3 3 1 ，得到完全可积的有限维h & m i l t o n 系统 曾云波教授和李翊神教授进一步发展非线性化方法，在1 9 9 2 年系统研究了位 势函数号特征函数之间的高阶对称约束条件下，从无穷维h a m i l t o n 系统导出有限 维h a m i l t o n 系统的分解，在零曲率表示理论框架内，将无穷维h a m i l t o n 系统分解 为两个可交换的：r 和t 。的有限维h a m i l t o n 系统，得到更广泛的l i o u v i l l e 意义下完 全可积的有限维h a m i l t o n 系统f 3 4 l - ( 3 7 1 马文秀教授与s t r a m p pw 教授在1 9 9 4 年将单非线性化方法推广为双非线性 化方法 3 9 1 4 3 1 ，其基本思想是考虑谱问题与共轭谱问题，找到位势函数与特征函数 之阳1 的一种约束关系，将这种关系代入原系统可得到相应的约束流，并证明该系统 l i o u v i l l e 意义下足完全可积的马文秀教授和李翊神教授进而又研究了非对称约束 流i 4 4 程艺教授、李翊神教授和张友金教授通过基于s a t o 理论的拟微分算子的k 约 束构造出k p 可积系统的约束系统，其中包括经典的a k n s 系统【4 5 卜【47 1 陈登远教 授将k 约束的概念推广到m k p 系统，获得低维的非线性s c h r s d i n g e r 系统【4 8 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 5 1 3 孤立子方程的求解 在孤立子理论中，求解孤子方程是古老而又非常重要的研究课题寻找孤子方 程的精确解不仅有助于进一步了解孤子方程的本质属性和代数结构，而且还可以合 理地解释相关的自然现象，其意义不言而喻孤子方程的解除了可以用数值计算和 计算机模拟进行研究外，主要是寻求其显式的精确解表示随着孤子理论的蓬勃发 展，一些行之有效的求解方法应运而生，如反散射变换方法、l i e 群及对称分析、 d a r b o u x 变换方法、b i c k l u n d 变换方法、h r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧等等每一 种方法都产生了很丰富的数学理论 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g k m ) 建立了求解k d v 方 程的初值问题反散射理论【4 9 j 一【5 “，他们注意到k d v 方程 1 上t + 6 t 正t 王+ t z z z = q 与m k d v 方程 饥+ 6 v 2 + 郇z 2 霉= 0 之间存在m i u r a 变换 t = 一( + 口2 ) ， 如果将c o l e - h o p f 变换 = 1 | ，z | 1 l ， 代入m i u r a 变换( 1 3 3 ) 得到 忆。+ u ( x ，t ) 妒= 0 ， 注意到k d v 方程在g a l i l e a n 变换t 一一a ，t _ t ，z _ z + 6 m 下不变， 方程( 1 3 5 ) 就变成一维定态的s c h r 6 d i n g e r 方程 ， ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 这样线性 妒霉+ u ( x ，t ) 妒= 入妒 1 3 6 如果方程( 1 3 6 ) 的势函数让( z ，t ) 按照k d v 方程( 1 3 1 ) 随时间t 演化，那么谱参数 a 就是与时间无关的，并且本征函数妒随时间的演化必满足方程 咖t + 怯霉z 一3 ( 入一t ) k = 0 ( 1 3 7 ) 于是他们利用量子力学中的s c h r s d i n g e r 方程的正散射方法得到t = 0 时刻的势函 数让( z ，0 ) 的散射数据s ( o ) ，再通过( 1 3 7 ) 构造出散射数据随时间演化的常微分方程 组，解得t 时刻的散射数据s ( t ) ，由此还原出s c h r s d i n g e r 方程的势函数u ( z ，t ) ，即得 k d v 方程的解 6 离散可积系统的若干性质 g g k m 等人提出的反散射方法已被成功地应用虱j 其它的非线性发展方程中， 并使得逐渐形成为一种系统的求解方法这一方法有其严格的物理背景和数学严 谨性，而且可以求出与同一谱问题相联系的整个等谱发展方程族的多孤子解一般 说来，如果给定谱问题的位势，求此谱问题的本征函数及所对应的离散谱，连续谱 等散射数据称为正散射问题，反之给定散射数据，要求恢复谱问题的位势称为反散 射问题它的主要步骤足先从与方程相联系的线性问题出发，将所求的位势归结为 g e l f a n d l e v i t a n 1 k a r c h e n k o ( g l m ) 线性积分方程，并建立散射数据与时间的关系； 然后由g l m 积分方程的解来获得初值问题的解反散射方法利用大量的分析技巧 和算子谱理论分析的有关知识1 4 纠5 2 ，已被大家认为是非线性方程的f o u r i e r 分析 方法a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r ( a k n s ) 等则建立了更一般的反散射框架包括 了k d v ，m k d v ，s i n e - g o r d o n 和n l s 等方程【53 】5 5 1 甚至已推广到了高维和离散情 形【56 1 目前，仍有许多学者对其作各种推广，例如：b o i t i ，f o k a s 等考虑了二维不衰 减势非静态s c h r 6 d i n g e r 方程的反散射理论【5 7 卜【6 u l ，曾云波、林润亮和马文秀成功 地运用反散射方法求解了具自容源的k d v 方程族1 6 1 1 在求孤子解的方法中，b 缸- k l u n d 变换是_ 一种重要而有效的求解方法1 8 8 3 年几 何学家b h c k l u n d 在研究负常曲率曲面时，发现了s i n e - g o r d o n 方程的一个有趣的性 质，即由s i n e - g o r d o n 方程的一解u 通过变换得到另一解u 7 以后人们又发现其它的 孤子方程也有类似的变换，后人为纪念他的发现称这种变换为b h c k l u n d 变换因此 b 托k l u n d 变换是指给定方程的一组解到同一方程的另一组解或者是另外方程解之间 的一种变换，它反映的是一个方程的两组解之间或者两个方程之间的联系f 6 2 j 一【7 2 1 对于k , i v 方程而言，也可以象s i n e - g 0 1 1 d o l ! 方程那样，从两个解u 与u 7 满足 的偏微分方程( 即k d v 方程) 出发，消去高阶导数，得到t t 与i t 7 满足的较低阶的 微分方程组一即b g c k l u n d 变换：形】利用b h c k l u n d 变换，可从孤子方程的已知解出 发求出新的孤子解，并可进一步以新解作为已知解，求出更新的解，周而复始【! f 】可 生成方程一系列的解可以想象，要完成上述过程就需要求解一系列越来越复杂的 微分方程组幸运的足w a h l q u i s t 与e s t a b r o o k 还发现了联系b 酝k l u n d 变换的四个 解之间非线性代数关系( 非线性叠加公式) ，这样，只需能得到前三个解，就可以得 到第四个解因此，b 址k l u u d 变换又反映了不同解之问的一种非线性叠加关系与 线性方程不同的是在孤子方程中没有统一的b h c k l u n d 变换和非线性叠加公式类 似与k d v 方程的非线性叠加公式也出现于其他的某些孤子方程中最近，胡星标 教授在离散系统的非线性叠加公式方面做了深入和广泛的研究，取得了丰硕的成果 一7 4 i 1 8 0 1 1 9 7 , 1 年，h i r o t a 利用双线性导数的优势提出了一种从双线性方程出发直接构 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 7 造b 毛c k l u n d 变换的方法【8 1 1 这种变换也是以双线性形式给出，并且在求解时十分 方便另外，h i r o t a 还进一步解释了这种双线性b 配k l u n d 变换与方程l a x 对之间 的联系，从而也给出了从l a x 对构造b 芭c k l u n d 变换的方法事实上，b _ i c k l u n d 变 换与l a x 对之间确实存在着密切的关系哗】 d a r b o u x 变换法的基本思想是：在某些限制下非线性偏微分方程可以写成为一 对线性问题( 谱问题与时间发展式) 的相容条件，这时借助于线性问题化为自身的规 范变换能得到不同位势u ，u 7 与线性问题的本征函数咖所满足的方程，它即为d a r b o u x 变换这种协变性质为求非线性发展方程的多孤子解提供了可能m a t v e e v 、谷超 豪、胡和生与周子翔等在d a r b o u x 变换方面做了很多开创性工作【8 3 】 8 4 1 d a r b o u x 变 换已被应用于求解各种不同类型的孤子方程，如c a m a s s a - h o l m 方程、具自容源方 程等等 7 0 j f 8 6 j 1 9 7 1 年，h i r o t a 创造性地提出了一种获得孤子解的直接方法壬i i r o t a 双线性 导数方法【研h 9 1 】在这种方法中。首先通过引入位势u 的适当变换。将孤子方程 化为双线性导数方程，然后将扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下 该展开式可以截断至有限项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解，双孤子解和 三孤子解等具体表达式，并由此猜测出多孤子解的一般表达式对于一般表达式可 利用数学归纳法验证其成立，但过程比较复杂值得一提的是在实际应用中h i r o t a 方法所引入的位势u 的变换，往往以反散射变换的结果或者p a i n l e v d 截断展开为基 础由于h i r o t a 双线性方法以双线性导数为工具，且仅与求解方程有关，而不依赖 于方程的谱问题或l a x 对，具有简捷、直观的鲜明特点，其使用范围几乎涵盖了所 有反散射变换可解的方程；h i r o t a 等还考虑了带有损耗和非均匀项的k d v 方程， 得到其多孤子解m ，最近陈登远、张大军、邓淑芳等对某些非等谱方程利用双线性 方法求得其解的具体表达式；并且双线性方法还可推广到方程族情形和一系列较复 杂的离散、半离散的链孤子系统( 9 3 l - 【9 5 j “ 另一种直接方法是w r o n s k i a n 技巧，这是一种应用广泛且高效的方法阴卜 1 0 9 1 ， 其得益于w r o n s k a i n 行列式本身良好的性质孤子解可以表示成w r o n s k a i n 行列式。 l 帛r e e r n a n 和n i m m o 则将w r o n s k i a n 表示与孤子方程的双线性形式有机地联系起来， 建立起一种以双线性方程为平台称之为w r o n s k i a n 技巧的孤子方程的求解方法该 方法以h i r o t a 双线性方法为基础，即首先要得到孤子方程的双线性形式或双线性 b i i c k l u n d 变换，然后选择适当的函数九构成w r o n s k i 行列式( 砂1 ，咖2 ，c n ) ，再 代入到双线性方程或双线性b 旋k l u n d 变换中利用w r o n s k i 行列式的性质和线性代 数中的l a p l a c e 定理进行验证在w r o n s k i a n 解的验证中最终都化归为p l f i c k e r 关 系式或j a c o b i 恒等式等行列式等式，其证明过程简洁，能够进行饵的直接验证， 8离散可积系统的若干性质 这恰是w r o n s k a i n 技巧的优势所在f r e e m a n 等人应用该方法获得了一系列方程 的w r o n s k i 洲形式的解，这些例子包括： k d v 方程【9 7 l i 【9 8 1 、k p 方程【9 7 1 i 【9 8 】、 b o u s s i i 螂q 方程 9 9 1 、非线性s c h r o d i n g e r 方程 1 0 0 ， 1 0 1 1 ，d a v e y - s t e w a r t s o n 方程 1 0 0 、 m k d v 方程1 1 0 2 l 、s i n e g o r d o n 方程1 1 0 2 1 、t o d a 链4 2 1 1 0 3 1i 球b o u s s i n e s q 方程 i 1 0 4 1 、m k d v - s i n e g o r d o n 方程 1 0 5 1 、非局部b o u s s i n e s q 方程1 1 0 6 1 、二维t o d a 链 等等 1 0 7 1 i l l1 另外，p o s i t o n 解、n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解( 呼吸子) 及混合解 等也有其特殊的广义w r o n s k i a n 表示1 1 1 2 1 一 1 1 8 当然，精确求解孤子方程的方法远不止于此，并且不断有新的方法出现比如， t t i r o t a 利用p f a f f i a n 技术得到b k p 方程的解 11 9 】楼森岳等建立了多线性分离变量 法和形变映射方法 1 2 0 一 1 2 2 曾云波等提出通过约束流来构造一孤子解的方法 j 1 2 3 ：- f 1 2 41 王明亮、张卫国、范恩贵、李志斌等提出非线性发展方程孤波解的构造 性方法：1 2 1 1 3 6 1 4 可积系统的守恒律 守恒律在应用数学中是普遍存在的有时它们可以表示某些物理量的守恒；有 时且i 便不足如此，他们通常在数学上也是非常有趣的1 1 3 7 1 无穷守恒律、无穷对称 和多f i 扎m i l t o n 结构是可积系统的三大代数特征1 1 3 8 1 这三个特征通过守恒量、守 恒协变挝和梯度和递推算子及遗传强对称性贡等实现其内在联系 设给定一般的( 1 + 1 ) 维非线性实发展方程 h ( t ，z ，u ( t ，z ) ) = 0 ，( 1 4 1 ) 其中t 与t 是时间与空间变量，u = u ( ，z ) 是t 与z 的未知函数，而日( ( t ，z ，吐( ，z ) ) 足t ，z ，u 及u 对z 直到m 阶导数的函数若存在一对连续可微函数u ( t ，z ，u ) 和 a ( t ，z ，u ) ，使得当u 按方程( 1 4 1 ) 发展时满足关系式 晏叫( 缸，u ) = 未，( 啦，u ) ， ( 1 4 2 ) 则称此关系式为方程( 1 4 1 ) 的守恒律，而u ( t ，z ，u ) 与j ( t ，z ，t ) 分别称为守恒密度 与连带流 如果当趋于无穷时，守恒密度与连带流充分快地趋于零，则将守恒律在整 个数轴上对z 积分得 妄仁心妊，0 ， ( 1 4 3 ) 可见积分j 墨u ( ，z ，u ) d z 与时间t 无关而为方程( 1 4 1 ) 的守恒量这就是函数 u ( f ，z ，u ) 称为守恒密度的由来 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 9 就( 1 + 1 ) 一维微分差分系统而言，其守恒律也有类似定义设 c ( t ，礼，札( t ，n ) ) = 0 ，( 1 4 4 ) 为一个( 1 + 1 ) 维离散发展方程，1 1 是唯一离散变量若存在一对函数f ( t ，l ，u ( ，n ) ) 和j ( t ，n ，u ( t ，n ) ) ，成立 胄 鬲v 、t ，n ，u ( t ，n ) ) = ( e 一1 ) j ( t ，n ，t ( ，n ) ) ， ( 1 4 5 ) 则称此式为方程( 1 4 5 ) 的半离散守恒律。式中的e 称为位移算子( s h i f to p e r a t o r ) ， 定义为 e f ( n ) = ，