加法原理与乘法原理.doc

加法原理與乘法原理主題1：加法原理與乘法原理1.加法原理：設，且為兩兩互不相交的集合，則。加法原理：設完成某件事有，兩種方式【各有種方法】則完成此事有 種方法2.乘法原理：如果做某件事要經過個步驟，而完成第1個步驟有種方法，而完成第2個步驟有種方法，而完成第3個步驟有種方法，而完成第個步驟有種方法，則完成這件事的方法共有種方法。乘法原理：設完成，兩件事分別有種方法則，兩件事均完成有種方法積集合：若為兩集合，且，則的積集合為，且。重要範例1.將10個相同的球分給甲，乙，丙三人，每人至少2個，至多4個，有種分法，其中甲分得的球比乙多的方法有種。 【解答】6；2【詳解】10個相同的球，分給甲，乙，丙各x，y，z個且2 x，y，z 4則x，y，z之解，有下列情況 共有6種分法，其中甲比乙多的分法有2種2.每次用20根相同火柴棒圍成一個三角形，共可圍成個不全等的三角形。【解答】8【詳解】設三角形的三邊長x，y，z且x y z，x，y，z N則由得20 = x + y + z x + x = 2x10 x由得20 = x + y + z x + x + x = 3x xx N7 x 10x = 7，8，9當x = 7時，y + z = 13(y，z) = (7，6)當x = 8時，y + z = 12(y，z) = (8，4)，(7，5)，(6，6)當x = 9時，y + z = 11(y，z) = (9，2)，(8，3)，(7，4)，(6，5)不全等的三角形共有1 + 3 + 4 = 8種隨堂練習.在空間中，x，y，z坐標皆為整數且與原點距離為的點，共有個。【解答】48【詳解】 =x2 + y2 + z2 = 17先考慮0 x y z的解有所有解共有：3 ! 2 2 + 2 2 2 = 48 ( 4) ( 1) ( 2)( 2)( 3)3.某自助餐廳備有肉4種，魚3種，蔬菜5種，一位客人預計各點一種肉、魚和蔬菜，問他有種點菜的方式。 【解答】60【詳解】4 3 5 = 60（種）4.甲地與乙地之間共有六條道路，其中三條是雙向道，兩條是甲地到乙地的單向道，一條是乙地到甲地的單向道。今有一人從甲地騎車到乙地，請問有多少路徑供他選擇？；如果他從甲地騎車到乙地，再騎回甲地，那麼他有多少方法？。 【解答】5；20【詳解】 (1)甲到乙的路徑有5條(2)甲到乙再回到甲的路徑先由甲到乙有5條走法，再由乙到甲有4條走法，共5 4 = 20條路徑5.一室有5個門，規定每人不得由同一門進出，則(1)若甲、乙兩人不能由同一門進出，今兩人各進出一趟，其方法有幾種？(2)若甲、乙、丙三人，任二人均不得由同一門進出，三人各進出一趟，其方法有幾種？【解答】(1)260(2) 1920【詳解】(1)甲、乙二人由不同門進入的方法有5 4 = 20種，出來時，分兩類甲由乙進入的門出來：甲、乙二人出來的方法有1 4 = 4種甲不經由乙進入的門出來：甲、乙二人出來的方法有3 3 = 9種故二人進出一趟的方法有5 4 (4 + 9) = 260種(2)甲、乙、丙三人進入的方法有5 4 3 = 60種甲、乙、丙三人出來的方法= (甲、乙、丙三人由不同門出來) - (甲由甲進入的門出來，或乙由乙進入的出來，或丙由丙進入的門出來)= 5 4 3 - ( 1 4 3 + 1 4 3 + 1 4 3 - 1 1 3 - 1 1 3 - 1 1 3 + 1 1 1)= 60 - 28 = 32故三人進出一趟的方法有60 32 = 1920種隨堂練習.設一室有5個門，兄弟二人由不同門進入，不同門出來，則：(1)自己可以由相同門進出時，其方法有種。(2)自己不可以由相同門進出時，其方法有種。 【解答】(1)400(2)260【詳解】(1)兄先進入方法有5種，弟再進入方法有4種兄出來時方法有5種，弟出來時方法有4種由乘法原理知：進出方法共有5 4 5 4 = 400種(2)兄由弟進入時的門出來，其法有5 4 1 4 = 80種兄不經由弟進入時的門出來，其法有5 4 3 3 = 180種故進出方法有80 + 180 = 260種6.職棒四年季後冠軍爭霸戰，是由季內賽前兩名，作七戰四勝的比賽，爭年度總冠軍，現已賽畢三場，兄弟象以2：1勝統一獅，則往後的比賽結果有種以決定冠軍。【解答】10【詳解】利用樹形圖從象2獅1開始，往後比賽的情形共有10種7.設a1，a2，a3，a4 = 1，2，3，4，則滿足(1 - a1)(2 - a2)(3 - a3)(4 - a4) 0的情形有種。【解答】9【詳解】 a1 a2 a3 a4 共有9種隨堂練習.自下圖四面體ABCD之A出發，各頂點只能經過一次，(1)自A至B共有種走法。(2)走到之前走過之點即停止，共有種走法。【解答】(1) 5(2) 9【詳解】(1) 共5種(2)共9種捷徑：8.在圖(一)與圖(二)中，求從A走到B的捷徑有多少條？(1)圖(一)，捷徑有條。(2)圖(二)，捷徑有條。【解答】(1) 6(2) 6【詳解】(1)如圖(一)，由A到B的捷徑共有6條（乘法原理應用）由A開始，可在C，E，F中任選一條然後再朝B的捷徑，各有兩條選擇，所以共有3 2 = 6（條）(2)如圖(二)，A到B的捷徑，如樹狀圖 A到D到E到G到B有1條捷徑，A到C到E到G到B有1條捷徑A到C到F到B有4條捷徑，所以共有1 + 1 + 4 = 6條捷徑9.如圖，(1)由A走到B，只能向上或向右的走法有種。(2)由A走到B，只能向上、向下或向右，且走過的路亦不可重複走，則其走法有種。【解答】(1) 7(2) 18【詳解】(1)有7種走法(2) 2 3 3 = 18種隨堂練習.某地街道圖如下，則由A E走捷徑有種走法，A C走捷徑有種走法。【解答】21種；84種【詳解】 10.如圖，A走到B，走捷徑的方法有幾種？ 【解答】30【詳解】能走捷徑之路，如圖 共有30種走法隨堂練習.如下圖，由9個邊長為1的正三角形所組成，自A點走到B，每一頂點只能走一次且不能走、等三種方向，則下列走法各有多少種？(1) A到B走4單位長。(2) A到B走5單位長。(3) A到B走6單位長。【解答】(1)6(2)10(3)5【詳解】(1)(2)(3)隨堂練習.如圖，自A到B，規定只能走三個方向，求下列各種走法： (1) A到B。(2)不過P。(3)不過Q。(4)不過P也不過Q。(5)必過P。【解答】(1) 240(2) 105(3) 72(4) 30(5) 135【詳解】(1) 3 4 4 5 = 240(2) 拆掉過P的路共105種(3) 共48 + 24 = 72種(4) 共6 + 12 + 12 = 30種(5)全 - (不過P) = 240 - 105 = 135種11.如果從1、2、3、4、，一直寫到1245時，一共寫了個0。【解答】344【詳解】(1)個位數010，20，30，1240共124個(2)十位數0(3)百位數0所求 = 124 + 120 + 100 = 344隨堂練習.從1到9999的自然數中，數字中有0的數共有幾個？ 【解答】2619【詳解】1個0：二位數9個三位數9 9 2 = 162個（0，0）四位數9 9 9 3 = 2187個2個0：三位數9個四位數9 9 3 = 243個（00，00，00）3個0：四位數9個共有9 + 162 + 2187 + 9 + 243 + 9 = 2619個12.自1寫到999的正整數，共寫了個7。【解答】300【詳解】共有1 + (9 + 8 + 2) + (81 + 72 + 72 + 18 + 18 + 16 + 3) = 300個隨堂練習.從1到9999的自然數中，試求：(1)數字中含有5者共幾個？(2)由1寫到9999共寫了幾個5？ 【解答】(1)3439(2)4000【詳解】(1)方法1數字中含有5的情形 = (全部) - (不含5)不含5的有一位數8個二位數8 9 = 72個三位數8 9 9 = 648個四位數8 9 9 9 = 5832個所求數字中含有5者有9999 - (8 + 72 + 648 + 5832) = 3439個方法2從00019999共有9999個數，不含5者有9 9 9 9 - 1 = 6560個所求數字有9999 - 6560 = 3439個(2)從0001寫到9999由19999共寫了4000個5款項與付款方式：13.用一元硬幣8個，五元硬幣1個，十元硬幣1個，(1)可付種款項。(2)有種付款方式。 【解答】(1) 23(2) 35【詳解】(1)可配出1元至23元，共23種(2) 9 2 2 - 1 = 3514.用1克，2克，4克，8克，16克五個砝碼之中的幾個（至少一個），可稱出多少種不同重量？，這些可稱得的克數之總和=。【解答】31；496【詳解】(1) 1克，2克，4克，8克，16克砝碼中至少取一個的取法有2 2 2 2 2 - 1 = 31種所有取法都可稱出不同的重量，所以共可稱31種不同的重量(2)所以可稱的重量和 = 1 + 2 + 3 + + 31 =(1 + 31) 31 = 49615.將50元硬幣，換成1元，5元，10元的硬幣，有幾種換法？【解答】36【詳解】設1元換x個，5元換y個，10元換z個x + 5y + 10z = 50共有11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36組換法一筆畫：16.下圖由A至B之一筆畫有種