（运筹学与控制论专业论文）凸体的极值问题.pdf

摘要 本文隶属于b r u n n - m i n k o w s k i 理论领域，该领域是近几十年来在国际上发展非 常迅速而重要的一个几何学分支本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究 方向的发展概况本文主要利用b r u n n - m i n k o w s k i 理论及岛- b r u n n - m i n k o w s l 【i 理论 的基本概念基本知识和积分变换方法，研究了凸体几何的极值问题 在b m m n - m i n k o w s k i 理论领域关于极值问题研究方面，我们讨论了i r 时凸 体i 一次宽度积分与对偶均质积分之间的关系，以及它的一些性质推广和完善了 e l u t w a k 建立的当0 i n 时凸体i 一次宽度积分的性质及其与均质积分之间的 关系我们获得了凸体i 一次宽度积分的b l a s c l d 。e - s a n t a l 6 不等式，并建立了凸体i 一 次宽度积分a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式的局部形式我们建立了混合仿射表面积之 间及其与混合投影体，质心体混合体积之间的不等式，并建立了p e t t y 仿射投影不 等式的广义形式和b u s e m a n n - p e t t y 仿射质心体不等式的广义形式而且研究了凸体 混合仿射表面积的b l m s c h k e - s a n t a l 6 不等式，并建立了对偶u r y s o h n 不等式的推广形 式结合e l u t w a k 引进的混合体的概念，我们将p e t t y - s c h n e i d e r 定理推广到了混合 体，建立了混合体的p e t t y - s c h n e i d e r 定理并将凸体仿射表面积的p e t t y - s c h n e i d e r 定理推广到了混合体利用混合体积的3 个基本不等式，我们建立了关于混合体的 m i n k o w s k i 不等式，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和b r u n m m i n k o w s k i 不等式 在b r u n n - m i n k o w s k i 理论领域考虑到凸体的混合体积与星体的对偶混合体积的 对偶性，我们首次提出了e l u t w a k 建立的凸体混合宽度积分的对偶概念一星体 的混合弦长积分，我们研究了星体的混合弦长积分的基本性质与单调性不等式， b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式和一些等周不等式，获得了星体的混合弦长积分的f e n c h e l - a l e k s a n d r o v 不等式及其加强形式，这些结论与凸体混合宽度积分的相应结论具有对 偶关系而且我们建立了星体的混合弦长积分与凸体混合宽度积分的关系另外， 作为星体的混合弦长积分性质的应用，我们也建立了个对偶的广义b i e b e r b a e h 不 等式与e l u t w a k 建立的广义b i e b e r b a c h 不等式对偶 在l p b r t m n - m i n k o w s k i 理论领域关于几何体的度量不等式和极值问题研究方 面：我们主要探讨了k 一投影体和邬一质心体及其极体的一些单调性不等式 关键词：凸体，星体，极体，不等式，极值，凸体i 一次宽度积分，凸体混合宽度 积分，星体混合弦长积分，仿射表面积，混合仿射表面积，混合投影体，混合体， 岛一投影体，岛一质心体 a b s t r a c t i t h i sa r t i c l eb e l o n gt ot h ed o m a i n ，w h i c hi sah i g h - s p c o dd e v e l o p i n gg e o m e t r yb r a n c h o nt h es e v e r a ld e c a d e so fl a t e ，o ft h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y t h ed e v e l o p m e n tb u r - v e ya n dm a i nr e s e a r c hd i r e c t i o n so fc o n v e xg e o m e t r ya r ep r e s e n t e di nt h ep r e f a c e t h i s t h e s i sd e a l sw i t hs o m ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m ep r o b l e m sb ya p p l y i n gt h eb a s i cn o t i o n s ， b a s i ct h e o r i e sa n di n t e g r a lt r a n s f o r m so ft h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r ya n dt h el v b r u n n - m i n k o w s k it h e o r y w es t u d ys o m ee x t r e m ep r o b l e m si nt h eb r a n n - m i n k o w s k it h e o r y f i r s t ，w ed i s c u s s t h er e l a t i o u s h i pb e t w e e nt h ew i d t hi n t e g r a lo fc o n y c g ( b o d ya n dd u a lq u e r m a s s i n t e g r a l s w h e ni r a n dw eo b t a i ns o m ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u mp r o p e r t i e s s e c o n d ，s o m ei n e q u a l i t i e sa r es h o w n ，a m o n gm i x e da f f i n es u r f a c ea r e a s ，m i x e dp r o - 融t i o u sa n dm i x e dv o l u m e so fe e n t r o i db o d y m o r e o v e r ，t h ei n e q u a l i t ya n a l o g o u st ot h e b l a e c h k e - s a n t a i di n e q u a l i t yi se s t a b l i s h e df o rt h em i x e da n i n es u r f a c ea l e a s t h eg e n e r a l f o r m so ft h ed u a lu r y s o h ni n e q u a l i t i e sa x eg i v e n t h i r d ，w ee s t a b l m ht h ep e t t y - s c h n e i d e rt h e o r e mf o rm i x e db o d y l i nt h ea s p e c t so ft h eb a s i ct h e o r yf o rb m n n - m i n k o w s k it h e o r y , w ef i r s ts h o wt h e d u a lo ft h em i x e dw i d t h - i n t e g r a lo fc o n v e xb o d i e s - t h en o t i o no fm i x e dc h o r d - i n t e g r a l so f s t a rb o d i w ee s t a b l i s ht h ef e n c h e l - a l e k s a n d r o vi n e q u a l i t ya n dag e n e r a li s o p e r i m e t r i c i n e q u a l i t yf o rt h em i x e dc h o r d i n t e g r a l s f u r t h e r ，t h ed u a lg e n e r a lb i e b e r b a c hi n e q u a l i t y i sp r e s e n t e d a sa na p p l i c a t i o no ft h ed u a lf o r m ，ab m n n - m i n k o w s k it y p ei n e q u a l i t yf o r m i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e si sg i v e n i nt h ea s p e c t so ft h ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u mp r o p e r t i e so fg e o m e t r yb o d i e si n t h el p b r u n n m i n k o w s k it h e o r y f o rt h el p p r o j e c t i o nb o d ya n dl p c e n t r o i db o d y , w e m a i n l yr e s e a r c ht h em o n o t o n i c i t yi n e q u a l i t i e so f t h e 岛一p r o j e c t i o nb o d ya n dl p c e n t r o i d b o d ya n dt h e 打p o l a r k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y , s t a rb o d y , p o l a rb o d y , i n e q u a l i t y , e x t r e m u m ，卜t hw i d t h i n t e g r a lo fc o n v e xb o d y , m i x e dw i d t h - i n t e g r a lo fc o n v e xb o d i e s ，m i x e de h o r d - i n t e g r m so f s t a rb o d i e s ，锄n es u r f a c ea r 撼，m i x e da f f a n es u r f a c ea r e a , m i x e dp r o j e c t i o nb o d y , 勰i 暂e d b o d y , l p p r o j e c t i o nb o d y , l p - e e n t r o i db o d y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名： 一融至一 日期蟹- | 三_ 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：岁蟑垒- 导师签名：1 z 奄螭掺日期：璺竺生二三上y 第一章绪论 本文选题来自冷岗松教授主持的2 0 0 2 年国家自然科学基金项目。几何分析中 的极值问题研究。( 批准号：1 0 2 7 1 0 7 1 ) 在本章中，首先我们简要叙述一下凸几何 的发展历程和研究现状，接着我们叙述了本文研究的主要问题及取得的主要成果 1 1 学科综述 凸体几何起源与1 9 世纪下半叶，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出的奠基 者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s n n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 弓f 进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式，其中不少结果在许多领域有 着广泛的应用2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i u 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何分 析学派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性的进展，使得 一些经典的凸体几何难题得以解决，也使得对凸体理论的研究空前繁荣，成为现代 数学重要的主流方向之一，b o u r g a i n 也因此而得到f i e l d s 奖进入2 0 世纪9 0 年代 后，凸体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸体扩大到星体1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所( m s r i ) 将几何分析列为一个半年项目( ah a l f - y e a rp r o g r a m ) ，项目结束后 出版了两本书；”c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s 和”f l a v o r so fg e o m e t r y ，这两本书， 特别是后者列举了大量关于凸体的等周极值问题的研究结果，其引言中指出这种研 究将是近期数学研究的一个十分重要的方面 凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是 以微分几何、泛函分析、偏微分方程，点集拓扑为基础的现代几何学凸体几何可 分为组合理论和度量理论，组合理论【删主要研究几何体的组合关系，讨论它们的 面数，顶点数，棱数等的数量关系度量理论主要研究几何体的度量性质，如几何 体的构形、体积、表面积、宽度、角度、投影等，其中最富有吸引力的是形形色色 的应用广泛的等周不等式【3 ，1 3 ，鼹】 凸体几何的度量理论与其它经典的数学分支紧密联系，相互交叉渗透，既有严 1 2凸体的极值问题 密的理论基础有具有广泛的应用前景。下面对凸体几何的度量理论中的一些主要的 研究方向做一个概述 ( 1 ) 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论起源于1 8 8 7 年h e r m a n nb r u n n 的论文和h e r m a n n m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著收集了 已经出版的结果，r ，s c h n e i d e r 的专著【9 7 】是部最近出版的极其优秀的参考书经 典b r u n n - m i n k o w s k i 理论是e u c l i d e a n 空间中向量的m i n k o w s k i 线性组合和体积结合 的产物其精髓是混合体积的记号和基本的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式混合体积的记 号由于满足一系列不等式，被广泛用于解决极值问题局部意义下的混合体积可产 生混合面积测度，均值积分，m i n k o w s k i 函数、表面积测度、曲率测度都是混合体积和 混合面积测度的特殊情形，它们与微分几何及积分几何密切相关b r u n n - m i n k o w s k i 不等式被认为是经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石，是征服各类涉及体积、表面积、 宽度等度量关系难题的漂亮和强有力的工具b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的积分形式 常被称为p r e k o p a - l e i n d l e r 不等式一h 6 1 d e r 不等式的逆形式，在b r a s c a m p 和l i e b 的 巨大努力下，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的加强形 式的特殊情形，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的一种最强 的形式，它与代数几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r 独立地令人惊讶地发现了 a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式可与代数几何中的h o d g e 指标定理相联系，b o r e l l 容积 不等式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不等式之中，它被用来解决容积的m i n k o w s h 问 题，m f l m a n 的逆向b r u n n - m i n k o w s k i 不等式是在b a n a c h 空间局部理论中的特写形 式，g a r d n e r 和g r o n c h i 的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的离散形式与涉及离散等周不等 式的离散数学、组合理论和图论联系密切以b r u n n - m i n k o w s k i 不等式为中心，环抱 着一系列与之有关的仿射等周不等式，如p e t t y 投影不等式和z h a n g 的仿射s o b o l e v 等周不等式b r t m n - m i n k o w s k i 不等式在球面、双曲空间、m i n k o w s k i 空间，g u a s s 空间也有着不同的版本 经典对偶b r u n n - m i n k o w s h 理论也可归为经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论，自1 9 7 5 年著名数学家l u t w a k 引入星体的对偶混合体积f 5 4 j 的概念以来，便开创了经典对 偶b r u n n - m n k o w s l d 理论，它与由m i n k o w s k i ，b l a s d r k e 、a l e k s a n d r o v 等开创的经 典的凸体理论有着惊人的相似，其基本想法是。星体。对应。凸体。，。m i m k o w s k i 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 3 和一对应。m i n k o w s k i 径向和”、“混合体积”对应。对偶混合体积”。支撑函数” 对应。径向函数一，。投影体”对应。截面体。值得一提的是pr g o o d e y 2 4 ，e l g r i n b e r g 2 6 ，h g r o e m e r 勰】，p m g r u b e r 2 9 等也在该领域作出了重要贡献 2 0 世纪8 0 年代，该理论空前繁荣，并解决了一系列长期未能取得进展的重要课题 【2 0 ，2 l ，1 8 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，1 0 8 ，1 1 0 ( 2 ) 厶一b r u n n - m i n k o w s k i 理论( 又称为b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论) 岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理论起源于f i r e y ( 1 7 ) 于1 9 6 2 年定义的凸体的f i r e y l p 一 组合( 又称为f i r e y 线性组合) ，该理论的建立归功于著名数学家e l u t w a k 1 9 9 3 年， l u t w a k 在 6 9 中把凸体的f i r e y l p 一组合引入到经典的b r u n n - m i n k o w s l d 理论，提出 了l ，一混合体积、岛一混合均质积分，岛一混合表面积测度和“一混合表面积测 度等概念，并建立了相应的积分表达式从而把经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论推广到 一空间中进行研究随后，l u t w a k 予1 9 9 6 年在【6 9 】中又把f i r e y ( 1 5 ，1 6 1 ) 于1 9 6 1 年定义的如一调和径向组合引入至0 经典对偶b m n n - m i n k o w s k i 理论，提出了l p 一对 偶混合体积、岛一仿射表面积、岛一几何表面积、岛一曲率映象等概念，不仅更加 丰富了昂一b r u n n - m i n k o w s k i 理论，而且也标志着对偶l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论的 形成在该理论研究领域，国际上异常活跃的领军人物当数e l u t w a k ，d y a n g ，g y z h a n g ( 华裔数学家张高勇教授) 及r j g a r d n e r 等著名数学家，他们先后引入了 如一廊b 体( 8 1 1 ) 岛一投影体( 1 7 5 ) ，新椭球( 【7 4 】) ，岛一j o h n 椭球( 【7 9 】) ，一 截面体( 【2 2 】) ，k 一带体( 7 8 ) 等概念，并系统地研究了昂一s o b o l e v 不等式( 7 7 1 ) 岛一仿射等周不等式( 【7 5 】) ，- m i n k o w s k i 问题( i t s ) 、k 一子空间中的体积不 等式( 【8 0 】) 等问题特别令人惊讶的是新椭球的概念被应用到信息科学中( 【7 6 ，3 1 】) 此外，还有众多数学家也在该领域作出了突出贡献( 1 1 ，1 2 ，1 9 ，2 2 ，2 7 ，3 1 ，3 4 ，7 2 】) 最 近1 0 多年来，k b r u n n - m i n k o w s k i 理论得到飞速发展，已成为当今国际上几何分 析的热点研究领域之一 ( 3 ) b a n a c h 空间的局部理论 b a n a c h 空间的局部理论它是凸体几何与泛函分析结合的最引人注目的产物，这 被认为是现代国际数学研究的主流方向之一此研究方向源于2 0 世纪a d o f f h u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法， 并在后继的论文中运用球面调和分析对3 - 维工件的凸体证明了类似的不等式，随 4 凸体的极值问惠 后，hm i n k o w s k i 球面调和分析的方法证明了3 - 维常宽凸体的有趣特征，由此开辟 了运用分析和球面调和研究几何的方法。此方法具有很强的生命力，j e a nb o u r g a l n 和v i t a l im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开刨了凸渐近理论的研究，在凸体逼 近研究中获得了大量深刻的结果【8 2 ，8 铷，他们合作的一篇关于凸体的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名论文 8 】是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一论文p m i e r s 9 ， l j n d e n s t r a u s s 等在该领域也作出了剖见性的贡献 ( 4 ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 几何断层学是凸体几何与医学c t 及体视学、几何刺探等的交叉学科，它研究 如何从几何对象的低维信息( 如投影信息、截面信息、x 射线信息等) 重构该几何 对象或者对该对象的性质作出推断在1 9 6 1 年，pc h a m m e r 教授在美国数学会 上提出了这样个问题：平面上的一个凸体最少能被几张x _ 射线图片确定? 大约 2 0 年后，r ，j g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，pc m c m u l l e n ，a v o l c i c 等大批数学家积极 投入到这个问题的研究，并且获得了确切的答案f 1 0 0 lt 平面上的一个凸体能被4 个 方向上的x - 射线完全确定，只要这4 个方向不是某个仿射正多边形边的方向集的 子集当今世界上对几何断层学的研究可分为两大群体，其是以r j g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完全理论研究者，他们获得了一大批令人羡慕的成果，1 9 9 5 年，i l j g a r d n e r 教授综合了这方面的所有成果，撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o 孕 a p h y 【1 8 】； 其二是由于几何断层学有很强的实际应用背景，以m i t 大学计算机与电子工程系 的a l a nw i l l s k y 为代表的应用研究者，自8 0 年代以来，一直致力于计算机图形与模 式识别研究，实现了几何断层学在计算机上的应用此外，几何断层学在医学、体 视学几何刺探等方面都得到了很好的应用 ( 5 ) 积分几何方法在凸体几何与几何概率研究中的应用 积分几何渊源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系 统的工作，在2 0 实际3 0 年代积分几何正式成为独立的数学分支，当然s t a n t a l 6 在 积分几何领域中也是无可争辩的主将积分几何的研究与几何概率问题始终紧密相 关，因此，积分几何的方法在凸体几何与几何概率的研究中具有十分重要的作用， 该领域的研究愈来愈受到国际数学界的重视，欧美等国均有批高水平的数学家从 事该领域的研究2 0 世纪4 0 年代，陈省身【1 4 1 教授和a w e l l 教授将局部紧群上的 不变测度的观念纳入积分几何，从而形成齐性空问理论结构的积分几何，对这门学 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 5 科的进步发展作出了极为卓越的贡献吴大任是我国最早从事积分几何方面研究 的数学家之一，他第一个对椭圆空间的积分几何作系统的研究，获得了运动基本公 式等重要结果，他证明了关于欧氏平面和空间中的凸体弦幂积分的一系列不等式， 并由此导出一些关于几何概率和几何中值不等式任德麟在积分几何随机几何和 凸体论的研究中取得了丰硕成果 9 1 ，9 2 】，积分几何学引论是我国目前唯一积分 几何专著，同时被国际同行广泛引用 ( 6 ) 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究源于距离几何中的构形问题 几何体的度量性质、嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题一直是凸 体几何研究的个充满活力的方向我国著名数学家吴文俊的研究工作涉及到数学 的诸多领域，在多年的研究中取得了丰硕成果，他曾因在2 0 世纪5 0 年代圆满地解 决了复合形在欧氏几何嵌入这一凸体几何难题而举世瞩目，享誉世界著名数学家 杨路教授及张景中院士不断推出创见，做出了系统的创造的成就，他们于2 0 世 纪8 0 年代在单形不等式与极值问题、初等图形的嵌入问题等方面作出了开创性的 工作，其独创的证明不等式或涉及不等式的几何定理的非常强有力的方法，至今仍 被国际同行广泛引用，影响深远【1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 6 ，1 1 1 宗传明 1 1 2 】在凸体几何和离散 几何中的球堆积与密码方面有着突出贡献，得到了国际学术界的重视和高度评价 1 2 本文研究的内容 在经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论方面，本文主要利用b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基本 概念，基本知识和积分变换方法，对些凸体的几何性质进行了研究另一方面， 本文主要利用印一b r u o n - m i n l w s m 理论的基本概念，研究岛一空间中凸体几何的 度量不等式和极值问题具体体现为 ( 1 )对凸体i 一次宽度积分进行了研究得到了凸体i 一次宽度积分的一些性 质与不等式，并利用这些性质与不等式获得了投影体，相交体与质心体及其极体的 b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式 ( 2 )建立了混合仿射表面积之间及其与混合投影体，质心体混合体积之间的 不等式而且研究了凸体混合仿射表面积的b l a s c h k e - s a n t a l d 不等式，并建立了对偶 u r y s o h n 不等式的推广形式 ( 3 )引入星体的混合弦长积分的概念它是凸体的混合宽度积分的对偶形式 6 凸体的极值问题 运用经典b r u n n - m i n k o w s t d 理论的基本理论知识，研究了星体的混合弦长积分的度 量不等式和极值性质 ( 4 )探讨了混合体的p e t t y - s c h n e i d e r 定理建立了混合体的m i n k o w s k i 不等 式，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 ( 5 ) 主要探讨了投影体和岛一质心体及其极体的一类单调性不等式 1 3 本文取得的主要成果简介 本文将采用如下记号：设 ：，i 是n 维欧氏空间r ，中的凸体( 有非空内点的紧凸 集) 的集合，蝣和埘分别表示i p 中包含原点为内点的凸体集合和关于原点对称 的凸体集合记霹为r ，中星体( 关于原点) 的集合在i p 中。几何体k 的n 维体 积用v ( k ) 表示，i 一次均质积分和i 一次对偶均质积分分别用舷( ) a = 0 ，1 ，n ) 和厩( k ) ( i 是任意实数) 表示，标准单位球b 的n 维体积用表示，并用酽- 1 表示r t t 中的单位球面凸体的i 一次宽度积分用b i ( k ) 表示对l ，一空间中的几 何体，分别用p k 和r p k 表示凸体k 的一投影体和岛一质，l - 体 ( 1 ) 对于凸体i 一次宽度积分的研究 根据l u t w a k 引进的凸体t 一次宽度积分的概念 5 5 1 ，我们更为广泛地研究了凸 体i 次宽度积分的性质，获得了凸体i 一次宽度积分的b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式， 并建立了凸体i 一次宽度积分a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式的局部形式 定理1 3 1 设k 舻，则当i n 时， b i ( k ) 玩( k ) 2 碡，( 1 3 1 ) 等号成立当且仅当k 是中心在原点的n 维球当l i 2 n 时，以只 的不等号 反向。等号条件不变 定理1 3 2 设k 驴。工是舻中的t l 一维球，则 面b i i j ( k 石丽+ l ) s 百b i i j ( k 巧万) + b 丽i ( l ) b i + t ( l ，f = 。，1 ，一，n 1 ( 1 - 3 2 ) 蜀+ l 暇+ l ) 一b + l ( k ) ) 。 。 、 7 另外，我们应用i 一次宽度积分与对偶均质积分的关系，获得了两个中心对称 凸体极的b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 7 定理1 3 3 设k l 醒，则当t n 时，不等式口只鲫的不等号反向，等号 条件不变 特别，若取i = 鼽，则我们有 推论1 3 1 设k ，l 研，则 y ( ( j r + l ) ) 一1 ，n y ( j r ) 一1 加+ v ( l ) 一1 加， 等号成立当且仅当k 和l 相似 说明以上内容形成的论文 鹩】已发表在国内数学杂志应用数学，2 0 0 6 ， 1 9 ( 3 ) ，6 3 2 - 6 3 6 ( 2 ) 关于混合仿射表面积的不等式 l u t w a kf 6 3 ，6 2 ，6 8 】和冷【4 5 】等对仿射表面积，混合仿射表面积和曲率映象做了 深入地研究，发现了他们的许多性质与不等式 我们建立了混合仿射表面积与混合投影体以及混合仿射表面积与质心体混合体 积之间的关系 定理1 3 4 设尬，p ，则 q ( k 1 ，) n 1 ( 老) “y _ - 1 ) ”( n ，- 1 ) ) y 1 加( ) ， 等号成立当且仅当所，玩是相似椭球 特别，在定理1 3 4 中取k 1 _ = = k ，则得到p e t t y 仿射投影不等式【8 8 】， 所以这个不等式可视为p e t t y 仿射投影不等式的推广形式 定理1 3 5 设i ，p ，则 q 卅- ( k 1 , - - - , 凰) 矿r ，( 尘；：半) 卜”“俨_ l ( r 甄，r ) ， 等号成立当且仅当k a ，是中心在原点的相似椭球 8凸体的极值问题 特别，在定理1 3 5 中取甄_ = = k ，则得到b u s e m a n n - p e t t y 仿射质心 体不等式： n 州( 琊碡( 甓学) 似。1 m ( r r ) ， 所以这个不等式可视为b u s e m a n n - p e t t y 仿射质心体不等式的推广形式 而且。我们获得了混合仿射表面积a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式的局部形式 定理1 3 6 设k ，1 ，”( k ) = m i n f ( k ) ，u 扩_ 1 ，且0 t 目) ，则对 i2 1 有 f 2 i ( k + t b ) 、 f l i ( k )n i ( t b ) q 件( n + 1 ) ( k + t b ) = - 1 2 i + ( 。+ 1 ) ( k ) n i + ( 叶1 ) ( t b ) 我们建立了混合仿射表面积类似于b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式的形式 定理1 3 7 设所，p ，则 n ( 硒，k n ) n ( k ，联) sn 2 霹， 等号成立当且仅当所，j 厶是相似椭球 我们发现凸体曲率映象的仿射表面积也有类似于b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式的形 式 定理1 3 8 设k 妒：则 n ( a k ) n ( a k + ) n 2 2 ， 等号成立当且仅当k 是中心在原点的椭球 另外，利用混合仿射表面积的性质，我们获得了广义对偶u r y s o h n 不等式 定理1 3 9 设k 胪，i t l ，更f i 啦( k ) 嵋- - i + 1 讹n ”- - l ，、n 1 ， 等号成立当且仅当k 是中心在原点的n 维球 特别，如果取i = 0 ，则有 1 ，( k + ) 芝嵋- i + l w = 2 1 ( k ) ， 这是著名的对偶u r y s o h n 不等式我们获得的结论是它的推广形式 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 9 说明以上内容形成的论文【4 9 1 已被印度数学杂志i n d i a nj p u r ea p p l m a t h 录用 ( 3 ) 关于星体的混合弦长积分的研究 我们引入了星体的混合弦长积分的概念，它是凸体的混合宽度积分的对偶形 式运用经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基本理论知识，研究了星体的混合弦长积分 的度量不等式和极值性质 定理1 3 1 0 如果l 1 ，l 。霹，那么 b ”( 工1 t ，l 。) sy ( 工1 ) 一v ( l 。) ，( 1 3 4 ) 等号成立当且仅当工l ，l 。是中心对称的且互为膨胀 我们获得了不等式( 1 3 4 ) 的加强形式， 定理1 3 1 1 如果工1 ，l 。霹，且一。p 1 ，那么 霹( l 1 ，l 。) v ( l 1 ) v ( l 。) ，( 1 3 5 ) 等号成立当且仅当l 1 t ，k 是n 维球 定理1 3 1 2 如果l l ，k 嚣且1 m n ，则 m l b ”( l 1 ，一，l n ) nb ( l 1 ，l n m ，l n t ，l n 1 ) ， ( 1 3 6 ) i = 0 等号成立当且仅当l 。- l i k 一。+ 2 ，k 都具有相似的弦长 而且我们也获得了不等式( 1 3 6 ) 的加强形式： 定理1 3 1 3 如果l l ，l 。器且1 0 有 m l b ( l l ，一，k ) i ib p ( l 1 ，厶；一m ，l n i ，l n i ) ， ( 1 3 7 ) i = 0 等号成立当且仅当厶。一竹h 1 ，k 一州2 ，l 。都具有相似的弦长对于p 0 ，不等式 ( 1 3 ) 走友向的 定理1 3 1 2 和定理1 3 1 3 恰好就是对偶混合体积的f e n c h e l a l e k s a n d r o v 不等式 ( 【5 4 】) 的类似形式 而且，我们获得了l u t w a k 建立的广义b i e b e r b a e h 不等式( 【5 6 】) 的对偶形式t 凸体的板值问题 定理1 3 1 4 如果l 霹且一o 。s p t l ，只i j y ( l ) “。五( l ) “ 等号成立当且仅当工是n 维球 作为定理1 3 1 4 的个应用，我们建立了混合相交体( 6 5 ，1 0 8 ) 的个b r u n n - m i n k o w s k i 型的不等式 定理1 3 1 5 如果l 1 ，如霹且 n 一1 ，则 觑( j ( l 1 革工2