（基础数学专业论文）zygmund猜想的一些研究.pdf

中文摘要 本文分三节 第一节主要介绍了z y g m u n d 猜想及其研究状况 z y g m u n d 定理：设1 k n ，在舻中。b 为边长不超过k 个不同 常数的所有矩形组成的集合，则满足： m b f ( z ) 入) i ci ! 掣( 1 + ( 1 i l + 掣) ) d x ， ，舻 其中i n + t = m a x ( b a t ，0 ) ，m b 为相应于b 的极大算子( 具体定义见第一节综 述) z y g m u n d 猜想：对于1 k n ，以及只依赖于t 1 ，t 2 ，t k 的非负 函数妒l ，也，其中t i 0 ，i = 1 ，2 ，k ，且成对于屯，15 歹k 是递增 的，则基b = “1 ( t 1 扎) ，如( t l ，“) 】，t l 0 ，t 2 0 ，t k o ) 满足： z ：m b f ( z ) 入) i c 厂掣( 1 + ( 矿掣) ) 如， j r n 其中l i l + t = m a x ( i n t ，0 ) 记k 1 ，z 2 ，】是舻中边长分别为z 1 ，x 2 ，z 。的区间令 b k = 胁( t 1 ，缸) ，九( t 1 ，如) 】，t l 0 ，t 2 0 ，t k o 】- ， 其中也是非负的，并且对每个变量是递增的 微分基的定义： 舻中的微分基b = u 霉舻b ( z ) ，其中每个b ( x ) 由 尼。中的一些有界具有正测度的可测集组成，且有子族 马 cb ( z ) ，使得 d i a m b # _ 0 。 当k = n 时由强极大函数的性质知z y g r a u n d 猜想成立当k = 1 时由 日一l 极大函数可证z y g m u n d 猜想成立我们有对于1 o ) 时，若啦岛一哟屈= o , i 歹，o q ，岛 0 ，则z y g m u n d 猜想成立具体可参见参考文献【9 】 当b 2 = 眵1 ( s ) ，如( s ) ，妒l ( t ) ，( t ) ，西( s ，t ) 】：s ，t o ) ，如，概，西 非负递增时，z y g m u n d 猜想也成立具体可参见参考文献【1 3 】。 ( 2 ) k = 3 情形： 当b 3 = “，( s ) ，妒1 ( s ) ，如( ) ，如( t ) ，九( u ) ，咖( u ) 】：8 ，t ，心o ) ，九，诎满 足i ( 8 1 ) 危焱( s 2 ) ；蛾( 亡1 ) a d b i ( t 2 ) ，其中8 1 8 2 ，t l2t 2 ，0 口，卢1 时，z y g m u n d 猜想成立具体可参见参考文献【1 3 】 ( 3 ) 3 0 ，i = 1 m ) 时，z y g m u n d 猜想也不成立具体可参见参考文献【9 】 当b 2 = 【s ，t ，s 口1 t m ，8 a 2 t 如】：s ，亡 o ) ，a 1 尾一q 2 伪0 时，z y g m u n d 猜想是否成立，及能否找到啦，屈的其它关系使得z y g m t m d 猜想成立等均 未知；对于当b a = 【s ，t ，让，s t u ：8 ，t ，u o ) 时，z y g m u n d 猜想是否成立也 未知；除一些特例外，当2 0 ，五l z ( 舻t ) ， 胗舻：甄 ( ) 入) i 厂也( 掣) ， j 酽i 其中如是【o ，。( 1h 【0 ，嘲上严格递增的连续函数，且也( o ) = 0 如果b 是 j p = j p l + n 2 的两个基b 1 ，口2 的乘积基，即：b = r 1 r 2 ：r 1 b 1 ，群 b 2 ，并且h 是b 的极大算子，则枞 0 ，厶( 酽) 有 z 月，：h f ( x ) a 】i 小( 掣) 如+ 厶 掣也c 掣眦，卜 第三节证明了：在一定条件下当岛= 【s ，t ，l ( s ，t ) ，如( s ，t ) ，九一2 ( s ，t ) 】： 8 ，t 0 时，z y g m u n d 猜想成立，即 命题2 ：设 b 2 = 【8 ，t ，1 ( s ，t ) ，也( s ，t ) ，九一2 ( s ，) 】：s ，t o ) ， 其中也( s ，亡) ，i = 1 ，2 ，n - 2 ，满足当砂1 ( s i ，t 1 ) 芝1 ( 8 2 ，t 2 ) 时，有也( s l ，亡1 ) 也( s 2 ，t 2 ) ，i = 2 ，3 ，n 一2 ，且为其极大函数，则存在不依赖于a 0 ， 和，l f ( j p ) 的正常数c ，满足： 乙m b 2 f ( 引 a l - c 月。掣( 1 恤+ 掣) 如， 、 证明的主要想法是利用2 型指数覆盖的有关结果为了证明岛是2 型 指数覆盖，记b ；为所有区间都是二进方体的，则有c m s 。朋蠢 幻。，故 不失般性，我们可假设在岛中的所有区间的边都是二进方体的，v r b 2 ， 记r = i xj x k l 1 l 2 扩一，这里，zk 以及，i = 1 ，2 ，仰一3 ) 是一维的区间设 r ) 鉴。是岛的一个有限集合，并且假设有长度递减的 序列厶选择r 1 = r 1 ，并且假设r 1 ，马一1 都已经被选了，并且让岛一1 后面的毋取【尼) 中的r 的第一个区间，使得 1， j - 1 高厶e x p ( 善x 瓦p ”如 1 + e q 5 孙 4 正如参考文献【l 】中所做的一样，经过计算，我们可以得到： 因此最终只需证： m m 厶唧( 若x 反 ) ) d x 0 ，如 0 ，t k 0 ，a s s u m i n ga r b i t r a r i l ys m a l lv a l u e sa n di n c r e a s i n gi ne a c hv a r i a b l es e p a - r a r e l y , t h eb a s i s b = 眵1 ( t 1 ，如) ，( t l ，缸) 】，t 1 0 ，2 0 ，t k 0 1 w o u l da l s os a t i s f i e d ： ：m ) 划c 厶掣( 1 + ( 矿掣广1 ) 如， i nw h i c hi n + t = m a x ( i n t ，0 ) d e n o t i n g x l ，x 2 ，x n t h ei n t e r v a l si n 形w i t hs i d el e n g t h sz l ，x 2 x n a n ds e t t i n gb k = “l ( 亡l ，如) ，加( t l ，缸) 】，t l 0 ，t 2 0 ，t k o ， w i t he a c hab e i n gap o s i t i v ef u n c t i o na s s u m i n ga r b i t r a r i l ys m a l lv a l u e sa n d i n c r e a s i n gi ne a c hv a r i a b l e f o re a c hz 形，w ea s s i g nac o l l e c t i o nb ( x ) o fb o u n d e ds e t sw i t hp o s i - r i v em e a s u r e s ，c o n t a i n i n gz i ft h e r ee x i s t sa tl e a s to n es e q u e n c e ( 凤) cb ( x ) s u c ht h a td i a m b ( x ) 一0f o ra n yz 形，t h e nt h ec o l l e c t i o nb = u $ 形s ( x ) i sc a l l e dad i f f e r e n t i a t i o nb a s i s b ys t r o n gm a x i m a lf u n c t i o nw ek n o wt h a tw h e nk = 礼t h ec o n j e c t u r eo f z y g m u n di st r u e b yh lm a x i m a lf u n c t i o nw ek n o wt h a tt h ec o n j e c t u r e 6 o fz y g m u n di st r u ew h e n 忌= 1 f o r l o ) a n d 戗房一 屈= o , i j ，嘲，岛 0t h e nt h ec o n j e c t u r eo fz y g m u n d i st r u e 8 e e 【9 】- w h e n 岛= 【眵1 ( s ) ，讳( s ) ，妒1 ( t ) ，( 亡) ，圣( s ，t ) 】：s ，t o ) ，暾，蛾，西 b e i n gap o s i t i v ef u n c t i o na n di n c r e a s i n gi ne a c hv a , r i a b l et h e nt h ec o n j e c t u r e o fz y g m u n di st r u e s e e 【1 3 ( 2 ) k = 3 w l a e n b 3 = “1 ( s ) ，妒1 ( s ) ，如( 亡) ，记( ) ，也( 让) ，讥( u ) 】：s ，t ，仳o ) ，九，蛾 s a t i s f i e d 啦( s 1 ) 2 屈如( s 2 ) ；诎( 亡1 ) 啦慨( 亡2 ) ，a n d8 1 s 2 ，t a t 2 ，0 口，卢 lt h e nt h ec o n j e c t u r eo fz y g m t m di st r u e s e e 1 3 1 ( 3 ) 3 o t h e l lt h ec o n j e c t u r eo fz y g m u n di sn o tt r u e 。s e e 9 。 - w h e nb 2 = 【s ，t ，s 口1 扣，s 锄t 助】：s ，t o 口l 屉一o r 2 3 t 0t h ec o i l - i e c t t t r eo fz y g m t m di st r u eo rn o t ，m o r e o v e ri fw ec 趾f m do t h e rc o n d i - t i o nf o rq t ，反t op r o v et h ec o n j e c t u r eo fz y g m t m d w h & l ；m o r e ，w h e nb 3 = ( i s ，t ，u ，s t u l ：s ，t ，u o ) t h ec o a j e c t u r eo fz y g m u n d i st r u eo rn o tu pt on o w w ek n o wn o t h i n ga b o u tt h e s ec a s e i na d d i t i o n ，i n , r k ，w h e n2 0 ，五l t o c ( 舻) i 舻：凰五( ) 入) i 厂如( 堕每型) 如t jr ，、 w h e r e 晚i sas t r i c t l yi n c r e a s i n gc o n t i n u o u sf u n c t i o nf r o m 【0 ，。c 】h 【0 ，o ( 】w i t h 如( o ) = 0 bi st h ep r o d u c tb a s i si n 曰1 = j l + 地o ft h et w ob a s i sb 1 ，b 2 ， i e b = f r 1 r 2 ：r 1 b 1 ，铲b 2 ) a n dh i st h em a x i m a lo p e r a t o r a s s o c i a t e dt oi t ，t h e nf o re a c hv 入 0 ，f l l ( 毋) o n eh a s ( z 月p ：h f ( x ) 入) i 小( 掣) 如+ 厶 掣如c 掣黼，卜 i nt h i r ds e c t i o n ，w ed i s c u s si ns o m ec o n d i t i o nt or e s t r i c tf o r b 2 = 【s ，t ，1 ( s ，) ，2 ( s ，亡) ，九一2 ( s ，t ) 】：s ，t o ) t h er e s u l t so fc o n j e c t u r eo fz y g m u n di st r u e t h em a i nr e s u l t ： p r o p o s i t i o n2 ：s u p p o s e b 2 = 。8 ，t ，妒1 ( s ，亡) ，2 ( s ，t ) ，九一2 ( s ，亡) 】：8 7 t o 】， f o r 也( s ，亡) ，t = 1 ，2 ，n 一2 ，s a t i s f i e dw h e n4 ) 1 ( 8 1 ，t 1 ) 1 ( s 2 ，t 2 ) ，l e a d s t o i ( 8 1 ，t 1 ) 咖( s 2 ，t 2 ) ，i = 2 ，3 ，n 一2 ，a n dm s 2i sm a x i i n a lf u n c t i o n 8 t h e nw eh a v eap o s i t i v ec b n s t a n tcw h i c hi n d e p e n do n 入 0 , a n d ， l l 。( j 妒) ，s a t i s f i e d ： ：。m ) 划c 厶i f ( x ) l ( 1 仙+ 掣) 如 w en e e dt op r o o f 岛s a t i s f i e st h ee x p o n e n t i a lc o v e r i n gp r o p e r t yo ft y p e 2 n o t e 垦i st h es i d e so fa l li n t e r v a l s a r ed y a d i c t h e nw eh a v ec m b 2 m 蠢 m b z w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t y w em a ya s s u m et h a tt h es i d e s o fa l li n t e r v a l s i nb 2a r ed y d a d i c f o re a c hv r b 2 ，w ew r i t er = ixjxkxl 1 l 2 x 驴，w h e r ei ，zk a n dl i ，i = 1 ，2 ，( n 一3 ) a r eo n ed i m e n s i o n a li n t e r v a l n o wl e t 忍攫1b eaf i n i t ec o l l e c t i o ni nb 2 ，a n ds u p p o s ew eh a v eo r d e r e di t b yt h ed e c r e a s i n gl e n g t ho fl i c h o o s i n gr 1 = r 1 ，a n ds u p p o s er 1 ，毋一1 h a v eb e e nc h o s e n ，w et a k er jt h ef i r s ti n t e r v a l 忍i n r ) a f t e rr j 一1s u c ht h a t 高厶唧c 善j - - 1 x 赢c 圳如1 + 唧= c o s o m ec a l c u l a t i o na sw es h o w ni n 【1 】l e a d st o ： 厶唧( k = l 州z ) ) e 入) i c 厂掣( 1 + ( 1 - + 掣) “) 如 ( 2 ) 不等式( 1 ) 可以通过v i t a l i 型覆盖得到，而( 2 ) 式首先是由j e s s e n ，m a r c i n k i e w i c z 和z y g m t m d 在参考文献 7 】中通过迭代的方法来证明的，并且又由c 6 r d o b a 和f e i f e r m a n 通过覆盖引理再次证明了这一等式，其证明过程参见【2 】在 参考文献 1 2 中，z y g m u n d 证明了对于1 k 礼，如果b 是形中一些区 间所组成的类，并且它的边不超过k 个不同数，则它的极大算子满足； 协m b f ( z ) 入) i c 厂掣( 1 + ( h + ( 掣) ) ) 如，( 3 ) ，舻 “ z y g m u n d 猜想：对于1 南他，以及非负函数妒1 ，如，妣也 只依赖于t 1 ，t 2 ，t k ，其中如 0 ，i = 1 ，2 ，七，且以对于如，歹是 递增的。则基 b = 眵1 ( t 1 ，“) ，加( t l ，如) 】，t l 0 ，t 2 0 ，t k o 1 0 满足： 协m b f ( z ) 入】i c i 掣( 1 + ( h a + ( 掣) ) m ) 如， ，舻 其中h a + t = m a x ( h a t ，0 ) 记k 1 ，z 2 ，】是形中的区间，且其边长分别为x l ，z 2 ，并 且集合 b k = “1 ( 亡l ，“) ，也( t 1 ，一，拓) ，饥( 亡1 ，如) 】：t l ，t 2 ，氏 o ) 为了确保鼠是一个微分基，我们假设对任意小的值咖都是正的，并且对 每个变量都是递增的，z y g m t m d 猜想在这种基下( 3 ) 式还是成立的由( 2 ) 式我们知道，猜想至少对k = n 是成立的当南= 1 时，由v i t a l i 覆盖引 理，我们容易知道z y g m u n d 猜想也是成立的因此，z y g m u n d 猜想主要在 于1 o ) 这里和妒 是正的，连续和递增的函数但是它的极大算子m b f ( x ) 不满足 z ：m s ( z ) 埘isc 厂i f ( 。x ) l ( 1 + h a + 掣) 出 j r n 但是在斧中，对机( s ，t ) 中假设一些其它的额外条件，s o f i a 得到一些正面 的结论他的定理包含了特殊情形 岛= “s 们t # l ，8 a 2 挣，s a 3 t b z 】：s ，t o 】，t ，屈 0 因此，他猜想在高维的情形，当也( s ，t ) = s a t 舻，i = 1 ，2 ，n 时，z y g m u n d 猜想是成立的如果a 岛一屈= o ( i j ) ，这在影中已经证明是成立 的 在参考文献 9 】中s o r i a 证明了 1 1 命题2 1s 若r ，彤b ( b 为舻中的区间集族) ，1 r 1 r , ，且 2 r 2 彤，或者3 r 3 r , ，则 xe 臂：m s f ( 抄口1 1 o ) 且( s ，亡) 为非负递增时，z y g m u n d 猜想成立 在参考文献 9 】中，s o f i a 还证明了 命题2 2 ：设妒1 ，2 和也为光滑函数，假设存在非负递增函数乃( s ) 疋( s ) ( s ) ，且孔( o ) = 0 ，使得j a c o b i a n s ，( 也，如) ，l i 歹3 在死的一个子集上退化，则如果f ( 8 ，t ) = ( 妒1 ( s ，t ) ，咖( s ，t ) ) 在每个区域： a k = - 【( s ，t ) ( 0 ，。( ) 2 ：t k l ( s ) 0 特别地，当b 2 = i s a 舻，s 眈庐，s a a t & ，s 砂】，s ，t o 时，若 啦岛一哟屈= o , i j , c y i ，岛 0 ，则z y g m u n d 猜想成立此外，对于 岛= “1 ( s ) ，九( s ) ，妒1 ( 亡) ，( t ) ，垂( s ，t ) 】：s ，亡 o ) ，晚，他，圣非负递 增时z y g m u n d 猜想也成立 在高维情形：若 扇) 搀。是 入) l c 厂i ( 。x ) l ( 1 + ( h + 掣) ) d x j 舻 “ 其证明主要运用了y o u n g 8 余函数的特征要满足( 1 ) ( 2 ) 两个条件的基是不 易找到的 又在参考文献 13 ，陈杰诚，张纯洁证明了 命题3 1 ：设b 2 【1 ( 8 ) ，1 ( s ) ，妒( t ) ，西( s ，亡) 】其中，咖，妒，西是非负连续递 增的，且 z b 2 为其极大函数，则存在不依赖于a 0 和，l l ( 群) 的常 数c 。使得： 陋m b 。m ) 入) i c 厂掣( 1 + i n + 掣) 如 j 静 只要证明b 2 满足2 型指数覆盖特征，记垦为所有区间的边都是二进 方体的，则有c m b 2 m 童m b 2 ，故不失般性，我们假设在岛中的所 有区间的边都是二进方体的，v r b 2 ，记r = ixjxk l ，这里j ，zk 以及l 是一维的区间 设 r ) 墨，是b 2 的个有限集合，并且假设有长度递减的序列厶选 择r 1 = r 1 ，并且假设r 1 ，弓一1 都已经被选了，并且让弓一1 后面的马取 在 冠】中的砬的第一个区间，使得 土i 毛1 厂一r 笋k = lx 瓦( z ) ) 如1 + e - 1 嘞 正如参考文献【1 】中所做的一样，经过计算，我们可以得到： 下面只需证： 厶唧( k = lx反(圳如ci望忘im m 在选取局时，我们不取r ，由选择定理，我们有： 厶唧( 萎j - 1 州圳如 淝i 由于i 厶i 为递减序列，并且有l 1 ) 岛3 ) l n ，因此，由上式我们可得： 1 3 吼 m u 胁 c c o 吲 v x 4 l i ，又注意到若k c o 吲 注意到k a ，五x 正c 五五，结果使得x 赢( z ) 只依赖于z l ，x 2 将其拆 开，我们得到： 高厶唧( 心；x 哦( z ) ) d x 3 佤1 面z 柚唧( 啪t x 瓦( 瑚如z 出2 c o 由此，我们得到对每一个被跳过的尼都包含在集合： ( z ： 矗【e 印( x 反( z ) ) 】【e 印( 知x 反( z ) ) 】 c o ) ， 其中，尬是基 乩t o ) 的极大函数尬是基 1 ( s ) ，2 ( s ) ：s o 】的 极大函数则它们都是弱( 1 ，1 ) 的故l e b e s g u e 测度都是有界的，且 i z ：尬【唧( 血x 琉( z ) ) 】 俪) 1 ：c fe x p ( 南x 硪) 如c i u 丝哦l ， 其中最后一个不等式可由( 5 ) 式得到，故由此我们可以得到： j vm iu 忍l 墨c lu 瓦1 i = ik = l 对于励= 渺1 ( s ) ，如( s ) ，妒1 ( 亡) ，钆( 亡) ，圣( s ，t ) 】：s ，t o ) ，咖，哦，圣 非负递增时，z y g m u n d 猜想也成立，证明与上述证明基本上是相同的 1 4 在舻中，当玩三 【1 ( s ) ，妒1 ( s ) ，也( 舌) ，如( t ) ，九( 钆) ，如( ) 】：s ，孟，缸 o ) ，晚，哦满足也( s 1 ) 屈咖( s 2 ) ；蛾( t 1 ) q t 毗( t 2 ) ，其中s l s 2 ，t 1 t 2 ，0 o ) 时，z y g m t m d 猜想 不成立 当b = 【s 1 ，t 1 ( s 1 ) ，亡1 妒( s 1 ) ，s m ，( s m ) ，妒( s m ) 】：s t ，气 o ) 时，z y g m u n d 猜想也不成立 当b 2 = 【s t ，s a l 护1 ，s 劬舻】：s ，t o ) ，n 1 尾一a 2 尻0 时，z y g m u n d 猜想是否成立，及能否找到锄，屈的其它关系使得z y g m u n d 猜想成立均未 知；对于玩= “s ，芒，让，s t u ：8 ，t ，t o 】i 时z y g m u n d 猜想是否成立也未知； 除一些特例外，对于当2 a ) l 厂如( 掣) 础， j 舻 a 其中也是【0 ，。c 】h 【0 ，吲上严格递增的连续函数，且破( o ) = 0 ，如果b 是 舻= 形- + t l z 的两个基b 1 ，b 2 的乘积基即：b = r 1 r 2 ：r 1 b 1 ，r 2 b 2 ) 并且h 是b 的极大算子，则v 入 0 ，- 厂l z o c ( 舻) 有 i z 只，：h f ( x ) 入) 1 小( 掣) 如+ 厶 掣也c 掣帅，卜 引理1 出现在参考文献【6 】的5 0 页 厶a o 题1 ：对于基 b m + 2 = 【s ，亡，u l ，坳，s 胡：s ，t ，饥 0 ，i = 1 ，2 ，m ) - ， z y g m u n d 猜想成立 证明：令 爵+ 2 = i s ，亡，仳l ，地，u m ，s t 】：s ，亡，铖 o ，i = 1 ，2 ，m 事实上这个基可以分解为【s ，t ，s 司- i ，抛，】 相应的我们取 1 ( u ) = v l n + 口，也( u ) = v ( 1 n + 口) 一1 则由引理1 ，我们可以得到下面的估计： z ：m 蠢+ 。y ( x ) 入) i 洲小( 掣) 如+ 厶 掣也c 掣帅，卜 1 6 将( 口) 2u i n + t ，如( t ，) = 秽( 1 n + m 一，代入得 k 厶比掣掣c k + 4 1 1 1 _ 1 如i n + 矿7 妃 当0 lsc | ! 掣( 1 + ( 1 n + 掣) ) 如 ，r n 、 ，、 定义2 ：若钒是一族左闭右开的方体，它的端点彼此相邻，且其格为 ( 2 - 七z ) ”的倍数组成的点，则u 七q 豇中的方体，被称为二进方体我们知道 二进方体有下面三个性质： ( 1 ) 对于给定的z j p ，在每一个族q 七中都存在唯一的二进方体，包含x ； ( 2 ) 任意两个二进方体，它们或者彼此不相连，或者一个完全包含在另一 个； ( 3 ) 在阢中的一个二进方体一定包含在q 的一个方体内，j 0 ) ， 其中晚( s ，t ) ，i = 1 ，2 ，n - 2 ，满足当1 ( 8 1 ，t 1 ) 1 ( s 2 ，t 2 ) 时，有成( s 1 ，t 1 ) 如( s 2 ，屯) ，i = 2 ，3 ，竹一2 ，且m b 2 为其极大函数，则存在不依赖于入 0 ， 和，l l ( 形) 的正常数c ，使得： ：m b j ( 咖划c | 厶掣( 仙+ 掣肚 证明：由2 型指数覆盖的性质知，我们只需要证明岛满足2 型指数覆盖 特征记垦为所有区间的边都是二进方体的，则有c m b 2 锄m b 2 ，故 不失一般性，我们假设在b 2 中的所有区间的边都是二进方体的，v r b 2 ， 1 9 记r = i xj xk xl 1x l 2 p 一，这里i ，zk 以及l i ，i = 1 ，2 ，( n - 3 ) 是一维的区间 设( 忍) 磐，是岛的一个有限集合，并且假设有长度递减的序列厶选 择瓦- = r ，并且假设厦，磅，都已经被选了，并且让卑1 后面的扇取 忍) 中的r 的第个区间，使得 土i - 磁1 厂一r k _ _ lx 反( z ) ) 如l + e = c d 正如参考文献【1 】中所做的一样，经过计算，我们可以得到： 厶e x p ( k = l mx 反) 如鲴望m 怠i ， 下面只需证： n m u 尼i c lu 反| i = 1k = l 在选取岛时，我们不取冠，由选择定理( 4 ) ，我们有： 厶唧( 荟j - - 1x 或! 圳如 c o 倒 由于l 厶i 为递减序列，并且有l 1 ) l 23 ) l n ，因此，由( 6 ) 我们可得： de 印( x 反( z ) ) 如 c 0 i 忍1 ，风 一1 骨z p 上蝴甄e x p ( 荟j - 1 弛五或( 瑚比p 啦) 如如2 妣如 c o l r , l 甘乜鲍e x p ( k = l 孙五如( 啪) ) 驴啦) 如i l p i c 0 i 五i i 五i i 甄i i 曩n 一3 骨丘 ke x p ( j 脚- - 1x 反( z ) ) 如1 d x 2 d x 3 c o l i , l i j , i i k , i ， ( 7 ) 垤l ( n 一3 1 ，又注意到若k c o i 厶l i j , l i k , i ，( 8 ) 注意到k a ，五五c 磊五，结果使得x 反 ) 只依赖于x l ，x 2 将( 8 ) 式拆开，我们得到： i k l ；i ，e x p ( 胤瓶( 瑚如。志上地唧( 觚硝圳州妒c o 由此，我们得到对每一个被跳过的r 都包含在集合： 扛：尬【唧( 知x 瓦 ) ) 】( 七x 赢( z ) ) 】 c 0 ) ， 其中，尬是基 嘲，舌 0 】的极大函数是基 【s 】 s o 的极大函数 又由极大函数的性质，我们知道它们都是若( 1 ，1 ) 型的故( 6 ) 式的l e b e s g u e 测度是有界的，且 s 杀厶唧( ；x 反( 移) 如s c | u 丝t 或i ， 其中最后一个不等式可由( 5 ) 式得到，故由此我们可以得到： 酬纠酬 2 1 参考文献 【1 】1 c s r d o b aa m a x i m a lf u n c t i o n s ，c o v e r i n gl e m m a sa n df o u r i e rm u l t i p l i e r s ，p r o c s y m p o sp u r em a t h ，1 9 7 9 ，3 5 ：1 9 - 4 9 【2 】c s r d o b aa ，f e f f e r m a nr ag e m e t r i ep r o o fo ft h es t r o n gm a x i m a lt h e o r e m ， a n nm a t h ，1 9 7 5 ，1 0 2 ：9 5 - 1 0 0 【3 】c h e njc ，z h uxr an o t eo nt h es t r o n gm a x i m a lo p e r a t o ro n 舻，s t u d i a m a t h ，2 0 0 4 ，1 6 5 ：2 9 1 2 9 4 【4 】f e f f e r m a nr s t r o n gd i f f e r e n t i a t i o nw i t hr e s p e c tt om e a s u r e s ，a m e rjm a t h ， 1 9 8 1 1 0 3 ：3 3 - 4 0 【5 】f e f f e r m a nr ，p i p h e rj ac o v e r i n gl e m m a f o rr e c t a n g l e si n 舻，p r o ea i n e r m a t hs o c ，2 0 0 5 ，1 3 3 ：3 2 3 5 - 3 2 4 1 【6 】g u z m 缸m d i f f e r e n t i o no fi n t e g r a l si n 舻，l e c t u r en o t e si nm a t h ，4 8 1 ， b e r l i n ：s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 5 【7 】j e s s e nb ，m a r c i n k i e w i c zj , z y g m u n da n o t eo nt h ed i f f e r e n t i a b i l i t y o f m u l t i p l ei n t e g r a l s ，f u n dm a t h ，1 9 3 5 ，2 5 ：2 1 7 - 2 3 4 【8 】l o n grl ，s h e nzw an o t eo nac o v e r i n gl e m m ao fa c s r d o b