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l e i b n i z 代数上的c 一算子和l b - 方程中文摘要 l e i b n i z 代数上的c 一算子和肋一方程 中文摘要 本篇文章我们主要研究了将l i e 代数推广为l e i b n i z 代数时，与l i e 代数 上的p 一算子和经典y a n g - b a x t e r 方程相对应的算子和代数方程，即l e i b n i z 代数相对于某个的双模( 表示) 的c 一算子和l e i b n i z 代数上的肋一方程我 们给出了c 一算子和肋一方程的定义并研究了它们之间的关系同时，由对 l i e 代数和p r e - l i e 代数研究启发，我们给出了q u a s i p r e - l i e 代数的定义，研究 了l e i b n i z 代数和q u a s i p r e - l i e 代数的关系，证明了q u a s i - p r e - l i e 代数给出了 其邻接l e i b n i z 代数的一种模结构以及q u a s i - p r e * l i e 代数与这种模结构的等 价性，并且讨论了q u a s i - p r e - l i e 代数与其邻接l e i b n i z 代数上的肋方程的关 系另外，我们在研究l e i b m z 代数的双模( 表示) 以及对偶双模时还得出了 两个附属结果，即由l e i b n i z 代数的双模我们给出了两个l d b m z 代数l ，如 形成一个m a t c h e dp a i r 的充分必要条件；利用对偶双模我们给出l e i b m z 代 数上一种重要的非退化反对称双线性型 关键词：l e i b n i z 代数；一算子；肋一方程；q u a s i p r e - l i e 代数 作者：丁倩 指导老师：朱林生教授 ：- o p e r a t o r sa n dl b - e q u a t i o no nl e i b n i za l g e b r a s a b s t r a c t ：- o p e r a t a n dl 6 一e q u a t i o nl e i b n i za lgebraserators a nlu a t l o no ne 1n l zr a sd a b s t r a c t i no u rp a p e r ，w em a i n l ys t u d yw h e nl i ea l g e b r a sa r eg e n e r a l i z e dt ol e i b n i z a l g e b r a s ，t h eo p e r a t o r sa n dt h ee q u a t i o nw h i c hc o r r e s p o n d i n gt oo - o p e r a t o r sa n d c l a s s c i a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n ( c y b e ) i nl i ea l g e b r a s ，t h a ti s ，t h ec o p e r a t o r s a n dl b - e q u a t i o no i ll e i b n i za l g e b r a s w eg i v et h ed e f i n i t i o n so f ：- o p e r a t o r sa n d l b - e q u a t i o na n dw ea l s or e s e a r c ht h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m a tt h es a g l et i m e ，b y s t u d y i n gt h er e l a t i o n sb e t w e e nl i ea l g e b r a sa n dp r e - l i ea l g e b r a s ，w eg i v et h en o t i o no f q u a s i - p r e - l i ea l g e b r a ，a n dw ea l s os t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eq u a s i p r e - l i ea l g e b r a a n dl b - e q u a t i o n f u r t h e r m o r e ，w eg e tt w os u b s i d i a r yc o n c l u s i o n sw h e nw es t u d yt h e b i m o d u l e sa n dd u a lb i m o d u l e so fl e i b n i za l g e b r a s ：o n ei sw eu s et h eb i m o d u l et og e t an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o na b o u tm a t c h e dp a i rc o n s t r u c t i o nb yt w ol e i b n i z a l g e b r a sa n dt h eo t h e ri sw eu s et h ed u a lb i m o d u l et og e ta l li m p o r t a n tn o n d e g e n e r a t e s k e w - s y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mo nl e i b n i za l g e b r a s k e y w o r d s ：l e i b n i za l g e b r a s ；：- o p e r a t o r ；l b - e q u a t i o n ；q u a s i - p r e - l i ea l g e b r a s i i w r i t t e nb yq i a nd i n g s u p e r v i s e db yp r o f l i n g s h e n gz h u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获年导苏州大学或其它教 育机构的学位证书面使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：二1 年日期：毕1 l 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作 部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公 布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 日期：幽：篁f 2 1 日期：玉翻霞：多1 2 j l e i b n i z 代数上的一算子和l 6 一方程引言 引言 设l 是数域k 上的一个l i e 代数，且r = 巴a 06 t lpl 如果r 满足 方程 【他，7 - 1 3 】+ 【r 1 2 ，r 2 3 】+ 【r 1 3 ，r 2 3 】= 0( 1 ) 则r 被称为经典y a n g - b a x t e r 方程的一个解，其中勺，1 i ，歹3 u ( l ) ( l i e 代数l 的泛包络代数) ，且 7 1 2 = 0 t 圆b io 1 ， t 它们之间的运算如下： r l s = 啦固1p 玩， i r 2 3 = 1 圆毗o 6 t ， t 【r z 2r 1 3 = h ， p 玩 幻，【r ，2 ，r 2 3 = a t 。慨，口j 】 如，【r 3 ，r 2 3 = 吼。陬，】 i jl ji j 我们把方程( 1 ) 称为( 算子形式的) 经典y a n g - b a x t e r 方程( c y b e ) 经典y a n g - b a x t e r 方程在研究反射理论时首次出现，它在数学和数学物理的许多领域， 如辛几何、量子场论、可积系统中都有重要的应用，成为上世纪8 0 年代以 来数学和数学物理中一个重要的研究对象 对于一般l i e 代数上的c y b e ，直接求解是很困难的，一个自然的想法 是把张量形式换成算子形式 1 9 8 3 年，s e m e n o v - t i a n - s h a n s k y 在【l7 】中证明 了当l 上存在非退化对称不变双线性型且r ：l _ l 反对称时，如果r 满足 关系式： 【r ( z ) ，7 ( 可) 】= r ( p ( z ) ，秒】+ i x ，7 ( 可) ) v z ，夕l ，( 2 ) 那么r 就是c y b e 的一个反对称解1 9 9 9 年，k u p e r s h m i b t ( 8 ) 利用对偶表 示，指出如果r 是反对称的，那么r 是c y b e 的一个反对称解当且仅当r 是 相对于( o 扩，口) 的一个d 一算子，即r 满足方程： 【r ( a + ) ，7 ( 矿) 】= r ( a d * ( r ( a ) ) 6 一a a w ( r ( b + ) ) 口) ，v a * ，6 l ( 3 ) 1 l e i b n i z 代数上的c 算子和l b - 方程 引言 2 0 0 7 年，白承铭( f 1 】) 在更大的空间( l 必矿v + ) ( lk 矿v + ) 得出：设( p ，v ) 是 l 的一个模且( 矿，驴) 是其对偶模，t ：v l 是一个线性映射( t 也可以 看作是( l 矿v + ) 圆( l p v + ) 中的一个元素) ，设 r = t a ( t ) 其中仃：lol _ l 圆l 满足：盯0 圆y ) = yoz ，比，y l ，则r 是l i e 代数 l 矿v 中的c y b e 的一个反对称解当且仅当t 是l i e 代数l 的相对于模 ( p ，v ) 的一个d 一算子 以上是c y b e 的解在l i e 代数上已取得的一些研究成果，但在l e i b n i z 代 数上c y b e 的标准形式会是什么样子，它的解又与何种算子相关联，这些 都将是本文要重点讨论的下面先简单介绍下l e i b n i z 代数的相关知识 设l 是数域f 上的线性空间，如果l 上有一个双线性的乘法 ：l x l - 三满足等式： = + ，y a ，b ，c l ，( 4 ) 则l 称为l e i b n i z 代数l e i b n i z 代数是比李代数更广的一种代数，它由l o d a y 在研究代数k 一理论时首次引入( 【4 】) ，所以又被称为l o d a y 代数( 【5 】) 它不仅 与结合代数、l i e 代数关系密切，在数学的其它领域里也有重要的应用 例如：在群理论中，自由l e i b u i z 代数在w i t t 定理的证明中起到了重要作用 ( 【1 6 】) ；在广义第三李定理研究中，每一个可裂的l e i b n i z 代数三都存在一个 线性的l i er a c l e ，使得l 是它的t a n g e n tl e i b n i z 代数( 【1 0 】) ；在d i r a c 结构几何 的研究中，l o u r a n ta l g e b r a s 满足l e i b n i z 代数关系式( 9 】) 此外，它在张量范 畴( 【1 1 ) 、顶点算子代数、上同调理论( 【1 2 】) 以及微分流形等( 【1 3 】) 领域也有 重要作用 本篇文章，我们一方面研究了将“e 代数推广为l e i b n i z 代数时，( 相应于 l i e 代数上。蹲子与y a n g - b a x t e r 方程解的关系) l e i b n i z 代数上的算子一算 子) 和方程( 肋一方程) 的基本形式及它们之间的关系；另一方面我们还研究 2 l e i b n i z 代数上的一算子和l 6 一方程 引言 了l e i b n i z 代数和q u a s i p r e l i e 代数的关系，证明了q u a s i p r e - l i e 代数给出了 其邻接l e i b n i z 代数的一种模结构以及q u a s i - p r e - l i e 代数与这种模结构的等 价性，并且讨论了q u a s i p r e - l i e 代数与其邻接l e i b n i z 代数上的舶一方程的关 系；此外我们在研究l e i b n i z 代数的双模( 表示) 以及对偶双模时还得出了 两个附属结果，即：由l e i b n i z 代数的双模我们给出了两个l e i b u i z 代数l 1 ，如 形成一个m a t c h e dp a i r 的充分必要条件；利用对偶双模我们给出l e i b n i z 代 数一种重要的非退化反对称双线性型 文章组织如下：在文章的第一章，我们首先介绍了一些与本文相关的一 些知识和相关结果，重点介绍了l i e 代数上的p 一算子，经典y a n g - b a x t e r 方 程以及它们的关系；在文章的第二章，我们介绍了l e i b n i z 代数上的双模以 及对偶双模，讨论了如何从来两个l e i b n i z 代数出发，构造出新的l e i b n i z 代 数，使得新l e i b n i z 代数是原来两个l e i b n i z 子代数的直和，即l e i b n i z 代数的 m a t c h e dp a i r 条件；在文章的第三章，我们主要讨论了l e i b n i z 代数上的c 一 算子，研究了c - 算子和l e i b n i z 代数的双线性型以及q u a d s i p r e - l i e 代数的关 系；在文章的第四章，我们研究了l e i b n i z 代数上的肋- 方程，讨论了l e i b n i z 代数上的c 一算子与肋一方程解的关系 为了讨论方便，我们假设本文讨论的是特征为零的代数闭域上的有限维 代数 3 l e i b n i z 代数上的一算子和l b - 方程 第一章预备知识 第一章预备知识 定义1 1 设l 是一个l i e 代数，p ：l g z ( v ) 是l 的一个表示一个线 性映射t ：v l 称为相对于表示p 的一个。一算子如果? 满足方程 【t ( 乱) ，t ) 1 = t 0 ( t ( u ) ) 一j d ( t ( 钉) ) t 正) ，地，口v ( 5 ) 定义1 2 设l 是一个l i e 代数，满足下面方程的映射盯：l 圆l , - - - - - bl o l 仃( 。oy ) = y 圆z ，v z ，y l( 6 ) 称为换位算子 设y 是一个向量空间且r vov 由方程( 7 ) ，r 可以看作一个由y 的 对偶空间y 到y 一个线性映射 ( r ( v ) ，矿) = ( 矿圆矿，r ) ，v u 。，矿v ( 7 ) 定理1 3 ( 【1 】) 设l 是一个l i e 代数( p ，v ) 是上，的一个模且( 矿，矿) 是其 对偶模设t ：y 一三是一个线性映射，由方程( 7 ) ，t 也可以看作是 ( lk p v + ) ( lx 矿v 。) 中的一个元素设 7 = t 一口( t )( 8 ) 则7 是l i e 代数lk 矿v 中的c y b e 的一个反对称解当且仅当t 是l i e 代数 三的一个相对于模( p ，v ) 的一个。一算子 当在定理1 3 中当我们取v = l ，p = a d * ，我们得到下面的推论 推论1 4 ( 【8 】) 设l 是一个l i e 代数且r lol 如果，是反对称的，那么 r 是c y b e 的一个反对称解当且仅当r 是一个相对于( 口扩，上产) 的一个d 一算 子，即r 满足方程 【r ( a ) ，r ( b ) 】= r ( a d * ( r ( a + ) ) 6 一对( r ( 6 ) ) o ) ，v a ，b l + ( 9 ) 4 l e i b n i z 代数上的一算子和l b - 方程 第一章预备知识 从c t b e 的非退化反对称解，或者说从相对于( 口妃口) 的可逆的反对称 。一算子出发，我们可以得到l i e 代数的反对称的2 - c o c y c l e 即我们有下面 的引理： 引理1 5 设l 是一个l i e 代数，t 是相对于( o 扩，f ) 的一个可逆的反对 称o 一算子，如果我们定义 u ( 。，y ) = ( t 一1 ( 。) ，秒) ，v 2 ；，y l ，( 1 0 ) 其中( ，) 是向量空间与其对偶空间的自然配对，那么我们有 u ( p ，引，z ) + u ( 函，名】，。) + u ( 【z ，z 】，y ) = 0 ，比，y ，z l ( 1 1 ) 即u 是l i e 代数l 上的反对称非退化的2 - c o c y c l e 定义1 6 设l 是一个l i e 代数。如果l 上有一个非退化反对称的2 - c o c y c l e ， 则l 称为辛l i e 代数 定义1 7 设a 是数域f 上的一个线性空间，如果a 上有一个双线性乘法 7 ：a a 叫a 满足 ( z 可) z z ( y 名) = ( y 。) z y ( z - z ) ，v z ，y ，z a ，( 1 2 ) 则称a 为一个p r e - l i e 代数如果我们定义结合子为 ( x ，y ，z ) = y ) z o ( y z ) ，( 1 3 ) 则a 的乘法满足的关系式为( z ，y ，z ) = ( y ，z ，z ) ，即a 关于结合子是左对称 的所以p r e - l i e 代数有时也称为左对称代数p r e - l i e 代数是由a c a y l e y 在 1 8 9 6 年研究树代数时首次引入的，在数学和数学物理的许多领域，如齐次 锥理论( 【1 9 】) ，仿射流形和李群的仿射结构( 【7 】，【1 4 】) ，都有重要的应用 p r e - l i e 代数与l i e 代数有密切的关系，即我们有： 性质1 8 ( 1 ) a 是一个p r e - l i e 代数，换位子 k ，y 】_ x y y z ，( 1 4 ) 5 l e i b n i z 代数上的一算子和l b - 方程第一章预备知识 定义了一个l i e 代数，我们称此l i e 代数为a 的邻接l i e 代数，记为9 ( a ) ，并 且称a 为a ( a ) 上相容的p r e - l i e 代数 ( 2 ) 对比a ，设l 表示a 的左乘算子，即l x ( s ，) = x y ，对v y a 则 l ：a g l ( a ) 给出了9 ( 4 ) 的一个正则表示，即 三陋潮= l 厶一岛厶，比，y a ( 1 5 ) 每个p r e - l i e 代数都有邻接的l i e 代数，但是反之不然l i e 代数上有相 容的的p r e - l i e 代数与l i e 代数上的d 一算子有密切联系 定理1 9 ( 【1 】) 设l 是一个l i e 代数且( p ，v ) 是它的模设t ：y l 是工 的相对于( p ，v ) 的一个d 一算子，则由方程 u 0 口= j d ( t ( u ) ) u ，v u ， l( 1 6 ) 在y 上定义出了一个p r e - l i e 代数结构 推论i 1 0 设二是一个l i e 代数，如果存在t 是l 相对于( 口d ，l ) 的一个 。一算子，则方程 z o y = i t ( 。) ，可】，地，y l ( 1 7 ) 给出了三上的一个相容的p r e - l i e 代数结构 定理1 1 1 ( 【3 】) 设l 是一个辛l i e 代数则我们可以下面的方程定义的乘 法，0 7 给出l 上一个相容的p r e - l i e 代数结构 u ( z0 分，z ) = - w ( y ，【z ，2 1 ) ，v z ，可，z l ( 1 8 ) 从上面的讨论我们可以看出l i e 代数上非退化反对称的2 - c o c y c l e 与p r e - l i e 代数有密切的关系实际上，由l i e 代数相对于非退化反对称的2 - c o c y c l e 的d o u b l ec o n s t r u c t i o n ，可以得到p r e - l i e 代数上的s 一方程( ( 2 】) 我们这里就 不在详细叙述了 l e i b n i z 代数是比l i e 代数更广泛的一种代数，在本文里我们主要讨论如 果将以上对l i e 代数的讨论运用到l e i b n i z 代数上时得到的些结果 6 l e i b n i z 代数上的一算子和二6 一方程第二章l e i b n i z 代数及其双模 第二章l e i b n i z 代数及其双模 定义2 1 设l 是一个l e i b n i z 代数，y 是一个向量空间1 ：l g z ( v ) ，r ： 己一g l ( v ) 是两个线性映射如果z ，r 满足： l u = 【r ( 秒) ，2 ( z ) 】u ， ( 1 9 ) r u = 【r ( y ) ，r ( z ) 】勘， ( 2 0 ) f ( z ) z ( 妙) u = 一z ( z ) 7 ( 3 ) 移，、矿z ，y l ， v ( 2 1 ) 那么y 称为工的双模，记为( z ，r ，y ) 性质2 2 设三是一个撕b n i z 代数，y 是l 的一个双模当且仅当在向量 空间lov 上存在一个l e i b n i z 代数结构，其乘法有下面的方程给出 = + ：( z ) ”+ r ( y ) u ，比，y l ，u ，”v( 2 2 ) 性质2 3 如果( i ，7 _ ，v ) 是l e i b n i z 代数l 的一个双模，则( 一r ，r ，v ) 也是l 的 一个双模 性质2 4 如果( z ，7 ，y ) 是l e i b n i z 代数l 的一个双模，定义映射广：三一 g z ( v 。) 如下： = 一 ，v v ，叫v( 2 3 ) 则( 一r ，p ) 为l 的双模我们把( 一r ，r ，v + ) 称为l 关于( 1 ，r ，y ) 的对偶 模 7 l e i b n i z 代数上的一算子和l b - 方程第二章l e i b n i z 代数及其双模 证明：由( 2 ，7 ，y ) 是l 的双模及方程( 2 3 ) 知： = 一 = 一 = 一 = 一 + = 一 = ， = 一 = ， = 一 所以( 一r ，r ，矿) 为二的双模 性质2 5 如果( 2 ，r ，y ) 是l e i b n i z 代数l 的一个双模，则( 0 ，广，y ) 是l 的 双模 我们知道，设g 和日是两个l i e 代数，那么( g ，日，j d ，卢) 称为l i e 代数的 一个m a t c h e dp a i r ，如果p ：g - - - - - - 4g l ( h ) 和p ：日一g t ( g ) 是两个表示，并且 对于比，y g ，a ，b h 满足 p ( z ) 【口，6 】一函( z ) 口，6 】一【a ，p ( z ) 6 + p ( p ( a ) z ) 6 一j d ( p ( 6 ) z ) 口= 0 ，( 2 4 ) p ( n ) 陋，引一【p ( n ) z ，y 】一陋，p ( o ) 可】+ p ( p ( z ) 口) 可一p ( j d ( 秒) q ) z = 0 ( 2 5 ) 如果( g ，h ，p ，p ) 是“e 代数的一个m a t c h e dp a i r ，那么在向量空间goh 上 存在着一个l i e 代数结构，其乘法有下面的方程给出 k + a ，磐+ 6 】= p ，y 】+ p ( n ) 箩一p ( 6 ) 。+ 【a ，6 】+ p ( 。) 6 - p ( u ) a ，比，y g ，a ，b 只( 2 6 ) 我们把它记做g 啷h 或者记做g 冈h 任意两个l i e 代数做直和后依然 构成一个l i e 代数，且原来的两个l i e 代数是其子代数都可以有l i e 代数的 m a t c h e dp a i r 条件给出( 【1 5 】，【1 8 】) 对于l e i b n i z 代数，我们也有下面的定理 8 l e i b n i z 代数上的一算子和三弓一方程第二章l e i b n i z 代数及其双模 定理2 6 设l ，l ：是两个l e i b n i z 代数，则线性空间l = l 1ol 2 ( 作为线性 空间的直和) 上存在一个l e i b n i z 代数且使得l ，厶是l 的子代数的充要条 件是存在线性映射f 1 ，r 1 ：l 1 一g l ( l 2 ) ，1 2 ，您：l 2 一g l ( l 1 ) 使得( 2 2 ，r 2 ，l 1 ) 是 l 2 的一个双模卜( 2 ，r 1 ，工：) 是l ，的_ 个双模且满足下面的方程 r 2 ( c ) 一r 2 ( 2 1 ( y ) c ) z 一 - 1 2 ( 1 l ( x ) c ) y - - - 0 2 2 ( 2 1 ( z ) 6 ) z + - - r 2 ( r 1 ( z ) 6 ) z 一 一r 2 ( b ) = 0 + z 1 ( r 2 ( 6 ) z ) c l l ( x ) 一 - h ( r 2 ( c ) z ) b = 0 1 2 ( r l ( y ) a ) z + - 1 2 ( a ) 一：2 ( r 1 ( z ) o ) 可一 = 0 + z 1 ( 如( 妨秒) c 一一r 1 ( r 2 ( c ) 分) 口一r l ( y ) - - 0 r l ( z ) 一 一r 1 ( 2 2 ( 6 ) z ) o 一一1 1 ( 2 2 ( 口) z ，b ) = 0 ( 2 7 ) 证明：若l = l 1ol 2 是一个l e i b n i z 代数，且l 。，如是其子代数，则对 比，y ，2 l l ，a ，b ，c l 2 有 一 一 = 0 ( ) 设r 1 ：l 1 叫夕2 ( 岛) “1 l 1 - - - - - - - 4g l ( l 2 ) ，r 2 ：l 2 叫g l ( l 1 ，) ，z 2 ：l 2 叫g l ( l 1 ) 使得比l l ，a l 2 有 其 = 2 1 ( 。) 口+ j r 2 ( a ) x ， = 1 2 ( a ) x + r 1 ( z ) n 中z 1 ( z ) 口如，您( 口) z l 1 ，l l ( z ) d l 2 ，2 2 ( 口) z 三1 因为 - - - - = + f l ( ) c + r 2 ( c ) + z 2 ( 2 1 0 ) 6 ) z + r l ( z ) 1 1 ( z ) 6 + + + l l ( r 2 ( b ) x ) c + r 2 ( c ) r 2 ( 6 ) z + + 2 1 ( 2 2 ( o ) ) c + r 2 ( c ) 2 2 ( n ) y + ：2 ( r 1 ( 可) o ) z + r 1 ( z ) r 1 ( 夕) o + + z 2 ( ) 2 + 7 1z ) + = = + 2 l ( ) 6 + r 2 ( b ) + 2 2 ( 2 1 ( 。) c ) y + r 1 ( 可) 2 l ( z ) c + + + ；1 ( r 2 ( c ) z ) 6 + 7 2 ( 6 ) 您( c ) 。+ + z 1 ( ：2 ( a ) z ) 6 + r 2 ( 妨乇( 8 ) 2 + 2 2 ( r 1 ( z ) o ) 可+ r 1 ( 耖) r 1 ( z ) o + + f 2 ( ) 3 + r 1 ( 可) + 9 l e i b n i z 代数上的一算子和l b - 方程第二章l e i b n i z 代数及其双模 所以( ) 式左端可化为 一 一 = + ：】( ) c + r 2 c + 2 2 ( 2 l ( 。) 6 ) z + r 1 ( z ) 2 1 0 ) 6 + + + l l ( r 2 ( b ) x ) c + r 2 ( c ) r 2 ( b ) x + + 2 1 ( f 2 ( n ) 可) c + r 2 ( c ) z 2 ( a ) y + z 2 ( r 1 ( 可) o ) z + n ( z ) 7 1 ( 芗) a + + 如( ) z + r 1 ( 2 ) + 一( + 2 1 ( z ) ( 2 1 ) c ) + r 2 ( 2 1 ( 夕) c ) z + + + 2 1 ( z ) r 1 ( 2 ) 6 + 您( r l ( z ) 6 ) z + 1 1 + 7 - 2 ( ) z + 1 2 ( a ) + r 1 ( ) n + + 2 2 ( 口) r 2 ( c ) 可+ r 1 ( r 2 ( c ) y ) d + 2 2 ( 口) ( 2 2 ( 6 ) 名) + r l ( 2 2 ( 6 ) z ) 口+ + 1 一( + 2 1 ( ) 6 + r 2 ( 6 ) + 2 2 ( z 1 ( z ) c ) 可+ r l ( 可) 2 1 ( z ) c + + + l l ( r 2 ( c ) x ) b + 7 2 ( 6 ) 您( c ) 。+ + l l ( 1 2 ( a ) z ) b + r 2 ( b ) 1 2 ( a ) z + 2 2 ( r 1 ( 名) 。) 可+ ，1 ) r 1 ) n 十 + 2 2 ( ) 可+ r l ( 可) + ) = n 所以 r 2 ( c ) 一您( z 1 ) c ) 。一 - z 2 q 1 ( z ) c ) y - = 0 z 2 ( 2 1 ( z ) 6 ) 名+ 一 - r 2 ( r l ( z ) b ) x r 2 ( b ) = 0 + z 1 ( 您( 6 ) z ) c 一；1 ( 。) 一 一2 1 ( r 2 ( c ) z ) 6 = 0 + 1 2 ( r l ( y ) a ) z 一1 2 ( a ) 一 一：2 ( 7 1 ( 名) o ) 夕= 0 c 1 ( f 2 ( o ) 可) d + 一 - - r i ( r ：( c ) y ) a r l ( y ) = 0 r l ( z ) 一r 1 ( z 2 ( 6 ) z ) 口一 一 一2 l ( 2 2 ( a ) z ) 6 = 0 反之，若l 是如的双模，如是l ，的双模，且方程( 2 7 ) 都成立，则有 上式可推出l = l 1ol 2 是一l e i b n i z 代数，且l 1 ，如是l 的子代数 在定理2 6 中，l 1ol 2 上的l e i b n i z 代数结构有下面的方程给出 - - - - - + z 1 ( z ) 口+ 7 2 ( 6 ) z + 7 _ 1 ( 可) n + z 2 ( 口) + ，专留，耖l 1 ，a ，b l 2 1 0 ( 2 8 ) l e i b n i z 代数上的一算子第三章l e i b n i z 代数上的c 一算子和q u a s i p r e - l i e 代数 第三章l e i b n i z 代数上的c 一算子 和q u a s i p r e l i e 代数 定义3 1 设l 是一个l e i b n i z 代数，( 1 ，r ，y ) 是l 的一个双模，d ：v l 是一个线性映射且满足方程 = d ( f ( d m ) ) + r ( d ) ) 让) ， ( 2 9 ) 对讹，钉v 成立那么d 称为l 的关于( 2 ，r ，y ) 的c 算子 例3 2 设l 是一个l e i b n i z 代数，r 是l 上的一个r o t a - b a x t e r 算子，即 映射r ：l l 满足方程 = r ( 4 - ) ，v z ，y l ( 3 0 ) 则r 是l e i b n i z 代数l 关于双模( l ，r ，l ) 的c 一算子，其中l ，r 分 别为l e i b n i z 代数l 的左乘算子和右乘算子，即我们有l ( z ) = ， r ( z ) = ，对v z ，y l 定义3 3 设a 是域f 上的一个向量空间且a 上有两种双线性乘法( - ， - z 一( y _ 名= - y ( z 卜名) + z 卜 - y ) 一 z + ( y z ) z = 夕 ( z 名) 一z i ( y z ) ，比，可，名a( 3 3 ) 则称a 是一个q u a s i - p r e - l i e 代数 我们称a 是一个q u a s i p r e - l i e 代数的原因是：若果在a 里令zy - y = z _ ( 可y - 2 ) = z 卜( yy - z ) ， 1 1 l e i b n i z 代数上的一算子 第三章l e i b n i z 代数上的一算子和q u a s i - p r e - l i e 代数 或者 ( 3 2 ) ，( 3 3 ) 式变为 或 z _ ( y 名) = z - ( y z ) = ( y _ z ) _ z y - z ) ( z _ y ) _ 名一z ( y z ) = ( y z ) 名一! ， 名) 即a 是一个p r e - l i e 代数所以p r e - l i e 代数是一种特殊的q u a s i p r e - l i e 代数 就像l i e 代数是一类特殊的l e i b n i z 代数 性质3 4 设( a ，卜， - y 一可 z 则( a ，卜， ) 是一个l e i b n i z 代数即 = + ，v z ，可，z a 成主乙 证明：按定义 = - y ) lz z - z + 名 ( y z ) ， = ( y - z ) 一( 秒 z ) - 4 。一z - ( z y ) + ( 2 可) z ， = - z 一名 = p z ) y y ( z 卜名) 一0 y + y z ) ， 所以 一 一 = 0 ( 3 4 ) 注3 5 ( a ， _ ， - ，_ ) 的邻接l e i b n i z 代数， ( a ，卜， ) 是( a ， ) 上的相容q u a s i p r e - l i e 代数 定理3 6 设l 是域f 上的一个向量空间，有两个双线型的乘法卜， ：l 固 l l 则l 是一个q u a s i p r e - l i e 代数当且仅当( 厶 ) 是一个l e i b n i z 代数 且( k ，一l ，_ i 可一矽一 一白 - 可 口) = - l ( 可) 三卜( z ) + l 卜( z ) l ( 秒) u = 【- l ( 掣) ，l 卜( z ) 】 一工 ( ) 可= - ( x 卜可一可- 4z ) 臼 = y ( z ) 一( z 卜可) u = y - 4 一 u ) 一z _ ( y u ) = l ( 可) l ( z ) 口一l ( z ) l _ ( 可) u = 【- l ( y u ) = l 卜( z ) 三 ( 秒) 口= - l 卜( z ) ( 一三 - u = 2 ( d ( 让) ) u ，u 一y = ，z - u ) _ 一( u _ = l ( d ( u - v ) ) w l ( d ( v - _ u ) ) w = 2 ( d ( 2 ( d ( u ) ) t j ) + d ( r ( d ) ) t 正) ) ) = 2 ( ) 伽 = 【r ( d ( ) ) ，2 ( d ( t 上) ) 】伽 一口 - 叫) + u 卜( u ，) + 2 ( d ( t 正) ) ( 钞_ 训) = r ( d ( ) ) 2 ( d ( u ) ) 一2 ( d ( u ) ) r ( d ) ) 伽 = 【r ( d ) ) ，：( d ( t 正) ) 叫 所以( u 卜v ) n w 一( v u ) n w = 一u