（基础数学专业论文）分数阶微分方程的变分迭代解法.pdf

摘要 变分迭代法是求解一些线性和非线性问题的有力- t 具 本文研究变分迭代法的基本思想及其收敛性，并利 j 变分迭代法求解一些分数阶 微分方程结果显示，这利- 方法f j 对分数阶微分方程是有效的和方便的 本文共分为四章 第一章介绍本文的研究背景和丰要t 作 第二章简要地阐述了分数阶微积分理论和变分学理论的基本知识阐述了r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分，r i e m a n n l i o u v i u e 分数阶微分以及c a p u t o 分数阶微分的定义 和基本的性质给出了变分的基本概念，以及变分学的基本引理 第三章介绍变分迭代法的基本思想及其收敛性，并用简单的例子加以检验给出 了变分迭代法的摹本思想，以及求解的一般迭代公式 第四章利j f j 变分迭代法求解分数阶微分方程，并用修正的变分迭代法解c a p u t o 意 义下的分数阶积分微分方程 关键i 司：r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶积分；r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分；c a p u t o 分 数阶微分；变分迭代法；收敛性；拉格朗日乘子 a b s t r a c t t h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ( v i m ) h a sb e e np r o v e dt ob eap o w e r f u lm a t h - e m a t i c a lt o o lf o rs o l v i n gv a r i o u st y p e so fl i n e a ra n dn o n l i n e a rp r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，t h eb a s i ci d e ao ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ( v i m ) i si n t r o - d u c e d ，a n di t sc o n v e r g e n c ei sp r o o f e d 。t h em e t h o di ss u c c e s s f u l l ya p p l i e dt os o l v i n g s o m ek i n d so ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e s u l t sr e v e a lt h a tt h em e t h o di s v e r ye f f e c t i v ea n dc o n v e n i e n tf o rs o l v i n gf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e rl 。w eb r i e f l yi n t r o d u c et h er e s e a r c hs t a t u so ft h i sp a p e ra n dt h em a i n w o r ko ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 , s o m eb a s i ct h e o r yo ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u sa n dt h et h e o r yo fv a r i a - t i o n a la r ei n t r o d u c e d w ce x p o u n dt h eb a s i cd e f i l f i t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u st h e o r y ： r i e m a n n l i o u v i l l ef r a c t i o n a li n t e g r a l s ；r i e m a n n l i o u v i u ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ； c a p u t of r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ；d i s c u s sb a s i co p e r a t i o nn a t u r e 。t h ed e f i n i t i o n sa n dt h e b a s i cl e m m a so fv a r i a t i o na r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 , w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a s i ci d e a so ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o da n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o di ss t u d i e d s o m ee x a m p l e sa r eu s e dt ot e s tt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o d 。t h eb a s i ci d e a so ft h ev a r i a t i o n a l i t e r a t i v em e t h o di ss h o w e d ，t h eg e n e r a l s o l v i n gi t e r a t i v ef o r m u l a sa r ec o n s t r u c t e d i nc h a p t e r4 , w eb r i e f l yi n v e s t i g a t es o m ea p p l i c a t i o no ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o di nf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em o d i f i e dv a r i 敬i o n a li t e r a t i o nm e t h o d i su s e dt os o l v i n gf a c t i o n a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：r i e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a li n t e g r a l s ；r i e m a n n l i o u v i l l e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ；c a p u t of r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ；v a r i a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o d ；c o n v e r g e n c e ；l a g r a n g em u l t i p l i e r 。 i l 符号说明 r全体实数组成的集合 r +全体正实数组成的集合 c i a d a 任意的实数 崩e m o 他n l i o u v i l l e 分数阶积分算子 威e m o 礼佗一眈d 仳u 讹e 分数阶微分算子 d a ,c a p u t o 分数阶微分算子 6 6 面 变分符号 限制变分 r ( q ) g a m m a 数 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名： 纱曼军 日期巾年f 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了勰学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密磁， ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 砂友等 日期：伽胯厂月7 日 僦名i 硒 磊t 年，月7 匿 碾淘 刚一口 1 1 本文的研究背景 第一章绪论 近年来，分数阶微移 分理论在金融，物理，生物，环境等领域得到了广泛的应j | j 例 如，松弛 1 1 ，随机扩散和波的传播 2 1 ，分子谱 3 】，控制和机器人学 4 】，随机游走 5 】，量 子力学6 1 ，粘弹性力学f 7 1 等 分数阶微秋分理论广泛的庇月j 和研究，加速了分数阶微秋分理论的发展陟9 】分 数阶微积分理论被誉为非线性科学发展的丰要标志之一 分数阶微分有很多不同的定义方式，常j f j 的有g r i 2 n w a l d l e t n i k o v 型分数阶微 分，r i e m a n n l i o u v i l l e 型分数阶微分，以及c a p u t o 型分数阶微分 鉴于分数阶微秋分理论的重要作 j ，发展求解分数阶微分方程的方法是一项重要 的t 作到几前为止，经过国内外专家学者的不断研究与探讨，分数阶微分方程问题的 研究已经取得了一系列成果涉及的分数阶微分方程有分数阶波动方程，分数阶微分 方程组，分数阶积分微分方程等等使川的手要方法有a d o m i a n 分解法 1 0 - 1 1 1 ，匹配 法f 1 2 】，分数算子逆法 1 3 】，t a y l o r 展开法【1 4 1 等 本文介绍利，有效的求解分数阶微分方程的方法：变分迭代法 1 9 9 9 年，何吉欢在广义拉氏乘子法的基础上提出了变分迭代法变分迭代法具有 可操作性强、计算少、收敛速度快、适j | j 范隔广等优点，被广泛的鹿j | j 于线性和非线 性的微分方程的求解f 1 5 3 5 1 在 1 5 1 何吉欢j h 变分迭代法的思想解时滞微分方程，在 1 8 a a h e m e d a ) l j 变分迭 代法解波动方程，在 1 9 m a a b d o u ) t j 变分迭代法解b u r g e r s 方程和b u r g e r 7 s 方程组， 在 2 0 s m o m a n i ) j 变分迭代法求解h e l m h o l t z 方程 在f 3 6 1 l 、m t a t a r i 对该方法的收敛性作了说明，在f 3 7 】f l , z m o d i b a t 对变分迭代的 收敛性作了进一步系统的研究；在f 3 8 4 0 1 l f l 把变分迭代法分别于a d o m i a n 分解法等进 行了对比，结果说明变分迭代法的收敛的收敛速度快于其他方法与此同时，为了提高 变分迭代法求解的收敛性，在 4 1 、4 3 】i ，对变分迭代法进行了修正修正后的变分迭代 法，收敛速度更快，结果更好 1 2本文的主要工作 本文主要做了以下工作： ( 1 ) 阐述了分数阶微积分理论 t f l o r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分，以及c 掣t o 分 数阶微分的定义及其运算性质，并给出虑j f j 举例介绍了变分学理论l | i 的有关概念，引 理和性质 ( 2 ) 全面地介绍了变分迭代法的基本思想及其收敛性，并j | j 具体的例子加以检验 1 ( 3 ) l l j 变分迭代法求解膨m 8 死血阮秽识8 意义下的分数阶微分方程，并用变分 迭代法求解c a p u t o 意义下的分数阶热方程 四钍( z ，y ，z ，t ) = ( x ，y ，咖跖+ g ( x ，y ，咖淞+ h ( x ，y ，z ) z ， 其 p o z a ，0 蓼 b ，0 z c ，0 o e 0 以及c a p u t o 意义下的分数阶波方程 d ? 钍( 鬈，y ，z ，t ) = y ( x ，爹，z ) + 萝( 名，y ，z ) 铭嚣+ 毳( z ，y ，z ) 珏2 ：， 其l 1 0 z o ，0 y b ，0 z c ，1 弘) ，使得f ( z ) = 扩 ( z ) ， 其d _ f l ( x ) gc o ，。】，粥称函数，( 茹) 属于空闲q ( r e 甬 称，( 舅) g ：当且仪当，( 他) c 0 ，n n 定义2 1 。2 ( r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶积分) 设函数f ( x ) q ，p - 1 ，僻0 ， 赠 吖( 茹) _ 志1 0 霪( z 叫酚1 仲减盘 。， i o f ( x ) = ，p ) ， 称为函数，渖) 的q 除r i e m a n n l i o u v i i l e 移1 分，其中f ( ) 是g a m m a 数。 ，o o r 拳7 e 吣护d x ， 0 满足以下递推关系 r ( 穗1 ) = 我f ( 盘) 。 若，( z ) c 么，p - 1 ，仅，霹0 ， 则： ( 王) i i t 9 f ( x ) 篇歹抖+ 参，( 茹) ( 2 ) i i o f ( x ) 一，声p ，( 鬈) 。 ( 3 ) ，a z a = 揣z 8 + a ，入 - 1 定义2 1 。3 ( r i e m a n n - l i o u v i u e 分数阶微分) 设函数，扛) 铉睁，。】上连续，铃一1 馥 赡。托n ，贝u 硝一南杀睁廿州巾皿 ， ( 2 1 ) 3 称为函数，扛) 的q 阶r i e m a n n l i o u v i u e 微分 从定义容易看出r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分算子是r i e m a n n i a o u v i l l e 分 数阶积分算子和髓阶微分算子的合成。 对于任何常数c ，有 扩帝焉肆嚣 定义2 1 a ( c a p u t o i 分数阶微分) 设函数f ( x ) q l ，魏一1 0 ， 则 刚卵哪掣一南小妒州产m 渺，( 2 2 ) 称为函数，( z ) 的n 阶c a p u t o 微分 对于任何常数c ，有 一般地， d c 慧0 跏a = 鲁等产a ，p n 十上 引理2 1 1 如果， ) 四，n 一1 o ( 2 4 ) k - - - o 麸公式( 2 2 ) ； | 看至t j r i e m a n n 一髓渊缎e 分数阶微分对任何常数酶导数不为零，这 与普通导数的物理意义不符因此，r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分的应川有一定局限 性 应用举例 1 8 3 2 年，l i o u v i l l e 最早筑j j 分数阶微秘分瑷论在势位问题方程，其后，a b e t 在1 8 8 1 年 廊j h 到等时降落线| 日j 题等近几十年，分数阶微秋分理论在科学与工程i f l 得到了更多的 应州。 例l ( 粘弹性力学模型) 由国体弹簧的嚣砒定律，及力与位移成正l 幺 ，一k o z ，一c o n s t 带有粘性的液体巾，力与速度成正比 歹= 凳木圣竞4 = c o a s t 4 于是弼下式作为粘弹性模型： f = k d n z ，( 2 5 ) 其q o o l 王，是囱物质属性决定的常数。 常见的粘弹性模型还有很多，如： 三参数广义v o i t 模型 玎( 考) 篁b o e ( t ) + b i d 盘 三参数广义m a x w e l l 模型 o ( t ) + a i d 口( 亡) 一b o c ( t ) 例2 ( 扩教波动方程) n i g m a t u l t i n 的一维扩散波动方程的一般形式为 研乱( z ，t ) 一可0 2 u ( x , t ) ，q r 十， ( 2 6 ) 其l f l o 可以是任意实数 特别地，当仅一1 时，上式是抛物型方程，经典的扩散方程，当n = 2 时是双曲型方 程，经典的波动方程， 例3 ( 电磁波传导) w e s t e r l u n d 给出了各向同性，奇次，有耗散介质巾，平面电磁 波传导的描述的一维方程 掣讹绚可pae(x,t)#oeo+ 掣乩 ( 2 7 ) 带枷咖可+ 节刈， ) 其中e 是电场，弘o ，g o ，x o 都是常数 2 2变分学基本理论 变分学历史上第一个闯题是牛顿提趱的，他研究了所谓“水捅瓣题 这个翊题是典 型的变分问题1 6 9 6 年，瑞士数学家贝努里提出了“最速降线问题”导致变分法的建立 这一节丰要简要介绍变分的基本概念，以及变分学基本引理 定义2 2 1 ( 泛函) 把具备某种性质麴丞数集合记佟p 对于集合d q t 任俺蘧数，( 。) ， 变量q 都有唯确定的值与它对应，那么变量q 叫做以赖于函数，( 搿) 的泛函， 记作 q 蔫q 【，( 茹) 】， 或 q = q 阴 定义2 2 2 ( 函数的变分) 对于泛函q 眵( z ) 】 分( z ) 是集合d q l 任何元素如果掣p ) 由蜘( 卫) 变 成皴( z ) ，对软和) 一洳( 。) 叫做p ) 在翰( 彩) 上鲍交分， 记作 艿挈篁软( z ) 蜘( 墨) ，( 2 。8 ) 5 艿称为变分符号。 定义2 2 3 ( 连续泛函) 对予泛函q b ( 。) 】，如果当函数爹( 。) 的变分妇充分小时，q 的 改变量可以任意小，那么就称泛函q 陋( z ) j 是连续的 定义2 2 4 ( 线性泛函) 如果泛函q 涪扛) 】与耖 ) 的关系是线性的，也就是说，q 满足 以下条件 1 ) q f ( 玢( z ) j e q 匆匆) j ， 2 ) q 陟t ( 。) + 钝( 。) 】= q 函l ( 茹) 】_ 卜q f 骤( 舅) 】， 器 j q c l y l ( z ) + c 2 y 2 ( z ) 】= c 1 q i + q q 娩( 2 疆对任意的常数q ，岛成立。 这时，称泛函q 防 ) 】为线性泛函。 定义2 2 。5 ( 泛函的变分) 对予泛滋q 匆( 茹m 给管( 嚣) 以如增量，则泛隧q 有增量 q q 陪( z ) + 5 y 】一q 眵( 髫) 】 如果q 可表为 q 一望治江) ，5 翻夸陪 ) ，鑫翻， ( 2 9 ) 其巾f 陆扛) ，5 鲥对如是线性泛函那么，? b ) ，艿胡称为泛函的变分，记作d q 显然可见，泛函q 阿( z ) 】的变分6 q 是q 的增量的”线性主要部分“。 定理2 2 1 如果泛函q 瞄( 茹) l 的交分喜q 一? 匿妇) ，艿翻存在，那么此变分等于函数妒( q ) 一 q 陵和) + a s y 的导函数在n = o 处的德( 爹z ) 及妇均固定) 。 定义2 2 6 ( 泛涵的极值) 如果泛函q 阿( 髫) 】在任何与珈( z ) 充分接近的曲线耖( z ) 上的 值均不大于q p 臻卵 a q q 治( 鬈) 】一q ( z ) 】0 ， ( 2 。1 0 ) 就说泛函q 函( z ) 】在曲线洳( 。) 上取强极大值 关于泛函q 凶( 嚣) 】在曲线珈( 茹) 上取强极小值，有类似定义。 号l 理2 2 1 如果函数爹= ，( 茹) 在a ，h i 土连续， 又 p ，( z ) 叩( ) 如= 0 j n 对任何其有如下性震的函数卵( z ) 成立，这些性质是： 圭) 露( z ) 在【拣，b 】上有连续导数； 2 ) 刁( 盘) = 露( 6 ) 一o ； 3 ) l ( z ) i ( 占魁任意给定的正数) ； 那么，函数歹扛) 在a ，h i 上恒等予零， 推广上面的引理，有 引理2 2 2 如果函数y = ，( z ) 在a ，6 】上连续， 又 p 7 ，( 。) 露( 茹) 如= 0 。 ，毪 对任何具有如下性质的函数豫( z ) 成立，这些性质是： 1 ) 叩( z ) 在【a ，h i 上有礼阶连续导数( n 为任何给定的正整数) ； 6 2 ) 印( a ) = 田( 6 ) = o ； 3 ) l ( z ) i e ( e 是任意给定的正数) ； 那么，函数厂( z ) 在 a ，b 】上恒等于零 定理2 。2 2 若泛函q 眵( z ) 】在秽= 爹( z ) 上达到极值，则往彭= 影( 。) 上变分占q 瞳( z ) 1 = 0 7 第三章变分迭代算法 何吉欢在i n o k u t i 的拉氏乘子法的基础上，利 j 变分原理，对拉氏乘子法进行了改 进，提出了变分迭代法 一个变分迭代法求解线性微分方程的例子： ( z ) + z = 0 ，0 z 1 ， 1 ) = 0 ( 3 1 ) 构造校正泛函： 帅刮z ) - 4 - ( z 吖掣a 。y , 4 t ) 圳亡) d t 0 ( 3 2 )鼽+ 1 p ) = ) a 百+ 玑( t ) + 亡 ( 3 2 ，l u 山一 j 其中，a 是拉格朗日乘子，蜘( z ) 是y ( z ) 的第钆次近似解 令上述校正泛函取驻值，并注意到6 玑( o ) = 0 ， 6 蜘+ z ( z ) = 6 如( z ) + 6 后a 鲁+ 蜘( ) + t ) 出 得到如下驻值条件： = 6 ( z ) + 入6 如( ) l ：墨一a g y = ( t ) l t ：z + 片( 入”+ a ) s y n d t = 0 a “( 芒) - 4 - a ( ) = 0 ， a ( ) l ：。= 0 ， i1 一a ，( s ) j 扛z = 0 解以上常微分方程，易得： a = s i n ( t z 1 把入= s i n ( t z ) 代入( 3 1 2 ) 式中，得到 脚刮卅x s i i l ( h ) 1 因此，z i 卜一般形式的迭代式 u n + l ( t ) = 铭n ( t ) + 踹( s t ) m - i 三扎n ( s ) 9 + n u n ( s ) 一，( s ) ) d s ( 3 8 ) 定义算子a u 和v k ( k = 0 ，1 ，2 ，) ，分别为： 伽】= z 。器( s 叫一1 s 姒s h ( s ) k 3 2变分迭代法的收敛性分析 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) m t a t a r i ，d e h g h a n ，z m o d i b a t 等数学家研究了变分迭代法的收敛性在这一 节，我们给变分迭代法的收敛的丰要结论及证明 定义3 2 1 ( 压缩映射) 称映射t ：( x ，p ) 斗( x ，p ) 是一个压缩映射，如果存在0 q 1 使得p ( t z ，t y ) a p ( x ，可) ( v z ，y x ) 定理3 2 1 ( j e 7 n 佗n c 不动点定理) 设( x ，p ) 是完备的度量空间，丁是( ) ( ，p ) 到其自身的 一个压缩映射，则丁在上存在唯一的不动点 证明：任取一点z o x ，作迭代序列： 冈为 从而对v p n ， x n + l = t x n ，( 礼= 0 ，l ，2 ，) p ( x n + 1 ，z n ) = p ( t z n ，t x n 一1 ) a p ( z n ，x n - 1 ) q n p ( x i ，o o ) p ( x n + p z n ) p 扛1p ( x 州，x n + t 一1 ) 篙p ( z o ) o0 由此可见 z n 】是一个摹本列，从而有极限 1 0 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 七 脚 i | u 从z n + 1 = t x n ，两边取极限( 冈丁连续) 得 即z + 是不动点，又) ( 完备，所以矿x 若z + ，都是不动点，则 证毕 定理3 2 2 设a 如上的定义，映射a ：日j 日，日是希尔伯特空问如果存在0 7 1 , 能 - i i a v o + 口1 + + 钉七十1 】l i y i i a v 0 + v l + + v k l l ，v k nu0 ，那么u ( ) = 墨o ( t ) 收敛 证明：取序列& n = 0 ，1 ，2 ，) ， l 煮 删 7 i | l l 7 n + 1 i l v o l l 从而对v n ，j n ，佗j ， l i s 一岛f | = | l ( r 一& 一1 ) + ( 一1 一& 一2 ) + + ( 岛+ 一岛) l i & 一& 一1 1 l - - i - - l i 晶一1 一& 一2 1 l + + i i 岛+ 一岛l 3 , n i l v o l i + ，y n 一1 i l v o l i + + ，+ 1 i l v o l i = 1 - 1 t n 1 - - ，j + ll l v o l l ， 又0 1 如 = l 【v j + n 【v o + t j l 十+ 吻】一h + v 1 + + 1 】 o l v j + l 一】= l v o 】+ n v o 】一夕( 亡) + l v l 】+ n v o 十v l 】n v o 】 + l v 2 】+ 十 0 1 + v 2 】一n v o y l 】 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) + l v 札】+ n v o 十秽1 + + 】一【移o + l 十十一1 】 1 2 故 喜l 卜+ 。一 ：l 喜 + 喜 一9 c t ， c 3 2 2 ， 卟。+ 一 = ll ；j + l - j 叫 2 2 ， 定理3 2 4 ( 误差估计) 假设川i ：o 魄( t ) 表示问题( 3 5 ) 解u ( ) 的近似，那么最大误 差弓( ) ，满足 e j ( t ) 五1 ，+ 1 恻| 证明：从定理3 2 2 ，及不等式( 3 1 6 ) 有 愉刮l 等 v o l l 舵歹 ( 3 2 3 ) 令no0 0 ，那么 鼠ou ( ) 又0 ，y 1 ，知 ( 1 7 n - j ) 1 ( 3 2 4 ) 从而 ( t ) 一壹v k i l 普7 j + i l l v o 忪击7 j + i l l v o l l ( 3 2 5 ) k = 0 证毕 从以上定理可以看出，迭代式( 3 9 ) 收敛的允要条件是存在o 7 1 ，对v k nu o ) ，使得 i l a i r o + v l + + 南+ 1 川 y l l a v o + 钉l + + v k l i 即 成立 记 那么 且 v k + i i i 圳i l 屈= 丽l i v e + i l l ，蚓i 。 0 反 l u ( t ) 壹吼i i 两1 + 1 l l v o i ， k = o ( 3 2 6 ) 有 卢= m a x z i ，i = 0 ，1 ， 例1 线性微分方程： 建立如下的迭代式 ，歹) 二：；二：薹? 。i 三：_ 芒1 ：j 二。s 一。，。珈+ + 讥】，。s ，+ 。如+ 得到线性问题的解为 而 v l = 一刍t 3 v 2 = i 。! t 5 一击t 7 钍( t ) = s i n ( t ) 巨一 1 因此，变分迭代法对线性问题收敛 例2 非线性的微分方程 建立如下的迭代式 二：三二气+ 1 ，。 。 1 ， + 吼 ( s ) ) d s ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ：j 二一。+ + 】，。s ，一p 。+ + 可惫】。s ，一1 ，幽 c 3 3 2 ， 1 4 有 而 v l2 t v 2 = 3 v 3 = 去5 + 志7 卢1 = = 0 3 3 3 3 3 3 尾= = 0 4 4 7 6 1 9 风= = 0 3 6 4 7 2 7 因此，变分迭代法对非线性问题收敛 1 5 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) + ， 卜l m +户 2 一坫 +护 1 一口u + = n 魄 | i 幻 为 似 解的题问性线 非到得 第四章应用举例 近年米，分数阶微分方程在物理，生物，电子，力学等领域得到广泛的的应j i j 发 展分数阶微分方程的计算方法是项重要的工作。变分迭代法作为种有效的求解整 数阶徽分方程嚣方法通过铡题，我稍将会看到变分迭代法同样是求解分数阶微分方程 的有效方法 例1 考虑非线性的r i e m a n n l i o u v i l l e 分数除微分方程瞄l l 掣十砒2 = o ， ( 4 - 1 ) 满足初始条件 u ( o ) = c ，( 4 2 ) 其中e 是常数 建立如下校萨泛函 乱n + 1 ( ) = 乜竹( 亡) + a ( 8 ) 乱二( s ) + d 缸：s ) 一2 云：( s ) ) 如， 其；争袁( s ) 楚限铡交分量 易知 a ( s ) = - 1 由变分迭代法，求解迭代公式为 晰= 姒牡z 。敞s ) + 。考咄旷2 镪i 池 取初始解u o 一戡( o ) = c ， 有 u o ( t ) = c ， 乱1 ( 亡) 一c 一警+ 2 c 2 t ， 钍2 0 ) = c 一专等+ ( c + 2 c 2 ) t 一簪十( 4 c 3 + 譬) 2 一丽3 2 c 3 t 萋避3 ，5 7 r 接下米，将应朋变分迭代法求解兰类c a p u t o 意义的分数阶微分方程，同时建立修 正的变分迭代法求熊分数阶麴积分微分方程。 1 6 前先，考虑c a p u t o 分数阶热方程 1 9 盘u = y ( x ，y ，名) 铭z z + g ( x ，y ，z ) 锃f 爹h ( x ，y ，名) 链：z ， 0 鬈 a ，0 y b ，0 z c ，0 q 0 ， 根据变分迭代法，建立如下的近似校正泛涵 u n + 1 ( x ，y ，z ，t ) = 钆n ( 删，名，t ) + 月t 邯) ( 万0 ( 砌而毒) ( 4 3 ) ，( 。，爹，。) 器蟊( 茹漱z ，善) 一g ( x ，y ，z ) 器厩( z 漱名，) ( 4 4 ) ( z ，姘) 稃0 2 ，“。n ( z ，舭，毒) - q ( z ，郴，必 其巾，m = 1 。 对上式，两边变分，并注意6 u n = 0 由m l ，得 因此，得到 5 u n + l ( z ，y ，z ，t ) 一( z ，可，z ) 十6 入( ) ( 器“( 茁，可，z ，荨) q ( x ，爹，名，莓) ) ， a 德) = - 1 z ( z ，舭，舌) = u n ( 删忍) 一片( d ? 钍n ( 刎矗) 一y ( x ，爹，z ) o 等u n ( x ，爹而毒) - g ( z ，y ，名) 簪( z ，琴南) 一九( z ，舭) 貉乱n ( z m 名，) - q ( z ，舭，) ) d 例2 维c a p u t o 分数阶热方程嘲 满足条件 d 拿钆= 丢z 2 “黼， 0 1 ，0 n 0 ， 也( o ，t ) 一0 ，越( 1 ，t ) = e t ，龆( 2 ，0 ) = 根据变分迭代法，有迭代式 如讪讹沪o ( 知汁尹1 暴姒玳) ) 必 ( 4 。5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 取初始解u o ( x ，t ) 一u ( z ，0 ) = 搿2 ，得 u o ( x ，t ) = 鬈2 ， u l ( x ，t ) 筝u o ( x ，t ) + x 2 t ， u 2 ( x ，) = 裁l p ，譬一百i x 2 翠t ( 2 两- a ) ， 铡3 二维c a p u t o 分数阶热方程渊 满足边界条件 初始条件 d 0 u = 钆黜+ 让耖材 0 篁，y 2 7 f ，0 貔 0 ， 锃( o ，y ，t ) = o ，钍( 2 贫，y ，t ) = 0 ， 戗( 髫，0 ，t ) = o , u ( y ，2 ”，t ) = 0 ， 根据变分迭代法，迭代式为 铭茹，y ，0 ) = s i n x s i n y u 竹+ ，( 。，t ) 一珏站( z ，亡) 一鬈( 嚣( z ，箩，f ) 一j ( 旷笋+ 。2 严) ) ， 取初始解u o ( x ，掣，t ) = u ( x ，y ，0 )一s i n x s i n y ，得 u o ( x ，爹，t ) = s i n x s i n y ， u i ( x ，箩，t ) ( 1 2 t ) s i n x s i n y ， 其次，考虑如下形式的c a p u t o 分数阶波方程 d ：珏一，( 。，y ，z ) 珏勰+ g ( z ，y ，名) 魄暂+ h ( x ，y ，名) 铭善：， 0 z a ，0 y b ，0 z c ，0 q 0 ( 4 9 ) 心王o ) ( 4 n ) 建立如下的近似校正泛函 + l ( 础，名，蝣一程礼。，舻，考) + 名天( 器锃珏( 础，。，莓) f ( x ，y ，z ) 貉磊( z ，可而毒) - g ( x , y , z ) 等碗( z ，y g ) ( 4 1 2 ) 一是( 。，舭) 器磊( 茁，即，毒) 一g ( 硼，z ，) ) 。 其中，m = 2 对上式，两边变分，并注意艿蟊= 0 5 u n + l ( z ，轳，z ，t ) 一5 u n ( z ，y ，名) 十6 片球) ( 器铭( z ，y ，z ，毒) q ( x ，y ，名，善) ) 嫩 ( 4 1 3 ) 由m = 2 ，得 入( ) = 善一t 因此，得到 钍竹+ i 缸，弘，z ，) = u n ( x , y ，z ，) + 惩一) ( d 窘t 扛，y ，名，专) 一( x ，y ，z ) 差珏缸( z mz ，毒) - g ( z ，y ，z ) 番( z ，蓼而毒) ( 4 1 4 ) 一庇( z ，可，名) 貉“n ( 茁，y ，z ，专) 一口( z ，可而毒) ) 例4 二维e 8 础t d 分数阶波方程【3 5 】 职锯一壶( 。2 十分2 铭删) ， 其中 0 o ，y 1 ，l 8 0 ， 满足边界条件 让( o ，y ，t ) = 0 ，u ( 1 ，y ，t ) = 4 c o s h t ， 锃( z ，0 ，t ) = 0 ，缸( z ，1 ，t ) = 4 s i n h t ， 初始条件 缸( 。，y ，0 ) = z 4 ，“t ( 。，秽，0 ) = 矿 根据变分迭代法，迭代式为 + l ( 。删y ) - - = u n ( x 州y ) + 菇悠一丢) ( 暴铭嚣，爹，舒 一壶( 可2 警+ z 2 帮) ) 1 9 取初始解铷( 鬈，y ，t ) = u ( x ，y ，0 ) = x 4 + y 4 t ，得 u o ( z ，y ，t ) 一z 毒+ y 4 t ， u l ( x ，y ，t ) 一u o ( x ，y ，t ) + 4 t 3 十；x 4 t 2 ， 最后，考虑c a p u t o 分数阶积分微分方程 磷缸一必，蛾o 。琊，就) 幽) ， ( 4 ) 其l 1 ，亿1 a 礼，( 扎) 建立修愿的迭代式 u n + l ( t ) = u n ( ) 十j n f ( ) ，( 4 1 6 ) 其中，f ( t ) = a d u n ( t ) 一，( ，钆n ，庇( s ，“竹) 幽) d t ，p 是脓e m a 他n l i o u 优z 2 e 积 分，a 楚拉格朗叠乘子 当0 穰 1 时， 入= 一1 当1 穗 2 时， 爻一1 一& 。 般地， 当他一1 仅 n 时， 入一壁堂杀拶 ( 4 1 7 ) m 一上) ! 对应的迭代公式分别为 u 竹+ l ( t ) = u n ( t ) 一，a f ) ，0 q 1 ， 坤1 0 ) = t ( ) 一( a 一1 ) i n f ( ) ，1 盘 2 ， + l ( 考) =祝再( 幻一生地杀拶p f ( 舌) ，牲一1 q n 。 倒5 考虑如下的分数阶积分微分方程 俨沁h 子t 2 e t m 牡嵩“z 。s 小 初始条件 y ( 0 1 = 0 其求解迭代式为 溆+ l ) 一y n ( t ) 一歹莰7 5 辨7 5 ( ) 一擘( ) 】 。 ( 4 王8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 。2 0 ) 其中 瓣炉丁_ t 2 e t 础) + 嵩十卜( s ) 如 取初始解珈( t ) = y ( o ) 一o ，得 秒1 ( t ) ：y o ( t ) 一i o 7 5 y o 7 5 ( ) 一= 竽珈( ) 一e tj ：s y o ( s ) d s ) 阮( t ) ：影1 0 ) 一i o 筠 爹2 7 5 0 ) 一笋爹l ) 一e 。s y t ( s ) d s 故得到问题的解为 y ( t ) _ l i m 。y o ( t ) = t 3 ， 这是方程的精确解 例6 考虑线性分数阶积分微分方程组 fd 拿可1 ) = 1 十艺+ 护一沈( ) 一片( 可1 ( 茹) 十y 2 ( x ) ) d x ， j( 4 2 1 ) id , y 2 ) = 一1 一t + 犰( t ) 一( 秒1 ( z ) 一2 ( z ) ) d z ，0 q 1 ， 初始条件 有 求解迭代方程组为 【沈( o ) = 1 ， = 一1 秒。，罪+ 。( t ) 一可