（教育学专业论文）基于apos理论的三角函数教学设计研究.pdf

摘要 三角函数是在高中阶段最后一个基本初等函数，它既是对函数定义的进一步理解，又 是对函数的周期性及函数思想的进一步深化。在实际教学中，三角函数是学生理解较为困 难的数学内容之一，因此对教师的教学提出了很高的要求。本文试从美国数学教育家杜宾 斯基提出的数学学习理论- a p o s 理论的观点分析和研究三角函数的教学，着重探讨如何 利用a p o s 理论优化三角函数的教学过程，并提出了相关的教学模式、教学设计等。 本文研究的内容主要分为六个方面：第一，对a p o s 理论的相关文献进行综合分析与 研究。发现a p o s 理论是具有数学学科特色的学习理论并为数学教学提供了一种模式。第 二，对三角函数的教与学的现状进行分析与研究，阐述了a p o s 理论在三角函数教学中应 用的可行性和必要性。第三，将a p o s 理论与三角函数教学相结合，构建三角函数教学模 式的结构框图和实施过程，为具体的教学设计提供理论指导。第四，在a p o s 理论的指导 下，对三角函数教学中的六个典型教学案例进行设计，并在实践中反思使其成为教学中的 一种范式。第五，在教学实践中分析学生学习中的常见障碍，并提出解决策略，从而使教 学设计更加贴近学生认知水平。第六，在a p o s 理论运用于三角函数的教学过程中，体验 理论与实践之间的差异，指出理论应用中的局限性等相关问题。 本文研究的重点是a p o s 理论指导下的三角函数的教学模式、教学设计、学生学习障 碍以及相应的解决策略。从而探索了新的教学理论和教学方式，- w 找更加适应学生发展的 教与学的契合点，为高中三角函数的教学提供了教学参考。 关键词。a p o s 理论；三角函数；教学设计 a b s t r a c t t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ni st h el a s tb a s i ce l e m e n t a r yf u n c t i o ni nt h eh i g hs c h o o ls t a g e ，i ti s n o to n l yaf “r t h e ru n d e r s t a n d i n go ft h ef u n c t i o nd e f i n i t i o n ，b u ta l s oaf u r t h e rd e e p e n i n go ft h e p e r i o d i cf u n c t i o na n d f u n c t i o nt h o u g h t i na c t u a it e a c h i n g ，t h et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ni so n eo f t h ed i f f i c u l tm a t h e m a t i c a ic o n t e n t sf o rs t u d e n t st ou n d e r s t a n d s ot e a c h e r sa r eh i g h l yr e q u i r e di n t e a c h i n g t h i sp a p e rt r i e st oa n a l y z ea n dr e s e a r c ht r i g o n o m e t r i cf u n c t i o nt e a c h i n gb a s e do nt h e m a t h e m a t i c si e a r n i n gt h e o r y a p o si d e aw h i c hw a sp u tf o r w a r db yt h em a t h e m a t i c se d u c a t o r d u b i u s k e y t h e r e f o r e ，t h i sp a p e rf o c u s e so nh o wt oo p t i m i z et h et e a c h i n gp r o c e s so f t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o nb yu s i n gt h ea p o st h e o r y m e a n w h i l ei tp r o p o s e ss o m er e l a t e dt e a c h i n g m o d e ，t e a c h i n gd e s i g n ，e t c t h ec o n t e n to ft h ep a p e ri s m a i n l yd i v i d e d i n t os i x a s p e c t s ：f i r s t ，i ta i m sa tt h e c o m p r e h e n s i v ea n a l y s i sa n dr e s e a r c ho f t h er e l a t e dl i t e r a t u r eo fa p o s t h e o r y , f i n d i n gt h a ta p o s t h e o r y , w h i c hi sai e a r n i n gt h e o r yw i t hm a t h e m a t i c a is u b j e c tc h a r a c t e r i s t i c s ，p r o v i d e sam o d e i f o rm a t h e m a t i c st e a c h i n g s e c o n d ，i ta i m sa tt h ea n a l y s i sa n dr e s e a r c ho ft h es t a t u sq u oo f t e a c h i n ga n di e a r n i n go ft r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n ，e x p o u n d i n gt h ef e a s i b i l i t yo fa p p l i c a t i o na n d n e c e s s i t yo ft h ea p o st h e o r yi nt h et e a c h i n go ft r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n t h i r d ，c o m b i n i n ga p o s t h e o r yw i t ht r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n st e a c h i n g ，i ta i m sa tt h ec o n s t r u c t i o no ft h et e a c h i n gm o d eo f t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns t r u c t u r ed i a g r a ma n di m p l e m e n t a t i o np r o c e s s ，p r o v i d i n gt h e o r e t i c a i g u i d a n c ef o rt h es p e c i f i ct e a c h i n gd e s i g n f o u r t h ，i nt h ed i r e c t i o no ft h ea p o st h e o r y , i ta i m sa t t h es i xt y p i c a lc a s et e a c h i n gd e s i g ni nt h et e a c h i n go ft r i a n g l ef u n c t i o n ，r e f l e c t i n gi nt h ep r a c t i c e a n dm a k i n gi tap a r a d i g mo ft e a c h i n g f i f t h ，i ta i m sa tt h ea n a l y s i so fs t u d e n t s c o m m o nb a r r i e r s i ns t u d yi nt h ep r a c t i c eo ft e a c h i n g , p u t t i n gf o r w a r dt h es t r a t e g yt os o l v es ot h a tt e a c h e r sc a n m a k et h et e a c h i n gd e s i g nm o r ec l o s et ot h el e v e lo fs t u d e n t s c o g n i t i o n s i x t h ，i ta i m sa tt h e e x p e r i e n c eo ft h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e o r ya n dp r a c t i c ei nt h ep r o c e s so ft e a c h i n go ft h e a p p l i c a t i o no ft h ea p o st h e o r y , p o i n t i n go u ts u c hp r o b l e m sa st h ei i m i t a t i o n so ft h ea p p l i c a t i o n o ft h et h e o r y t h i sp a p e rf o c u s e so nt h et e a c h i n gm o d eo ft h et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n ，t e a c h i n gd e s i g n ， s t u d e n t s l e a r n i n gd i s a b i l i t i e sa n dc o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n su n d e rt h eg u i d a n c eo ft h ea p o s t h e o r ys ot h a tw ec a nf i n dt h el i n k i n gs p o tb e t w e e nt e a c h i n ga n dl e a r n i n gw h i c hi sm o r e a d a p t a b l et ot h ed e v e l o p m e n to ft h es t u d e n t sw h e ne x p l o r i n gt h en e wt e a c h i n gt h e o wa n d t e a c h i n gm o d e ，a n dc a np r o v i d et e a c h i n gr e f e r e n c ef o rt h eh i g hs c h o o lt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n t e a c h i n g k e y w o r d s ：a p o st h e o r y ；t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n ；t e a c h i n gd e s i g n n 第一章问题的提出 1 1研究背景 随着经济的发展，社会的进步，促使了我国新课程改革的不断深化。新课程改革的一 个重要的目标就是要改变长久以来学生存在的被动接受的学习方式和教师满堂灌的教学方 式。 新课程改革就是要在教育理念上形成突破，即树立起课程是为学生提供学习经历并获 得学习经验的观念；以学生发展为本，构建体现时代特征的课程体系；以学习方式的改变 为突破口，重点培养学生的创新精神和实践能力。对于数学学科而言课程要体现数学的精 神实质，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知 识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学 问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。 因此，作为数学教育工作者就要求突破固有的教学模式，勇于探索新的教育理论和教 学方式，找寻更加适应学生发展的教与学的契合点，这是我们面临的一个重要课题。 1 2 研究意义 三角学之英文名称t r i g o n o m e t r y ，约定名于公元1 6 0 0 年，实际导源于希腊文t r i g o n o ( 三角) 和m e t r e i n ( 测量) ，其原义为三角形测量( 解法) ，以研究平面三角形和球面三角形的 边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。后来受函数思想的渗透，从 而引发任意角的三角函数的研究。从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，应该说是认 识上的一次大的飞跃。这一飞跃由数学大师欧拉引入直角坐标系完成了，这就是欧拉在其 名著无穷小分析引论中提出的三角函数的定义，这一定义一直沿用至今为了方便学 生学习，有人把角的动径r 取作单位长度，即r = l ，于是出现了单位圆，三角函数以圆函数 的面目出现。此时三角函数也就不再囿于研究三角形的解法，而是可以去反映现实世界中 一切可以用三角函数反映的运动或变化过程。【i j 三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数，它既是对函数定义的进一 步理解，又是对函数的周期性及函数思想的迸一步深化。通过对三角函数的学习，学生将 进一步加深对函数概念的理解，提高利用用函数概念解决问题的能力，并为今后学习分析 学、几何学和代数学打下坚实的基础。 但是在实际教学中，发现学生在学习三角函数方面出现了很多困难。可以说高一数学中 学生学得最艰难的就是这部分了。因此作为一线教师，结合自身的教学实践，探索新的教 学理论，构筑高效的教学方式提高教学效果促使学生对三角函数知识正确的理解和应用就 有了现实的意义。 1 3 研究内容 本研究的内容是应用a p o s 理论分析和研究的三角函数的教学，着重探讨如何利用 a p o s 理论优化三角函数的教学过程，并提出了相关的教学模式、教学设计等，其中包含以 下六个方面： ( 1 ) 对关于a p o s 理论的相关文献进行综合分析与研究。 ( 2 ) 对三角函数的教与学的现状进行分析与研究，阐述了a p o s 理论在三角函数教学 中应用的可行性和必要性。 ( 3 ) 将a p o s 理论与三角函数教学相结合，构建三角函数教学模式的结构框图和实施 过程。 ( 4 ) 对三角函数教学中的六个典型教学案例进行设计，并在实践中反思使其成为教学 中的一种范式。 ( 5 ) 开展教学实践，在实践中分析学生学习中的常见障碍，并提出解决策略。 ( 6 ) 总结反思并指出a p o s 理论指导教学实践中的局限性等相关问题。 1 4 研究方法 ( 1 ) 文献研究法：主要对相关研究文献作梳理、综合和概括，提炼出有关a p o s 理论 研究的相关成果。 ( 2 ) 案例分析法：主要对三角函数中的新授课在a p o s 理论的指导下按照活动过 程对象图式进行重新设计。 ( 3 ) 经验总结法：主要是指案例中的新授课在教学后，通过教师自我的反思在实践中 的得失，总结教学经验。 2 第二章a p o s 理论研究综述 2 1 a p o s 理论简介 2 1 1a p o s 理论的起源 美国高校自2 0 世纪8 0 年代以来，普遍进行课堂教学模式改革，由“范例教学”、“交 互式教学 和“小组合作学习 等模型构成，通过学生与教师、学习伙伴、以及学习资源 之间的互动，帮助学生构建知识发展能力。实践证明，这种以培养学生创新能力为目标的 课程教学模式满足了教学目标多元化、学习方式多样化和学习过程个性化的需求，促进学 生创造性地运用所学知识，培养团队合作能力、自主学习能力和独立研究能力。 a p o s 理论就是在这种社会背景下，由美国教育学家杜宾斯基( d u b i n s k y ) 等人提出的 数学学习理论。杜宾斯基关于a p o s 的文章最早出现在有韬尔( t a l l ) 主编的高等数学思 维上。杜宾斯基认为一个人是不可能直接学习到数学概念的。更确切地说，人们透过心 智结构( m e n t a ls t r u c t u r e ) 使所学习的数学概念产生意义。如果一个人对于给予的数学概念 拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念。相反地，如果一个人无法建立 起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的，以此，教学的目的就是如何帮 助学生建立适当的心智结构。根据上述想法，杜宾斯基成功地帮助大学生们学习了一系列 与微积分，离散数学，抽象代数等学科分支有关的概念，如群，子群，陪集，商群，等等。 2 1 2a p o s 理论的涵义 杜宾斯基等人的观点是任何一个数学教育理论应该致力于“学生是如何学习的”以及“什 么样的教学计划可以帮助这种学习的理解”，而不仅仅是陈述一些事实。正是基于这样的考 虑杜宾斯基等人建立了a p o s 理论。 a p o s 理论的一个基本假设：数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获得 的。在此过程中，个体依序建构了心理活动( a c t i o n ) 、过程( p r o c e s s ) 和对象( o b j e c t ) ， 最终组织成用以理解问题情境的图式结构( s c h e m a ) 。杜宾斯基等人认为a p o s 理论可以看 成是皮亚杰的“反思性抽象( r e f l e c t i v ea b s t r a c t i o n ) 的扩展。 2 1 3 2 1 3a p o s 理论的理论模型 杜宾斯基认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4 个阶段( 以三角函数概念为例) ： 第一阶段活动( 或操作) ( a c t i o n ) 阶段。这里的活动是指个体通过一步一步的外显 性( 或记忆性) 指令去变换一个客观的数学对象。数学教学是数学活动的教学，操作运算 行为是数学认知的基础性行为。学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知 识，虽然这种实践性与物理、化学、生物等实验科学的观察试验行为所不同，但数学活动 仍需实际操作演算和头脑中的心理操作思想实验，没有物理操作和心理的操作，数学 概念将成为无源之水，无本之木。大部分数学概念的形成都经历了一个反省抽象的活动。 而要形成反省，被反省的基础，就是操作活动。例如，理解三角函数概念需要进行活动或 操作。在有现实背景的问题中建立一种函数关系y = 3 + 2 s i n x ，要求个体计算出在一个给定 点的函数值，通过这种操作，学生获得函数的操作意义。 第二阶段过程( p r o c e s s ) 阶段。当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，物理操作就 可以内化为一种叫做“过程( p r o c e s s ) ”的心理操作，有了这一“程序”，个体就可以想象之前的 活动，而不必通过外部刺激，他可以在脑中实施这一程序而不需要具体操作，他甚至还可 以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合。例如，一旦学生认识到s i n a = 兰只不过 ， 是给定一个不同的数a 就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的运算时，他就已经完 成了这种过程模式的建构。学生可把上述操作活动综合成函数过程，一般地有a 一 3 + 2 s i n a 。在过程阶段表现为一系列的步骤，有操作性，相对直观，容易仿效学习；学生 可以从过程入手经操作来体会概念中所包含的具体关系。 第三阶段对象( o b j e c t ) 阶段。当个体能把这个“过程”作为一个整体进行操作和转换 的时候，这个过程就变成了他的一种心理“对象( o b j e c t ) 这时，个体可以操控对象去实施各 种相关的数学运算。需要的时候，也可以具体再现对象所包含的过程步骤。例如，将正弦 函数的对应过程压缩为一个“整体”，形成正弦函数的“对象”这一心理结构，从而可以指明它 的各种性质定义域、值域等，也可以此为对象具体的参与到函数运算中去。所以，作 为对象的概念，在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：它既操作别的对象， 又被高层次的运算来操作。当概念进入对象状态时，便呈现一种静态结构关系，成为一个“实 体”，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真正成型。 第四阶段图式( s c h e m e ) 阶段。个体对活动、过程、对象以及它原有的相关方面的图 4 式进行相应的整合、精致就会产生出新的图式结构( s c h e m e ) ，从而可运用于问题解决情境。 一个数学概念的“图式”是由相应的活动、过程、对象以及相关的图式所组成的认知框架。 其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应。 如图2 一l 所示，杜宾斯基认为，活动、过程、对象也可以看作是数学知识的三种状态， 而图式则是由这三种状态构成的一种认知结构。虽然这四者具有等级结构，但个体对某一 数学概念的理解并不只是线性的，而是循环的。 apos 循环 内化 活动 图2 - - 1 在上述的循环中，活动的内化是数学课篁的一种“日常活动”，只有当个体主动地反复 运用“程序”去实施相应的“活动”时，“压缩”才可能出现，在数学活动中，“解压缩 ( d e e n c a p s u l a t i o n ) ”的过程也同样重要，通过“解压缩 为原来的“程序”而分别操作，然 后形成新的“程序 。在新的“程序 中，将涉及到更多的其他数学概念。这样，围绕这个 “对象 就逐渐形成了关联的认知结构，也就是“图式”。a p o s 理论的意义在于它不仅指 出学生的学习过程是建构的，而且表明了建构的层次。 2 2 a p o s 理论的特征 2 2 1a p o s 是具有数学学科特色的学习理论 a p o s 理论集中于对特定学习内容一数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的 思维形式“过程和对象的双重性”做出了切实分析。对数学学习过程中学生的“自反抽象 思维活动做出深入的研究，正确揭示数学学习活动的特殊性，提出学生学习概念要经过“活 动”、“过程”、“对象”和“图式”四个阶段，反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。 5 “活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受概念的 直观背景和概念间的关系。 “过程阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活 动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。 “对象阶段是通过前面的抽象，认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使 其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。 “图式阶段”的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽 象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成 综合的心理图式。 a p o s 理论揭示了数学学习的心理过程，是具有数学学科特色的学习理论。 2 2 2 a p o s 理论是建构主义学习理论在数学学习中的一种具体模式 a p o s 理论的基础来自于皮亚杰的建构主义理论，是建构主义理论应用于在数学学习中 的一种具体的尝试。皮亚杰强调知识联结是以结构形式存在的，他在结构主义一书中 认为结构是一个体系中各种因素之间带有规律性的联系，具有整体性、转换性和自我调节 性。皮亚杰认为，认知是一种同化与顺应，认知者将物体同化到他的动作结构中，同时调 节这种结构，以顺应他原本的认知结构并应对未知，在这个过程中主体和个体都会发生变 化。每个人认知的发展涉及到图式，同化，顺应和平衡四个方面，其中图式被作为一种核 心概念提出。 数学学习是一种特殊的学习，这主要是由数学内容的抽象性和数学知识体系的结构性所 决定的。数学抽象就其本质而言就是一种建构的活动，数学的研究对象正是通过这样的活动 得到建构的。进一步，他们把数学学习归结为意义赋予( s e n s em a k i n g ) 的过程。也即如何把新 的概念与主体已有的知识和经验联系起来，从而使之成为对主体而言是可以理解的、可以把 握的。o l a p o s 理论就是对于理解数学学习的本质和促进数学学习，展现学习者如何进行数 学学习、如何操作学习过程的建构主义的学习理论。 2 2 3 a p o s 为数学教学提供理论工具 a p o s 理论揭示了学生建构数学概念的学习层次，并为数学教师进行数学教学提供了一 种具体的教学模式和教学策略。教师可以通过数学学习的四个阶段活动、过程、对象和图 式来进行教学设计，把握教学流程并通过观察学生学习中的心理过程，及时调整教学使学 生能够积极参与建构出属于自己的心理图式。 6 具体的说，教师直接可以应用a p o s 理论进行数据和资料的理论分析，通过检查学生 解决问题的状况去查看学生是否已经或在多大程度上作出了心理建构，如果学生还不能作 出适当的心理建构或至少没有表现出适当的心理建构，教师就能清楚地解释学生的困难，找 准问题的“结。显然，如果学生已经在学习的过程中通过操作、过程、对象等步骤而形成 一个清晰、完整的图式，那么自然可以推测他能顺利地处理数学概念、解决问题。而如果能 细致地描述其图式建构的细节、过程的话，显然对理解数学概念的形成，数学问题解决的机理 都是有一定的启发和帮助的，教师可以据此调整教学策略和教学方法。【4 】 2 - 3a p o s 的理论基础 2 3 1 建构主义学习理论 a p o s 理论起源于作者试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝 试所谓“自反”，就是返身、反思，自己作了实践性活动，然后“脱身”出来，作为一个“旁 观者”来看待自己刚才做了些什么，将自己所做的活动过程作为思考的对象，并归结出某个 结论，这就是“自反抽象”。皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一种“自反抽象”。它与 通常所谓的“经验抽象”有着重要的区别。所谓的“经验抽象”即是以真实的事物或现象作为直 接的原型，也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性。“自反抽象”却并非是关于物质对 象的，而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动，或者说，这即是对人类自身活动进 行反思的直接结果。皮亚杰的这一观点表明了数学学习的一个重要特点数学抽象活动 的间接性。数学抽象未必是以真实事物或现象为原型的直接抽象，而也可以是以已经得到 建构的数学对象为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去对已有的东西重新进行建构。 a p o s 理论指明了这种建构的途径和方式。无论是“经验抽象”，还是“自反抽象”，必须在 经过操作、过程、对象、图式等阶段后才能完成数学对象、数学思维的建构和提升。【5 】 因此，a p o s 理论是一种建构主义学习理论，该理论集中于对特定学习内容一数学概 念学习过程的研究，它指出学生数学概念学习过程是建构的，并表明建构的顺序层次。强 调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要求学生开展各种各样 的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽象，对概念所 具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的。 7 2 3 2 数学概念的二重性理论 t h o m p s o n ( 1 9 8 5 ) ，g r e e n o ( 1 9 8 3 ) ，h i e b e r t ( 1 9 8 6 ) 等人在8 0 年代指出，数学内容可 以区分为过程和对象两个侧面。所谓过程，就是具备了可操作性的法则、公式、原理等。 而对象则是数学中定义的结构关系。在近几年的研究中，s f a r d ( 1 9 9 1 ，1 9 9 4 ) 等人进一步认为， 数学中，特别是在代数中，许多概念既表现为一种过程操作，又表现为对象、结构。概念 往往兼有这样的二重性，例如： 数：既代表数一个集合中元素的过程，又代表数数的结果。 加法2 a + b ，既代表两个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或 添加后的结果。 函数：既代表定义域中的元素按对应法则与值域中元素作对应的过程，又代表 特定对应的关系结构。 概括地讲，同一个数学概念常常具有如下的二重性： 过程对象； 算法一结果j 操作行为一结构关系。 相应地，它们可以分别具有以下特性： 动态一静态； 细节一整体； 历时( 继时) 一共时( 同时) 。 s f a r d ( 1 9 9 1 ，1 9 9 4 ) 等人的研究进一步提出，概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依 赖关系。形成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程。而且最终 结果是两者在认知结构中共存，在适当的时机分别发挥作用。例如学习函数概念，总是先 按表达式找若干个自变量的值，去计算对应的因变量的值，然后再把它变为一个以定义域、 值域、对应关系三要素构成的对象。数学概念的二重性决定了概念的认知、理解的二重性， 数学思维的二重性，由过程到对象的先后顺序是符合人类整体的认识规律的。网 8 2 4 国内外关于a p o s 理论的研究现状 2 4 1国外关于a p o s 理论的研究现状 a p o s 理论由杜宾斯基等人8 0 年代末发起，最初的研究认为知识是一种“经验抽象 ， 因此研究集中于操作与对象的关系。随着研究深入，他们发现：在由操作到对象之间需要 有一个过程，而且需要进行不断的抽象反思才形成对象。1 9 9 6 年发现将操作、过程、对象 加以联结形成图式，并与其他图式建立联系从而形成综合图式，在9 0 年代理论达到成熟。 而杜宾斯基关于a p o s 的文章最早于1 9 9 1 年出现在有韬尔( t a l l ) 主编的高等数学思维 上。从1 9 9 2 年起杜宾斯基等人先后在数学教育研究发表了函数过程概念的发展， 在高等数学思考杂志中发表了高等数学中的反思性抽象，在数学行为杂志中发 表了函数概念的过程本质等，对a p o s 理论内容及应用作了详细说明，同时说明了a p o s 理论应用的一般操作步骤。1 9 9 3 年在数学行为杂志，发表t ( k a p o s ，一种建构主义理 论，对该理论从理论角度加以分析，说明a p o s 理论是一种建构主义具体模式。 目前，a p o s 理论在国外的数学教育领域较为盛行。诸如：在美国有个组织叫“大学教 育共同体 ，主要研究a p o s 理论如何被应用于大学阶段的高等数学的教学，如函数、抽象 代数( 如二元运算、群、子群、陪集、正规子群和商群) 、离散数学( 如数学归纳法、排列、 对称) 、微积分( 如极限、导数、无穷数列) 、统计( 如平均数、标准差、中心极限定理) 及初等数论( 如位值、可约性、分数等) 。1 9 9 6 年杜宾斯基等人在大学数学教育研究中 发表了，在大学数学教育中一种研究和课程发展框架，1 9 9 7 年在数学行为杂志发表 了群与子群，二元运算学习，在数学行为杂志发表了学生对导数的图形理解的发 展等，在这些论文中都是遵循了理论介绍，实验，数据统计，这三个顺序，并将应用重 点放在大学课堂教学改革中。这些工作不但使a p o s 理论在高等数学的各个学科中受到了 广泛的应用，更重要的是使其在实践中得到了实验论证。 不仅在美国，其他国家学者也在高等数学的范畴内研究运用a p o s 理论。诸如：加拿 大的s i m o nf r a c r 大学的r i n az a z k i s 在检验数学实习教师对以n 位数为基础的位值和小数点 的转换这两个问题的理解时运用了这个理论。他研究的目的之一是为了检验a p o s 理论是 否对研究生理解基础数学同样有帮助。以色列的h a i f a 大学的l i a n aa r s o n 同样也考虑这个问 题，他在观察学生对分数的理解时发现，把a p o s 理论与p e r l an e s h e r 的知识论以及范例成 分的理论结合起来很有效，足见其运用的广泛性。但是这些应用几乎都是在大学阶段的， 而在中小学阶段国外几乎没有相关的工作。 9 2 4 2 国内关于a p o s 理论的研究现状 从2 0 世纪9 0 年代起，a p o s 理论就被介绍到我国的数学教育界。在理论层面上主要有 鲍建生、周超在数学学习的心理基础和过程中简要介绍了a p o s 理论，厦门大学乔连 全博士在全球教育展望中发表了( a p o s ：一种建构主义教学理论，提出了a p o s 理 论在数学学习中对理解数学本质的作用。 在教学研究方面主要有2 0 0 3 年福建师大郑秀云的硕士论文a p o s 理论指导的函数概 念教学、2 0 0 6 年华中师范大学兰冲的硕士论文a p o s 理论下的函数概念认知及教学启 示对运用a p o s 理论指导函数概念教学进行了深入的研究，并结合实例提出在中学阶段 运用a o p s 理论指导教学的启示；2 0 0 5 年西南财经大学唐艳的论文基于a p o s 理论的数 学概念教学设计对a p o s 理论的认识及其在数学概念教学中应该注意的几个问题作了一 点尝试，并就如何进行数学概念教学设计做了一些探索；2 0 0 6 年华中师范大学任成竹的硕 士论文a p o s 理论下圆锥曲线探究对圆锥曲线在a p o s 理论的指导下的教学实践进行 了深入的探究：2 0 0 6 年华东师大张伟平的论文基于a p o s 理论的数学概念教学探究对 a p o s 理论在数学概念教学中的具体实施提供了操作的范例；2 0 0 7 年广西师范大学周士民 的硕士论文基于a p o s 理论的高中函数教学研究把高中函数的教学与a p o s 理论的四 个阶段有效结合在一起，并作出了具有启发意义的研究。其余还有2 0 0 7 年中国科学院数学 与系统研究院陈惠勇的论文数学史观下的数学概念教学新模式，2 0 0 8 年华东师范大学张 中发的硕士论文a p o s 理论下的数列教学研究，2 0 1 0 年山西煤炭职业技术学院体育基础 部的贾丽红的论文基于a p o s 理论的向量概念分析等。 综观以上国内外对a p o s 理论的研究，国外大多关注a p o s 理论研究以及在大学阶段 的应用。而国内对a p o s 理论研究较少，但把该理论应用于数学概念的教学较多。在高中 阶段应用在函数教学中较多，但对中学数学中的其他细分的领域涉及不多。本文试图从 a p o s 理论发展概况入手，立足于将a p o s 理论应用于三角函数教学，对其学习和教学过程 设计做探讨和分析，并进行教学实践，探索对于同一教学内容的不同教学效果的比较。通 过理论分析和教学研究，寻找更加有效的教学模式，从而使课堂充满生气，学生学习兴趣 和参与积极性得到提高，学生探究意识及创新精神得到加强。【7 j 1 0 第三章三角函数教学的研究 3 1三角函数教与学的现状 3 1 1 三角函数在中学数学课程中的现状 在数学课程中，三角至关重要，它是几何与代数的一座桥梁、沟通初等数学和高等数 学的一条通道函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题 的解决要用到三角知识。h l 从上世纪7 0 年代至今，三角函数的教学内容做过了多次改革。最新的上海市二期课改 中，上海市颁布了上海市中小学数学课程标准( 试行稿) 其课程内容分为三角比( 2 0 课时) 和三角函数( 1 2 课时) 两大部分。其中三角比部分包括：任意角的概念、弧度制、 任意角的三角函数的概念、三角恒等式与解斜三角形，三角函数部分包含了三角函数的图 象与性质、反三角函数和最简三角方程。 新的课程标准中更加突出以下几点：1 知识与知识的横向联系，如课程标准中提出“结 合三角比的有关内容，学习向量和数量积运算及其性质。再进一步学习正弦定理和余弦定理， 在解三角形中体会它们的应用 ；2 突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质， 如课程标准中提出“根据函数的定义，运用研究函数的基本方法，研究三角函数及其性质。 特别要重视三角函数的周期性及其图像特征，并形成对周期现象和周期函数的初步认识”； 3 突出了数学知识的应用性，如课程标准中提出“加强数学知识与现实生活的联系，重视一 般正弦函数在物理上的应用”。 9 1 新的数学教材分为三角比和三角函数两章来编写，目的是要分解学生记忆和理解的难 度。内容上本着“基础性、整体性、易接受 的原则，精选了三角函数学习所必需的，能 体数学思想的，并在现代社会的生活和生产中有着广泛地应用的知识。从而避免要求过高、 分量过重的倾向，但是在实际的教与学中却并没有那么顺利。 3 1 2 学生学习三角函数的现状 学生普遍感觉学习三角函数的难度较大! 首先是任意角的定义需要把角放置到坐标系里 旋转，就把很多学生给转晕了。其次是奇怪的弧度制，单位圆好像从天上掉下来似的。再次 是很多的三角函数公式如：诱导公式、两角和与差的正余弦、倍角半角公式等等及其它们的 变形，把学生搞得的晕头转向，使用的时候好像是在碰运气。最后是三角函数一会是正弦、 一会是余弦、一会是正切，一会是角度、一会是实数等等而且还要变来变去。高一学生总是 会抱怨三角函数部分是高一阶段最难的。 由于这部分的概念多，符号使用多且抽象使得学生在学习三角函数的困难还集中在数学 符号的使用上，如学生对同终边角的集合、函数定义域、函数的单调区间集合总是会表达不 当等。又由于三角函数本质是初等的超越运算，所以学生对函数值的反应总是比较迟钝。加 之三角函数还具有周期性，更加让学生在思考反三角函数这类需要逆向思维的问题时状况连 连。 3 1 3 教师对三角函数学习现状的分析 教师们也普遍认为学生在学习三角函数上的难度较大，主要有五方面的原因： ( 1 ) 初中的三角比是以角为自变量，而且是在直角三角形中以三条边的比值关系给出的， 这从天生就带来了两个难点。第一，三角函数的自变量怎么变成了任意实数；第二，任意角 的三角比怎么就放到了坐标系里变成终边上点的坐标了。学生在初中阶段积累的锐角三角比 的知识对后续学习产生了这些负迁移的作用。 ( 2 ) 三角函数是特殊的函数，由于在高中阶段函数的概念从“变量说”逐步过渡到集合与 集合问的“对应说 ，所以函数本身就是一个学习的难点，更何况三角函数作为高中阶段唯 一系统研究的周期函数，在以往的学生函数认知体系中是没有的。甚至有些学生学习完三角 函数这部分的内容都没把它当成是个函数。 ( 3 ) 三角函数这部分的内容中需要学生记忆和掌握的公式很多，如同角三角比关系公式、 诱导公式、两角和与差的正余弦、倍角半角公式等等。学生的记忆量很大而且在应用这些公 式中需要学生有诸如化归的思想、方程的思想、一般到特殊与特殊到一般等的数学思想方法。 而这些解决和处理问题的方法在初中阶段也较少涉及到，学生在具体应用公式中就会显得顾 此失彼。 ( 4 ) 由于数学符号使用频繁，加之学生对许多抽象符号的不适应，就导致了有些符号意 义的理解含糊。如在表示函数的定义域时 xi2 h x 2 蛔+ 鲁，k z 与表示函数单调区间时 z ( 2 七7 r ，2 七7 r + 兰) ，k z 的区别等。 - ( 5 ) 在任意角三角比定义的阶段花了较大篇幅引入了单位圆及三角函数线的概念，目的 是让任意角三角比定义与几何图形相结合，但有些学生会觉的这样的结合很突然，无法接受 这样的结合，他们更喜欢和直角三角形的结合。所以在后面的函数性质的学习中也无法把单 1 2 位圆与三角函数结合起来，导致三角函数性质与图像的机械化记忆。 3 2a p o s 理论在三角函数教学中应用的可行性和必要性 3 2 1a p o s 理论在三角函数教学中应用的可行性 a p o s 理论充分反映了数学概念有过程与对象的双重性的统一。人们在形成概念的时候要 么是通过大量的实例从而归纳出概念的本质，要么与原有认知结构中的概念相联系去掌握概 念。a p o s 理论就是一种面向数学概念学习的理论，它认为学生理解数学概念要分为四个阶段 即：a - a c t i o n s ( 操作) ，p p r o e e s s e s ( 过程) ，o - - o b j e c t s ( 对象) ，s - - s c h e m a s ( 图式) 。 在上海市中小学数学课程标准( 2 0 0 4 年) 中将三角内容放在“函数与分析 一项中，并 将其分为两大部分三角比和三角函数。这种安排的方式更符合学生的认知和理解数学规 律，在三角比部分相当于给予学生更多的操作性机会，让学生在在多次“操作 后把求三角 比内化为一种“程序 的心理结构，从而为在第二部分中把三角函数当成一个整体即“对象 做出铺垫。 三角比和三角函数具体学习内容有：弧度制、任意角及其度量、任意角的三角比、同角三 角比的关系、诱导公式等。该标准对三角函数部分的学习主题规定如下：根据函数的定 义，运用研究函数的基本方法，研究三角函数及其性质，特别要重视三角函数的周期性及其 图像特征，并形成对周期现象和周期函数的初步认识：在学习基本三角函数的基础上，借助现 代信息技术，对一般正弦函数的图像和性质进行研究，重视一般正弦函数在物理中的应用； 学习反三角函数的概念以及最简三角方程的解法，着重理解反三角函数的意义和符号表示， 会用反三角函数值表示角，掌握最简三角方程的解集。【l o l 从学习主题来看教学安排遵循了通 过三角函数的图像与性质的研究过程，逐步构建起了三角函数这个对象，并能对这个对象进 行运算和应用，如研究更一般的正弦函数和在物理学中的应用。学生再在这个过程中进一步 的对三角函数加深理解，并可以进行一些逆向思维即反三角函数并把这些内容与自己原有的 函数认知结构相整合形成新的认知图示。从这里可以看出现有的课程标准是适合应用a p o s 理 论的，因此在数学教学中应用a p o s 理论是可行的。 1 3 3 2 2a p o s 理论在三角函数教学中应用的必要性 一三角函数在教学内容和知识体系上的重要性 从教学内容上看三角函数分为三角比和三角函数两章，其知识结构如图3 1 所示。