（应用数学专业论文）债券定价及利率风险的市场价格的重构方法.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 债券是一个合约，在将来某一确定的时间支付确定的收益。有的债券还在确定的时间支 付确定的利息。债券定价的核心问题，是确定对于将来在某一时间获取一定收益的某种债券， 现在应付出多大成本。债券的时间一般较长，通常为几年甚至几十年。在这样长的时间内， 利率是不会保持不变的。在分析债券的价值时，必须考虑利率的影响。 假设利率变化的模型是由随机微分方程给出的，则可以用推倒b l a c k - - s c h o l e s 方程的方 法来推出债券价格满足的偏微分方程，得到一个抛物型的偏微分方程。但是在债券定价的方 程中隐含有一个参数a 称为利率风险的市场价格。所谓债券定价的反问题就是由不同到期 时间的债券的现在价格来得到利率风险的市场价格。 本文对随机利率模型下债券定价的正问题先给予详细介绍，并给出了在人工边界条件下 的隐式差分求解方法，之后介绍了反问题，且对反问题给出一定的数值解法。特别还对付息 债券的反问题用基本解的方法进行了理论上的讨论。 关键词：随机利率模型，利率期限结构，积分方程，差分法，基本解。 复旦人学硕士学位论文 a b s t r a c t d e r i v a t i v es e c u r i t i e sa r ek i n d so fp r o d u c t sw h o s ev a i u e sd e p e n do no t h e r m o r eu n d e r i y i n gv a r i a b i e s d e r iv a t i v es e c u r i t yo fn t e r e s tr a t eiso n e w h o s ep a yo f f t os o m ee x t e n d ，d e t e r m i n e db yi n t e r e s tr a t e t h e r ea r ea a r g e a n de v e r g oin g n u m b e ro fdif f e r e n tin t e r e s tr a t ed e riv a tiv e p r o d u c t sn o w in vie wo fo u ru n o e r t a in t ya b o u tt h ef u t u r ec o u r s eo ft h e i n t e r e s tr a t e 1 ti sn a t u r a it om o d e ii ta sar a n d o mv a r i a b l e s u p p o s et h a t n t e r e s tr a t e isg o v e r n e db yas t o c h a s ticdif f e r e n tiai e q u a t i o n 。ap a r t i a id i f f e r e n t i a ie q u a t i o nf o rt h ep r i c eo fb o n dc a nb e d e r i v e di nas i m ii a rw a yt ot h ed e r i v a t i o no ft h eb i a c k s c h o i e se q u a t i o n a n dp d ef o rg e n e r a id e r i v a t iv es e o u r i t y t h isl e a d st oap a r a b o ii cp a r t i a i d i f f e r e n t ia ie q u a t i o nf o rp r i c eo fb o n d h o w e v e r v a iu a t i o no fb o n dw i t hi m p ii e df u n o t i o ni nt h ee q u a t i o n w h i c h sc a ii e dt h er is km a r k e tp r i c eo fi n t e r e s tr a t e ，isk n o w na st h em o d e i o fb o n dp r i c i n g a ni n v e r s ep r o b i e mo fb o n dp r i c in gist od e t e r m i n et h e r is km a r k e tp r i c eo fi n t e r e s tr a t ei m d ii e db yc u r r e n tp r i c e so fb o n d sw i t h d i f f e r e n te x p ir a t i o n s i nt h i sp a p e r d e t a iii n t r o d u c t i o n so ff o r w a r d p r o b i e ma n di n v e r s ep r o b i e ma r eg i v e n f u r t h e rm o r e n u m e r i c a ia i g o r i t h m t os o i v et h iss y s t e misc o n s t r u c t e d k e y w o r d s ：r a n d o mw a l k 。s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ie q u a t i o n 。i n t e g r a e q u a t j o n ，t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e f u n d a m e n t a is o i u t i o n 复旦大学硕士学位论文 引言 债券定价问题的研究情况简介 发行债券和股票是企业进行融资的两种重要的手段。债券是债务人为了筹集 资金，按法定手续发行，并承担在指定时间支付利息和偿还本金义务的有价证券。 当债券发行的时候，需要对其发行价格进行确定，以满足筹资人和投资人不同的 需要。债券价格确定的方法有很多种，而且和利率的变化也有很大的联系。 1 、纯贴现债券的定价。纯贴现债券也许是债券中最简单的一种，该债券承 诺在未来某一确定的日期作某一单笔支付。如果在从现在开始的一年后支付，则 该债券被称为一年期贴现债券，依此类推。债券发行者支付最后一笔款项的日期 称为债券的到期日，或者简称为到期日。债券在它最后支付日到期或失效。到期 支付的金额则为面值。纯贴现债券一般被称为零息债券，以突出该债券持有人到 期前不能得到任何现金支付的特点。 一般现在确定零息债券现值的方法是对未来现金流进行贴现，为简化，用债 券的价格来代替债券的现值。纯贴现债券即零息债券在未来的t 年后支付f 金 额的面值，而设t 年中每年的利率为r ，因为面值是债券支付的唯一现金流，则 该债券的发行值为： 2 卉 此债券在到期日之前的可以在市场上进行交易，则由上面的公式知，在t 时刻的 价格为： 2 寿 2 、付息债券的定价 许多债券并不像零息债券纯贴现这么简单，而是与贴现债券不同。大多由政 府或企业发行的债券不仅要在到期日支付现金，在发行日和到期日之间也迸行有 2 复旦大学硕：l 学位论文 规律的现金支付。在发行目和到期日之间支付的现金称为债券的票面利息。例如 一个四年期的平息债券：利息为k ，每六个月支付一次，并在债券的生命周期中 一直保持一致。 由零息债券的定价方法知道债券的价格是债券现金流的现值。因此，平息债 券的价格是其利息支付的现值和其本金支付的现值之和。因为平息债券每期能得 到价值为k 的年金，连同到期得到的f ，则该平息债券的价格为： 一南+ 卉+ - + 南+ 南 因此现金流估价是金融领域的重要方法，但是由于利率并不总是一成不变的，当 利率是时间的简单函数或者利率的变化是用随机微分方程的形式给出的时候。现 金流贴现的方法就变得比较复杂了。 当每年利率r 的值不同时，有采用引入贴现函数的方法。所谓贴现函数 e ( f 0 ，t ) ，就是将来t 时的一元在初始时刻的值为多少。现在如果知道了贴现函数 e ( t 。，f ) 就可以方便求出将来的钱的现在值为多少? 知道了e ( f 0 ，f ) 后，就可以用： k = f 也e ) 来对未来现金流估价，这里f “) 表示将来时的现金流。关键问题就是如果确定 贴现因子e ( f 。，f ) 。关于贴现因子的求法，最先是在整个区间用一个多项式来逼近， 为提高精度要增加次数，但有时会出现r u n g e 现象“3 。后来m c c u l l o c h 用多项式 样条逼近它，v a s i c e k 和f o n g 对其改进提出指数样条，并针对特殊情况在【0 ，t 】区 间对函数形式进行了化简，其最优化解法形式简单，但求解却很繁琐”3 。后来算 法得到改进，提供了计算具体时点贴现因子方法，得到一种先求出一些具体时点 贴现因子，再用分段指数样条函数逼近它们的方法。并得到显式表达式。 当利率r 是由随机微分方程的形式给出时，引入一般金融衍生产品的定价 理论，利用无套利原理得到债券定价的b l a c k - - s h o w s 方程。此处得到的二阶齐 次抛物型偏微分方程。 复旦人学硕士学位论文 在研究者建立的许多模型中都假设有一个随机变量( 或要素) ，这里利率是随机 变量。但此单因素模型中会出现相当多的利率期限结构形式。单因素模型的基本 含义是所有利率在任意短时间间隔内按相同的方向变动，它并不意味着所有利率 以相同幅度变动。对于这个偏微分方程由于随机微分方程的形式不同，可以得到 显示解或者数值解。 历史上提出的许多收益率曲线模型都有与模型建立时刻的利率期限结构不 符合的缺点。于是h o 和l e e ；h e a t h ，j a r r o w 和m o r t o n ；h u l l 和w h i t e 以及其他 人提出构造收益率曲线模型的方法，这些方法自动符合初始收益率曲线。h e a t h ， j a r r o w 和m o r t o n 模型的优点是能在所有时候符合所有远期利率标准差，但是这 个优点的取得付出了很高的成本。模型计算速度很慢。为了解决这个问题曾提出 了许多非套利的马尔科夫模型。其中h o 和l e e 模型；h u l l 和w h i t e 模型，b l a c k ， d e r m a n 和t o y 模型；以及b l a c k 和k a r a s i n s k i 模型等b 1 。通常选取这些复杂的模 型是为了得到方程的显示表达式，通常假设利率是满足对数正态分布的。 本文在正问题方面用人工定义的边界条件，选取适当的符合真实市场情况的 利率随机微分方程的表示形式，用数值方法求得债券的价格。 在反问题方面，用债券定价方程的共轭方程方法得到了关于利率风险的市场 价格的积分方程表示，并用数值的方法模拟利率风险的市场价格。最后进一步优 化了模型，提出了利用付息债券定价方程来求解利率风险的市场价格的理论方 法。 4 复旦大学硕士学位论文 第一章随机利率模型下债券定价方程及正问题求解 用v 代表债券的价值，如果利率，( f ) 和债息k o ) 是时间的已知函数，债券的 价格就只是时间的函数，v = v ( t ) 。如果在到期日t = t ，债券给持有者带来的收益 为z ，即v f i ) = z ，现在的问题就是在t s 有， 矽0 ) 一彤0 ) n ( o ，t s ) 3 ) w ( ) 一彬( 一。) ，w ( 一。) 一w ( 一：) ，w ( t ：) 一( ) 与彬( f 1 ) 都是相互独 立的。( 0 t l t 2 + 叩o ) 一z ( r ，f ) 石百下硐 得到a 和b 的表达式： 警；叩( c l b + 扣) 8 2 堕a t = ( r ( f 归一1 ) 十扣l b 2 为了满足终值条件y ( r ，t ) = z ，必须有： 爿( r ，r ) = 0 b ( r ，z ) ；0 ( 8 ) 对( 8 ) 的两个式子求积分，可以得到参数a ，卢，y ，r 的解。一般情况下，显示解 并不存在，但是当a ，卢，y ，r 均为常数时，得到( 8 ) 下面的解： 复旦大学硕士学位论文 其中 。2 a = a 加g ( 口- 咖卜计崦( 学) + 扣吨崦n b =南 p 十a 鼯“同一】) + 磁 。6：ty+、匝ffy 2 + 2 a 死= r2 + 2 a 2 = ( 9 ) 当四个参数都是常数时，a 和b 只是( t - - t ) 的函数，这一个模型同样能够模拟 上升、下降、驼峰等的不同利率的变化形式。当( t - - t ) 趋于无穷大的时候，有： b 一2 m 利率的期限结构曲线的长期表现为： 卜南训训 将( 9 ) 式a ，b 的表达式带入矿( r ，f ) ：z e 。“，7 卜。o ，就得到了零息债券定价方程正 问题的解。如果a ，卢，y ，7 四个参数不是常数，情况更为复杂，可以考虑固定三个 参数，让一个参数是时间的函数，就能较好的拟合利率的实际变化情况了。 1 7债券定价方程的数值解法 对于上面得到的零息债券定价方程的解法是一个比较理想化的情况。实际 上，很多时候随机利率的假设并不是按照上面的形式给出的。即，得不到方程的 显示解，这里我们可以运用数值的方法来求解。 由于债券定价方程： 垦呈奎兰堡主兰垡鲨兰一 一一 i a v + 三w 2 器+ ) 玑r m ) ) 詈州= 。 v ( r ，r ) = z ，一十。，y ( ，f ) 一0 r ；鱼v 0 又因为w ( r ) 是非负函数，可以得到 r w ( ，妙仃，谚，o 即积分方程的定义是明确定义的。 由上面的分析得到了反问题的以下这个方程组来求解函数对u 仃，r ) 和a p ) 万o u = 三告2 ( r 妙) 一杀( ( 8 ( r ) + a 口p ( ，) 妙) 一r u 一。 a o 磁w p 妙p ，扮十f p ( ，) r 2 矽p ，r 协一兰笋 其中0 t k = 3 0 ，0 crc r = 0 2 ，z = 1 0 0 ，日( r ) = o 0 5 3 一，w ( r ) = r o 2 一，) 垮 小 埘 谥2 墩h蕊 里甜十 复旦大学硕士学位论文 2 4 零息债券定价方程的反问题的数值解法 对上面得到的反问题方程组，需要运用数值方法求解。 在区域q = 缸，) 1 0 5 丁量f 一，o rs r 上建立网格： ) 盼谶纠舭；等舻钟 定义函数： u 伍, r j ) = 【，；，w ( r , i = w ，口h ) 一0 ，a ( f ，) = 名 则离散形式为： 坚坐；! 也墨二孥! 业鱼! a i 。也型i + 1 i + 1 11 _ u ，。 a t 2 ，22 ， 由上式，当t ；i + 1 时，u ；“已知，上式可以化为： c h u 骂+ 4 u 1 + b 川【，篙= u ； 其中： 。- 一( 軎一訾卜 铲卜种 ，一( 暑+ 警卜 这是一个隐式向前的差分格式。 而积分方程可以用积分定义离散为如下形式： 荟n - 1 州+ 薹p ，一亏n 一掣 线性方程组( 2 1 ) 是一个三对角阵，数值计算从初始条件t = 0 开始 卟。川= 吉一吲 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 复旦大学硕，l 学位论文 接着向前迭代。每一个时刻t ，u 仃，) 可以通过求解线性方程组( 2 1 ) 得到，得 到的u p ，r ) 的值带入积分方程的离散方程( 2 2 ) 得到a p ) ，为了改进反问题的 精确性，可以将得到的a 仃) 再带入( 2 1 ) 重新计算u 仃，) ，再运用新得到的u ( r ，r ) 得到进一步的a p ) ，直到两次得到的a p ) 值力，矿1 的差s = 0 矿1 一引i 足够小就 停止。这样就得到了a 仃) 在不同时刻t 的值。 为了求解反问题我们需要通过零息债券的正问题得到y ( f = o ，r o ；t ) = y p ) 的值， 因为积分方程中需要用到其二阶倒数。 由零息债券正问题得到r = o r 0 = 0 0 5 时y p ) 关于不同到期时间t 的值，如下图： 再有上面求解反问题的方法可以最终得到利率风险的市场价格a 如下图： 复旦人学硕士学位论文 2 5 付息债券定价方程的反问题 上面推导的是通过不同到期时间的零息债券的现在价格来求解利率风险的市场 价格。但是实际中，我们更多的是得到付息债券的现在价格，因此用付息债券的 现在价格来求解利率风险的市场价格显得更为符合实际和有效。下面就用上面同 样的方法推导付息债券的反问题。 付息债券定价方程为： 因为方程中多了k o ) 项，按照第二节中定义的微分算子l ，当v = o 时，不满足 l ( o ) = 0 ，则不能直接定义微分算予得到共轭方程，这里我们需要理论上找到方 程( 2 1 ) 的解，然后通过变换消除k 扛) ，从而得到共轭方程 令t ；t 一耆，则原方程化为一个正向的c a u c h y 问题。 押r 、，。o r 2 2 ( r ) + a 仃一言川詈- r v + k ( 一言) 一警= 。 ( 2 2 ) v ( c = 0 1 = z 对一般的热传导方程： _ o ：u + 粤粤一o u 0 缸； a c ： a x ： o t 方程 咄噱小南h h - 料 对于任何给定的( 芋，百) ，满足热传导方程，称为方程的基本解。 对于一维空间变量的热传导方程，上式可以写为： 慨如，。丽1 唧 - 锚 2 0 = 0 k 十矿一 坐打 pp0 a+ l vp + 盟扩 ，圹 z 矿卜 1 2 z + = 堂m 叽 复且大学硕士学位论文 肌圭w 2 ( r ) 罟+ p ( ，) + a 留一言川警卅一芸 运用p a r a m e t r i x 方法1 1 ： 令： 妙( 瞄) 2 南p 一亭) 2 扩酯卅2 志唧 - 击南】 令： y ( r ，考；宇，f ) 。了翮1 m y 。( ， ；宇，f ) 最后令： r ( r ，毒；亭，f ) = r ( r ，；亭，f ) + f f d y ( r ，考；叩，。) 中( r ，亭；善，r k 叩d ( ， 通过确定中g ，f ；亭，f ) 就可以得到： 肌w 2 ( r ) 塑o r 2 + ( 日( r ) + a p 一考川警卅一尝= o 的解。 根据f r i e d m a n 关于抛物型方程基本解的文章可以得到中& ，f ；宇，f ) 是下面积分方 程的解： 中( r ，言；亭，f ) = 三y ( ，耆；亭，百) + f j l 上y ( r ， ；y ，仃) 中( y ，盯；亭，f ) 由砬盯 并且可以得到关于中b ，f ；亭，r ) 大小的一个估计： 海小嚣高b o c t 1 , ，一薹- ) 最后对于非齐次的c a u c h v 问题： 复旦大学硕士学位论文 肌翔r ) 罟嘶) + a 口一言俐警州一誊一口一誊) v ( r ，0 ) 一z 有如下的解： r ( r ，；) = 上z r ( r ，o ；宇，o 妇宇+ f o o f d r ( r ，；亭，o k 汀f 彰f 带入f = t ；得到付息债券方程的解： v ( r ，f ) = j l z r ( r ，丁一f ；亭，o 弦亭+ j i 。厶r ( r ，z f ；亭，o k b k 匏f 最后引入变换消去非齐次项k ( f ) ： y + 0 ) = v ( 4 一v ( r ，f ) 从而得到新的齐次方程： 等+ 丢w 2 ( ，) 等+ p ( r ) + a o 俐等州一。 这样对新的齐次方程可以按照2 4 中讨论过的共轭算子的方法，得到关于a 仃) 的 积分方程，从而由付息债券的定价方程求得利率风险的市场价格曲线。 具体的求解方法和数值解法可以作为以后研究的方向。 复旦人学硕士学位论文 r e f e r e n c e 1 奈尔马特里尼，菲利普普奥兰德，固定收益证券对利率风险进行定价 和套期保值的动态方法f m j 肖军译北京2 0 0 21 - - 2 0 2 h u l ij ，w h i t ea ，n u m e r i c a ip r o c e d u r ef o ri m p l e m e n t i n gf e r m s t r u c t u r em o d e l s s i n g l e f a c t o rm o d e l s 【j 】j o u r n a lo fd e r i v a t i v e ， 1 9 9 4 ，( 2 ) 2 ：l 7 一l 1 6 3 j o h nc h u l io p t i o n ，f u t u r e s ，a n do t h e rd e r i v a t i v es e c u r i t i e s l 4 10 一l 4 4 8 4 i b o u c h o u e v & v i s a k o ，t h ei n v e r s ep r o b l e m0 fo p t i o np r i c i n g i n v e r s ep r o b l e m13 ( 5 ) ，l i1 一l 17 5 t h ec h a n g i n gb e h a v i o ro ft h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s fr a t e s q u a r t e r l yj o u r n a io fe c o n o m i c s 6 h u l lj ，w h i t ea 19 9 0 a ，“p r i c i n gi n t e r e s t r a t e d e r i v a t i v es e c u r i t i e s r e v i e wo ff i n a n c i a ls t u d i e s ，3 ，5 7 3 5 9 2 7 g q z h a n g ，o na ni n v e r s ep r o b l e mf o ro n e d i m e n s i o n a l ，s c i c h i n a s e r a 3 2 ，2 5 7 - 2 7 4 ( 19 8 9j 8 o p t i o np r i c i n gw h e nt h ev a r i a n c ec h a n g e sr a n d o m l y ： t h e o r y ，e s t i m a t i o na n da p p l i c a t i o n j o u r n a io ff i n a n c i a ia n dq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s 9 c o x ，j ，j i n g e r