（基础数学专业论文）耦合非线性schrodinger方程的达布变换及孤子解.pdf

摘要 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，是非线性科学发展的一个 重要方向，在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论，量子论等领域有着广泛 的应用，并且它蕴藏了一系列的寻找非线性偏微分方程准确解的方法其中的达布变换就 是一种十分有效的方法，它从孤子方程的一个平凡解出发能够求出一系列精确解 本文第一部分介绍达布变换和达布阵的基本理论，以此为基础构造与3 3 谱问题相 联系的耦合非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的达布变换 第二部分利用达布变换的基本理论，我们考虑与3 3 l a x 对 圣。= ，垂， 圣= v 垂， 其中 西= ( i ；) ，u = ( j 1ij ， v = 卜妥批_ 擎篡? “1 = ；札l z 2 + ；1 。 u 2 + ；“1 t 2 1 u 2 i = 2 z ，一；l 1 一；“l 地u 2 ， q = 一 w 1 。+ ；“2 + ；t 1 2 2 = w 2 。一；u l ；一；岘睨屹 的达布变换 第三部分以“= “2 一”，= “。= o 作为种子解，利用此达布变换得到耦合非线性 s c l ”6 d i n g ”方程的多孤子解讨论了= 1 时的简单情况，并选择适当参数做出了精确 解的图像 关键词：谱问题；孤立子；达布变换；达布阵；精确解 a b s t r a c t t h es o l i t o t h e o r yi sa ni m p o r t a n cb r a n c ho f 印p l i e dm a t h 锄a t i 璐a n dm a t h e m a t i c a lp h y 8 i c s ， a n da ni m p o r t a n tp 盯t0 ft h en 叽h n e 盯s d e r l c e i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n 8i n 丑u i dm e c h a n i 。8 ， n o n l i n e a ro p t i c 8 ，c l a s s i c a la n dq u 疵u i n 矗e l d st h e o r i e se t c i t l so n e t h em o s ta c t i v e 缸 j n8 c i e n c et h e r ea r em a n ym e t h o d 8t oo b t a i ne x p l i c i ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i 骶r e n t i a l e q u a t i o n si nt h es o l i t o nt h e o r 矿a m o n gt h ev a r i o u sa p p r o a c h e s ，t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n i sa v e r yp o w e r f u lt 0 0 1 ，i tc a n 矗n de x p l i c ts o l u t i o i l 8o f8 0 1 i t o ne q u a t i o n sf l o mat r i v i a ls e e d i nt h i 8p a p e r ，w eu s et h ed a r b o u xt r a n 8 f 。r m a t i o nf o rg e n e r a t i n gt h ee x p l i c i ts o l u t i o n so ft h e f r ( 1 + 1 ) - d l m e n s i o n a l s o u t o ne q u a t i o i l sa n ds e v e r a l i n t e r e s t i n g 矗g u r e so ft h es o l i t o n i a ns o l u t i o n s a r ep l o t t e d t h e r ea r et h r e es e c t i o n si nt h ep 印e r t h e6 r s ts e c t i o nl sa ni n t m d u c t i o na b o u tt h eh i s t o r y o ft h es o l i t o nt h e o r ya n dt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n i 乞h es e c o ds e c t i o n ，w ea p p l yt ot h eb a s i cd 舢b o u xt r a i l s f b r m a t i o n st h e o r ya i l dc o n s i d e r t l l ea l a xp a i r s 中z = u 垂， 圣+ = v 西、 w h e r e f 中，f 一2 a 。蚍 垂= l ：ij矿= l ： ： ：j f 2 a 2 一 ( ，秽。十。w 1 ) 一a ”。十 ”。z 忙【二渊篡。掌2 w h i c hc o r r e s p o n dt ot l ec o u p l en o n l i n e a rs c l l r 6 d i i l g e re q u a t i o n s a 毗+ ；2 z n lz 2 u 1 = 一；札l z z + ；“ 2 + ；1 2 1 锄一；z 一；“! u 1 一；“l “2 1 t = 一；u i z + ；“2 w + ；m l 2 恸= ；。一；“1 ；一；u 2 1 j 2 、 w ec o n s t r u c tt h ed a r b o u xt r a n 8 f o r m a t i o 札o ft h e m i nt h et h r e es e c t i o n ，w eg e t 行o m 1 = “2 = 1 = 剞2 = ot h es o u t o ns o l u t i o n so ft h ec o u p l e n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s e s p i c a lw eo b t a i nt h ee x p h c i ts o l u t i o n so ft h ec o u p l en o n l l n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n 8i n = 1a n d8 e v e r a li n t e r e s t i n g6 9 u r e 80 ft h es o l i t o ns 0 1 u t i o n sa r ep l o t t e d k e yw o r d s ：s p e c t r a lp r o b l e m ；s o l i t o n ；d 村b o u xt r a n s f o r m a t j o n ；d 缸b o u xm a t r i x ；e x p l i c i t s o l u t i o n 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃抄袭等违反学 术道德学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果， 特此郑重声明 学位论文作者：i 苹豸) 2 0 0 6 年4 月2 0 日 一引言 随着科学的发展，人们发现在客观世界占统治地位的是非线性现象，因而人们对非 线性科学研究投入了极大的热情孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它反映了一 类非常稳定的自然现象如江河中某一类水波，光纤中光信号的传播，等离子体中的磁流体 流动波等在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论和量子场论等诸多学科中 孤立子理论都起着重要的作用 人们在对非线性科学的研究中提出了孤子的概念，一般说，任何空间中传播的扰动， 都称为波在传播中不改变形状，大小和方向的波称为孤波两个孤波经过相互作用仍不 改变形状，大小和方向，成为孤立子( 简称孤波) 孤立波具有非常奇特的性质，它们在相 互作用时保持稳定的波形，这颇类似于粒子的性质，即它同时具有粒子和波的许多性质 它反映了非线性科学中一类较为稳定的现象早在1 8 3 4 年，英国科学家s o t t m s s e l 就发 现了孤子水波，随着近代数学与物理的发展，近几十年来，人们在流体等离子体，非线性 光学，生物神经传播等一系列领域中，都观察到孤立子孤立子理论已成为非线性科学的 一个重要研究领域，它引起人们极大的兴趣 孤立子理论的兴起，对求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了新的内容有 着十分重要的意义孤子理论已成为研究非线性方程的主要手段之一孤立子理论在流体 力学、等离子体物理、非线性光学、经典场论、量子场论、化学、通讯、生命科学等诸多 学科都有重要应用，是一门涉及多学科、多领域的研究领域研究手段和方法在数学上涉 及有经典分析和泛函分析、微分方程和动力系统、l i e 群、l i e 代数和无穷维代数、微分 几何、拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支数十年来，孤 立子理论一直受到国际上数学界和物理学界的充分重视，研究工作十分活跃，每年都有大 量的科研论文出现于专业期刊以及相关方面的专著出版 在大学数学物理方程中，主要讨论的是线性偏微分方程( 多数是常系数的) 用变量 分离法求解这些方程的精确解的时候，通常要导出所谓的特征值问题( 也称谱问题) 十 分有趣的是，通常描述孤子的方程，也与谱问题有关在孤子理论中，通常将带时间变量 及一维空间变量x 的孤子方程称为“1 十1 维的方程”，它可从对空间x 与时间t 的联立 谱问题中导出 设 垂。= 矿西， 西t = y 垂， 这里垂是z 和t 的n 维向量函数，以y 是n n 矩阵，其元素中包含有谱参数及以z ，t 为 自变量的m 维向量函数u ( z ，f ) 及各阶导数为了使上述两个方程同时有解，垂必须满足 相容条件 西z = 西h 由此，得 “一k + f y 】= o ， 矿，v j = u y y 矿 这个方程在微分几何中称为零曲率方程 适当选取y 可以导出许多孤子方程， 矿= 0 0 如 o 0 1 一a 2 + 口 + r i + t a 2 一i 口a i r o y 乜 1 2 本文研究孤立子方程的达布变换方法，通过研究与3 3 谱问题相对应的耦合非线性 s c h r 甜i n g e r 方程的达布变换，求出方程的精确解 达布变换方法是构造非线性方程显式解的十分有效的方法之一1 8 8 2 年，g d a r b o u x 【l l 研究了薛定鄂( s c h r 6 d i n g e r ) 方程 一咖。一 ( z ) = a 咖， ( 1 1 ) ( 其中u ( x ) 是给定的函数，称为位势函数， 是常数，称为谱参数) 他发现若设u ( z ) ，妒( z ，a ) 是满足( 1 1 ) 的两个函数，对任意给定的常数a = a 1 ，令，( z ) = 妒( 。，a 1 ) ，若定义如下函 数，妒7 = + 2 ( 1 礼，) 。，妒( z ，a ) = 妒。( 。，a ) + 盯妒( z ，a ) ， ( 1 2 ) 其中一= 一并搿。则“7 ，妒7 也满足s c h r 6 d i n g e r 方程，即 一以。一u ( z ) 妒= a 妒7 ( 1 3 ) 这个借助于，( z ) = 西( z ，a 1 ) 所做的变换( 1 2 ) 将满足( 1 1 ) 的一组函数( 咖) 变化为满足同 一方程的另一组函数( t t ，) ，这就是最原始的达布变换 ( “，) + ( 札7 ，7 )( 1 4 ) 在_ 厂o 处它是有效的 1 8 8 5 年，荷兰著名数学家k o r t e 、v e g 和他的学生d e i e s 研究了浅水波运动，在长波 近似和小振幅的假定下，建立了单向运动的浅水波运动方程：即著名的k d v 方程上个 世纪6 0 年代，人们发现k d v 方程和上述s c h r 6 d i 、g e r 方程有着密切的联系具体说来， k d v 方程 “t + 6 u + 札湘：。= o( 1 5 ) 是关于咖的线性方程组 一曲f z 一2 咖= a 妒 f 1 6 1 = 一4 妒。一6 “九一3 u z 妒 ( 或称为k d v 方程的l h 对) 的可积条件，这时“，均为z ，t 的函数 进一步的研究还发现达布变换( 1 2 ) 也适用于k d v 方程，这个变换中的函数还依赖 于t ，它不但保持( 1 5 ) 中的第一式的形式不变，而且还满足( 1 5 ) 的第二式因而t z 7 满 3 足( 1 4 ) 的可积条件即“也是k d v 方程的解这样，如果已知k d v 方程的一个解“，通 过解线性方程组( 1 5 ) 得到西( z ，t ，a ) 取 的一个值a o 得到，( z ，t ) = ( z ，t ，a o ) ，然后利用 ( 1 2 ) 就获得k d v 方程的一个新解“，( 1 2 ) 中的则为相应的l “对的解这就为k d v 方程的求解提供了非常好的方法为了从k d v 方程的一个已知解得到它的新解，现在只 需要解线性方程组( 1 5 ) 求出，然后通过显式运算( 1 2 ) 就可以得到k d v 方程的大量特 解不但如此，这个变换还可以继续进行下去，从而得到一系列( “7 ，) ( “，) ( u 7 ，7 ) + ( “”，) + 这样就把s c h r c j d i n g e r 方程的达布变换推广为k d v 方程的达布变换它的基本思路是：利 用非线性方程的一个解及其l u 对的解，用代数运算及微分运算来得出非线性方程的新 解和l “对相应的解 达布变换在孤子理论中起着非常重要的作用 1 9 而达布阵的出现在达布变换理论的 发展过程中占有举足轻重的作用，因为此方法具有很大的普适性便于推广到其他大量的 非线性偏微分方程 达布阵方法起源于z a k h a r o v 和s h a b a t 的穿衣服方法f 17 1 后来m a t v e e v 和s a l l e ， n e u g e b a u e r 和m e i n e l 分别发展并完善了达布阵方法 1 8 ，1 1 达布阵方法的主要结论如下 【1 8 ，2 6 卜 考察如下的偏微分方程 f ( ，“。，“，t 。，) = o ，( 1 7 ) 它是由如下l a x 方程的相容条件产生 吼= 9 ( a ) 西 西= ( a ) 垂 其中g ( a ) ， ( a ) s f ( 2 ) 是参数a 的n 次多项式矩阵 相应于参数a ，a z 的两个已知的解向量，p ( a ) = f 1 8 1 假设咖l 和西2 是上述特征多项式方程 e + 舅，由下面代数系统确定 j p ( a 1 ) 12 ( a 1 e + p 0 ) 西1 = o ， p ( a 2 ) 2 = ( a 2 e + p 0 ) 驴2 = o 4 若变换 西+ 垂7 = p ( a ) 垂， g ( a ) _ + ( a ) = ( p ( a ) 9 ( a ) 十只( a ) ) p 一1 ( a ) ， ( 1 1 0 ) ( a ) ， ( a ) = ( p ( a ) ( a ) + 只( a ) ) p 一1 ( a ) ， 满足 ( i ) 9 ( a ) ， 7 ( a ) s f ( 2 ) ，( 其中位势函数u ，) ， ( i i ) 9 7 ( a ) ， 7 ( a ) 分别与9 ( a ) ， ( a ) 具有相同的结构 男么圣，g ( a ) ，h 7 ( a ) 满足 圣：= 9 ，( a ) 西， r 1 1 1 、 叫= 7 ( a ) 垂 上述方程的相容条件也可以得到方程( 1 6 ) ，因此产生了偏微分方程( 1 6 ) 的一个新解u 方程( 1 9 ) 称为达布阵变换，其中p ( a ) 称为达布阵 达布变换满足可换定理，迭代次达布变换( 19 ) ( 相应参数a 1 ，a 2 ) 可以产生 次达布变换 垂，垂( ) = p ( a ) 垂， 9 ( a ) ，g ( ) ( a ) = ( p ( a ) 9 ( a ) + 只( a ) ) p 一1 ( a ) ， ( 11 2 ) ( a )一 ( ) ( a ) 一( p ( a ) ( a ) + r ( a ) ) p 一1 ( a ) ， 其中达布阵为 p ( a ) = a ”+ p ， ( 1 1 3 ) 0 = 0 它是由下列代数系统决定 p ( ) 咖= 0 ，i = 1 ，2 ( 11 4 ) 利用次达布阵可以产生偏微分方程的多孤子解 另外，我们可以直接作n 次达布变换，当n 取不同值时，利用纯代数方法直接给出 孤子方程的多孤子解 达布阵方法的优点足只须作一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可只用代数运 算来得到非线性孤立子方程的新解它的关键是寻找一种保持相应的l a x 对不变的规范 变换，在这方面已发展很多技巧并用于求解多种方程如a k n s 方程族，d a v e y s t e w a r t s o n 方程，自对偶y a n g m i l l s 流，e i n s t e i n m a 。( w e u 方程 2 5 ，1 8 ，2 8 ，2 3 ，2 6 等等 本文直接构造出了耦合非线性s c h 硒d i n g e r 方程的n 次达布变换，给出了方程的多孤 子解 二达布变换 我们考虑下列谱问题 其中u 具有下列形式 和相应的辅谱问题 其中v 具有下列形式 垂。= 矿圣，圣= ( 差 f 一2 a 2 “2 u = l ， ao l i aj 面= y 垂 籼。 ；警麓 ， 舻+ 1 2 1 地l ， 1 砚一a 2 十 “2 1 其中啦，忱，”l 和”2 是位势， 是常参数+ 相容条件垂。产圣“产生了零曲率方程 阢一k + u ，y = o 通过直接计算，( 23 ) 转化为耦合非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 1 = 一 “1 z 。+ ；1 l i 吨+ ；1 札2 l 2 = t 1 2 。一“； 1 一；“1 札2 2 口1 t = 一；们。+ ；“2 u i 十1 1 2 = 。一；u l ”；一；u 2 掣2 ( 2 1 ) f 22 1 下面考虑谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的达布变换首先引入谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的规范变换 垂= t 垂 b f 2 3 1 f 24 1 f 2 5 1 其中t 由下式确定 进而l “对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 转化为 瓦+ 丁( ，= u t 丑+ t y = v t 圣。= 矿圣 垂，= y 垂 谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题 假定 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 28 ) ( 2 ，9 ) f ，a + 笺。舻笠1 。钳 隹1 。 。舻 卜i 笔嚷” + 警如”留如舻 f ( z ，。) l 誉嚷a e譬。如妒+ 兰1 。袅舻j 其中，n 各( z ，j = 1 ，2 ，3 ，o 一1 ) 是z 和的函数 设 妒( ) 一( 妒1 ( ) ，妒2 ( a j ) ，妒3 ( ) ) 丁， ( a ，) = ( 砂l ( ) ，砂2 ( 如) ，如( ) ) 丁， x ( a ，) = ( x 1 ( a j ) ，x 2 ( a ，) ，x 3 ( a j ) ) 丁， 是( 2 1 ) 的三个基本解，通过( 2 5 ) 知，存在常数1 ”1 ；2 满足 l 噩l 妒1 + 丑2 妒2 + 五3 妒3 + 7 ；1 ( n 1 奶+ 玛2 忱+ n 3 砂： ) 十一2 ( 噩1 x l 十五2 ) ( 2 + 咒3 x 3 ) ：o ， 码1 n + 为2 妒2 + 死3 妒3 + 0 1 ( 噩l 妒1 + 死2 妒2 十乃3 1 】 1 3 ) + 0 2 ( 乃l x l + 乃2 ) ( 2 + 噩3 x 3 ) ；o ， 【码1 妒1 + 码2 妒2 + 3 妒3 + 7 ；1 ( 码1 幽+ 乃2 妒2 + 死3 母3 ) 十7 5 2 ( 死l x l + 码2 x 2 + 3 x 3 ) ：o ， f 2 1 1 1 近一步，( 2 1 1 ) 可以写成线性系统 7 0 0 o = = = 3 3 3正疋玛 呼呼呼 + + + 2 2 2乃疋珏 出，出，矾， + + + 五赴马 ，lii_，、_j_【 即 博三撩綦 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 当常数t ”，_ 2 和( k ，谁0 “，j ，i = 1 ，2 ) 适当选择时，( 21 2 ) 的系数非零 所以。( i ，j = 1 ，2 ，3 ，o 茎墨一1 ) 由线性系统( 2 1 2 ) 唯一确定 矩阵( 2 1 1 ) 表明是a 的3 次多项式且 d e t t ( ) = 噩l ( ) 乃2 ( ) 死3 ( ) + 噩2 ( ) 3 ( ) 五1 ( ) + 噩1 ( ) 乃2 ( ) 噩3 ( ) 一五3 ( ) 乃z ( 如) 乃( ) 一蜀。( ) 如( ) 马3 ( b ) 一正，( ) 死3 ( ) 死2 ( ) 另一方面，由( 2 1 2 ) 可知 五1 ( ) 乃2 ( ) 乃3 ( ) + 矸2 ( ) 马3 ( ) 码1 ( a ，) + 死1 ( ) 马。( ) 乃3 ( ) = 乃3 ( ) 死2 ( ) 乃1 ( ) + 乃2 ( ) 乃1 ( ) 码3 ( ) 十乃1 ( ) 乃3 ( ) 乃2 ( ) ， 所以 3 _ d e t 丁( ) = p ( a 一) j = 1 这表明( 1 冬j 茎3 ) 是d e t ( a ) 的根( 其中，c 与a 无关) 为 f 2 1 4 1 命题1 ：由式子瓦+ t 矿= 驴丁确定的矩阵驴与矩阵u 具有相同形式，即驴可以表示 一2 a 面2面2 口：l 。l l 面， oa j 8 “ k 卜 砖毋磅 。畦巍 馨誉曾 门吁碍一， + + n 糟蝴妒 前畦 + 譬措邑饼 ， 佃垮肛脚 认吐，吐， 砖+ + 譬脚钟错 垮譬脚譬脚 下列变换 面1 = “1 3 n 袋一1 ， 面22 “2 + 3 哲1 ， 哪! 口1 = 1 3 ， 、。 i 2 = u 2 + 3 0 墨， c 耳+ t u ，丁+ = ( 墨 ；蚕兰i ；三i 兰i l 三； ， c 。e ， 砖= u ，一”。( n ；”) 2 一u 。弓”n p + 3 a j 砖， n 舞= ”，一“。( 砖2 ) 2 一”。弓”“；2 1 十3 凸；”， p ( a ) 有以下形式 ( 瓦+ 丁u ) t + = ( d e t ) p ( ) 硝；( a ) + p f ? p f ： 趔? 竣( a ) + p ? 馊 其中础( ，j = l ，2 ，3 ，f = o ，1 ) 与a 无关，所以方程等价于 疋+ t 矿= 尸( ) t 磁 f 2 1 8 1 r 2 1 9 1 础础卅喘 嗡 比较等试( 2 1 9 ) 中 “+ 1 和a 的系数，可以得到 一2 ，p f ? ：o ， u 2 + 3 口- 1 = 0 2 u 2 + 3 。_ 1 = 豇2 u 1 3 n 茹= l o ，噬= o ， 1 3 n 器= 。1 驴= 寸 若妒( ) ，妒( ) 和x ( b ) 也同时满足( 2 2 ) ，采用与命题1 类似的方法，我们可以证明 在变换( 2 5 ) 和( 2 1 5 ) 共同作用下，由( 2 7 ) 式确定的矿与y 有相同的形式零曲率方程 示为 一；面1 。+ ；i 而+ ；i l i 2 i 1 ， i 2 。一；面l 口1 一；面1 i 2 啦， 一 面，。+ ；面者+ ；面，口，百。， ( 2 _ 2 1 ) ；口2 。z 一；i 1 谚一 奶i 2 i 2 命题2 ：由式子丑+ t y = 旷丁确定的矩阵矿与矩阵y 具有相同的形式，即矿可以表 肚r 鬟撕_ 誉篡) 1 冽 v2 l a 豇1 一扣1 。 一a 2 + i l i 2 面1 i 2 l ， ( 2 2 2 ) 一a 百l 一 面l 。 订【面2一a 2 + ；面2 百t 帮凹礤凹凹搿 ，_l_j_，、_j_f_l 在同一达布变换( 2 5 ) 和( 2 1 5 ) 作用下，原来的位势函数u 1 ，u 2 ， 1 和u 2 映射为新位势面l ，i 2 i l 和仍 证明：设t 一1 = ( d e t t ) 一1 t 且 c b + t y ，t 4 = ( 兰j ；i 篓 兰 ( 2 2 3 ) 易验证9 s l ( s ，f ：1 ，2 ，3 ) 是( 3 + 2 ) ，( 3 + 1 ) 或( 3 ) 次多项式当a = 时，利用( 2 2 ) 和 ( 2 1 2 ) ，可以得到 n = 一u 。一；u ，。+ u 2 ”。n ；u + u u 。毋一3 a ；。；”+ ( “1 ”2 + “2 w 1 ) 。；” + ( ”2 一 ”2 ，) ( 1 ) 2 一( a j u 2 一 u 2 。) a 5 ”a 罗， n ；：= 一”，一；”。+ ；”，”。西1 + “z 吨n 5 一3 碍n ；2 + 5 ( “”。十“。w ，) n 5 2 一( “。一 锄) ( 弓2 ) 2 一( ”2 一 ) n 弘黟 ( 2 2 4 ) 丑，。= 一面：乃z 一砖1 乃。t 一砖；n 。一n ；2 五。c ， 乃，。= 一n 乃。一n ；1 乃z z 一正。一弓2 乃3 c ， 死1 。= 一“乃2 一弓1 码2 c 一乃3 一。；2 码3 。， 1 j 3 j v 通过e 述关系，直接计算可以知道a ，是蚴( s ，k1 ，2 ，3 ) 的根，进而( 2 2 3 ) 可以写成 q ( a ) 有以下形式 0 ( a ) ( 正+ 丁y ) t + - = ( d e t t ) q ( a ) g 鼽a ) 2 + q 肌a ) + g i ： q 鼽a ) + q 簧 西m ) + q 劣 q ；( a ) + q i ： 羽( a ) z + 簏( a ) + 趔： q 墨 其中p ? ( ，j = 1 ，2 ，3 ，f o ，1 ，2 ) 与a 无关 所以方程( 2 2 5 ) 等价于 咒+ t u = q ( a ) t 1 1 ( 2 2 5 1 f 2 2 6 、 、， 纵 蚴 蛐 、， 0 3巧 b ， b 毋蠼 u 3 一 q u 毋 比较( 2 2 6 ) 中a “+ 2 ，“和的系数，司以得到 g i ；= 2 ，q 罂= 蟊= 一1 ，q l j = q 5 = 以 = o ，以j = 一面， 口l = 一面2 ，口i = 一吗， 目5 ：= 一i 1 ，口i ：= 一 ( 面1 。2 + 面2 。1 ) ， 趔= 面l 而，g 磐= 面1 面2 ，q 墨= 口1 i 2 ，掣= 面2 i 1 另一方面，利用命题l ，比较方程( 2 1 9 ) 中。的系数，有 一3 0 _ 2 + i 2 0 岔1 + i 2 0 _ 1 一u 2 n - 1 = n 麓1 ， 3 n 袋。2 + i ，n 甜u 1 。岔1 地。岔1 2 。褂 蚴1 3 n 分2 + 面2 n 岔1 十i 2 0 墨一1 一u 2 n 箍一1 = n 盘1 ， 3 n 茄一2 + 口l n 器一1 一1 n 茹一1 一w l n 岔1 = n 袋；1 利用上述关系通过计算，可以得到 g 墨 g 劣 g 罾= ；， 鑫) = 一扣。 鞲厕_ ：引皿 a 砒一 i 1 。一a 2 + ；1 啦 i 1 日2l ( 2 2 8 ) a 雷1 一；百1 。；订1 订2一a 2 + ；面2 面1 证毕 根据命题1 和命题2 ，达布变换( 25 ) 和( 21 5 ) 将l 一对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 映为相同形式的 l a x 对( 2 8 ) 和( 29 ) ，并且两个l a x 对通过相容条件都可以得到相同形式的孤子方( 24 ) 我 们也称( 壬，“) 一( 毒，面) 是孤子方程( 2 4 ) 的达布变换 综上所述，有下面定理成立 定理1 ：孤子方程( 2 4 ) 的一个解“= ( u - ，抛，”。) 在达布变换( 25 ) 和( 2 1 5 ) 作用下， 映射为另一个解i = ( 面1 ，面2 ，i 1 ，i 2 ) ，其中。墨，o 磊，n _ 1 和n 墨一1 有线性系统( 21 2 ) 确定 1 2 z 珏扣 1 3 一 得 轳 即 2 i， 踮 一 偿 矿 和 砷江 比 对 三精确解 利用上面给定的达布变换我们可以得到孤子方程( 2 4 ) 一系列的精确解以平凡解 ”1 = u 2 = ”1 = 啦= o 作为种子解，代入l 扣( 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中，可以得到( 2 1 ) 和 ( 2 2 ) 的基本解选取三个基本解为 妒c a ，= ( 8 2 1 i 2 2 ，母c - ，= ( e a z j 2 t ，x = ( 。 。 弓1 ，：；i ；：；：e 。 ，z 。 ；t + 巧1 ) ， 砖2 叫2 e ”净 e 一2 2 崎。 e 3 巾一3 弦砖2 其中j ”一e 旷七2 ) = e 垆 由线性系统( 2 1 2 ) ，利用克莱姆法则求解，得 其中 1 a 1 l a 2 1 a 3 。墨= 譬 n 蔼= 譬 n 墨= 譬 n 磊= 譬 a ，一1n ；1 n ( 1 a l a 一1n 笋。 2 a 多一1。p 。 3 1 a y l 弓”弓” n 1 a f 1n 1 2 )n p a ， n a 一1n n a 。 。r a 一1n 乎n 乎a 。 n 黔，。1 弓2 n 黔， n m ， n 字a n 乎a 乎a ，_ 1 ( 3 1 ) f 3 2 1 ( 3 3 ) ( 34 ) a 茄1 。嚣n 瓣a 。嚣a 茄1 。珏n 景a 。n 累a 茄1 1 2 = 1 3 2 1 1 1 1 a 2 1 a 3 a f 一1n ( 1 o 。 a ，一1n ，n 1 1 a 2 r 一1o n a 3 a ，nc 2 )n 【2 a ， a n 乎n 孑1 a 。 a rn 乎o 乎a 。 1 - a ，_ 1 血；”弓d - 一a ，毋n ；2 a ， n p a f 一1 o 铲a 一1 o 孑a ，一1 弓2 垮- 1 1 a 。a 苗1n 嚣n 嚣a 。- 一a 知。翳。象a 。v n 翳a 茄1 1 a 1 1 a 2 1 a 3 a ，一1n ；1 ) n m 。 a ，一1n p 。5 1 a 。 a r 一1n p n a 3 。；1 a f 一1。( 2 n ( 2 a l n a 一1a 铲n 字a 2 n a 争一1 n 乎n 孑a 3 a ， a x g l 掣_ 10 ；”n ；”。；”a ，_ 1n ；2 n 5 2 一a ， 1 a 。v a 茄1n 韶。霈a s v n ；： a 茄1n 嚣“翳a 。 1 a 1 1 a 2 1h 。j l 】a f ，n i l ) 。卧， n p 酵n 1 1 )n a 。 n a n n a 。 1 a ， 一砖1 a ， n 【1 a ，一1“i 2 )n 铲a 。 n ? a 一1n 乎n 字a 。 。 a 多1n 乎n 孑a 。 n 黔罗 n 宁a r n 5 2 ) a n 孑a n 灿，一1 n 茹a 黏。辫n 珏a 。w “茹a 茄1n 霈n 象a 。wn 染a 茄1 1 4 3 1 1 a 1 l a 2 1 a 3 ；2 a ，n ；1 )n i l a ， o 字a n 5 1 )o ，a 2 n 乎a rn 1n a 。 1 一毋a ， n p a ，一1n p n ( 2 a 。 。a 一1o 字o 字a 2 n 5 1 a ，一1。孑n 孑a 。 n 产a ， o 乎a ， n 孑a r 。灿，2 n 黔，砖2 磅。1 l a 。一n 翳a 知n 擗n 茹a 。- v n 瓣a 筘1 。染。霈a 。- n 嚣a 茄1 从而利用达布变换( 2 1 5 ) 得到方程( 1 4 ) 的非平凡解 面1 【】- 一3 n 茹_ i 2 = 3 0 - 1 ， i 1 】= 一3 n 器- 1 i 2 【 = 3 n 琶 我们考虑上述达布变换的结果在n l 时的简单情况 1 2 2 1 n m ， 。p a 2 通过直接计算，我们可以得到 = 一a 1 一a 2 一a 3 n 1 1 ) 。1 1 ) n 5 1 ) n i 2 n 字 “孑 n p n 乎 “乎 n ( 1 。 “ 1 3 n ；2 ) n 乎 。孑 o ；1 ) n n p a 1 a 2 a 3 。，n 1 ) n ；2 n 字a 。n p n 字 。乎a 3。 n 乎 i 1 】一3 譬2 两赢甄嚣磅磊咏 砚 1 3 譬2 两忑甄忑i 氅瓦f 甄 1 5 ( 3 5 ) 面。 1 】_ 3 警：熊兰塑业兰善坠苎竺纽 口。 1 】_ 3 譬：业兰堡业竺盐塑= 竺 其中 盯1 = e p 2 ( a 2 一a 3 ) ，盯2 = e 鹾2 ( a 3 一a 1 ) ，盯3 = p 2 ( a 1 一a 2 ) ， 6 1 = e 卢i 1 ( a 3 一 2 ) ，如：e 琏1 ( a 1 一a 3 ) ，d 3 ：e 鹾1 1 ( a 2 一a 1 ) ， h ：e 趣n 十西”一e 砖1 + 磋”， 2 ：e 磋1 十p ”一e 口i 1 + 硝”，b ：e p 1 十口5 2 e 硝1 + p i ”， e 1 = a 1 e 口( e 口1 2 + 店“一e 口；1 + 越2 ) 十如扩：1 ( e p i l + 口5 ”一e 口5 1 + 8 i 2 ) + a 3 e 以1 ( e p ：2 + 口 “一e p l l l + 口；2 ) c 毛= a l e p j 2 ( e 成2 + 鹚“一e 口；1 + 蜉) 十a 2 e 或2 ( e p i l + 或”一e 口5 1 + p ：2 ) 十b e 口p ( e 碰2 + 口p e p j l + 2 ) = e 3 ( 1 1 + 1 2 净一3 ( i + 1 ) 。( e 卢 1 + 卢笋一e 以1 + 卢 2 1 ) + e 3 ( a l + h n 一3 ( ；+ ；) 2 ( e 趣1 + 口i 甜一e 口；1 + 趣2 1 ) + 泸( 2 + 3 净一3 ( ；+ ；) ( e 琏1 + 蟹一e 成1 1 十芦字) 我们选择适当参数可以得到下列的孤子图： a l = o 0 1 ，a 2 = o 【) 2 ，a 3 = 一o 0 3 ， 羔 多。 f 姆1 “1 ， o 8 ，所= 25 ，趣= 一1 8 ，趣一13 ，硝一一o 5 ，鹾= 3 5 a 1 = o 0 1 ，a 2 = o 0 2 ，a 3 = 一o 0 3 ，卢 a 1 = o 0 0 2 ，a 2 = o 0 0 2 ，a 3 6 0 聃- 2 0 2 04 。7 旷 二k0 5 一o 一o 1 5 沁 0 2 0 2 5 f i 9 2 虮， o8 ，所= 2 5 ，鹾= 一1 8 ，壤= 1 3 ，腭= 一o5 ，壤= 35 t = 0 1 ”恐 2 0 04 0 。6 0 0 1 9 ” 一。2v 。3 。4 。5 0 0 0 6 f i 9 3 t 2 2 ， o 0 0 3 ，口 = 一o 6 ，群一23 3 ，腭= 一14 ，腭= 15 ，腭= 一3 壤= 2 8 t = 0 1 a 0 0 3 5 p 0 0 3 o 0 0 2 5 。b 。z o o 沁5 o 0 0 。o 。0 5 f 9 4 2 a l = 一o 0 0 2 ，a 2 = 一o0 0 2 ，a 3 = o 0 0 2 ，研= 2 3 2 ，所= 一o 6 ，趔= 1 5 ，壤= 一14 ，廊= 28 ，鹾= 3 参考文献 1 】s p n 0 v i k o v ，s v m a n a b v ，l p p i t a e v s k i i ，a n dv e z a k h a r o v ，e o r y0 f s 0 正o 珊， 五em 憎r s es c 缸t e r 抽gm e 拙。凼，c o n s m t a n t sb u r e 8 u ，n e wy o r k ，1 9 8 4 【2 】g n e u g e b a u e ra n d d k r a m e r ，e i n s t e i n _ m a x w e l ls o l i t o n s ，j p h 归a ：m a t h f 3 】m j a b l o w i t za 1 1 dh s e g u r ，s o “o n sa n dt 血e 抽v 8 硌es c a t t e d n gt h n s f o r m ，s i a m ， p h i l a d e l p h i a ，1 9 8 1 g e n 1 6 ( 1 9 2 7 1 9 3 6 ) ，1 9 8 3 4 】e d b e l o k o l o s ，a i b o b e n k o ，v z e n o l s k i i ，a r i t sa n dv b m a t v e e v ，a 培曲r o - g e o h 把m ca p p r o a c ht 0n o m i n e a r1 1 1 t e g r a b k 5 c h g u ，e t c ，s o n o 刀t e o i ya j 】dj e sa p p n c a t j o n ，z h e j i a l l gp u b l i s h i n gh o u s eo fs c i e n c e 龇l d i b c h n 0 1 0 9 y ) h a i l g z h o uc h i n a ，1 9 9 0 6 m j a b l o w i t z ，p a ，c 1 甜k s o n ，s o n 0 n s ，i 】o n 抽e a re v d j u j o ne q u a t j 0 刀sa n d 工n v b r s es c a t t 蒯n 岛c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ， 7 x b h u ，o 玎五e a rs u p e r p 耐t j 叩，0 彻u j a t ef o r 抽e 击脆r e n t j 削_ d j 艉r e n c e 彻a j o g u eo f 幽e k d v e q u a j o 门a j 】d w d 一( 打m e n s j o n a jt b d ae q u a t j o n ，j p h y sa ：m a t h g e l l 2 7 ( 1 9 9 4 ) ： 2 0 1 c a m b r i d g e ，1 9 9 1 8 y m a t s u n o ，助n n 黜n 龇】s 硒埘a j