（理论物理专业论文）ads黑洞的热力学.pdf

摘要 捅要 近年来人们对黑洞热力学的研究不断深入，然而人们对黑洞的热力学性质 还不是很清楚，特别是对黑洞熵的量子本质及统计起源等问题。本文主要是讨 论修正的( a n t i ) d es i r e r ( 简称( a ) d s ) 史瓦西黑洞的热力学性质。 本文共分四章。第一章是对黑洞及其研究近况的一个综述，介绍了黑洞的 概念、种类等基本知识后，着重对黑洞热力学的四定律以及黑洞熵的量子性质 做了综述。 第二章我们讨论在含有宇宙常数的彩虹引力框架情况下( a ) d s 史瓦西黑洞 的热力学性质。首先，我们回顾了双狭义相对论和彩虹引力的一些基本性质， 接着从修j 下的爱因斯坦场方程出发，得到了一个修正的( a ) d s 史瓦西黑洞的解， 并且详细地讨论了它的热力学性质。一般说来，对于修正的( a ) d s 史瓦西黑洞， 其相应的霍金温度也将得到修正并且取决于探测粒子的能量。然而，当把从黑 洞辐射出粒子看作探测粒子时，可以为此类黑洞提出一个内禀温度的概念，我 们针对一些特定的色散关系，计算并得到了黑洞的内禀温度值。有一个很有趣 的结果是：这种黑洞的霍金温度与直接运用延拓的不确定性原理和修正的色散 关系得到的通常的( a ) d s 史瓦西黑洞温度是一致的。 第三章我们利用基于贝肯斯坦( b e k e n s t e i n ) 熵边界假设的最小面积方法求 解a n t i d es i t t e r 黑洞熵。 首先我们介绍了广义不确定性原理和修正的色散关系 对黑洞的影响。然后结合贝肯斯坦( b e k e n s t e i n ) 熵边界假设探讨吸收粒子的能 量动量( 色散) 关系对黑洞熵的影响。本文讨论了两种修正色散关系对 a n t i d e s i r e r 黑洞熵的影响。第一种色散关系的修正项与普朗克能标呈线性关 系，结果得到的黑洞熵的主要修正项与视界面积的方根成正比，而另一种修正 色散关系含有普朗克能标的平方项，所求得的黑洞熵的主要修正项是视界面积 的对数形式，这个结果与其它通过量子引力途径得到的结果相吻合。 第四章是总结和展望。 关键词：霍金温度，黑洞熵，修正的色散关系，延拓的不确定性原理，彩虹引 力。 i i a b s t r a c t a b s t r a c t a l t h o u g ht h ei n v e s t i g a t i o na b o u tt h et h e r m o d y n a m i c so fb l a c kh o l e sh a sb e e n d e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s ，i t sc h a r a c t e r i s t i ch a sn o tb e e nu n d e r s t o o de x p l i c i t l y , e s p e c i a l l yf o rt h ee s s e n c ea n do r i g i no ft h eb l a c kh o l ee n t r o p y i nt h i st h e s i sw ef o c u s o u ra t t e n t i o n so nt h et h e r m o d y n a m i c so f ( a n t i 一) d es i r e rs c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e s t h i st h e s i sc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s t c h a p t e ra f t e rp r e s e n t i n gab r i e f i n t r o d u c t i o nt ot h eb a s i cn o t i o na n dp r o p e r t i e so fb l a c kh o l e s ，w er e v i e wf o u r t h e r m o d y n a m i c sl a w so fb l a c k h o l e sa n dt h eq u a n t u mn a t u r eo fi t se n t r o p y t h es e c o n dc h a p t e rw ei n v e s t i g a t et h et h e r m o d y n a m i c so fm o d i f i e d ( a n t i 一) d es i u e r s c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e si nt h ef r a m e w o r ko fr a i n b o wg r a v i t yw i t hac o s m o l o g i c a l c o n s t a n t f i r s to fa l l ，w ei n t r o d u c et h ep r o p e r t i e so fd o u b l ys p e c i a lr e l a t i v i t y ( d s r ) a n dr a i n b o wg r a v i t y t h e ns t a r t i n gf r o mt h em o d i f i e de i n s t e i ne q u a t i o n s ，w eo b t a i na s o r to f m o d i f i e d 似n t i 一) d e s i t t e rs c h w a r z s c h i l db l a c kh o l es o l u t i o n s i t s t h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e sa r ei n v e s t i g a t e d i ng e n e r a lt h et e m p e r a t u r eo fm o d i f i e d b l a c kh o l e si sd e p e n d e n to nt h ee n e r g yo fp r o b e sw h i c ht a k et h em e a s u r e m e n t h o w e v e r , an o t i o no fi n t r i n s i ct e m p e r a t u r ec a nb ei n t r o d u c e db yi d e n t i f y i n gt h e s e p r o b e sw i t hr a d i a t i o np a n i c l e se m i t t e df r o mb l a c kh o l e s g i v e nas p e c i f i cm o d i f i e d d i s p e r s i o nr e l a t i o n ，t h ec o r r e s p o n d i n gt e m p e r a t u r eo fb l a c kh o l e si sd e r i v e d i ti s i n t e r e s t i n gt of i n dt h a tt h eh a w k i n gt e m p e r a t u r eo ft h i ss o r to fb l a c kh o l e sc a nb e r e p r o d u c e db ye m p l o y i n gt h ee x t e n d e du n c e r t a i n t yp r i n c i p l ea n dm o d i f i e dd i s p e r s i o n r e l a t i o n st ot h e ( a n t i - ) d es i d e rs c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e s i nc h a p t e rt h r e ew es t u d yt h ee n t r o p yo fa n t i d es i d e rb l a c k h o l e su s i n gt h em e t h o d o ft h em i n i m u mi n c r e a s eo fa r e ab a s e do nb e k e n s t e i ne n t r o p ya s s u m p t i o n f i r s t l yw e d e s c r i b et h em o d i f i e dd i s p e r s i o nr e l a t i o n s ( m d r ) a n dt h eg e n e r a l i z e du n c e r t a i n t y p r i n c i p l e ( g u p ) a n di n v e s t i g a t et h e i ri m p a c t so nb l a c kh o l e s t h e nw i t ht h eh e l po f b e k e n s t e i n e n t r o p ya s s u m p t i o nw ed i s c u s st h ei m p a c t so ft h em o d i f i c a t i o no f d i s p e r s i o nr e l a t i o n so nt h eb l a c kh o l ee n t r o p y i nt h i sc h a p t e rw ei n t r o d u c et w ok i n d s o fm o d i f i e dd i s p e r s i o nr e l a t i o n sa n ds t u d yt h e i ri m p a c t so nt h ee n t r o p yo fa d sb l a c k h o l e s i tt u l t i so u tt h a tt h eo n ew i t hl i n e a rc o r r e c t i o nt e r mo ft h ep l a n c ke n e r g yl e a d s t oa 历c o n t r i b u t i o nt ob l a c kh o l e se n t r o p y , w h i c ht h eo t h e ro n ew h i c hc o n t a i n sa t e r mp r o p o r t i o n a lt ot h es q u a r eo fp l a n c ke n e r g yp r e d i c t st h ee n t r o p yw i t hal e a d i n g c o r r e c t i o nt e r mo fl o g a r e at y p e ，a g r e e i n gw i t ht h er e s u l t sd e r i v e di nq u a n t u mg r a v i t y t h e o r i e s w em a k eas u m m a r ya n d g i v es o m eo u t l o o k si nc h a p t e rf o u r i i i a b s t r a c t k e y w o r d s ：h a w k i n gt e m p e r a t u r e ，t h ee n t r o p yo fb l a c kh o l e s ，m o d i f i e dd i s p e r s i o n r e l a t i o n ( m d r ) ，t h ee x t e n d e du n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ( e u p ) ，r a i n b o w g r a v i t y i v 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南昌大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：卜穹? 诩签字日期： 卅年f2 ，月i 萝日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名c 瑚：詹彳阀 签字日期：厶刁年t2 ，月i 参日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名( 手写) ： 签字日期： o 莎车- 月t 莎日 电话： 邮编： 第1 章综述 1 1黑洞的概念 第1 章综述 关于黑洞最初的思想来自于把简单的逃逸速度概念推向极端，自雷默对木 星的运动进行观测，已知光速大约为3 0 万公里秒，于是就很容易想象出这样一 种星球的存在，如果质量足够大，以致从表面逃逸速度大于光速，则可以认为 这样的星球是看不见的，这就是黑洞最初思想的萌芽。到1 8 世纪术，伟大的法 国物理学家拉普拉斯和米歇尔根据牛顿理论算出，如果一个天体的质量和密度 足够大，相当于地球的密度，但比太阳大2 5 0 倍，则光线不能从天体逃逸出来， 并最早提出“黑洞”概念【i 】。1 9 1 5 年爱因斯坦发表广义相对论后，史瓦西求得 了球对称静态真空解，这个解的度规在，= 0 处出现奇性，在奇性点，光线的红 移无穷大，永远不会被远处的观测者观测到。1 9 3 9 年奥本海默和沃尔科夫【2 】应 用广义相对论考察恒星平衡状态时预言了黑洞的存在，并指出坐标奇点 ，= 2 g m c 2 是黑洞的视界，即事件视界，这与米歇尔和拉普拉斯根据牛顿定律 得到的暗星形成的条件一致。恒星演化理论表明，在恒星演化的晚期，随着热 反应的减弱，恒星温度逐渐下降，物质的热运动的动能减少，星体在引力的作 用下塌缩，如果该星体的质量小于钱德拉塞卡极限( 约1 4 倍太阳质量) ，将形 成靠电子简并压维持平衡的白矮星；若其质量大于钱德拉塞卡极限而小于奥本 海默极限( 约3 倍太阳质量) ，将形成靠中子简并压维持平衡的中子星；当质量 大于奥本海默极限以后，该星体将会塌缩成黑洞【3 j 。 天体塌缩成黑洞之后，会丢失大部分信息，黑洞会遗忘过去，描述黑洞只 有质量、电荷和角动量三个特征量，这就是约翰惠勒提出的著名的无毛定理【4 5 j 。 也就是说黑洞是黑的，任何物质在落入黑洞后都不可能脱离黑洞，即便是宇宙 中速度最大的光子也是如此。例如在最简单的情况下，黑洞只有奇点的质量， 这种情况的解由史瓦西求得，史瓦西解的形式1 3 j 为 豳2 ：一( 1 - 2 g m ) d t2 + ( 1 一2 g m ) 一1 咖2 + ，2 d 秒2 + r 2s i n 2 鲥妒2 ， ( 1 1 1 ) ， ， 从度规可以看出，当半径和质量满足1 2 g m r = 0 时，这是一个奇异球面。 奥本海默指出它是一个不可见区域的边界，在此球面外的观测者不可能得到球 第1 章综述 面内部的任何信息。事实上，在黑洞的视界以内，时间和空问坐标的意义已经 互换，沿空间方向的运动只有一个指向，如同视界外的时间一样是不可逆的， 所以所有黑洞视界内的信息都无法穿越视界传递到外面的观测者。 1 2黑洞的分类及其视界 人们把黑洞大体分为三类：静态黑洞，稳态黑洞和动态黑洞。 ( 1 ) 静态黑洞 1 9 1 5 年广义相对论问世以后，史瓦西( s c h w a r z s c h i l d ) 于1 9 1 6 年给出了爱 因斯坦引力场方程的第一个解史瓦西解，史瓦西半径可以通过其黑洞的质 量( m ) 表示为 当星体的半径和质量满足如下条件 r = 2 g m ， 尺2 g m ， ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 那么这个星体将成为史瓦西黑洞，其中r 为史瓦西黑洞的半径。 典型的静态黑洞为史瓦西黑洞，其时空线元为 西2 ：一( 1 一2 g m ) d t 2 + ( 1 一2 g m ) 一1 咖2 + ，1 2 d 秒2 + ，2s i n 2 甜伊2 ， ( 1 2 3 ) 在，= 0 时，度规发散，曲率发散，并且这种发散不能通过坐标变化而消除， 称之为内禀奇点，在，= 2 g m 的奇异球面上，曲率并不发散，这个奇异球面可 以通过坐标变换而消除，所以称，= 2 m 是坐标奇异性。 黑洞区的边界称为事件视界，事件视界是一种特殊的零超曲面，其母线线 汇的切矢量为类光k i l l i n g 矢量场，黑洞的视界可以通过零超曲面方程 参等= o 2 舢 6 苏苏” 。 一” 确定。由( 1 2 3 ) 式和( 1 2 4 ) 式可求得史瓦西黑洞的视界为l = 2 g m 。 2 第l 章综述 ( 2 ) 稳态黑洞 典型的稳态黑洞有稳态科尔黑洞【6 1 和稳态科尔一纽曼黑洞【7 1 。 稳态科尔黑洞的时空线元为 肌- ( 1 一警妒+ p 2 d r z + p 2 d 0 2 + 【( r 2 + a 2 ) s i n 20 4 一半竽 一丝粤坐捌妒， 。 ( 1 2 5 ) p 。 其中p 2 = ，2 + 口2c o s 20 ，a = ，2 2 m r + a 2 , a = ，m 。在，= o ，0 = n 2 处存在 内禀奇异性，视界为= m + 也万( 了。 稳态科尔一纽曼黑洞的时空线元为 凼：_ 【1 一掣础z + 车办z “( 厂z + 口z ) s i n 2 秒+ 垦丝尘薹粤堂】d 伊： o a d + p z 砌一丝坠雩幽捌伊， ( 1 2 6 ) p 。 其中p 2 = ，2 + a 2c o s 2 秒，= ，2 2 m r + a 2 + 0 2 。在，= o 0 = n 2 处存在内禀奇 异性，视界为乍= m + 撕矛【了歹。 ( 3 ) 动态黑洞 黑洞由于蒸发和吸积作用，会随时间而变化，表现为动态黑洞。这类黑洞 的特点是m ，o ，j 都随时间而变化，如动态k i n n e r s l e y 黑洞3 1 ，其线元用爱丁顿 坐标表示为 d s 2 = 1 2 a r c o s o r 2 ( 厂2 + h 2s i n o ) 一2 m r 。1 v u 2 + 2 d u d r 第l 章综述 + 2 r 2 f d u d o + 2 r 2 h s i n 2o d u d q d 一，2 d 护2 一，2s i n 2o d 2 缈， ( 1 2 7 ) 其中厂= 一a ( 。) s i n o + b ( ”s i n 伊+ c ( 。) c o s ( , o ，h = 反。) c o t o c o s o c ( 们c o t o s i n ( a ， u 为 滞后爱丁顿坐标，a c u ) , b ( ) c ( 。) 为描述加速度的参量。此黑洞共有3 个视界，分 别为 。= 2 1 f 3 、( _ 冱3 l ) 2 3 z 歹1 ， 铲2 阿c o s c a 2 + 1 2 0 。，一， 2 剐 铲2 再c o s c a 3 + 1 2 0 。，一， 式中z ，= 2 一1 + 2 a s i n o r 厶， 口，= j 1 g x ( - p , 五3 ) 3 r - ( q , 2 ) 2 ， 3 一q ，| 上 ( 1 2 7 ) 总之，黑洞的类型有很多种，确定黑洞视界的一般方法通过计算零超曲面方 程得到。如今人们对黑洞的性质很感兴趣，特别是黑洞的热力学性质。 1 3 黑洞的热力学 黑洞不是一种永久地隐藏物质而毫无生气的物体，由于它具有质量、电荷 4 堑y 丝y 丝矿 一 一 孑一驴 留一矿 砂 鲨柳 i i = n 吼 第1 章综述 和角动量这三个参量，黑洞是一个动力学系统。另外黑洞和黑体很相似，而我 们知道，黑体虽然不能反射辐射，但它可以发射热辐射，自然地想到黑洞可能 也具有热辐射。因此研究支配黑洞演化的定律并与热力学定律比较，具有很重 要意义。 1 9 7 1 年，h a w k i n g 在“宇宙监督假设 和“强能量条件”成立的前提下， 证明了“黑洞的表面积在顺时针方向永不减少”，即翻0 ，其中a 为黑洞面积， 这就是黑洞的面积定理1 8 】。 在物理学上，热力学中的熵是单向性的。在热力学中，系统的熵s 在绝热过 程中永不减少，舔0 所以我们也可以自然联想到黑洞的视界表面积可能即为 黑洞的熵 1 9 7 2 年，b e k e n s t e i n 和s m a r r 分别给出了黑洞质量、角动量、角速度、面积 等参量的积分和微分公式【9 , 1 0 】。 积分公式为： 微分公式为： m ：尝a + 2 d d + v o p ， 4 万 ( 1 3 1 ) 跏= 去j 彳+ q 万，+ v 0 6 q 。 ( 1 3 2 ) 其中 a = 4 ：r ( r + 2 + 口2 ) ， 肚南， ，一， 肛葫a 2 ( 0 + 2 ) y = 石q r 了+ 。 ( 1 3 3 ) 其中m ，q 分别是黑洞的总能量、总角动量和总电荷。k 为黑洞两极( 0 = 0 ，万) 处的静电势，q 为黑洞视界的拖动角速度，彳为黑洞视界的面积，r 为视界的 表面引力。该公式非常类似于转动物体的热力学第一定律表达式。面积定理表 明视界面积类似于热力学熵，如果把黑洞的表面引力视为温度，则黑洞正好可 以视为一个热力学系统。 1 9 7 3 年，c a r t e r 等人证明了黑洞的表面重力茁在黑洞视界面上为常数【1 1 】。 它和热力学第零定律非常相似。热力学第零定律是：对于一个处于热平衡的系 统而言，其温度是一个常数。 第1 章综述 1 9 8 6 年，i s r a e l 证明了不能通过有限次操作把黑洞的表面重力降到零。 热力学里一个系统的状态一般可以由两个基本参量来表征：温度和熵。热 力学定律表述的正是其他宏观参量，如能量，体积或压强等，在系统的转换中 如何作为温度和熵的函数而变化。同样，一个黑洞的动力学状态也由两个参量 来表征，一个是黑洞的面积，即对视界面积的量度；一个是表面引力，即对视 界上引力加速度的量度。由于黑洞的平衡态只依赖于质量、角动量和电荷这三 个参量，黑洞的面积和表面引力也可以表示为这三个参量的函数。 1 9 7 2 年b e n k e n s t e i n 1 0 】进一步加强了黑洞面积和熵的相似性，肯定了黑洞具 有熵，对这个熵值计算表明它确实与黑洞表面积成正比，即 a 么 6 = 4 对应地黑洞的温度t 与表面引力茁成正比 一 r 1 = o 2 r r ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 这就引起了一个尖锐的问题，因为任何温度为t 的热力学体系必定伴随着 相应于温度t 的黑体辐射，但是经典黑洞的基本性质是不可能有任何物质或辐 射从视界之内出来，因此，这是广义相对论与热力学之间的一个尖锐矛盾。然 而在1 9 7 4 年h a w k i n g 把量子理论引入黑洞领域【1 2 ，l3 1 ，发现黑洞具有量子性质的 热辐射，黑洞的温度也是真实的温度。因此人们总结出了黑洞热力学四定律 【l o ，1 4 ，1 5 1 ： ( 1 ) 第零定律：稳态黑洞视界温度是一个常数。 ( 2 ) 第一定律：能量守恒8 m = t s s + q s j + v 0 6 q 。 ( 3 ) 第二定律：黑洞熵在顺时方向永不减少，8 s 0 。 ( 1 3 6 ) ( 1 - 3 7 ) ( 4 ) 第三定律：不能通过有限次操作把视界的温度降到决对零度。 其中丁= 轰为黑洞溅s = 蔓4 彳为黑洞的熵，为玻尔兹曼常数。后来又把 6 s 0 推广到包括洞外物质对情况6 s + 6 o ，即黑洞熵与物质熵之和在顺时 6 第l 幸综述 方向永不减少。按照第三定律，极端黑洞( 表面引力为零的黑洞) 是自然界罩 是不可达到的极限。因此，这个定律是说不能通过有限步骤把非极限黑洞变为 极限黑洞。 1 4 黑洞熵的性质及求解方法 1 9 7 3 年b e k e n s t e i n 从信息论的观点，提出了黑洞熵的概念，并将其与黑洞 视界面积联系起来，认为黑洞的熵应与黑洞视界面积成正比。然而这将导致物 质部分熵从宇宙中消失了，违反了热力学第二定律，而且也产生了一个尖锐的 问题：如果黑洞有熵，那么黑洞必然有温度，可是根据经典广义相对论，黑洞 的温度是绝对零度，因此不能把黑洞的面积看成熵，把表面引力看作表面重力 似乎也不妥。人们对黑洞熵进行了激烈的讨论，直到1 9 7 4 年，h a w k i n g 证明了 黑洞具有热辐射后，黑洞才可以看成一个热力学系统。h a w k i n g 等人认为：黑洞 熵来源于时空流行的非平庸结构，是引力场的内禀熵，并采用路径积分的方法 得到了一般的定量关系 s ：互4 ， 8 ( 1 4 1 ) 其中z 是时空流形的欧拉示性数，彳为黑洞的视界面积。这个结果强调了黑洞 熵与时空的整体性质之间的关系，但是并没有比经典引力场提供更多的信息， 依然没有给出黑洞熵的微观统计解释。1 9 8 5 年t h o o f f 提出b r i c k w a l l 模型计算 黑洞的熵，提出了纠缠熵的概念，认为黑洞熵的出现是黑洞视界内部及外部空 间量子场相互纠缠的结果。 对黑洞熵的计算及其本质的解释问题，人们正在进行进一步的研究。由于 完善的量子引力理论还没有建立起来，目前还没有任何一种模型能给出尽人意 的结论。现在我们对求解熵的方法作一些简要的回顾。 g i b b o n s 和h a w k i n g 1 6 】在欧氏量子引力理论里计算黑洞熵。根据欧几里德量 子引力，采用半经典近似，从而得到引力场的欧氏作用量，由欧氏作用量可求 得正则系统的配分函数，最后获得黑洞的熵。该方法揭示了黑洞热力学和欧氏 量子引力之间具有密切的联系，但没有给出黑洞熵的微观统计解释。 7 第1 章综述 1 9 8 5 年，t h o o f t 提出了计算稳念黑洞熵的砖墙模型( b r i c k w a l l 模型) 1 1 7 j 。 其假设：黑洞外有一个与黑洞处于热平衡的辐射场，黑洞的熵就是该辐射场的 熵。可以把它看成相对论粒子构成的热力学系统，利用半经典的量子统计方法 首先找出系统的配分方程，再求出系统的自由能，最后得到黑洞熵。由于这种 方法所得的自由能及熵在视界处及无穷远处发散，为了得到有意义的结果，因 此需要假定波函数存在视界h 和上之间，即假设在距视界h 和处有两堵墙，辐 射场的波函数只存在于这两堵墙之间，所以这种方法被称为砖墙模型。 另一种计算黑洞熵的方法是纠缠熵理论。b o m b e l l i 等把黑洞熵解释为黑洞内 外量子场通过黑洞事件视界的相关性决定的纠缠熵。纠缠熵即信息熵，也叫y o n n e u m a n n 熵。该理论认为，黑洞熵源于黑洞视界内外量子场的相互关联，由于 这种相互关联穿过世界，限制在黑洞外面的量子场成了混合态，其原因是黑洞 的量子场中有一部分信息缺失在黑洞事件视界之内。b o m b e l l i 和s r e d n i c k i 的研 究表明【1 8 】，即使在平直时空背景下如果把真空的观者局限在整个系统的一个局 部，那么它的熵也不是零，而是与区域的边界表面积成正比。这个熵的出现是 由于“可观测”和“不可观测”的真空振动的边界附近相互纠缠在一起而形成 的。这个混合态的y o nn e u m a n n 熵在接近视界时是发散的，如果在视界附近引 入一个p l a n k 尺度的截断因子，可以得到一个面积量级的y o n n e u m a n n 熵，再对 各种自旋场取相同的截断因子并对引力常数重整化，可以得到各种量子场对熵 的贡献都是1 4 a 。该方法表明，黑洞视界附近的量子场对黑洞熵有显著的贡献。 还有一种计算黑洞熵的方法是热气体方法。热气体方法是把黑洞熵看作为 黑洞外热气体的熵。假设这些热气体由玻色子或费米子组成，根据b o s e e i n s t e n 统计或f e r m i d i r a c 统计，气体的熵密度大体与温度的三次方成正比。因为丁接 近视界时趋于发散，所以热气体的熵也趋于发散，这与纠缠熵方法一样。为了 消除发散，也可以在视界附近引入一个p l a n k 尺度的截断因子，从而可以得到一 个与视界面积成正比的热气体熵，因此纠缠熵与热气体熵是等价的。但是热气 体的方法有一个显著的特点是：只有黑洞视界附近厚度为p l a n k 尺度的一层薄层 气体才对黑洞熵有贡献，而这层像黑洞的“皮肤”一样紧紧附着在黑洞的表面。 纠缠熵和热气体熵有相同的优缺点：优点是它们都能合理地解释黑洞熵为 什么与视界面积成正比，缺点是它们都认为只有黑洞视界附近厚度为p l a n k 尺度 的一层薄层气体才对黑洞熵有贡献，这就给予黑洞视界以明显优越的地位。 迄今为止，对黑洞熵做出最成功计算的是弦理论。一般认为，弦理论在低 8 第l 章综述 能近似下回到1 0 维的超引力。弦理论正是这样与引力理论联系起来的。如果将 超引力理论作为经典近似使其成为包含时空度规和其它物质场的经典理论时， 它给出黑洞解。从而弦理论在低能近似下，其弱耦合状态能给出黑洞解。这些 弱耦合态本质上是普通量子动力学的自由度，而且与弱耦合态对应的散射系数， 吸收系数和黑洞的完全相同，这表明弱耦合态与黑洞之间确有某种紧密的物理 联系，弱耦合态的自由度与黑洞的自由度紧密相关，因而可以通过统计物理方 法计算其对应的熵，结果表明：这些弱耦合态的熵刚好是1 4 a 。 总之，在纠缠熵方法和热气体方法中，黑洞的自由度被认为是黑洞外量子 场的自由度，然而对自由度的贡献主要来自视界附近p l a n k 厚度的量子场。在量 子几何理论中，黑洞的自由度也是与视界相关的且在视界上。最后，弦理论考 虑的弱耦合态是否真正代表黑洞还在讨论中，对黑洞熵概念需要有一个更加深 入的理解，对黑洞熵的研究还有一系列工作要做。 纠缠态方法和热气体方法给出熵的表达式在趋于视界时发散，这种发射是 由于量子态密度在视界附近发散。而实际上，根据现在提出的全息原理，量子 态数目不应该有发散的地方。由于用纠缠态方法和热气体方法计算的熵都是发 散的，为了消除发散，所以必须引入截断因子，当然这看起来很不自然。显然， 要彻底解决黑洞熵问题，我们必须有一个正确而完整的量子引力问题。尽管这 样的一个理论还没有，但是关于这个理论可能具有的特征已经显现出来，并且 暗示了一些物理定律必须做相应的修改。例如，考虑到引力的影响，通常的对 易关系阮纠= i h 需要改写为 【曼，纠= i h ( 1 + l j 口声2 ) ， 这就很自然导致右一个最小长度关系 血一h 石1 2 + 善h 卸) ，、卸 2 在承认刘维定理的前提下可以推导出量子态密度应该为 d 3 x d 3 p 两赢丽 9 ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 第1 章综述 修改后的结果应用在高能量粒子的时候，量子引力的影响变得很重要。我们也 把这个结果用于黑洞物理，发现它正好可以消除熵的发散。这种修改后的位置 和动量的关系成为广义的不确定原理( g u p ) 。另外还有一个重要的物理定律也 要发生改变，即通常的能量动量色散关系e 2 一p 2 = m ；也将改变成为修正的色散 关系( m d r ) e 2 2 2 ( e e j 口) 一p 够( e e p ) = m ；， ( 1 4 5 ) 近年来，许多工作者利用广义不确定原理和修正的色散关系研究黑洞的热力学 性质，并且取得了很好的结果。在本文中，本人和其他的工作者使用修正的不 确定原理( 延拓的不确定性原理) 和修正的色散关系等方法研究黑洞的热力学 性质。 1 5 本章小结 本章是对黑洞及其研究近况的一个综述，介绍了黑洞的概念、种类和视界 等基本知识，简要介绍了黑洞热力学的四定律，黑洞熵的性质，重点介绍了求 解黑洞熵的方法。 黑洞的热力学性质和通常的热力学性质有许多相似的之处，但人们对黑洞 熵的本质、统计起源等问题还在探索研究中，黑洞熵的研究是当前理论物理研 究中最重要的课题之一。自从1 9 7 3 年b e k e n s t e i n 从信息论的观点提出了黑洞熵 的概念以来，已经有许多研究者从事黑洞熵的研究，并提出了很多观点和方法： g i b b o n s 和h a w k i n g 在欧氏量子引力理论里计算黑洞熵，t h o o f t 提出了计算稳 态黑洞熵的砖墙模型，而后又提出纠缠熵理论和热气体方法等，迄今为止，弦 理论是研究黑洞熵最成功的方法，但要彻底地研究黑洞熵，那有待于量子引力 理论的最终建立，同时黑洞熵的研究也会加快量子引力理论的建立。 黑洞理论也从一个单纯的几何理论发展成为一个包括量子论、相对论、天 体物理、粒子物理、统计物理、天文学和微分几何等多学科的理论。近年来， 人们已经在理论上和观测上对黑洞进行了一系列的研究工作，但对黑洞的研究 工作还将继续。 1 0 第2 章在彩虹引力时空下修证的( a n t i ) d es i t t e r 史瓦两黑洞 第2 章在彩虹引力时空下修正的( a n ti - ) d es it t e r 史瓦西黑洞 最近，黑洞热力学得到了广泛了研究，许多研究者提出了很多方法和观点。 其中，一些工作者在彩虹引力框架下研究了修正的史瓦西黑洞的热力学性质【1 9 】， 通过修币的色散关系求得黑洞的温度是依赖于探测粒子的能量，并且提出了黑 洞的内禀温度的概念，那是把黑洞视界附近的光子看作探测粒子。这个修正的 温度具有上限性质防止了黑洞的完全蒸发，其残留物可能被看作暗物质的一个 很好的候选者。另外得到了黑洞的具有视界面积对数形式项的修正熵。 在这章，作者与合作者将对修正的史瓦西黑洞的热力学进行推广，即研究 在彩虹引力框架下且具有宇宙常数的情况下的( a n t i ) d es i t t e r 史瓦西黑洞的热 力学，首先求得一个修正的( a ) d s 史瓦西黑洞的解，然后研究它的热力学性质。 所得到的修正的温度也与依赖探测粒子的能量，且修工f 的温度具有最大值，此 时修正的比热等于零，黑洞的视界半径也达到最小值。这些特点为理解黑洞蒸 发的晚期命运提供了一个合理的方案。另外还比较了直接用修正的色散关系和 延拓的不确定性原理得到的通常的( a ) d s 史瓦西黑洞热力学结果和本章我们的 结果，两种结果的一致性证实了变型的等效原理的提议。 2 1 黑洞与修正狭义相对论 黑洞是广义相对论的理论推断，是理论物理的重要研究对象。广义相对论 的核心是e i n s t e i n 场方程3 】 尺，一互1 g g v r = 8 躬乙， ( 2 1 1 ) 该方程的左边描述时空几何，满足毕安奇恒等式；右边是物质的能量动量张量， 满足能量动量守恒定律。场方程表明， 定物质的运动，时空与物质相互影响， 的公式之一。 物质分布决定时空几何，而时空几何确 密不可分。这个方程式理论物理最美妙 1 2 第2 章在彩虹引力时空下修正的( a n t i ) d es i r e r 史瓦两黑洞 作为e i n s t e i n 场方程的静态球对称精确解，史瓦西黑洞是最简单，最基本， 也是最重要的一个黑洞，给史瓦西黑洞加上电荷，可以得到e i n s t e i n 场方程的带 电解，即静态r e i s s n e r - n o r d s t r o m 黑洞； 而带电k e r r 黑洞是k e r r - n e w m a n 黑洞。 加上角动量，就可以得到稳态的k e r r ， 另外，在e i n s t e i n 场方程加上宇宙常数 项，就可以得到k e r r - n e w m a n 系列黑洞相应的d es i t t e r 和a m i d es i t t e r 系列黑 洞等。 另一方面，广义相对论有一个明显的不足，这就是引力场是非量子化的。 目前，将广义相对论与量子物理相结合的量子引力理论正在发展中，而且已有 了多种观点和理论【2 0 1 。这其中，圈量子引力【2 1 1 和弦理论旧被认为是量子引力的 两个主要候选者，人们期待着用引力的量子化理论来描述时空几何和揭示黑洞 的性质，同时也需要通过对时空的描述和黑洞性质的揭示来检阅和推动量子引 力的发展。最近，考虑到量子引力的基本因素对相对论的修正而产生的时空量 子效应，对经典几何进行修j 下，人们提出了被称为彩虹引力的量子修正时空【2 引。 人们相信，存在一个具有p l a n c k 长度量级的最小长度单元是量子引力的一 个基本特征【2 4 1 。这可以从量子引力的基本理论和结论中得到体现，弦理论和圈 量子引力理论都认为不能探测到比普朗克尺度( 三。) 量级更小的空间距离。这 里有 铲专= 廖。 ( 2 1 2 ) 另一方面，p l a n c k 标度p 也被看成量子引力与非量子引力理论的分界标志。 即接近p l a n c k 尺度时，引力的量子效应就会出现，相应的物理描述就需要借助 量子引力理论。 根据弦理论，在p l a n k 长度附近，时空会出现非对易性【2 5 1 ，例如 x ，x v = i a ， ( 2 1 3 ) 其中，口”使一个表示时空离散化结构的反对称矩阵。这时空间坐标将不再是对 易的，从而导致了非对易几何的出现【2 6 1 。与此相应，通常的量子场论就被修正 为非对易量子场论，h e i s e n b e r g 不确定原理也被修正为广义不确定原理【2 7 】 第2 章谯彩虹引力时空下修正的( a n t i - ) d es i t t e r 史瓦两黑洞 娩1 2 b a p 勉p ， i 1 j ( 2 1 4 ) 其中，名为具有p l a n k 面积量级的常量，表征引力对不确定性的贡献。通过广义 不确定性可以得到一个最小长度单位，并且在动量为主的情况下，相空间d 2 x d 2 p 内的量子态密度为【2 8 】 d n = d 2 x d 2 p 两丽 ( 2 1 5 ) 显然，与普通量子场论里由h e i s e n b e r g 不确定原理给出的量子态密度不同 a n 一篱，( 2 万) 2 ( 2 1 6 ) 从( 2 1 5 ) 式中看到，非对易量子场论中的量子态密度和能量有关，就是说， 不同的能量对应着不同的量子态密度。在高能情况下( 2 1 5 ) 式和( 2 1 6 ) 式 有着显著的差别，但在低能情况下，( 2 1 5 ) 式可以回到( 2 1 6 ) 式。 另外，最小可观测长度存在也引发了狭义相对论的修正【2 9 3 6 1 。对狭义相对 论的修正的要求可从以下的考虑：洛伦兹不变性是相对论和量子场论的基本要 求，也是与时空在任何尺度下都具有连续性相一致的，因为理论上任何物体的 任何尺度总可以通过洛伦兹变换而成为无限小。这个可以通过洛伦兹变换得到 无限小的尺度的性质与最小长度单元的存在这一量子引力的基本观念是相矛盾 的。为了解决这些问题，人们提出了对洛伦兹变换进行修正，而且相应的修正 狭义相对论( 或者称为双重狭义相对论) 被提出，双重狭义相对论( d s r ) 可以 被看作在极高能情况下描述物理现象的一种很有效的理论，它是量子引力的半 经典效应的结果【了7 1 。，其基本原理是： ( 1 ) 物理定律在所有的惯性坐标系中是相同的。 ( 2 ) 在低能极限下( e e 。专0 ，e 表示探测粒子的能量) ，光速对所有的 惯性观者都是相同的，而且为常数c 。 ( 3 ) 在低能极限下( e e 。- - 0 ，e 表示探测粒子的能量) ，e 。对所有的惯 1 4 第2 章在彩虹引力时宅下修币的( a n t i ) d es i t t e r 史瓦两黑洞 性观者都足相同的，而且为常数。 修正相对论之所以被称为双重狭义相对论，那时因为它不但要求光速不变， 而且要求普朗克长度不变。作为修正狭义相对论的主要结论，通常的能量动量 关系将改变成为 e 2 2 2 ( e e j 口) - p 并( e e p ) = m ；， ( 2 1 7 ) 其中f 和厶是两个能量函数，以保持上式对应的能量动量关系在变换下的不变 性，那就是修正的色散关系( m d r ) 。在修正的狭义相对论中，具有不同的能量 的粒子将具有不同形式的能量动量关系，即修正色散关系是能量依赖的。关于万 和厶的具体函数形式，已有多种方案给出，但在低能极限下，f l 和厶都将趋于 l ，则修正的色散关系就可以回到通常的能量动量关系。近年来，修正的色散关 系及其含义得到了广泛地研究1 3 8 l ，具体的应用有：可能为极高能宇宙射线和y 射 线暴的开始出现反常现象给出一种解释 3 9 - 4 5 1 ，得到一个修正的黑洞熵【4 引，为暴 涨宇宙提供一个替代物 4 7 4 8 】，揭示暗能量的实质【4 9 】等。 2 2 彩虹引力 修正的色散关系是在动量空间进行定义的，而为了给出与该非线性的动量 变换定理所在的动量空间对偶的坐标空间，已经有几种方法被提出，如彩虹度 规的方法。在彩虹度规方法里，通常的经典时空被由e e 。作为参量的一个单参 度规族所取代，而该度规族被称为彩虹度规。这就是说，与动量空间对偶的不 是单