（基础数学专业论文）相对映射芽的有限决定性.pdf

摘要 在这篇文章中，我们考虑的是把r “的子流形芽s 映射到b ，的子流形芽t 的相对 映射芽的有限决定性 本文将相对映射芽的基本理论与经典奇点理论的方法相结合，研究了相对映射芽关 于强相对左右等价群a s ，r 和强相对切触等价群如，7 的有限决定性及4 s ，丁有限决定性 与相对通用性之间的关系我们分别给出了相对映射芽5 、丁有限决定和b 7 - 有限决 定的等价判别条件，还讨论了相对映射芽的一4 5 ，丁有限决定性与一般a 有限决定性之间 的关系，即一般4 有限决定性蕴涵a s 丁有限决定性；进一步，我们还利用横截开折的 理论，给出了相对映射芽山7 _ 有限决定性与相对通用开折存在性的等价关系；最后， 做为本文的应用，我们给出了两个相对稳定映射芽的例子 关键词：相对映射芽；a s 7 _ 等价；b ，丁等价；a s ，7 - 有限决定性；丁有限决定 性；相对横截开折 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef i n i t ed e t e r m i n a c yo fr e l a t i v e m a p g e r m sw h i c hm a ps t h eg e r mo fs u b m a n i f o l do fr “t ot t h eg e r mo fs u b m a n i f o l do fr p w ec o m b i n et h eb a s i ct h e o r yo fr e l a t i v em a p sa n dc l a s s i c a ls i n g u l a r i t yt h e o r y t o g e t h e r w e s t u d yt h ef i n i t ed e t e r m i n a c yo fr e l a t i v em a p - g e r m sw i t hr e g a r dt ot h es t r o n gr e l a t i v e l e f t 。r i g h te q u i v a l e n tg r o u pa s 丁a n ds t r o n gr e l a t i v ec o n t a c te q u i v a l e n tg r o u pk s 下1t h e r e l a t i o nb e t w e e na s ，tf i n i t e d e t e r m i n a c ya n dr e l a t i v ev e r s a lu n f o l d i n gi sa l s os t u d i e d w e p r o v et h e o r e m sw h i c hc a nb eu s e dt od e c i d et h e 5 ，7 _ a n dk s 丁f i n i t ed e t e r m i n a c y r e s p e c t i v e l y ，w ea l s od i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e na s ，7 - f i n i t ed e t e r m i n a c ya n da f i n i t e d e t e r m i n a c ya n do b t a i nt h a ta f i n i t ed e t e r m i n a c yc o n t a i n s 一4 5 tf i n i t ed e t e r m i n a c y ；f u r t h e m o r e ，m a k i n gu s eo ft h et h e o r yo ft r a n s v e r s a l i t yu n f o l d i n gw eg a i nt h a ta s ，tf i n i t e d e t e r m i n a c ya n dt h ee x i s t e n c eo fr e l a t i v ev e r s a lu n f o l d i n gi se q u i v a l e n c e f i n a l l y ，w ep r o v i d t w oe x a m p l e so nr e l a t i v es t a b l em a p - g e r m sa saa p p l i c a t i o no ft h i sp a p e r k e y w o r d s ：r e l a t i v e m a p g e r m ；a s 丁e q u i v a l e n c e ；j c s 丁e q u i v a l e n c e ；a s 7 - f i n i t e d e t e r m i n a c y ；咒s7 _ f i n i t ed e t e r m i n a c y ； r e l a t i v et r a n s v e r s a l i t yu n f o l d i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：匦差j 同期：迎点：玉：兰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) w r l 百 学位论文作者签名：琶缍堕指导教师签名 日期：迹：圭垒6 | = ：f期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址：搓阮 电话：f ! 壁垒鳗 邮编：丝! ! 兰竺 引言 奇点理论是处在分析、微分拓扑、交换代数与李群及微分方程等数学学科交汇处的新 兴的数学分支，又在诸多领域中有广泛的应用。自从2 0 世纪5 0 年代奇点理论诞生以来， 经过几代数学家几十年的不懈努力，已经使得奇点理论得到了蓬勃发展。尤其是最近几 年，又有许多学者在不同的领域作出了杰出的工作，例如，孙伟志等关于奇点理论在物 理光学及液晶显示方面的应用研究，见( 1 ，【2 1 ，【3 ；以及奇点理论在偏微分方程中的应用的 研究，见 4 ；i z u m i y a ，裴东河，s a n o ，t a k e u c h i 等利用奇点理论的方法对微分几何进行 的一系列研究，见卧 6 】1 【7 ， 8 j 9 】；李养成，邹建成等人关于奇点理论在分歧理论中的应 用，见 1 0 ， 1 1 ， 1 2 ， 1 3 。 经典奇点理论主要是研究光滑映射在各种等价关系下的分类问题。在奇点理论中一 种基本的想法是“一般”映射芽的局部拓扑性质由它们的t a y l o r 级数中的前有限个项所 决定，也就是有限决定性。而研究光滑映射在什么条件下是有限决定的关系到奇点理论 中最重要的局部特性，即稳定性。因此，有限决定性一直都是奇点理论中一个非常有意 义而且也是非常活跃的研究课题。许多数学家都在不同的等价关系下对它进行了研究， 其中最具研究意义的等价关系是通过下列五类局部微分同胚群来定义。它们是右等价群 冗，左等价群，左右等价群4 以及切触等价群c 和咒。其中m a t h e r 在他的系列文章 1 4 ， 1 5 m 6 ， i r 】中分别就这五类群给出了光滑映射芽有限决定的充分必要条件，刻画了 有限决定性的特征；阐述了无穷小稳定性与稳定性之间的关系并利用横截性刻画了稳定 映射的特征。a r n o l d 也在他的经典著作 1 8 中对无穷小稳定与稳定性的关系给予了详细 的论述。后来，b o a r d s e n 等人又研究了映射芽的拓扑有限决定性，见f 1 9 1 。进入2 0 世纪 8 0 年代，又有许多数学家从代数几何的角度对映射芽的有限决定性进行了研究，取得了 一系列的成果，其中比较有代表性的成果有 2 0 ， 2 1 ， 2 2 】等。 另一方面，由于解决实际物理问题的需要以及完善数学理论的需要，有许多学者开始 研究相对映射在不同等价关系下的性质及分类问题。“借用”经典奇点理论的想法，对 相对映射的有限决定性进行研究也是有意义的。近年来，在这方面的主要成果有p a u l o f e r r e i r ad as i l v ap o r t oj d n i o r 和g i l b e r t of r a n c i s c ol o i b e l 在【2 3 ， 2 4 中研究了函数芽的相 对有限决定性和相对稳定性，给出了函数芽相对7 0 s 有限决定的等价条件和相对稳定的 判别条件；而b r a s i lt e r r al e m e 和l e 6 nk u s h n e r 在f 2 5 】，【2 6 】中讨论了函数芽在某些代数子 集上的相对有限决定性；r a d m i l ab u l a j i c h ，j o s e a n t o n i og 6 m e z 和l e 6 nk u s h n e r 在f 27 中研究了相对映射芽的相对通用性并证明了相对映射芽的相对4 通用开折定理，进而阐 述了相对映射芽的相对无穷小稳定与相对稳定之间的关系，即相对无穷小稳定蕴涵相对 稳定；而g i s h i k a w a 在2 8 中对相对横截定理的证明更为相对映射的奇点理论的研究提 供了必不可少的理论工具。 但是，目前对相对映射芽的有限决定性的研究还很少【2 9 ，尤其是关于足的有限决定 性还没有人进行研究。本文的目的就是分别给出相对映射芽的a s ，7 有限决定和b ，7 - 有 限决定的等价判别条件；进一步我们还研究了相对映射芽的a s ，丁有限决定性与相对通 用开折的存在性之间的关系；最后，我们给出了两个相对稳定映射芽的例子。 1 预备知识 1 1 一些记号晕定义 设n ，p 分别是n 维和p 维e o 。流形，s t 分别是，p 的无边真予流形，由于我们考 虑的是局部情况，所以不妨设n = ，p = r p ；s = f 0 ) r n - s , t = o ) r p 设厶，p 表示r ，到i l ，的所有在0 处的光滑映射芽构成的环；特别地当p = 1 时，氏表 示r “到r 的所有在0 处的光滑函数芽构成的有1 的局部环；m ( n ) = ( ，晶if ( 0 ) = o ， 它构成。的极大理想，令州( n ) 表示理想的次幂 设a = ( 屯母) 1 妒：( r ”，0 ) _ ( r “，o ) ；妒：( r p ，0 ) - ( r p ，o ) ) 表示左右等价群，其中币，妒 分别是r ，和r p 的保持原点的局部微分同胚芽。 设c = 皿：( r n 彤，0 ) o ( r ”r p ，o ) 表示切触等价群，其中毋是r “r p 的 保持原点的局部微分同胚芽 关于。，、厶或a 、的相关内容和性质可见 3 0 j ， 3 1 j ，f 3 2 j 设，( n ，s ；p ，t ) = ，厶，1f ( x ) t ，忱册利用逐点定义的加法和乘法芦( n ，s ：p ，) 构成环，称其为褶对映射芽环，簿记为只称它的元素，为相对映射芽 对v f ，设e ( f ，n ，s ；p ，) = 9 芦ig l s = y l s ，它是芦的子环简记为， 设c s ( r ，) = f & hl s = 常数 ，它构成一个局部环；( s ；n ) = ( h c s ( r 一) h i s = o ， 它构成国( r n ) 的极大理想令( n ) p 表示p 个( & n ) 做直积类似的可定义c t ( r p ) 和( t ；p ) 显然尸同构于( s ；n ) 矗 设，只则由，：( 舻，墨0 ) 斗( 舻，瓦o ) 可诱导一个环同态 ，4 ：c ( ) oc s ( r “) ，h 卜ho ， 巳满足，4 ( ? ；讲( s ；n ) 设山，丁= f ( ，h ) e a ih ( x ) = ，h t ( g ) = 口，妇sg t ，称它为强相对左右等价群，它 以自然的方式作用到，上：如果( h ，) 4 s ，t ，则( h ，h ，就是0 处的合成映射芽 h 。，。h 一：( r “，s j 0 ) _ ( 舻，t ，o ) 设e s , t = 脚尼ih ( z ，y ) = ( ，口) ，v $ 只y t ) ，称它为强相对切触等价群；它也以自 然的方式作角到，上：如果h 珞， ，芦，则显。，由下列公式给出； ( 1 ，h ，) o h = ho ( 1 ，) 其中，矗：( 彤；，0 ) _ ( 膨，o ) 是由h 所唯一确定的微分同胚芽，满足条件h ( z ) = 毛对 v 。s ；l ：( r n ，0 ) - ( r “，0 ) 是恒同映射芽 约定若不指明是哪种等价群，则令毋表示强相对左右等价群或强相对切触等价群 定义l1 1 设，j 9 f ，若存在( ，h i ) a s ，丁使得9 = h 7 。，oh ，刚称，g 是强相对 左右等价的简记为；，9 是凡，7 - 等价的 定义1 12 设 9 ，若存在日烁丁使得g = h f ，则称，g 是强相对切触等价 的筒记为：。，g 是聪，7 _ 等价的 注1 1 1 由定义1 11 和1 12 可知，无论，9 是4 sj r 等价的还是尼5 ，丁等价的，都有 ，( z ) 一日( z ) ，对v z s 2 定义1 1 3 将，的4 s 7 _ 轨道在，处的切空间定义为： t a s ，t ( f ) ：= ( s ；n ) + ，( t ；计 上式中 = ，是由f 的所有偏导数生成的j a c o b i 理想，它是一个 o s ( r “) 一模；而f * e ( t ；p ) 是一个国( r ”) 一模，e ：“= 1 ，p ) 是彤中的 标准基底 注1 1 2 设矸= c s ( r n ) + ，+ c t ( r p ) 则由上述定义可知 可= t a s t ( f ) 十r + r 定义1 1 4 将，的i t s , 丁轨道在，处的切空间定义为： t e s 。t ( f ) ：= ( s ；n ) + ，+ ( t ；p ) n p 定义1 1 5 设相对映射芽f ：( r r ”，rx 只( o o ，o ) ) q ( r r p ，r t ) ，( t ，z ) 卜 ( t ，f o ( t ，) ) ，其中r ：( r 甜，rxs ，( t o ，o ) ) 斗( 础，t ) 也是相对映射芽若f 满足对 妇s t r ，有f ( t ，z ) = ( ，f d ( o ，茁) ) ，则称f 是水平保持的相对映射芽 注1 l 3 对于水平保持的相对映射芽f i 可令蔷= 鲁，蔷= 等= 警 约定若不特殊说明，本文提到的映射芽都是c 。的相对映射芽；并用口表示证明完 成 1 2 强相对逼近引理 本节主要是说明，中的两个相对映射芽，和g 如果只相差“高阶项”，则其相应的切 空间具有相同的接近程度， 定理1 2 1 ( 相对m m g r e m g e 预备定理) 设m 是一个有限生成的毋( 1 p ) 一模，f ，如果m ( f + ( t ；p ) 向量空间，则m 是经由f 有限生成的曲( 础) 一模 证明见 2 7 j m ) 是有限维r 一 口 引理1 2 1 设f ，g ，满足j 。f ( o ) = 严9 ( o ) ，令d ，d g 分别是，g 的j a c o b i 阵，则下 列条件成立： ( 1 ) f + 一9 + 妒 d ( n ) ( s ；n ) v e c ( t ；p ) ( 2 ) d r 一d g - d ( n ) 占( s ；n ) p v fe s ( s ；n ) “ ( 3 ) 叼o ，一叼o9 4 南( n ) ( s ；n ) p 、唧( t ；p ) p 证明( 1 ) 因为严i ( o ) = j k g ( o ) ，所以f g m 1 ( n ) 又因为妒口；p ) ，所以 ，+ 乒一9 + 庐= o ( ，一9 ) 6 ( n ) ( s ；n ) ( 2 ) 因为 叭嘞p 擎面a f 一垫老l ；l 。 l = l 其中，( s ；n ) ，i 1 - 是f 的分量，所以 d f f d 9f f 2 ( n ) ( s ；7 l ) 9 ( 3 ) 因为 由( 1 ) 知； 因此 qo ，一q 。g = ，4 q 矿q = ( ， 1 9 + ”1 ，一，7 昂9 。啦) ，+ 叼。9 + 卵。 4 ( n ) ( s ；n ) ，i = 1 ，p 叩0 ，一叼。g ( n ) ( s ；礼) ” 口 推论1 2 1 设条件如引理1 2 1 ，则有 t 口( ，) 十m ( n ) ( s ；n ) p = t g ( g ) + 。m ( n ) ( s ；n ) p 口 引理1 2 2 设f ：( r 甜，r xs ，( t o ，o ) ) _ ( r r p ，r t ) ，p ( t ，。) = ( t ，r ( 。，t ) ) 是水 平保持的相对映射芽，则 咒t 有相同的r 一导网惜箬川r + 1 ( n ) ( ( s ；n ) 。晶9 - c ) 证明设似y l ，蜘 是( r r p ，r xz ( t o ，o ) ) 上的局部坐标系， 则 箸e m 川( ( s ；彬矗9 “) 铸1 0 y i r o f 州川( 州( s 叫x c = p - 9 ，忙”r ，p 甘击( 羰) _ o ，且阳，1 鲰一，锤n甘瓦甄赢) _ o ，且s n 1s ，町s ” 锚熬与无射出，o )d o i 一，d z l ， 乍亭f n 有相同的r 一导网 口 引理1 2 3 设娲：( r r “，rx 只( t o ，o ) ) _ ( t t b 尸，r xt ) 是水平保持的相对映射 芽，满足f o ( t ，$ ) = ( t ，( 。) ) ，其中，：( r n ，s ，0 ) _ ( r p ，t ，0 ) ，则 ( 竹) ( r s ；住+ l pct g ( f 0 ) = ( 扎) ( s ；心pct g ( f ) 证明必要性设= ( r xs ；n + 1 ) p ，c = ( s ；n p 则 c * m ( t ) c + 竺c 且 t g ( i ) 兰t g ( f o ) ( ? g ( f 0 ) n m ( ) c ) ( 1 ) 而 m 7 ( ) c ct g ( 岛) 所以 ( 朋7 ( n ) c + + m ( t ) c ) m ( t ) c + c ( t g ( f 0 ) 十m ( t ) ) m ( t ) c 4 又因为 ( m ( n ) c + + m ( t ) c 。) m ( t ) c + 兰州( n ) ( c + m ( t ) c + ) 兰州( n ) c 所以 州7 ( n ) cc ( t g ( f o ) + ( ) c ) m ( t ) c + 且 t g ( f o ) ( t g ( f o ) n m ( t ) 矿) 兰( t g ( 岛) + m ( t ) c t ) 州( t ) c + 则由( 1 ) 式得 t g ( i ) 皇( t g ( f o ) + m ( ) c + ) m ( t ) c + 4 所以 州( n ) cct g ( i ) 即 ( n ) ( s ；n ) 9ct g ( f ) 充分性因为m 7 ( n ) cc t g ( f ) ，所以，c t g ( f ) 是有限维向量空间，选取g 。c ( i = l ，2 ) 作为c t 9 ( f ) 的一组生成元，然后将g i 扩张使之成为c + 中的元素 又因为 c t ( jc f ) 型c + ( t g ( f o ) + m ( t ) c + ) 所以，上式右边也是有限生成的，且生成元也为拂( 扩张后的) 令 a = c t g ( f 0 1 则 a a 4 ( t ) a 皇c ( t g ( f o ) + 朋( ) c ) 即a m ( t ) a 也是有限生成的r 一向量空间，所以由相对m a l g r a n g e 预备定理知a 是有限 生成的劬( r ) 一模，且 a = g ( 冗) 又因为 4 7 ( n ) ( c t g ( ，) ) = ( ，f ( n ) c + t g ( f ) ) t g ( f ) = 0 所以 朋7 ( n ) ( a m ( t ) a ) = 0 从而有 m ( n ) ac m ( t ) a 即 朋r ( n ) a = 0 所以 m 7 ( n ) c ct g ( f o ) 即 。m ( n ) ( s 冗； + 1 ) pct g ( f o ) 口 5 相对映射芽的有限决定性 2 1 相对映射芽关于山7 - 的有限决定性 本节讨论，中的相对映射芽关于强相对左右等价群山丁的有限决定性问题，并给出 判别相对映射芽的a s ，丁有限决定的一个充分必要条件；进一步，我们还讨沦了a 5 7 有 限决定与4 有限决定之间的关系 定义2 1 1 设，若对v 9 白，存在非负整数k ，满足j 口( o ) = j k ，( o ) 时都有，的 且s 7 _ 轨道包含9 ，则称，关于s 7 是决定的简记为：，是d e t r e l a s 丁 定义2 1 2 设，只若存在某个有限的正整数k ，使得，关于4 s 丁是k 决定的，则 称，是4 s ，r 有限决定的简记为，是f 眈z w r 4 5 ，7 - 定理2 1 1 设，s = 0 ) r n ，t = 0 r p ，则，是f d e t r e l 4 s r 的充分必 要条件是m ( n ) ( 置n ) pct a s ，丁( ，) 注2 1 1( 1 ) i 是d e t t e l a s ，7 - = 朋2 + 1 ( ) ( 只n ) pct a s ，t ( f ) ( 2 ) m 2 ( n ) ( 毋n ) pct a b 丁( ，) 号，是2 k d e t t e l a s t 为了证明方便，我们需要下面的引理 引理2 1 1 设f 兀g 是有限生成的国( 月“卜模，以是有限生成的国( 形) 一模， ( 1 ) 若b c g 是铅( 俨) 一子模，且满足bc a + ，( t ；p ) b ，则bc a ( 2 ) 若m 是铅( r “) 中有限生成的理想，满足a c ，( 置p ) c ，且m g c a + m 2 c ，则 m g c a 证明见 3 1 】 口 定理2 1 1 的证明必要性记山( ，s ，正n ，p ) = j o ，这里如( ，s ，t ；n ，p ) 是由占，中元 索在0 处取z 一导网而得到的，令丌l ：朋( n ) ( 文n ) ”- 弓，而2 是丌l ：朋厶，p _ 弓i j 0 2 p ) 的限制下面假设，是七d e t t e l a s ，t ，即对v g 白，存在非负整数k ，使得j 2 9 ( o ) = j f ( o ) 时都有g 与，是a s t 等价的于是 9 5 s l j 9 ( o ) = 严，( o ) ) c 9 白1 9 与，是_ 5 ，丁等价的) 对v f ，上式两边分别取f 一导网得 f i g 霹俨9 ( o ) = j a r ( o ) ) c j i g 可陋与，是4 e t 等价的) 再对上式两边分别在j ，处取切空间得 乃。，g z j i j k a ( o ) = j k f ( o ) ) c 乃吖d 2 9 习7 口与，是4 5 ，_ r 等价的) 因为 正， 一g 而2 b 2 9 ( o ) = j 。，( o ) ) = o ( f 。+ 1 ( n ) ( s ；n ) ”) 而 巧r f i g 可i g 与，是山，7 - 等价的) = 弓，( 川5 ，tj ，) = ( t a s ，丁( ，) ) 叉因为 k e r 再= 4 h 1 ( n ) ( s ；n ) 9 6 所以 3 4 k + l ( n ) ( s ；n ) pct a s ，丁( ，) + 4 l + l ( n ) ( s ；n ) p( ) 设 t t z s ( f ) = e ( s ，犯) ，t c t ( f ) = ，+ 占( t ；p ) c = 占( s ；n ) t n s ( f ) ，a = t t ( f ) ( t e t ( f ) nt 冗5 ( ，) ) 则g 是有限生成的瞻( r ，) 一模，a 是有限生成的c t ( r p ) 一模 令m = m 2 + 1 ( n ) ，取f - 2 k + 1 ，则式可写为 m ( s ；n ) pct t z t ( f ) + t t z 8 ( f ) 即，m - c c a + m 2 g 又因为 a c ( ，+ ( t ；p ) 占( 鼠n ) p + t 冗s ( ，) ) t 冗s ( ，) 兰，+ e ( t ；p ) c 所以由引理2 l 1 可得m g c a 即 。州+ 1 ( n ) ( s ；n ) ct a s 7 _ ( ，) 充分性令g ，使得j g ( o ) = j2 ，( o ) ，对v t o r 设f ( t ，z ) = ( t ，咒( t ，。) ) 是水平保持 的相对映射芽，其中r ( t ，。) = ( 1 一t ) f ( x ) + 幻( z ) ，设矿是t o 的某个领域，对v z s ，v ， 有咒( 屯口) = ，( 盘) ，显然，蜀= f o = f ，f i = r 1 = g ， 下面将证明对v t v ，e 与晟。是“s ，7 _ 等价的这也就是证明满足下列条件的水平保 持的相对映射芽日和日存在即可，其中 h ：( r r “，t o 0 ) ( r r “，t o 0 ) 日：( r r p ，t o 0 ) _ ( r r p ，t o 0 ) ( 1 ) h t ( 。) 一g ，对v $ 只t v 域 q ( $ ) = ，对v y t ，t v ( 2 ) 凰o = i d r n ，日f 。= i d r p ( 3 ) 碍 一1o 风o 巩：；f c 。，b ph 一1 ( f ( h ( t ，。) ) ) = f ( t o ，$ ) 注意到当t = t o 时( 3 ) 自动满足，所以( 3 ) 又等价于 ( 。业学- - 0 瑚一鲁。h - * o f + 面o f + 警豢。h = 。 为了得到满足上述条件的芽日和日7 ，我们只需证明满足下列条件的光滑向量场芽 和存在即可，其中 ：( r r n ，t o 0 ) _ ( ，0 ) 口：( r x 丑，t o 0 ) ( r p ，o ) ) ( 爿) 一町。f + 百o f f 一面o f = 。 ( b ) f 0 ，z ) = 0对v x s v q 0 ，y ) = 0对v y t ，t v 对于条件( 捌，它又等价于一吼。最+ 鲁一鲁嘹= o 假设这样的向量场f 和q 是存在的，令日是一的积分，h 7 是q 的积分，则通过求解 下列满足初始条件( 2 ) 的微分方程组 7 f 警。驴叫 l 等。旷：。 【面。月2 q 可得到满足( 1 ) ，( 3 ) 的h 和 下面证明满足条件( a ) ，( b ) 的和q 是存在的因为朋( n ) 占( s ；n ) c t a s ，r f f ) ，ge e ! + 且j 9 ( 0 ) = j ，( o ) 又由推论1 2 1 得 t a s ，7 _ ( 9 ) + m 。( n ) ( s ；n ) = t a s ，7 ( ，) + 。州2 ( n ) ( s ；n ) p 所以 a 4 ( n ) ( s ；n ) 9ct , a s ，7 _ ( 口) + 4 ( 佗) 占( s ；札) p 取f = 2 k ，则利用引理2 1 1 及与必要性相类似的证明可得 ( 礼) s ( s ；n ) pct a s ，丁( 口) 因为 f ( t ，。) = ( ，r ( ，。) ) ，咒( t ，z ) = ( 1 一) ，( 。) + t g ( x ) 所以对v t v ，有如与，有相同的f 一导网 由引理1 2 2 得 o s 珧_ 5 。a 4 。( n ) e ( r n + 1 p 又由( + + ) 式可知 。 玎o ( 竹) ( s ；n ) pct a s 丁( r ) 再由的任意性及引理1 2 3 可知 七( 礼) 占( r s ；扎十1 ) p t a u s ，丁( r ) 所以鲁t a r x 8 , t ( 兄) ，再由t a 冗。5 ，7 _ ( 咒) 的定义可知存在如上假设的f 和”满足 塑o t = 鲁= 警龟枷。fa td 茹“ 而且由证明过程可知，是2 k d e t r e l , a s t 口 下面我们将讨论4 5 。7 _ 有限决定与4 有限决定之问的关系问题，作为结果我们有下面 的定理2 1 2 为了证明的方便，我们首先给出下面的引理 引理2 1 2 设f ，f + ：c t ( r p ) 叶o s ( r 8 ) ，+ = h 。f 是由f 所诱导的环同态，则 ，m b ) n ( s ；n ) = f + ( t ；p ) 证明首先，对妁，+ 朋扫) n ( 只n ) ，都3 a ie m ( v ) ，a 2e g ( s ；n ) ，使得 1o f = g = 2 则对比s ，有 a 1 ( ，( z ) ) = g ( z ) = 1 2 ( x ) = 0 因此，a 1 ( t ；p ) ，这也就是说g ，+ m ( p ) ，所以 ，+ 3 , 4 ( p ) n ( 占；n ) c ，+ f ( t ；p ) 其次，对v a ( t ；p ) ，地s ，有 o ，= 0 ，所以ao f ( s ；n ) 又因为a ( ，( o ) ) = a ( o ) = 0 ，因此ao ，+ 朋，即 a0 f f + 川( p ) n s ( s ；n ) 8 所以 ，+ g ( t ；p ) ，+ m ( p ) n z ( s ；n ) 综上，f + 州( p ) n ( s ；n ) = ，+ ( t ；p )口 定理2 1 2 如果，是f d e t t e l 4 ，则，是f d e t ，e 1 a s7 f 证明因为，是f d e tt e la ，所以3 0 ，上式两边分别取f 一导网得 9 玎伊g ( o ) = ，( o ) ) c j 。g 可旧与，是瓦s ，7 r 等价的) 对上式两边在j o ，处取切空间得 乃。，9 可l j k g ( o ) = j 2 ，( o ) ) 弓t ，9 可恼与，是尼s ，t 等价的) 因为 正f f j 9 山b 9 ( o ) ：j k f ( o ) ) = ”( m 2 + 1 ( n ) ( s ；r ) ”) 而 口， 产g 一& q g 与，是芄s ，7 _ 等价的) = 弓：，( 足s 丁，) = ( t ；c sr ( ) ) 又因为 k e r 订f = 4 + 1 ( n ) ( sn ) ” 】0 勺 ， 0 b ，芦 + 笪舰 。 = 旷 所以 3 4 + 1 ( 扎) ( s ；n ) 9ct i c s 7 - ( ，) + 。州h 1 ( n ) 5 ( s ；n ) p 显然上式的右侧都是c s ( r t “卜模令f = k + 1 ，由中山引理可得 f + 1 ( n ) ( s ；n ) pct i c s 7 _ ( ，) 充分性令9 ，使得j 9 ( o ) = j ，( o ) 对v t o r ，设 f = ( 1 1 + n ，f ) ：( r r “，t o 0 ) ( r r 一r j ，t o 0xo ) ， ( t ，z ) 斗“，z ，f ( o ，# ) ) 其中 i i + n ：( r t 1 n ，t o 0 ) 叶( rx 舯，o 0 ) ，( t ，z ) 卜( t ，$ ) 是恒同映射芽； f ：( r xr n ，rx s ) 叶( r p ，t ) ，( t ，。) 叶( 1 一t ) f ( x ) + 幻( z ) 是，的1 一参数相对形变 令只= 豆，酉o f = 筹，篆= 誓显然，对忱r n ，有f 0 = 扁= ，f l ：豆：9 下面将证明对v t t o 的邻域j ，都有r 与f f 0 是厄s ，丁等价的这只须证明满足下列 条件的水平保持的相对映射芽日和打存在即可，其中 h ：( r i t n r p ，t o 0 0 ) _ ( r t t “r p ，t o 0x0 ) h ：( rx 舻，o o 0 ) 叶( r r n ，t ox0 ) ( 1 ) g l ( z ，) = ( g ，g ) ，对v x s ，y t ，t j 凰( $ ) = z ，对妇s t j ( 2 ) 髫：0 ( 。，y ) = ( 茹，g ) ，6 ( 。) = # 对b 话r “，g ( 3 ) 倒o ( 厶，丑) 0 凰= ( 矗，f f 。) ，即日1 ( f ( 日( t ，。) ) ) = f ( t o ，z ) 注意此处甄是由日f 所唯一确定的，因此只要能找到满足如上条件的h ，那么由定义 1 1 2 可知e 与r 。是b ，7 等价的+ 若想找到上述的日7 ，只须找到满足如下条件( a ) ，( b ) 的光滑向量场芽 e ：( r 8xr p ，0 ) ( r 8 r p ) ： ) h 耋洲去+ j 圭= t 吨剖面0 ( a )已( z ) = 0 ，j c 于v z s ；啦( ，y ) = 0 ，对v x r n , y t ( b ) 箬= 砉矗( z ) 箬州。，r ( 埘 下面证明满足条件( a ) ，( b ) 的光滑向量场0 是存在的因为3 4 ( ，t ) ( s ；n ) ”ct 妊7 - ( ，) g e ，+ 且j 9 ( o ) = 一，( o ) ，因此由推论1 2 1 得 t e s ，7 - ( 9 ) + ， 4 ( n ) ( s ；n ) ”= t e s 7 _ ( ，) + ，叫2 ( n ) ( s ；凡) ” 所以 。m ( n ) ( s ；n ) pct i c s 。7 0 ) + ( n ) ( s ；礼p 取2 = k + l ，再次利用中山引理可得 。 f o ( 付) ( s ；扎pct i c s r ( g ) 又因为 f ( t ，z ) = ( 1 一) ，( z ) + t g ( x ) 所以对vt j ，有费与，有相同的z 一导网 又由( + ) 式可知 朋七( 札) 5 ( s ；扎) ct i c s 丁( 县) 又因为 且 因此 塑o t = 警= 塑o t 刊小m )珧 “77 g ( x ) 一，( 。) e d v ( ( n ) ( s ；n ) p 娑：娑：豢：9 ( z ) 一m ) t e 盯( 豆) 酉2 瓦。百2 9 一j 55 r 再由t i c s 7 ( 豆) 的定义可知，满足条件( a ) ，( b ) 的光滑向量场e 是存在的 由证明过程可知，是k + 1 m e t t e l e s ，丁 口 1 2 3 相对映射芽的山丁有限决定性与相对通用性的关系 本节讨论，中相对映射芽的a s 、丁的有