东华大学数学建模试题 样卷及解答要点.pdf

东华大学数学建模试题(样卷及解答要点) 班级 姓名 学号 得分 一、 （15 分）篮球队 8 名队员身高及擅长位置见下表 队员 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 1.92 1.90 1.88 1.86 1.85 1.83 1.80 1.78 位置 中锋 中锋 前锋 前锋 前锋 后卫 后卫 后卫 出场阵容应满足以下条件 （1）只能有一名中锋上场； （2）至少有一名后卫； （3）如 1 号和 4 号均上场，则 6 号不能出场； （4）2 号和 8 号至少有一名不上场。 问应当选择哪 5 名队员上场，才能使出场队员平均身高最高。试建立线性整数 规划模型，不必求解。 解：设 xi=1(队员i上场)或 0(队员i不上场). 用ai表示队员i身高。(5 分) 0-1 规划模型 8 1 12 678 146 28 8 1 max 1 1 2 1 1 01 ii i i i i a x xx xxx xxx xx a x = = + + + + = = 或 (10 分) 二、(15 分)考虑甲肝在一个封闭的人群中流行传播。人群分为三类：易感染类 （健康者）记作 a; 感染者（带菌的病人）记作 b；移出类（病愈免疫、与易 感染类隔离、病死）记作 c。流行病是由易感染类和感染者的相互接触而传播。 试作适当假设，建立甲肝流行的数学模型。 解：假设(1)每个 b 类人每天有效接触人数, 当 b 类人有效接触 a 类人, 则使 之成为 b 类人; (2) b 类人日移出率(含病愈, 隔离, 死亡)为; (3)总人数 n=a+b+c. (5 分) 那么在t, t+dt内, a(t+dt)-a(t)= - ab/ndt b(t+dt)-b(t)= (ab/n-b)dt (5 分) 1 微分方程模型 daab dtn dbab b dtn abcn = = += (5 分) 注: 将 a, b,c 理解为比例, 从而设 a+b+c=1 也可以. 三、 （15 分）考虑有人类捕猎行为的被食者 x 捕食者 y 系统模型 fyexydy dt dy cxbxyax dt dx += = （1）说出参数 a, b, c, d, e, f（均为非负数）的含义； （2）由模型说明：人类适当地捕猎行为将有利于被食者，但过度捕猎会导致动 物灭绝； （3）为了可持续发展，求人类捕猎参数允许范围。 解: (1) a 为被食者的自然增长率, b 为捕食者掠取被食者的能力, c 为人类捕猎被 食者的强度, d 为捕食者的自然死亡率, e 被食者对捕食者的供养能力, f 为人类 捕猎捕食者的强度. (5 分) (2)系统的平衡点为 p(0, 0), q(d+f)/e, (a-c)/b). 由 jacobi 矩阵分析知: 当 c, f 很小, p 不稳定, q 附 近有周期解, 且 x, y 周期平均为 q. 而(d+f)/ed/e, 所以人类适当地捕猎行为将 有利于被食者. (5 分) abycbx a eydexf = + (3)当ca, 通过jacobi矩阵和相轨线分析知p(0, 0)全局稳定, x(t)0, y(t)0. 从 而为了可持续发展，c 期望利润 2013 00 ( )( )d( )d ) () ( )d uu u ej uprf rruf rrcpupur f rr =+ (5 分) 由 dej(u)/du=0, 得 21 0 ( )( )( )( )0 u u p uf uf r druf uppf r dr 3 + = 从而最优订购量 u*满足 * * 02 31 ( ) ( ) u u f r dr pp pp f r dr 1 = + (5 分) 3 这时 4 0 * 23 0 ( )()( )d u ej upprf rrc=+ 合理的c0应使得ej(u)0, 从而.(5 分) * 023 0 ()( ) u cpprf r+ dr m 六、 （20 分）在一个拥挤的隧道里至少保持多大的车距可以使行车安全？保持 多大的车距可以使通过隧道车流量最大？试给出适当假设，建立这一问题的数 学模型并依据模型分析一些规律。 解: 设隧道里车速为 u, t 表示驾车人的动作反应时间, 那么安全距离(两个车头 之间距离)为 d=tu+0.5au2+l 这里 a 为刹车减速度. l 为车身长度. (5 分) 设车辆速度u取决于车辆密度, 当c, u达到最大速度um. 当m, u=0.第 n辆汽车位置xn(t), 速度un(t)=dxn(t)/dt, 车辆跟随时加速度正比于较之前一辆车 的相对速度, 反比于两车距离那么 dun(t+t)/dt=-c(un(t)-un-1(t)/( xn-1(t)-xn(t) 这里 c 为系数. 积分得 un(t+t) =cln|xn-1(t)-xn(t)|+dn 设车流处于平稳状态, 因而 xn-1(t)-xn(t)=1/, un(t+t)=un(t) 那么 u=-cln+d. 再根据u(m)=0 得到d=clnm. 这样u=cln(m /). 总之 ( )ln(/) 0 mc mc m u uc = m (5 分) 流量 ( )( )ln(/) 0 mc mc m u quc = (5 分) 当*=m /e, 流量达到最大. 这时车距d=1/*.(