多元变量的最值.doc

二轮专题复习：多元变量的最值（范围）引入：最值问题是中等数学中永恒的话题，也是江苏高考的热门考点。而在最值求解中，多元变量得最值问题因其技巧性强，难度大，方法多，灵活多变而更具挑战，也成为了最值求解中的难点和热点。一、 基础训练1、 若正数满足.（1） 求的最小值；法一：当且仅当时取等号。策略：借助“1”的代换，构造出积为定值，利用基本不等式求得和的最值。法二： 令 探求的范围，再求函数最值。策略：消元，使二元问题转化为函数求最值问题。（2） 求的最大值. 分析： 令，则 又接下来研究二次函数在给定定义域上的值域。答案：策略：运用换元，将问题转化为求函数最值问题。2、 已知，求的最大值.法一：线性规划。策略：赋予目标及条件相应的几何意义。 法二：三角换元，转化为三角函数求最值。 策略：用一个角统一两个元，达到减元的目的，仍然转化为函数就最值。请学生通过基础训练，总结归纳多元变量求最值（范围）的策略，并板书。解决策略： 策略一：利用基本不等式。注意条件：“一正二定三相等 “ 换元，注意换元换范围 策略二 ：化归转化为函数求最值 消元， 注意消元留范围 策略三 ：数形结合，赋予条件及目标相应的几何意义 二、 例题讲解例1：已知函数，若实数满足，则的最小值是_7_利用基本不等式例2：（1）若是正实数，则的最小值是 .(2)若是正实数，则的最小值是.换元法请学生观察（1），（2）的关系，有何发现？最小值一样，（2）中的最值就在当时取到，此法可在填空题中尝试。例3：如图,在扇形中， ，为上一个动点，若，则的取值范围是 1,4 . 法一：三角换元法二：线性规划例4：已知正数满足：，则的取值范围是_答案：e，7解析：条件5c3ab4ca，clnbaclnc，可化为设x，y，则题目转化为：已知x，y满足求的取值范围作出(x，y)所在平面区域(如图)求出yex的切线的斜率e，设过切点P(x0，y0)的切线为yexm(m0)，则e，要使它最小，须m0. 的最小值P(x0，y0)处，为e.此时，点P(x0，y0)在yex上A、B之间当(x，y)对应点C时，y7x7， 的最大值在C处，为7. 的取值范围为e，7，即的取值范围是e，7课堂小结：多元变量求最值的几大策略。三、 巩固练习1. (2013天津卷)设ab2，b0，则的最小值为_答案：解析：211，当且仅当，a0，b0)的最大值为12，求的最小值为_答案：解析：由图形可知，目标函数在(4，6)处取得最大值12， 2a3b6，从而有()(2a3b)2.3. 若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_答案：9解析：由题意，x1是f(x)12x22ax2b的一个零点，所以122a2b0，即ab6(a0，b0)，因此ab9，当且仅当ab3时等号成立四、课后作业1已知实数、满足，ks5u则的最小值为 .2如图所示，在边长为的正六边形中，动圆的半径为，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（、为实数），则的最大值为 .3已知正实数、满足，则的最小值为 4已知函数，若，且，则的取值范围是 5设、均为正实数，且，则的最小值为 . 6函数在区间上是减函数，则的最大值为 . 有根，所以，所以（，时取“”）；7已知，则的最小值为 . 8已知三次函数在上单调递增，则的最小值为 9已知、（）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则的值为 .设公差为，若是等比中项，则，所以，不符合题意；若是等比中项，则，所以，此时三个数为，；若是等比中项，则，所以，此时三个数为，.10、江苏2013年9抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部与边界）。若点