（凝聚态物理专业论文）晶体和准晶的旋声性质的旋转不变性.pdf

接要 摘要 本文用群论的方法研究了旋声性的轴转动对称性。根据群表示理论，对原有 的计算张量的方法做了改进，采用非对称化基函数取代对称化基函数。根据轴转 动对称群s o ( 2 ) 不可约表示的特点，用m a t l a b 语言编制了s 0 伫) 群各个不可约 表示基函数的计算程序和旋声张量独立分量的计算程序，并对所计算的结果进行 了检验。 在s o ( 2 ) 群基函数的计算中，s o ( 2 ) 群的高秩基由已知的低秩基的乘积来构 造。利用程序可计算出任意秩的基函数，根据特征标关系进而挑出s o ( 2 ) 群恒等 表示线性无关的基函数。 根据群表示理论，s o ( 2 ) 群不可约恒等表示线性无关的5 秩基共有5 1 个。利 用程序得到具有s o ( 2 ) 群对称性的五阶张量元之间的关系。计算显示：在具有 s o ( 2 ) 群对称性的五阶张量中，有1 2 2 个张量元为零，非零的张量元有1 2 1 个。 其中独立的张量元有5 1 个，非独立的张量元有7 0 个。 将旋声张量的本征对称性加到所得到的五阶张量中去，得到具有轴转动对称 群s o ( 2 ) 对称性的旋声张量的一般形式。这里面，非零张量元减少到2 1 个，其 中独立张量元只有9 个。 将上述具有s o ( 2 ) 群对称性的旋声张量的一般形式作为判据，审视已知的各 种晶体和准晶的旋声张量形式，发现晶体中属于六角系的6 、6 m m 和6 2 2 晶类， 准晶中属于五角系的5 、5 2 、5 m 晶类的旋声张量满足上述一般形式的要求，因 而这些晶类的旋声性质具有围绕晶体或准晶中唯一高次轴的任意旋转不变性。 关键词晶体；准晶；旋声性质；旋转不变性 a b s t r a c t a bs t r a c t i nt h i st h e s i s , t h ea x i a lr o t a t i o ns y m m e l r yo f a c o u s t i ca e t i v i t yw a sr e s e a r c h e dw i 出 t h eh e l po fg r o u pt h e o r e t i c a lm e t h o d s a c c o r d i n gt og r o u pr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , t h e f o r m e rg r o u pt h e o r e t i c a lm e t h o d sf o rc a l c u l a t i n gt e n s o r sw c l ei m p r o v e d i n s t e a do f t h es y m m e t r i z e db a s i sf u n c t i o n s t h en o n s y m m e t r i z e do n e sc a m ei n t ou b a s e d0 1 1 t h ec h a r a c t e r i s t i c so fi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no fg r o u ps o ( 2 ) ，t h ep r o g r a mf o r c a l c u l a t i n gt h eb a s i sf u n c t i o n so fi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o na n d | | i t h e ；i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t so fa c o u s t i ca c t i v i t yw a sc o m p i l e dw i t hm a t l a b n e c a l c u l a t i o nr c s a f l t w f l 8c h e c k e d i nt h i sp r o g r a m , t h eh i g h e r - o r d e rb a s i sf u n c t i o n so fg r o u ps o ( 2 ) w e l e e o n s l r u e t e dw i t ht h el o w e r - o r d e rb a s i sf u n c t i o n s t h ea r b i t r a r yo r d e rb a s i sf u n c t i o n c a l lb ed e r i v e dw i t ht h eh e l po ft h ep r o g r a m t h e n , i nv i e wo ft h er e l a t i o n so f c h a r a c t e r , as e to fl i n e a r l yi n d e p e n d e n tb a s i sf u n c t i o n so fi d e n t i t yr e p r e s e n t a t i o nw a s p i c k e do u t w i t ht h ep r o g r a mr u n n i n g , 5 1l i n e a r l yi n d e p e n d e n tf i t t h - o r d e rb a s i sf u n c t i o n so f i d e n t i t yr e p r e s e n t a t i o n o fg r o u ps o ( 2 ) w e g o ti na c c o r d a n c ew i t hg r o u p r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y a n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nc o m p o n e n t so ff i t d 1 - o r d e rt a l s o l h a v i n gt h es y m m e t r yo f t h eg r o u ps o ( z ) w e l eo b t a i n e d 鹊w e l l i tw a si n d i c a t e dt h a t , i nt h e6 f i h - o r d e rt e n 翻吖h a v i n gt h es y m m e t r yo ft h eg r o u ps o ( 2 ) 1 2 2c o m p o n e n t s w e r l 。z e r o a m o n gt h e1 2 1n o n - z e r oo n e s ) 5 1c o m p o n e n t sw e l ei n d e p e n d e n ta n do t h e r 7 0c o m p o n e n t sw a l ed e p e n d e n t l e t t i n gt h ea b o v e 6 f i h - o r d e rt e n s o l * h a v et h es y m m e l a - yo f a c o u s t i ca c t i v i t yt 敷l s 0 l t h eg e n e r a lf o r mo ft h ea c o u s t i ca c t i v i t yt e n s o rh a v i n gt h es y m m e t r yo ft h eg r o u p s o ( z ) w a so b t a i n e d i tw a si n d i c a t e dt h a t , t h e r ew e 犯2 1n o n - z e r ot e l l l f l o rc o m p o n e n t s 9o f t h o s ew e r ei n d e p e n d e n t c o n t r a s t i n gt h ef o r mo f t h ek n o w n a c o u s t i ca c t i v i t yt e n s o r sf o rv a r i e t yo f c r y s t a l s a n dq u a s i - c r y s t a l s 谢t ht h a tg e n e r a lf o r mo b t a i n e d , i tw a sf o u n dt h a tt h ea c o u s t i c a c t i v i t yt e n s o r sf o re l a s s e s6 、6 m ma n d6 2 2t h a ts h o u l db e l o n gt oh e x a g o n a lc r y s t a l s y s t e m , a sw e l la sf o rc l a s s e s5 、5 2a n d5 mt h a ts h o u l db e l o n gt op e n t a g o n a l q u a s i e r y s t a ls y s t e mm o tt h er e q u i r e m e n to ft h a tg e n e r a lf o r m s oi t nb ep r e d i c t e d t h a tt h ea c o u s t i ca c t i v i t yo ft h e s ec l a s s e ss h o u l dh a v ei n v a r i a n e eu n d e ra r b i w a r y r o t a t i o na b o u tt h eu n i q u eh i g h e r - f o l da x i si nt h ec l a s s e s 摘要 k e y w o r d sc r y s t a l ；q u a s i c r y s t a l ；a c o u s t i c a la c f i v t y ：i n v a r i a n c eu n d e rr o t a t i o n h i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：赴鳘荔日期：砬工2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：赴鸳考导师签名：之哮! 扛日期：翌正! ：于， 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 晶体的宏观物理性质用张量来描述。根据n c u m a n n 原理【l 】，晶体任一物理 性质所具有的对称元素必须包括晶体所属点群( 晶类) 的对称元素：另一方面， 晶体物理性质张量本身又具有一定的本征对称性。上述两种因素的共同存在，使 晶体物理性质具有某些高于晶体几何对称性的特殊对称性，称之为超几何对称 性。这种超几何对称性对于晶体材料的实验研究和器件设计都有重要意义。本论 文研究的超几何对称性，是指围绕空间某一轴的任意旋转不变性。最近的研究表 明，所有六角晶类的弹光、二次电光、电致伸缩、弹性及三阶非线性的极化性质 都具有围绕晶体中6 次轴的任意旋转不变性【2 】，含1 0 次对称轴的准晶的声子型 三阶非线性弹性具有围绕准晶中l o 次轴的任意旋转不变性 3 】，等等。 本文运用群论方法【4 】对旋声张量的上述超几何对称性进行了研究。与历史悠 久的旋光性相比，研究旋声性的历史还太短，因此，不论从理论的描述以及实验 技术方面都有待于进一步的深入研究。不过，仅就目前已知的研究结果来看，对 于不透光的晶体而言，测量旋声性是可以做到的，类似于“铁旋光性”已应用于 开关存储器件方面，沿声轴方向传播的旋声效应也具有潜在的发展前景，人们称 这种效应为“铁旋声性”【5 捌。目前，在生物界和化学界中，人们相当重视有关 对旋声性质的研究，因为这些研究对弄清物质的微观结构具有很重要的意义。 1 2 晶体的旋声性质 1 2 1 晶体的旋声现象 某些晶体由于晶体结构的原因或者组成晶体的分子结构的原因，声场的空问 分布变得不均匀，这种效应不能用一般的线性声学规律来描述。在具有一定对称 性的晶体中，沿声学轴方向传播的横声波可分解为两个频率相同、方向相反的圆 偏振声波，一个左旋的和一个右旋的，这两个偏振声波以不同的相速度传播，经 过一定的传播距离后，由于两者的相速度不同，从而产生一定的相位差，这样它 们合成的平面偏振声波的振动方向相对于入射时的振动方向就转过了一定角度。 这种线偏振的横声波沿声轴方向传播时，其振动面发生旋转的特性称为旋声性 t 北京工业大学理学硕士学位论文 【7 剐。旋声性是由旋声物质的内部结构决定的，其物理机制是体系的本构参数依 赖于波长引起的，存在空间色散。旋声性存在的必要条件是矩阵的不对称性。通 常研究物质旋声性的途径是利用声子对中子的非弹性散射实验。 旋声性与旋光性有许多类似之处，但与旋光性相比，关于旋声性的提出比较 晚，直到在2 0 世纪6 0 年代才有相当多的人从事该领域的研究工作，系统的唯象 理论是由p o r t i g a l 和b u r s t e i n 在1 9 6 8 年提出的，他们计算出了t ( 2 3 ) 群、t d ( 4 3 m ) 群和o ( 4 3 2 ) 群的非零独立分量【9 】。1 9 7 0 年，p i n e 通过d 石英晶体中接 近声轴方向的b r i l l o u i n 散射显示的横声波的劈裂实验，证实了旋声现象的存在 1 0 , h l 。后来，人们又利用其它实验技术( 如r a m a n 散射和中子非弹性散射等) 对旋声性进行不断的研究。除石英晶体外，还发现了n a b r 0 3 、n a c l 0 3 【1 2 】、 b i l 2 g e 0 2 0 、b i l 2 s i 0 2 0 ”】和t e 等晶体也都具有旋声效应，由于直接进行实验研究 的难度很大，研究物质旋声性的时间还很短，其微观机理还未彻底弄明白，因此 不论从理论的描述以及实验技术方面都有待于进一步的研究。 1 2 2 弹性劲度系数张量的空间色散 1 9 6 8 年p o r t i g a l 和b u r s t c d n 根据旋光性是由晶体的介电张量的空间色散效应 引起的，而提出了旋声性是由晶体的弹性系数张量的空间色散引起的1 9 。 在晶体中，若应力和应变的相互作用是非定域的( 应变对应力的响应不仅与 该点的应力有关，而且与邻近点的应力有关) ，则弹性系数将不仅和弹性波的频 率( ) 有关，而且还与波矢( 后) 有关，即原先应力和应变之间的线性关系 乃= c 州中的。州应有。删( c o ，j i ) 的形式，这种情况称为弹性系数张量含有第一 级空间色散贡献，如果仍然考虑时间反演不变性和声场能量守恒，在一级空间色 散贡献和波矢| | 不是很大的情况下，包含一级空间色散的弹性系数可写为： c o u ( a ，d = c u u ) + 弛枷 ) k ( 1 - i ) 或者用简化下标表示为： ( 国，| i ) = c 删( ) + f 矿删堋( 缈) k ( 1 2 ) 其中k 为波矢分量，【d 珊。】和【d 。，】称为旋声张量，| 是沿波传播方向的波矢， | ：竺v 为声波的速度，晶体的旋声性就取决于旋声张量，上式的第二项即为弹 第1 章绪论 性系数的空间色散项。总之，是弹性系数的空间梯度导致了晶体的旋声性。 1 2 3 旋声张量及其对称性 式( 1 - 1 ) 中的吮。是一个五阶的反对称极张量，它相对于五个下标的的反对称 性可以由无空间色散时弹性系数的对称性推导出。由于 c ) = c w ( 国)( 1 - 3 ) 以及时间反演不变性，d 。 ) 相对于简化下标m 和n 是反对称的，即有 f f 月( c p ) = d w 月( 6 p ) ( m ，n = l ，2 ，6 ；r e = 1 ) 2 ，3 ) ( 1 4 ) 如果用全部下标表示时，有下列关系存在 1 4 , 1 5 ： d 胁= d 肭= d 胁= d 脚 ( 1 - 5 ) d * 协，= 一d 蚴 ( 1 - 6 ) 旋声张量的固有对称性决定了旋声性质只能发生在非中心对称的晶体或准 晶中。对中心对称晶体，类似于“电致旋光”，当存在外电场时，同样会出现“电 致旋声现象”0 6 1 。由于是一个五阶张量，d 。( ) 有2 4 3 个分量，但因为式( 1 - 4 ) ， 当m = n 时，j 。= o ，因此对于非中心对称的三斜晶系只剩下4 5 个不为零的独 立分量下表列出了旋声张量d 。( i n - l ，2 ，3 ) 矩阵的4 5 个独立分量。 表i = id 。系数矩阵( m = 1 2 3 ) 的4 5 个独立分量 t a b l ei - it h e4 5i n d e p e n d e n tc o m p o n e n t so fd a m mc o e f f i c i e n t sm 疵 注：由于分量表相对于对角线是反对称的，故左下部略去未写出 五阶反对称极张量d 也可用降一阶的四阶轴张量来描述旋声性【r 丌，但这个降 阶简化过程非常复杂，我们只描述一下简化的结果而不作仔细推导。b h a g w a t 及 北京工业大学理学硕士学位论文 其合作者【5 1 8 1 在1 9 8 3 年及后来引入一个能忠实表示d 张量的四阶轴张量g ，g 的 定义如下： 1 g 咖= 去“蛔d 脚 ( 1 - 7 ) 式中 “砌】仍是全反对称单位张量，根据g 的最初定义和d 张量的对称性质，可 以得到g 张量具有如下的对称性质： = g 咖 ( 1 - 8 ) = o ( q j ，1 , m = l ，2 ，3 ) ( 1 - 9 ) 由式( 1 - 8 ) 可以得到，g 张量应该有5 4 个分量，但是式( 1 - 9 ) 又添加了9 个约束关 系，从而使得g 张量只有4 5 个独立分量。这个数目和五阶张量d 的独立分量数 目完全相等。因此，d 张量和g 张量完全相等，晶体的旋声性可用它们之中的任 一个来描述，它们都被称为旋声张量。 晶体对称性的影响将进一步减少各种晶系晶体旋声张量的独立分量的数目， 使用与推导旋光张量分量表相同的方法也可以得到3 2 点群的旋声张量分量表， 对于全部1 1 种中心对称点群的晶体，d 和g 等于零，无旋声性，而且由于旋声 张量阶数较旋光张量阶数高，全部2 1 种非中心对称点群的晶体都可以具有旋声 性，而不像旋光晶体那样只能属于2 1 种之中的1 5 种，这些在文献【5 ，埔1 中都能查 到。 1 2 4 旋声性与空间色散的关系 x 3 轴) 时，声波的基本方程具有下列的简单形式【1 9 1 ： 降0c 2 ：0 辩m10)0 0 c 3 3 i 掰 l “2l = 2 i “2i ( 1 - l3 3 人蚝h j 其中a = “，球2 ，屹) 为粒子振动的位移，p 为质量密度，v 为声波的速度，c 为弹 莒丢曼e = 2 差 c - 圳， 向传播，则七= ( o ，o , k 3 ) ，旋声张量中只有分量, 1 4 ”起作用。因此，声波传播方程 一c 2 3 2 m 3 岛d c 2 3 字1 3 3 ，1 3 。三0 ， 差 = p v 2 三 c一120 ， l 一d 2 3 l 站岛 c 2 ， l “2i =2 l 甜2i ( 1 一) l o c 螂人如jl 码j 或 一c 4 4 ，屯i d 4 翟5 j 岛曼l u ll = 2 差 c - 一，s ， = o p ( c “+ d 4 s 。k 3 ) ( 1 - 1 4 ) 其中v 和v 对应于右旋和左旋波的声速。由上式我们可以求得石英晶体中沿声 小三七2 ，4 ) ( 1 - 1 5 ) 其它晶系晶体的旋声性也可以根据声波传播的基本方程，计入空间色散项， 1 3 旋声性的研究进展 1 3 1 晶体旋声性的研究进展 人们从2 0 世纪6 0 年代开始从事晶体旋声性研究，p o r t i g a l 和b u r s t e i n 在1 9 6 8 年提出系统的唯象理论，他们计算出了t 群、t d 群和。群的非零独立分量，并 且由无空问色散时弹性系数的对称性以及时间反演不变性推导出以。 ) 是一个 五阶反对称极张量。 p i n e 于1 9 7 0 年从q 石英晶体中观察到接近声轴方向的b r i l l o u i n 散射显示横 声波的劈裂，证实了上述结果 1 0 , 1 1 。 1 9 8 0 年，k u m a r s w a m y 和k r i s h n a m u r t h y 利用b h a g a v a n t a m 的方法算出了 5 北京工业大学理学硕士学位论文 旋声张量在2 1 种非中心对称点群晶体中的全部非零独立分量2 ”。 1 9 8 1 年，k u m a r s w a m y 和k r i s h n a m u r t h y 利用j a h n 方法阎计算了所有非中心 对称点群的非零旋声系数的个数2 3 1 ，并与以前的方法做了对比，发现此方法更为 优越。 由于五阶反对称极张量可以用一个四阶轴张量来表示，1 9 8 5 年， i c v b h a g w a t 和v k w a d h a w a n 定义了一个四阶轴张量来描述旋声张量【弘厕，并 且算出了旋声张量( 四阶轴张量形式) 在全部2 1 种非中心对称点群中的具体形 式嘲。 1 9 8 6 年，陶叻、张泰永、林泉等用中子非弹性散射方法对旋声晶体的旋声 性进行了研列1 3 1 。 1 9 8 7 年，李萌远和陈亮应用晶格动力学理论讨论了旋声性，从理论上证明 旋声性与晶体中原子的螺旋排列有关，并和非弹性散射所测得结果进行对比【2 7 1 。 1 3 2 准晶旋声性的研究进展 准晶就是准周期性晶体的简称，准晶材料具有低热导率、低磨擦系数、良好 的耐磨性和抗氧化性、高硬度、高温塑性等优异性能，使之适于作为表面防护涂 层。准晶是s h e c h t m a n 等【2 8 】在1 9 8 4 年新发现的具有与晶体和非晶玻璃态不同结 构的新的凝聚态物质，早期的准晶都是在急冷合金中发现的。此前，人们认为固 态物质只有晶态和非晶态两种结构类型。晶体中的原子位置具有三维周期性，因 而具有长程平移序。受到晶格周期性的限制，决定了它的长程取向序仅可能具有 二次、三次、四次和六次的旋转对称性，而不可能有五次、七次和其它旋转对称 性。而非晶态的基本特征是原子排列只有短程序，长程则是无序的，准晶既不同 于晶体又不同于非晶，它具有长程平移序和取向序。在长程平移序和取向序方面， 准晶同晶体是一样的，它们的差别在于，晶体具有周期性，而准晶则没有周期性， 而是准周期性。正是因为准晶没有周期性，其旋转对称性就不限于二次、三次、 四次和六次，还可以有五次、八次、十次、十二次等等旋转对称性 2 9 1 。 目前国内外对准晶旋声性的研究还比较少，1 9 9 5 年k r a m am o h a u ar a o 等 人用群论方法，计算了描述非中心对称点群准晶的旋声张量形式f ，田。 第1 章绪论 1 4 本论文工作的意义 晶体是电子器件、半导体器件、固体激光器件及各种光学仪器的重要材料， 用晶体材料制成的各种力、热、光、电学器件被广泛应用于通信、摄影、宇航、 医学等各个领域，晶体的物理性质是各种晶体材料应用的基础，所有晶体的宏观 物理性质与其对称性之间具有非常重要的关系。晶体结构的对称性要求晶体的物 理性质具有同样的对称性，但实际上很多晶体的物理性质具有更高的实际对称 性，即超几何对称性，揭示这种超几何对称性对晶体材料的实验研究和晶体器件 的设计都有重要意义，可以为我们处理晶体的某些物理问题以及研制晶体器件带 来新思路。 1 5 本论文的主要工作 1 用i t 肚t l a b 编程构造出s o ( 2 ) 群恒等表示的任意秩基函数。 2 得到具有s o ( 2 ) 群对称性的五阶张量的一般形式。 3 得到具有s o ( 2 ) 群群对称性的旋声张量形式。 4 将已知晶体和准晶的旋声张量形式与这个一般形式比较，判断哪些晶类的 旋声性质具有轴转动对称性，并对结果进行讨论。 第2 章计算的理论基础与编程语言 第2 章计算的理论基础与编程语言 2 1 引言 所有晶体的宏观物理性质与其对称性之间具有非常重要的关系，因此通过了 解晶体的对称性就能知道晶体某些物理性质的基本特点而不必深究晶体的微观 结构。从晶体的宏观对称性出发，不涉及晶体的微观结构，这样就可避开复杂的 讨论而得到正确结果。利用群论方法，可直接对描述晶体物理性质的各阶张量的 独立分量进行计算，而不必考虑所描述的物理现象。这样的讨论可以作为张量计 算方法的补充和总结，而且可对其计算结果进行检验。因为群论方法纯粹是机械 地应用简单公式，这种方法具有很少会发生错误的优点，因此群论方法是一种更 为优越的方法。最初用张量方法计算立方晶系晶体的弹光系数所得的错误结果后 来使用群论方法时才得到纠i e t ”】。此外，对于处理较高阶的张量以及具有高对称 性的晶类时，基于群论方法的计算显得更为简捷p a 2 - - 4 0 1 。 2 2 群表示理论简介 2 2 1 群的概念 有限或无限个数学对象( 称为元或元素) a 、b 、c 的集合 a 、b 、c ) ， 其中有一个与次序有关的运算方法( 称为群乘) ，能从集合中任意两个元a 、b 得出确定的元c ( 记为a b = c ) ，若满足下列的四个条件，则这一集合称为群， 用g 表示，集合中的元素称为群元。 ( 1 ) 封闭性：集合中任意两个元的乘积( 包括自身相乘) 都在此集合之内； ( 2 ) 结合律成立，即 a ( b c ) = ( 船) c( 2 1 ) ( 3 ) 单位元存在：集合中存在单位元e ，使集合中的任意元a 有 e a = a e = a ( 2 2 ) ( 4 ) 集合中每一元素有逆元a 1 存在，满足 a a = a a 。1 = e ( 2 3 ) 以上就是群的定义。 。 群元的数目称作群的阶，记作g 若g 为有限大小，则称作有限群，否则就是 9 北京工业大学理学硕士学位论文 无限群。在无限群中，若群元的数目是可数的无穷多，则称作离散的无限群；若 群元的数目不是可数的无穷多，则称作连续群。 2 2 2 群的表示 2 2 2 1 群表示的一般定义有两个群g = a 、b c ) 及g = a 7 ，b ，c ，) ，如 果它们的群元之间存在一对一的对应关系，即a 付a ，b 付b ，在各自群乘的 定义下，若a b = c 时，有a b 7 = c 对一切群元成立，则这两个群是同构群。 两个群g = 4 ，4 ，b 1 ，b 2 ，- g ，c 2 ， 和g 7 = 社，口，c ， ，若群元之间存在 着多对一的单方面对应关系，即 4 斗a 7 ，马_ 占， 4 一彳，岛寸曰， ；i； 在各自群乘的定义下，：旨a j b j = g ，均对应于4 留= c 7 ，则称这两个群同态， 或称准同构。 群g 到群g ，内的一个同态映射，称为群g 的一个表示，群的表示可以分为 线性表示和矩阵表示。 2 2 2 2 线性表示设群g 的每一个元a ，都对应于线性空间l 中的一个非奇异 线性变换z ) ，并且及爿) r ) = r ( w ) 对于群g 中的每一个元a 和b 都成立。 则这组非奇异线性变换称作群g 的一个线性表示。 2 2 2 3 矩阵表示群g 的矩阵表示，就是一个与群g 同态的方矩阵群。也就是 说，对于群g 的每一个元a ，对应着方矩阵群的一个方矩阵d ，并且 d ( 彳) d ( 回= d ( a b )( 2 - 4 ) 对于群g 中的每一个元a 及b 都成立。若矩阵群与群g 是同构关系，那么这个 表示就称作确实表示；若二者是同态关系，群g 的元多于矩阵群的元，那么， 群g 的几个元就对应于个相同的矩阵，这种表示就称作不确实表示，群g 的 表示记作d ，矩阵的行( 或列) 数，称作表示的维数。 由定义可知： 1 0 第2 章计算的理论幂础与编程语言 ( 1 ) d ( e 户1 0 ，i o 是，的单位矩阵； ( 2 ) d ( a 1 户【d 【a ) 】1 对于每一个群，实际上有无限多个表示，不过这些表示都可由若干个基本的 表示形成，而每一个群的基本表示的个数却往往是有限的。 2 2 2 4 可约表示和不可约表示取群g 的两个表示矩阵d 1 ( a ) 及d 2 来构造一 个新的矩阵d ( a ) 刚，= l 。p 。糊 ， 其中d 1 是维的，d 2 ( a ) 是，2 维的，d ( a ) 是( + ，2 ) 维的，而d 的上半部右 边，l ，2 的块以及底部左边乞的块中的所有元都为零。这种形式的矩阵，称为 块状对角矩阵。d 也是群g 的一个表示。我们称形如式( 2 - 5 ) 的表示为可约表 示。有时，这种表示由于相似变换而变成非块状对角的形式，但仍是可约的表示。 所以，表示的可约性是这样来定义( 判断) 的：若群g 的表示d ，可以用同一个相 似变换将所有群元的表示矩阵d 、d ( b ) 同时变成具有相同块状结构的块 状对角矩阵，那么这个表示就称为可约表示。如果一个表示不能做到这一点，那 么这个表示就称为不可约表示，就是说这种表示不能用更低维数的表示来表述。 当可约表示被约化成块状对角矩阵时，用不可约表示的直和来描述它的结构 是方便的，若d 及d 2 是不可约表示，则可约表示d 可表为 d ：d 1 0 d 2( 2 6 ) 其中符号。表示直和，不可约表示是基本的表示，在实际应用中，不可约表示是 至关重要的。 2 2 3 表示空间的概念和表示的基函数 线性表示是由线性变换得到的，线性变换总是在一定的空间中，这个空间就 称为表示空间。表示空间的基就是表示的基。 以函数为元素的完备的内积空间称作函数的h i l b e r t 空间，简称函数空间。 如果以函数空间作为群的表示空间，则这个空间中的基函数就是群表示的基函 数。若以坐标n 重积为基的函数空间作为群的表示空间，则相应的表示称为群的 北京工业大学理学硕士学位论文 张量表示。 2 2 4 特征标和表示的约化 群g 的两个表示d 与d ，若满足 $ - 1 d ( r i ) s = d ( 焉) ( v r ；eg ) ( 2 7 ) 其中s 为一非奇异矩阵，则称d 和d 是g 的等价表示，记作d d 。由于矩阵 之间的关系不受相似变换的影响，所以把一切等价的表示都认为是相同的表示。 由于表示矩阵经相似变换后变成另一种形式的矩阵，所以，等价表示的形式 是多种多样的。但是，我们也可以找到一组标量，它们在相似变换下保持不变， 因而可以用来表征所有等价的表示，这一组标量就称为表示的特征标。 定义：若d 是群g 的一个，维的表示，那么 z 僻) = d ( r ) 童 ( 2 - 8 ) j = l 就被定义为群元r 在表示d 中的特征标( 也就是表示矩阵d 的对角元之和或 d ( r ) 矩阵之迹) 。群g 中所有g 个群元在d 中的特征标就称为这个表示的特征标 系z ，简称特征标。 一个群g 的任何一个表示的特征标都可以表示为这个群的全部不等价不可 约表示特征标的线性组合。设群g 的一个表示d 可以分解为，个不等价不可约 表示，则有 z ( r ) = 4 ，z o ( 尺) ( v r e g )( 2 9 ) 式中z ( r ) 是群元r 在可约表示d 中的特征标，z ( r ) 是群元r 在第i 个不 可约表示d ( o 中的特征标，, a i 称为约化系数，又称作重复度，就是第i 个不可约 表示d o ) 在可约表示d 中出现的次数，可以利用特征标求出，求约化系数的公式 是： 4 f - 吉；( r ) ( 2 - 1 0 ) 有了约化系数，则表示d 就可以写成各个不可约表示的直和，即 ， d = 4 l d 1 0 4 2 d 2 o o 口d u o o 口，d 7 = e 4 ，d o ( 2 - 1 1 ) i _ 1 第2 章计算的理论基础与编程语言 式中符号。表示直和。 2 2 5 恒等表示及其基函数 在群的所有表示中，有一个一维的表示，就是仅由一个元的矩阵形成的表示， 即 d ( e ) = d ( 4 ) = d ( 曰) = = ( 1 ) 这个表示称作恒等表示，又称为单位表示，任何一个群都有这么一个恒等表 示。恒等表示的基函数在所有群元作用下保持不变。在点群全部元素的操作下都 保持不变的张量分量或其线性组合总是和张量表示中的恒等表示相对应的。换句 话说，只有和恒等表示相对应的张量分量或其线性组合才是不为零的。 2 2 6 函数变换算符和投影算符 2 2 6 1 函数变换算符设标量函数，( 尹) 是空间每一点尹上都有一个确定标量值 的函数。在对称变换置作用下，尹点变到， 尹= 肝 ( 2 - 1 2 ) 设想在点尹作此变换时，将此点处( r p 矢量尹的尖端处) 函数八尹) 的函数值一起带 到新的位置，。于是，函数值的空间分布就发生了变化，造成一个新的函数，( 力。 这个新函数，( 尹) 既取决于原来的函数八尹) ，又取决于点的对称变换皿，新旧函 数的关系是： f ( 尹) = 最厂( 尹)( 2 - 1 3 ) 最是作用于函数的算符，称为函数变换算符。利用厂) = ，( 尹) 可得到 p r f ( 尹) = 厂( r 。1 尹) ( 2 1 4 ) 2 2 6 2 投影算符有了函数变换算符的概念，就可在它的基础上来定义投影算 符。设是群g 的第i 个不可约表示d ：的维数，g 是群g 的阶，最是函数变换 符，则函数投影算符可定义为： 易；毛( r ) ：y b 占 e g 1 3 ( 2 - 1 5 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 以投影算符作用在第j 个不可约表示的基函数上，有： 只，虻( 尹) = 岛丸彰( 尹) ( 2 - 1 6 ) 当 当 当 _ ，时，结果为零； = _ ，但口l ，时，结果仍为零； = 工口= ，时，有 彤( f ) = 形( 芦) ( 2 - 1 7 ) 这表明，投影算符磁作用在第j 个不可约表示的第1 1 列基函数上，得到同一个 不可约表示的第肛列的基函数。 定义第j 个不可约表示各列基函数之和为第j 个不可约表示的基伊，即 矽= 4 ：以( 尹) ( 2 - 1 8 ) 以嘭作用其上，得 瞄矽7 = 彩1 j ，- ) = j u 。j ，- ) 一_ “，g j ，- ) ( 2 - 1 9 ) 即磁可从第j 个不可约表示的基矿中选出这个表示的第p 列的基函数。如果有 一任意函数( 尹) ，可表为各不可约表示的基函数之和，即 y ( r ) = 屯伊7 = 1 4 ：( 尹) ( 2 - 2 0 ) ii8 以z ，作用其上，得 哆矿( 尹) = j ，r ，i ，扩) = i 口：岛衫扩) i口l o = 1 4 ：统( 产) ( 2 - 2 1 ) 即吃可从包含有第i 个不可约表示基的任意函数中，将这个不可约表示的第p 列的基函数挑选出来。就是说，可以利用投影算符从任意函数中求得所需要的基 函数。 在计算中如不知道不可约表示的表示矩阵而只知道表示矩阵的迹，可用特征 标投影算符来求有关的基函数。特征标投影算符的定义如下： 一= 丘z ( r ) b ( 2 - 2 2 ) g 荔。 一 z 。俾) 是第i 个不可约表示的特征标。 第2 章计算的理论基础与编程语言 以一作用在讫( r ) 上，得 p 以( f ) = 磊以( 尹) ( 2 2 3 ) 即尸作用于第i 个不可约表示的第a 列基函数上，仍然得到这个基函数。 以尸7 作用在满足式( 2 - 2 0 ) 的任意函数y ( ，) 上，得 p 妒铲) = 岛 ( 2 2 4 ) 这表示，以特征标投影算符作用于含有不可约表示基的任意函数上，可将不 可约表示的基伊7 求出。根据基函数的性质，矿也是第i 个不可约表示的基函数。 若将选定为第i 个不可约表示的第一列基函数，即硝( f ) = 妒，以群g 的每个 群元矗相应的算符r 作用其上，得到g 个函数b 硝妒) ( v 月g ) ，这些函数都是 表示d 的基函数的线性组合。从这g 个函数中挑出个线性无关的函数，并用 s c h m i t 正交化方法使这l 个函数正交化。这样，它们就成为不可约表示d 的基 函数了。 2 3 张量的变换性质 2 3 1 张量的变换和定义 用张量描述的各宏观可测物理量都是客观的，不应该随使用的坐标系而有所 变化。但任何张量都是一个数目的分量的有序组合。相对于不同的坐标系，同一 张量的分量可以不同，而该张量所描述的客观物理量应该是同一个实体。既然如 此，该张量在不同坐标系中的各分量间必定存在着一定的关系，以满足这同一客 观实体的要求。张量在不同坐标系中各分量间必须满足的关系，就称为张量的变 换定律，或者说，张量的变换定律规定了张量在一个坐标系中的各分量如何用在 另一个坐标系中的分量来表示。为此，先要知道坐标系变化时，坐标轴如何变换， 然后才能由此来确定各类各阶张量分量的变换定律。 2 3 1 1 坐标系的变换 ( 1 ) 坐标系的变换类型设原有的坐标系d 是一个右旋正交坐标系，三个坐标 轴的方向用沿三个相互垂直方向的单位矢量( 毛，毛，毛) 来表示，它们之间显然应该 满足下式： ：，副9 吼2 ，3 ) ( 2 - 2 s ) 巳勺2 占b * e kj 。 其中j 称为k r o n c c k e t 占符号 嘞= 艨嚣 ( 2 - 2 6 ) 而占瓣为反对称三重积 = 0 ，当芸徽等吼 ( 2 2 7 ) 坐标原点保持 ( 2 ) 坐标系变换矩阵坐标系的变换常用变换矩阵来表示，设旧坐标系0 的基 矢为弓，而新坐标系0 的基矢为虿( f ，= 1 ，2 ，3 ) 。与弓之间的关系可用矩阵关 眺i 差捌 s ， ( e “i ) = ( a u x 弓) ( f ，- f = 1 , 2 3 ) ( 2 - 2 9 ) 嘞= 弓= e o s ( a # ) ( 2 - 3 0 ) 第2 章计算的理论摹础与编程语言 r t l l l 4 - ：4 - ，、 ( 彳h ) = l4 2 l 口 4 l ( 2 3 1 ) i 口，4 ，：a 3 ，j 称为从d 系到d 7 系的变换矩阵或正交矩阵。只要知道( 彳) 中的9 个元，就可以由 d 系变换到d 系或反之。但实际上这九个系数并不是独立的，它们满足六个所 谓正交归一的关系式，因此实际上只有三个是独立的。 2 3 1 2 张量的变换 ( 1 ) 一阶张量( 矢量) 分量的变换矢量分量的变换就是点坐标的变换。设有一 矢量尹联结坐标系d 的原点和空间的某一点尸，则尸点在坐标系d 中的坐标 ( x l ，x ：，而) 就是矢量芦在该坐标系中各分量的数值，即 尹= 五毛+ 而砭+ 而毛= 而磊( i _ l ，2 ，3 ) ( 2 - 3 2 ) 当坐标系0 经过线性正交变换成为系d ，时，若该坐标系变换矩阵由式( 2 - 3 1 ) 给出， 用d 系表示的尹矢量显然与d 系表示的，矢量是相等的，因为在坐标系变换过程 中尸点未动，从而矢量尹也未变，因此有 尹= 而写+ 而砭+ 而毛= 爿+ 吐砭+ 弓= 尹( 2 - 3 3 ) 或简写为 弓= 兹( 工k 2 1 , 2 ，3 ) ( 2 3 4 ) 取式( 2 3 4 ) 两边与z 的标积 ( x j 弓) = ( 兹) ( 2 - 3 5 ) 再利用式( 2 - 2 5 ) 的第一式和式( 2 3 0 ) 就得到 = a o x ( f ，= 1 , 2 , 3 ) ( 2 - 3 6 ) 为明显区分新旧坐标系的对应关系，把写成吻，带撇的下标与新坐标系相对 应，而不带撇的下标与旧坐标系相对应，上式可再写成 x ：= a o x ，( f ，= 1 ，2 ，3 ) ( 2 3 7 ) 将式( 2 3 7 ) 和式( 2 - 2 9 ) 相比较，可得到如下的结论：矢量分量的变换和坐标系基矢 的变换完全一样。 ( 2 ) - - 阶张量分量的变换设有两个矢量p 和g ，由一个二阶张量r 联系着， 在坐标系d 中，其分量关系由下式表示 北京工业大学理学坝士学位论文 p t = g ， ( 2 3 8 ) 当坐标系d 经变换( ) 而成为0 系时，在新坐标系0 ，p 和q 矢量的分量分别 用一和g ；表示，显然，p ；和g ；仍应由在d 系中的张量t 相联系，即 p ：= 巧g ： ( 2 - 3 9 ) p ；和矾与原坐标系中的分量p 。和g ，的关系可由坐标系变换矩阵来决定，即 p = a a p ；和q ，= a i t q ： ( 2 - 4 0 ) 将式( 2 3 8 ) 代入上式得到 p 净a a p i = a k g ，= a k 乃鼋；( 2 - 4 1 ) 和式( 2 - 3 9