（理论物理专业论文）连续与离散反应扩散方程组的行波解及整体吸引子.pdf

内容摘要物理、化学和生物等领域中的许多模型都可9 i 结为反应扩散方程组螅初售问题或初边值问题。格微分方程( 离散的反应扩散方程) 在材料科学、图像处理、化学反应、生物学等学科领域中都有应用。行波解是涟续的反应扩散方程和格微分方程的一类很重要的解。偏微分方程空间变量离散后解的形态研究近期巴g l 起人们极大的兴趣，对相应离散模型的研究有助予数值计算和数值分析，并可以得到无穷维动力系统和相应的有限维离散模型的密切联系等等。本文研究了时滞反应扩散方程、时滞格微分方程( 组) 、扩散p r e d a t o r p r ! ，模型等系统行波解的存在性和f i t z h u g h n a g u m o 方程在不同边值条 譬下空阈离散或时空离散后解的渐近行为。f 对于时滞夏应扩散方程，我们先利用昊建宏和邹幸福瓯d y n a m d i f f e q n s2 0 0 1 ( 3 ) 1 中的主要定理来研究黠滞竞争扩散l o t k a v o l t c r r a 系统渡前解的存在性，给出了这个定理在非线性项灞足弱拟单调条件( q m + ) 时在系统情况中的应用；并利用单调迭代方法和上、下篇技术，对于具有部分零扩散系数的时滞反应扩散方程建立渡翦熊的存在性定理，对于具有部分零扩散系数的时滞反应扩散方程建立波前鳃的存在性定理从丽使吴建宏和邹幸福f j d y n a m d i f f e ( 1n 8 ，2 0 0 1 ( 3 ) j 的理论进一步完善。对于具有“弱拟单调”非线性项的时滞反应扩散系统( 包括正扩散系数和部分零扩散系数两种情况) ，我们利用s c h a u d e r 不动点定理，在适当构造的、赋予指数衰减范数的菜个子空间上证明了渡前解的存在性，使碍上解不必一定是单调的，不必一定满足左极限条件，且上、下解的部分分鼙可取成常数，从而在构造上、下鳃时要容易些，并将艨得的结论应用到带两个时滞的b e l o u s o v z h a l ) o t i n s k i i 模型上。对于部分解祸的时滞反应扩敬方程( 吴建宏和邹幸福阻d y n a m d i f f e q n s ，2 0 0 1 ( 3 ) j 的理论不能应用到该类模型上) ，我们根据其非线性项对变元妁不同单调性，； 8 蹋不阍的上、下解的定义，引入交叉迭代格式，翻用s e h a u d e r 不动点定理证明其行波解的存在性，解决了一类时滞获应扩散方程组的行波解的存在性问题对予时滞穆徽分方程，利闵s c h a u d e r 不动点定理证明了其波前解的存在性，减少了对上解的限制条件，给出了上、下解在有限个点不莲续时，行波鳃存在的条件；并将时滞反应扩散方程的结论推广剜相应的时滞格微分方程组上。对于反应项是h o l l i n g i i 型的扩散p r e d a t o ，一一p r e y 模型，我们在r 4 中利用打博士学位论文d o c l o i u ld i s s e r + l j l o n靶法，结合l a s n i i c 不变原理和l i a p u n o v 函数的方法，证明了扩散p r e d a t o r p r e y模型的行波解的存在性及小振幅行波链解的存在性。对于f i t z h u g h n a g m n o 方程，将其在d i r i c h l e t 和n e i i i n & i i l l 边值条件下空间或时空离散后，采用扰动的办法而非将相空间分解两个正交子空间的方法，证明了整体吸引子的存在性，给出了其与分割点无关的h a u s d o r f f 维数的上界估计；并将二个神经元细胞耦合f i t z h u g h n a g u m o 模型推广到n ( n 2 ) 神经元细胞耦合f i t z h u g h n a g u m o 模型，并讨论了广义耦合f i t z h u g h n a g u m o 方程解的渐近行为，给出了其整体吸引子的存在性和h a u s d o r f f 维数估计；最后对离散耦合f i t z h u g h n a g u m o 方程也作类似的讨论!关键词：行波解，拟单调条件，部分解耦，s c h a u d e r 不动点定理打靶法，l a s a l l e 不变原理，整体吸引子，h a u s d o r f f 维数a b s t r a c tt i l i sd i s s e r t a t i ( ) i li n v e s t i g a t e sb o t he x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sf o rd e l a y e dr e a c t i o nd i f f u s i o i ls y s t e u l sa n dl a t t i c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dg l o b a la t t r a c t o ro fs p a t i a l l yd i s c r e t i z e df i t z h u g h n a g l n n oe q l l a t , i o n sw i t l ld m c h l e to rn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s f o rd e l a y e dr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m s ，t h ee x i s t e u c co ft r a v e l i n gw a v e f r o n t si nd i f f u s i v ea n dc o o l t ) e r a t i v es y s t e n lw i t ht i n md e l a y si sp r o v i d e d ，f i l s t l y ；t i l em o n o t o n ei t e r a t i o ns c h e m e ，t o g e t l l e rw i t hu 1 ) 1 ) c l l o w e rs o h l t i o nt e c l m i q u e ，i sa p p l i e dt oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v e f l o n t so fd e l a y e dr e a c t i o nd i f l u s i o ns y s | i e t n sw i t hs o t n ez e r od i f f u s i v et o e f f i c i e n t s s e e -o n d l y ，s c h a u d e rf i x e dl m i n tt h e o r e n li sa p p l i e dt os o n t eo p e r a t o r st op r o v et h ee x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v es o h t t i o n si nap r o p e r l ys u b s e te q u i p p e dw i t he x p o n e n t i a ld e c a yl l o r t n ，w h i c l ! i so b t a i n e df r o n lai ) a i ro fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sf o rd e l a y e dr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m sw i t hn o n q u a s i u l o n o t o n i c i t y b o t hp o s i t i v ed i f f u s i v ec o e f f i c i e n t sa n ds o l n ez e r od i f f u s i v ec o e f f i c i e n tc a s e sa r ec o n s i d e r e df i n a l l y ，f o rp a r t i a ld e c o u p l i n gs y s t e m s ，s u c t la sc o m p e t i t i v e - c o o p e r a t i v em o d e lw i t ht i o md e l a ya n dd e l a y e de 1 ) i d e m i cm o d e l ，w ee m p l o yt h en e wc r o s s i t e r a t i o nm e t h o d ，t o g e t h e rw i t hs c h a u ( h u t i x e dp o i n tt h e o r e l n ，t oe s t a b l i s l lt i l ee x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v es o l u -t i o n s b o t hp a r l i a lq u a s i u l o u o t o n i c i t ya n dp a r t i a ln o n q u a s i n m n o t o n i c i t yc a s e sa r ec o n s i d e r e ds e p a r a t e l y s i m i l a ir e s u l t sa r eo b t a i n e df o rs o m ed e l a y e dl a t t i c ed i f f e r e n l , i a le q u a t i o n sa n ds y s t e m so fd e l a y e dl a t t i c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f o rd i f f u s i w + p 1 + e d a t o r - p r e ym o d e lw i t l m u tt i m ed e l a y ，s h o o t i n ga r g u m e n ti sa p p l i e d ，t o g e t h c rw i t hn n s t a l ) l em a n i f o l dt h e o r e ma n dl a s a l l e si n v a r i a n c ep r i n c i p l et op r o v et i me x i s t e n c eo ft r a v c l i n gw a v ( ! s o l u t i o n si nr 4 f o rs p a t i a l l yd i s c l e t i z e df i t z h u g h - n a g u m oe q u a t i o n sw i t l ld i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o no rn e u n l a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t i l ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o ra n di t sh a u s d o r f fd i m e n s i o n sa r ep r o v e ds e p a r a l ，e l y t h er e s u l ts l l o w st h a tt i l eu p p e rb o u n d e de s t i m a t ei si n d e p e n d e n to ft l l en u n l b e ro fs p a t i a l l y1 ) a r t i t i o n s i n l i l a rr e s u l t sa r eo b t a i n e dt o rs p a t i a l t e m p o r a ld i s c r e t i z e df i t z h u g l l - n a g m n oe q u a l i o n sa n dg e n e r a l i z e dc o u p l e df i t z h u g b - n a g u m oe q u a t i o n s k e y w o r d s ： 1 5 a v c l i n gw a v es o l u t i o nf i x e dp o i n tt b t ；n r m n ，s h o o t i n ga r g u l l t e n t ，h a u s d o r f fd i l l i e n s i o n ，q u a s i n l o n o t o l l o ，p a r t i a ld e c o u p l i n g ，s c b a u d e rl a s a l l e si n v a r a n c ep r i n c i p l e ，g l o b a la t t r a c t o r ，i l l博士学位淹文1 1 0 ( 7 1 0 r a ii ) j u a ( ) n第一章前言1 1本文研究的背景反应扩散方程：物理、化学和生物等领域中的许多模型都可归结为反应扩散方程组的初值问题或初边值问题，有关建立反应扩散方程组的建模思想，可参见f i f e 【2 7 1 、m u r r a y 【7 9 】和叶其孝、李正元( 1 2 0 】等反应扩散方程组有一类重要的解。就是形如u ( z ，t ) =u ( x 一十c t ) 的行波解。在实际应用中，行波解可以很好地表现自然界中的振荡现象以及扰动以有限速度传播现象( 见王明新【1 0 1 、叶其孝、李正元 1 2 0 】等) 例如在物理学e e ，行波解通常描述的是从一个平衡点到另一个平衡点的转移过程等，在传染病模型的研究中，行波解表示一种传染源以常数波速在空间的传播如果我们证明了该传染病以最小波速传播，那么在实际传染病的防治中，只要人们离开传染病源的速度比行波解的最小波速大一点，就不会被感染上该传染病，见【1 1 2 1 等在数学理论研究中，行波解可以揭示方程本身的许多重要性质，例如，它可以作为某个方程的稳态解，在偏微分方程初值问题解的行为分析中起着关键作用，参阅【8 9 】等因此行波解问题成为非线性偏微分方程的一个重要研究领域( 1 0 1 ， 1 2 0 ) 关于反应扩散方程行波解的主要研究方法有相平面技术、c o n l e y 指标及相关的方法，度理论、奇异扰动方法、打靶法结合稳定流形及不稳定流形定理、单调迭代及上、下解方法和挤压方法等关于相平面技术方法，参阅叶其孝、李正元【1 2 0 1 及其参考文献；关于c o n l e y 指标及相关的方法，参阅g a r d n e r 3 2 ，3 0 ，3 1 】等；关于度理论方法，参阅v o l p e l t 等 1 0 0 、吴建宏 1 0 5 】等；关于奇异扰动方法，参阅y u z oh o s o n o 4 4 ，4 5 ，吴雅平【1 0 9 ，1 1 0 及其参考文献等；关于打靶法，参阅d u n b a r 1 9 ，2 0 ，2 1 】，y u z oh o s o n o 等【4 6 ，4 7 及参考文献。关于上下解方法，参阅王明新【1 0 1 】等，关于用挤压方法讨论周期行波解的存在性和稳定性，参阅a l i k a k o s 等【1 、b a t e s 等f 4 、陈新富 1 4 】等关于反应扩散方程行波解的稳定性，参阅汤燕斌【9 7 】，吴雅平【i i 0 ，s l a i t h 和赵小强【9 3 l 等关于非线性扩散方程的行波解的结果，参阅h e r r r e r oe ta l 4 a 】，e n g l e r 2 3 】、a t k i n s o ne ta l l 3 、g r i n ( h o de ta l 3 7 等关于非局部影响的反应扩散系统的行波解，参阅g o u r l e y( 3 5 ，3 3 ，3 4 1 和阮士贵【8 8 及其参考文献等格动力系统：偏徽分方程是描述时空延伸演变过程的传统模型由于其研究很复杂，人们长期以来只能求简单的解并研究稳定性确定性系统的混沌现象出现后，导致很多人从偏徽中寻找奇怪吸引子或研究解的时空复杂性，但非常困难后转而研究吸引子的维数而非其中的解，但这也很困难与此同时，计算机模拟实验研究已逐渐成为研究复杂动力系统的有效工具，而这需要把动力系统按时间和空间进行离散化主要的方法有三种：1 ) 将时问变量离散化；2 ) 将空问变量离散化；3 ) 将时问和空间变量都离散化偏微分方程经2 ) 得到的常微分方程称为格微分方程，而经3 ) 得到的模型则称之为偶合映射格，二者都是格动力系统的特殊形式格动力系统的严格数学研究起始于b u n i m o v i c h 和s i n a i 的1 9 8 8 年的文章【1 1 ，现博士学位沧乏n ( ) 【? j ( ) i t 】【) l “tj ( i n在已是活跃的数学研究领域，模型涉及有离散n a g u m o 方程，离散c h a f e e i n f a n t e 问题，离散s i n e g d o n 方程，离散n l s 方程，半离散反应扩散方程，a l l e n c a h n 问题等，主要问题是研究离散发展系统的时空复杂性，如时空模式，行波解，同宿轨道，符号动力系统，空间混沌等，参见c h o we ta 1 【1 8 】、j m a l l e t p a r e t 【7 4 ，7 5 ，7 6 】、y l i 和d w m c l a u g h l i n 7 1 、y l i 和s w i g g i n s 7 2 】以及相关的参考文献等时滞反应扩散方程：有许多现象和证据说明时滞总是存在于现实生活中，参见h a l e和l u n e l 4 0 k u a n g 6 8 等等，因此应该将时滞引入我们所考虑的模型中关于时滞反应扩散方程组行波解的研究工作却很少( 参见吴建宏和邹幸福 1 0 7 ) ，s c h a a f 8 9 是先驱研究工作之一，他应用相平面技术、抛物型泛函微分方程的最大值原理和泛函微分方程的一般理论等方法，系统地研究了带单个离散时滞的数量反应扩散方程行波解的存在性和稳定性邹幸福和吴建宏【1 1 8 研究了含单个时滞和具有“拟单调性”的方程组，他们先将无界区域截断，再通过取极限等方法，建立了时滞反应扩散方程组波前解的存在性最近，吴建宏和邹幸福进一步研究了更为广泛的具有一般有限时滞的反应扩散方程组波前解的存在性其中反应项具有“拟单调性”和“弱拟单调性”两种情形都研究过所用的方法是单调迭代格式和上、下解技术【1 0 7 中的主要定理被应用到各种时滞系统中，如s g o u r l e y 【3 6 】，邹幸福 1 1 7 ，s o ，w u 和z o u 【9 4 以及s o 和z o uf 9 5 利用不动点定理证明行波解的存在性，参阅马世旺【7 3 ，l a n 和吴建宏【6 9 ，黄建华等 5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，6 0 等等拟单调条件和弱拟单调条件：吴建宏和邹幸福【1 0 7 】用单调迭代方法和上、下解技术建立了时滞反应扩散方程组波前解的存在性即考虑下面的系统a疗2鬲“( 。，t ) = d 豸i “( z ，t ) + ，( t “( z ) ) ，( 1 1 1 )其中f ：g ( 【_ r ，( ) 】) ，r “) _ r “满足下面的拟单调条件：( q m ) 存在一个矩阵p = d i a o ( f l l ，届。) ，岛0 ，i = 1 ，7 ，使得对于x = e ( 卜t ，o 】；r n )中的满足【) 妒( 。：) ( 一) 曲( 搿) ( s ) sk ，s 一r ，0 】的( z ) ，妒) ，都有，( 咖( z ) ) 一，( 妒( 。) ) + 卢( z ) ( o ) 一妒( z ) ( o ) 0或弱拟单调条件( q m + ) 存在一个矩阵卢= d i a g ( f l l ，岛。) ，觑0 ，i = 1 ，n ，使得对于x = g ( 一r ，o 】；r n )中的满足：( i ) 0 妒( z ) ( s ) s ( z ) ( s ) k ，s 一r ，o 】；( i i ) e 邱旧( z ) ( s ) 一妒( z ) ( s ) 】关于8 【_ r ，0 j 不减的咖( 。) ，妒( z ) ，都有下面不等式成立：，( ( 。) ) 一，( 妒( z ) ) + 卢【( z ) ( o ) 一妒( z ) ( o ) 】0其中t r + ，搿r ，t r ”，d = d i a g ( d l ，d , 1 ) ，d i o ，i = 1 ，n ；，：g ( 一r ，o 】) ，r n ) - r “是连续的对“( o ，k ) ，有，( o ) = 0 = ( k ) ，( u ) 0 对于任意固定的z r ，u t ( ：e ) g ( 【一r ，o 】，r ”) 定义为 “( z ) ( 口) = u ( t + 0 ，) ，0 一r ，o 】在后面所有章节，在不出现j 昆淆的情况下，我们忽略r ，并记毗( ：c ) = “c 但在构造上下解时比较困难2博士学位论文1 ) o c l o r a l l ) 1 吣i ：r i 】1 0 n弱拟单调条件( q m + ) 是吴建宏和邹幸福参考了s m i t h 和t h i r e m e 9 1 ，9 2 j 后用来研究一类具有较弱单调性的时滞反应扩散系统的行波解的s m i t h 和t h i r e m e 9 1 ，9 2 】在研究由非合作的泛函微分方程所定义的解半流性质时，应用这个条件得到强保序性质时所引进的非标准序关系参阅吴建宏和邹幸福 1 0 7 1 空间离散的反应扩散方程组的吸引子：偏微分方程空间变量离散后解的形态研究近期已引起人们极大的兴趣对相应离散模型的研究有助于数值计算和数值分析，并可以得到无穷维动力系统和相应的有限维离散模型的密切联系，例如在偏微分方程的长时间计算方面，连续模型和离散模型的整体吸引子的维数估计及误差分析，惯性流形的近似等等，参见e l l i o t t 等 2 2 】，郭柏灵 3 8 ，郭柏灵等【3 9 】、 6 4 ，y i ny a h 1 2 1 ，1 2 2 ，1 2 3 】、钱敏等【8 3 ，s l mz l m 等 1 0 2 ，黄建华、路钢 4 9 ，5 0 ，5 l ，5 2 ，5 3 等等1 2本文研究的问题弱拟单调的时滞反应扩散方程组：马世旺 7 3 】沿着 1 0 7 】的思路，但放弃了迭代的单调性实际上，他在适当选取的并赋以指数衰减范数的b a n a c h 空间c ( r ，r n ) 的予空间上，将s c h ；t u ( 1 e r 不动点定理应用到【1 0 7 1 中的算子上，证明波前解的存在性，该子空间是通过一对上、下解来构造出来的，而对该上、下解的限制要比【1 0 7 1 中的少，这就使得构造上、下解困难少一些例如上解并不一定要在p r o f i l e 集合中等等但f 7 3 1 仅仅只考虑了具有拟单调反应项的情况而实际应用中的许多模型都不满足( q m ) 条件，但满足( q m + ) 条件，例如两时滞的b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 模型( 见第三章) 部分零扩散系数的时滞反应扩散方程组：在生物、化学等中有许多模型的反应项虽然满足所谓的( q m ) 或( q m + ) 条件，但其部分扩散系数为零，例如( 1 22 )因此【1 0 7 和【7 3 】的主要结论不能直接应用到这些模型上去所以我们需要建立其行波解的存在性定理部分解耦的时滞反应扩散方程组：生物中的许多模型不满足所谓的( q m ) 或( q m + )条件，例如时滞传染病模型( 1 2 3 )其行波解在传染病的防治中很重要，而 1 0 7 】和 7 3 】的主要结论不能应用到这些模型上因此，我们需要建立这一类模型行波解的存在性定理这里有一个困难，由于行波解是在整个r 上定义的，而a s c o l i a r z e l a 引理实在有界区域上成立的，为了得到算子在某个子空间上的紧性，我们采用截断的办法，先在有界区间上应用a s c o l i a r z c l a 引理得到紧序列，再讨论紧序列的极限，利用s c h a “d c r 不动点定理的另一种形式的定理来克服这个困难3一翻00忙+ m蓑=| j差。zzt一翻0 一z )“一q 如i p 儿00n “w+ +幻幻e “驴砸护|；l：m 如=”d扛一一抻一，、【时滞格微分方程：研究最多的格微分方程是单个的空间离散f i s h e r 方程及n a g u m o方程，j ，”兰；= d ( x 。一l 一2 z , 。+ z 。+ 1 ) + ( x 。) ，n z ，( 1 2 4 )“6其中d 是一个正常数，是满足某些性质的l i p s c h i t z 连续函数，b e l l 和c o s n e r1 6 研究了当f 取成某些非线性函数时的长时间行为，b r i t t o n 【1 0 研究了其行波解，c h ie ta 1 【1 5 】研究了其行波解的数值计算，k e e n e r 6 7 】分析了的行波解的传播及停止h a n k e r s o n和z i n n e r 【4 1 1 ，k e e u e r ( 6 7 】，z i t m e r 【1 1 3 ，1 1 4 ，z i n n e re ta 1 【1 1 5 1 ，等系统而有深入地研究了的行波解的存在性和稳定性最近m a l l e t p a r e t 7 5 ，7 5 在很一般的动力系统框架下，研究了所有行波解集合的全局结构，并给出了其存在性，唯一性和单调性等，也可参阅c h o we ta 1 1 6 及其相关的参考文献邹幸福和吴建宏 1 1 8 】将时滞引入了离散n a g u m o 型方程( 1 2 4 ) ，并讨论了下面的时滞格微分方程 ：等= d ( u 。l ( ) 一2 u 。( t ) + 叭件1 ( ) ) + ，( “。( t ) ，“。一1 ( t - r ) ，u 。( t r ) ，t 。+ l ( t - - r ) ) ，n z ，( 1 2 5 )u b其中d 0 ，r 0 是常数，f ：r 4 _ r 是充分光滑的函数他们利用对称h o p f 分支理论来研究周期行波解的存在性和稳定性他们考虑了更一般的一类单个时滞格微分方程，并建立了波前解可慢振动空间周期行波解的存在性类似于前面提到的思想，我们将在保证波前解存在的前提下，减弱对上、下解的限制条件，使得在实际应用中构造上、下解时要容易些时滞格微分方程组：最近，人们开始研究由格微分方程组成的系统，r e n s h a w 8 7 1提出了一个空间种群动力系统i 产= d l ( t h + l 一2 t h 十“n 1 ) + f x ( t ，v n ) ， ( 1 2 6 )i 智= d 2 ( u n + i 一2 v n + ”n 一1 ) + f 2 ( u v n ) ，研究了器官形成的，i i l r i n g 模型，其中f l ( u 。， 。) = 。( r 1 一b l 。) ，2 ( “。，) = v n ( 一r 2 + b 2 u 。) ，见【8 7 】1p p 3 1 4 3 2 3 a n d e t s o i l 和s l e e m a n 2 】用比较方法研究了空间离散f i t z h u g h n a g u m o 方程行波解的存在性和传播停止现象n e k o r k i n 。a 1 i s o l 研究了两个耦合f i t z h u g h n a g u t l t o 链的系统，可参阅e r n e u x 和n i c o l i s 2 6 1 关于时滞格微分方程的行波解，邹幸福和吴建宏 1 1 8 最近发展了一个迭代格式，应用上、下解方法来证明时滞格微分方程波前解的存在性，其中“拟单调”和“弱拟单调”两种情形都研究过这种技术也被邹幸福【1 1 6 用来讨论高维空间中的时滞格微分方程波前解的存在性h s ue ta l 6 2 】将 1 0 7 】中关于拟单调”情形的结论推广到含有超前型、滞后型和混合型的数量泛函微分方程在内的更一般的方程上翁佩萱和吴建宏 1 0 4 】讨论了一类分布时滞的神经网络波前解的存在性但他们只讨论了非线性项关于时滞项是拟单调的情形这种技术也被翁佩萱、黄华雄和吴建宏 1 0 3 成功地应用到具有全局相互作用的时滞格微分方程上，该系统是从具有年龄结构的种群模型中推导来的，参见黄建华等( 5 5 ，g l 】等等4由于【1 1 8 1 中对于上、下解的要求较多，实际应用中构造上、下解较困难，尤其是对于时滞格微分方程组的行波解的存在性，我们需要放宽对上、下解的要求限制，使得构造上、下解较容易些带扩散项的食饵捕食系统的行波解：对于p r e d a t 0 7 一p r e y 系统行波解的存在性研究的人很多，例如d u u b a r 【1 9 ，2 0 ，2 1 ，g a r d l m r 【3 0 ，3 l 】，m i s c h a i s k o w 和h u t s o n 【7 8 1 ，m u r r a y 7 9 ，v o l l ) e l l “a 1 f 1 0 0 以及相应的参考文献，d u n b a r 1 9 ，2 0 ，2 1 得到的行波解不必是单调的，但对于某些参数值，在波前解的右边的极限附近，可能是阻尼振荡的需要提到【2 0 在彤空问中研究l o t k a v o l t e r r a 系统行波解的存在性，应用打靶法，结合l d a p u n o v 函数和l a s a l l e 不变原理对于扩散具有h o l l i n g i i 型的功能反应的捕食食饵模型卜= d m 一“叫卜曼：b 惫，( 1 2 7 )【w t = d 2 w 。z c w + d 本氍。的行波解结论较少，【2 1 考虑的是当d l = 0 时的情况，所对应的行波方程是r 3 中的系统，当d l 0 和d 2 0 时，所对应的行波方程是r 4 中的系统，而的几何要比彤中的复杂的多空间离散f i t z h u g h n a g u m o 的整体吸引子：对于f i t z h u g h n a g u m o 方程在d i r i c h l e t 边值条件及n c u m a n n 边值条件下空间离散及时空离散后解的性态，以及广义f i t z h u g h 一叩，方程的渐近行为的结论较少对于在n e u m a n n 边值条件下离散后的相应矩阵有零特征值的问题，我们采用扰动的办法，而不利用将特征空间进行投影或分解的办法来解决回答了离散后的系统的渐近性态与离散点的关系，给数值分析提供一些依据1 - 3 本文的安排在第二章中我们先讨论满足( q m + ) 条件的时滞扩散合作l o t k a v o l t e r r a 系统的波前解，再利用单调迭代方法和上、下解技术建立具有部分零扩散系数的时滞反应扩散方程组波前解的存在性定理在第三章中我们讨论时滞反应扩散方程组波前解的存在性先用s c h a u d e r 不动点定理在适当的空问上建立满足( q m + ) 条件的时滞反应扩散方程组波前解的存在性定理，放宽对上、下解的要求限制，使得在实际应用中较以前容易些，并将所得的结论应用到带两个时滞的b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 模型上对于具有部分零扩散系数的时滞反应扩散方程组，也用这套方法讨论满足( q m + ) 条件的时滞反应扩散系统波前解的存在性第四章讨论邵分解耦的时滞反应扩散方程的行波解针对反应项的不同单调性，引进交叉迭代格式，利用s c h a u d c ，不动点定理建立其行波解的存在性，并将所得结论应用到时滞竞争合作系统上5博士学位沧文d o ( j o l k a l1 ) i 坫1 1 tj l i ( 1 n在第五章和第六章中我们讨论时滞格微分方程( 组) 的行波解先用s c h a u d e r 不动点定理讨论时滞格徽分方程的波前解，将上、下解的限制条件减弱为具有有限个不连续的弱上、下解，后将第三章和第四章的方法用到时滞格微分方程组上，建立其行波解或波前解的存在性定理第七章讨论带扩散项的食饵一捕食系统的行波解应用打靶法，结合l i a p u n o v 函数法和l a s a l l c 不变原理，在r 4 中讨论反应项是h o u i n g i i 型功能反应的p r e d a t o r p r e y系统的行波解和小振幅行波链解的存在性第八章讨论f i t z h u g h n a g u m o 方程在d i r i c h l e t 和n e u m a n n 边值条件下空间或时空离散后解的渐近行为，证明了整体吸引子的存在性，给出了其与分割点无关的h a u s d 0 7 f l 维数的上界估计；对广义耦合f i t z h u g h n a g u m o 方程解的渐近行为及离散耦合f i t z h a g h n a g u m o 方程也作类似的讨论6博士学位论文n ) ( ( ) i t li ) i s s i i i ( ia ( 1 n第二章时滞反应扩散方程组波前解的存在性2 1引言无时滞反应扩散方程组行波解的研究是很广泛的和系统的，见g a r d n e r 3 2 】，f i f e 【2 7 ，b r i t t o n 【1 0 ，m u r r a y 【7 9 ，v o l p e r te ta l 1 0 0 】等等但关于时滞反应扩散方程组行波解的研究工作却很少，s c h a a f 【8 9 是先驱研究工作之一，他应用相平面技术、抛物型泛函微分方程的最大值原理和泛函微分方程的一般理论等方法，系统地研究了带单个离散时滞的数量反应扩散方程行波解的存在性和稳定性邹幸福和吴建宏【1 1 8 】研究了含单个时滞和具有“拟单调性”的方程组，他们先将无界区域截断，再通过取极限等方法，建立了时滞反应扩散方程组波前解的存在性最近，吴建宏和邹幸福【1 0 7 1 进一步研究了更为广泛的具有一般有限时滞的反应扩散方程组波前解的存在性，其中反应项具有“拟单调性”和“弱拟单调性”两种情形都研究过所用的方法是单调迭代格式和上、下解技术【1 0 7 l 中的主要定理被应用到各种时滞系统中，如s g o u r l e y 【3 6 ，s o ，w u 和z o u 【9 4 】以及s o 和z o u 【9 5 其都是数量“弱拟单调性”时滞反应扩散方程，或“拟单调性”时滞的反应扩散方程组，而“弱拟单调性”时滞反应扩散方程组的应用却很少本章将在第二节给出一个在方程组上的应用在很多生物模型中，有些模型的非线性项满足上面所提到的“拟单调性”或“弱拟单调性”条件，但其部分扩散系数为零因此吴建宏和邹幸福【1 0 7 1 中的主要定理不能直接应用到这些模型上，我们将在第三节利用单调迭代方法和上、下解技术，建立这一类系统波前解的存在性定理2 2时滞竞争扩散l o t k a - v o l t e r r a 系统的波前解众所周知f i s h e r k p p 方程掣= 。掣抑( 州) 1 - a u 驯( 2 2 1 )存在波速为c 2 d r 的波前解，而且c + = 2 d r 是最小波速见f i s h e r 2 8 ，k o h n o g o n o ve ta l 6 6 】，f i f e 【2 7 和m u r r a y 7 9 】关于这个结论的证明，可以充分利用系统( 2 2 1 ) 是数量方程，其相应的行波方程是一个二阶常微分方程，这样就可应用相平面技术来讨论之尽管系统( 2 2 1 ) 最初由f i s h e r 2 8 提出用于在无穷多个一维动物栖息地上的优良基因的增长发展模型，该模型是自然选择和随机空间迁移的过程这个方程也用来描述具有l o g i s t i c 增长规律和空间扩散的单种群的动力系统模型人们可将( 2 21 ) 作为基本模型，引入种群问的相互作用，就得到所谓的l o t k a - v o l t e r r a 型的扩散模型其中种群间的相互作用既可以是竞争的，也可以是合作的竞争扩散系统波前解的存在性已经由t a n g 和f i f e 9 6 】( 两种群情形) 和v a nv u u r e n 9 9 】( 一般n 种群情形) 研究过，他们的主要结论是，耦合竞争系统存在波前解，且其波速大于未耦合的各个数量反应扩散系统的波前解的最7博士学位论文d o c t o r a ld i s s e rj li o n小波速的最大值为了进一步研究这些关系，考虑下面的竞争系统( 2 2 2 )其中所有的参数都是非负常数由 9 6 1 和【9 9 】可知，当且仅当c 2 m a 】( 两瓦，万而)时( 2 , 2 2 ) 存在波速为c 的波前解一个很自然的问题是，对于合作系统( 2 2 3 )是否也有类似于竞争系统那样的性质? 这节我们将回答这些问题实际上，我们将时滞引入系统( 2 1 3 ) ，考虑下面的时滞合作扩散系统：( 2 2 4 )其中r t 0 ，“t 0 ，b i 0 ，i = 1 ，2 ，丁j 0 ，j = 1 ，2 ，3 ，4 将时滞引入该模型的意义和理由可见h a l e 和l u n t f l 4 0 ，k u a n g 6 8 以及i r a 5 等注意到在t a t t g 和f i f e 9 6 和v a l l v u u r e n 9 9 的证明过程e e ，系统的竞争性质起着重要作用，因此他们的方法不能，如果可能，至少不能直接应用到合作系统( 2 2 3 ) ，先不考虑( 2 2 4 ) 是无穷维的，我们需要找一个合适的方法来解决这个问题也就是说，我们将应用由吴建宏和邹幸福最近发展的方法【1 0 7 】来解决这类系统 - 3b l2 沁20 时，( 2 2 4 ) 被约化为两个独立的时滞l o g i s t i c 型数量方程：掣= d 1 0 z u ( 矿z , t ) 蜘( 删l 。( 州叫j ( 2 2 5 )由f 1 0 7 】可知，对每一个c 2 瓜，都存在一个 0 ，使得当rs 时，方程( 2 25 )有波速为c 的波前解用同样的方法，g o u r l e y 3 6 j 研究了扩散时滞方程：掣= 。掣t ，( 高筹高) ，z 并得到了类似的结论易知( 2 2 5 ) 是上述方程的特例并且该方程被用作d 印 ，。缸。口n 。种群增长模型，见s l n i t h 9 0 和o o u r l e y a 6 ，我们将发现。应用这个技术可将上述结论推广到合作系统( 2 2 4 ) 中去注意到这种方法最近被s o 和邹 9 5 应用到时滞扩散n i c h 0 1 s 0 1 。8q扛啦叫一一扛忙m幻n您学掣学掣p掣警学学哟q一一q扛抛冰+一1nk啦刚以扛扛虮地掣学研巩掣学苍蝇模型，被吴建宏和邹幸福【1 0 7 以及马世旺【7 3 应用到时滞b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 反应模型上考虑下面的时滞反应扩散系统：掣= d 掣+ ，( u 出) )2 7 )其中t 0 ，f 矗，“r ”，d = d i a g ( d ，风) 且d i 0 ，i = 1 ，f ：e ( 卜f ，o j ；r “) _ +r “) 是连续的，m ( r ) 是函数空间g ( 【一t ，o ；r “) _ r “) 的元素，由? “( 搿) ( s ) = u ( t + s ，茁) ，s 【一t ，o ，t 0 ，z r给出其值系统( 2 , 2 7 ) 的行波解是形如“( ，z ) = 咖( z + c t ) 的解，其中咖c “，r “) ，c 0 是称之为波速的常数将u ( t ，。) = 妒( z + c t ) 代入( 2 27 ) ，并仍记z + c t 为t ，则我们得到d 庐”( t ) 一c ( ) + f c ( 妒t ) = 0 ，t r( 2 2 8 )其中，( ：噩= c ( i c ( j 】；r “) _ r “定义为 ( 妒) = f ( g j 。) ，妒。( s ) = 1 ，f i ( c s ) ，s 【r ，0 1 如果对某些c 0 ( 2 2 8 ) 有定义在r 上且满足1 i m 一。妒( t ) = 一，题鉴毋( t ) = t t + ( 2 2 9 )的单调解( 各个分量单调) ，则称u ( ，z ) = 扛+ c t ) 为系统( 2 2 7 ) 的波速为c 的波前解不失一般性，假设”一= 0 ，t q = k ，我们将寻找连接这两个平衡点的波前解为此，我们假设非线性项放宽了的拟单调条件( q m + ) 这里以及后面邵分中的r “中的不等式总是对应于r “中标准的分量偏序我们将在下面的p r o f i l e 集合：卜k 啪蠹接下来定义系统( 2 2 7 ) 的上、下解定义2 2 1称一个连续函数西：r _ r 2 为偿2 纠的一个上解，- i o 果声和西，在r 上几乎处处存在，它们在r 上本征有界且满足下面的不等式：d 西”( t ) 一c 函( t ) + ，c ( 矗) 0 ，o 以mr f 2 2 1 0 )偿纠的下解可用类似的方法定义，只需特上面不等式的符号反号即可9一一娑愀涎博士学位论文d o c i o r ld i s s e r 1 1 a 1i o n现在我们引用吴建宏和邹幸福 1 0 7 1 中的定理4 5 + ：定理2 2 1假设r q 胪，成立，f ( o ) = f ( k ) = 0 且0 1 一m i n 卢i d i ；i = 1 ，n ) ，即俾2 训有波速为c 1 一m i n 屈d 。；i