（光学专业论文）激光光束在分数傅里叶变换系统中的光强及光谱特性研究.pdf

摘要 激光光束在分数傅里叶变换系统中的光强及光谱特 性研究 专业光学 研究生陈森会指导教师张廷蓉 摘要：分数傅里叶变换是传统傅里叶变换在分数级次上的发展和延拓， 除具有传统傅里叶变换的特点外，还具有自身的优点。对光束通过分数傅里 叶变换系统传输特性的研究，在光束整形、光束质量控制方面具有重要意 义；而对光束通过有色差的分数傅里叶变换系统光谱特性的研究，在实 验室研究光束在分数傅里叶变换系统中的传输，光开光以及光开关在光 学互连、光通讯等领域中的应用具有重要参考价值。本文研究了激光光束在 分数傅里叶变换系统中的光强及光谱特性。主要工作如下： 1 研究了厄米拉盖尔高斯光束在分数傅里叶变换系统中的传输特性， 结果表明：输出面上的光强随分数傅里叶变换阶数、光束的模指数和口参数 的变化而改变，其中光强随分数傅里叶变换阶数的变化周期为2 。 2 基于c o l l i n s 积分公式和硬边光阑函数可以展开成有限级次的复高斯 函数叠加理论，研究了双曲余弦平方高斯光束在有光阑的分数傅里叶变换系 统中的传输特性。研究表明：利用近似方法得到的光强分布与直接积分得到 的光强分布吻合较好；输出面光强分布与光阑尺寸和分数傅里叶变换阶数密 切相关，当截断参数( 光阑尺寸与光束宽度的比值) 小于6 时，光阑的衍射 效应不能忽略，此时光强随分数傅里叶变换阶数的变化周期为4 ；截断参数 大于等于6 时，光阑效应可以忽略，此时光强随分数傅里叶变换阶数的变化 周期为2 。 摘要 3 讨论了部分相干高斯光束在有色差的分数傅里叶变换系统中的光谱 特性。研究发现：分数傅里叶变换阶数和色差大小均对归一化的光谱和相对 谱移动具有较大的影响；色差的大小会影响相对谱移动的大小、光谱跃变发 生的位置以及光谱跃变量的大小；相对谱移动也随色差的变化而改变，分数 傅里叶变换的阶数会影响相对谱移动随色差的变化规律。此外，有色差时， l o h m a n ni 型系统和l o h m a n ni i 型系统是否等效还取决于分数傅里叶变换阶 数。 4 研究了部分相干厄米高斯光束在有色差的分数傅里叶变换系统中的光 谱特性。结果表明：分数傅里叶变换阶数、色差大小和光束的阶数均对归一 化的光谱具有较大的影响；离轴点相对谱移动随分数傅里叶变换阶数的变化 而改变，色差大小或光束阶数不同时，变化曲线各不相同；相对谱移动随色 差的变化而改变，当系统变换阶数或光束阶数不同时，离轴点相对谱移动随 色差的变化规律也各不相同。 关键词：分数傅里叶变换( f i 疆t )光谱色差 厄米拉盖尔高斯光束双曲余弦平方高斯光束 部分相干高斯光束部分相干厄米高斯光束 n abstract r e s e a r c ha b o u tt h ei n t e n s i t ya n ds p e c t r u mp r o p e r t y 一一 一 o fl a s e rb e a m si nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m s y s t e m s m a j o r ：o p t i c s p o s t g r a d u a t e ：c h e ns e n h u i t u t o r ： z h a n g r i n g r o n g f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mi sr e g a r d e da st h ed e v e l o p m e n ta n de x t e n s i o no f t r a d i t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ，e x c e p tf o rt h ec h a r a c t e r i s t i co ft r a d i t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r m s ，i ta l s oh a si t so w na d v a n t a g e s i tp r o v i d e sa m o r ec o n v e n i e n tt o o lt o s t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i co fp r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o nf o rb e a m s r e s e a r c h e s o n t h et r a n s m i s s i o no fb e a mi nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ms y s t e mh a v ei m p o r t a n t s i g n i f i c a n c ei nb e a ms h a r p i n ga n db e a mq u a l i t yc o n t r 0 1 a n dt h es t u d y o nt h e s p e c t r u mp r o p e r t yo fb e a mi nc h r o m a t i c sa b e r r a t e df r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m s y s t e mh a si m p o r t a n tr e f e r e n c ev a l u ei ne x p e r i m e n t a lo b s e r v a t i o no ff r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r mf o rb e a m s ，s p e c t r a ls w i t c ha n di ta p p l i c a t i o ni no p t i c si n t e r c o n n e c t a n do p t i c sc o m m u n i c a t i o n t 1 1 i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ei n t e n s i t ya n ds p e c t r u m p r o p e r t yo f b e a m si nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ms y s t e m t h em a i n l yw o r ko ft h i st h e s i sa r ea r r a n g e da sf o l l o w s ： 1 a n a l y z e dt h ei n t e n s i t yc h a r a c t e r i s t i co fh e r m i t e l a g u e r r e g a u s s i a nb e a m i n f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ms y s t e mb a s e do nc o l l i n si n t e g r a lf o r m u l a i ti ss h o w n t h a tt h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no no u t p u tp l a n ec h a n g e dw i t hf r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mo r d e r , t h eb e a mm o d u l u si n d e xa n dt h eb e a mp a r a m e t e ra ，t h ev a r i a t i o n p e r i o do fi n t e n s i t yd i s t r i b u t i o nw i t hf i a c t i o n a lf o u r i e ro r d e ri s2 2 b a s e do nc o l l i n si n t e g r a lf o r m u l aa n dt h ef a c tt h a tah a r da p e r t u r ef u n c t i o n i i i abst ract c a l lb ee x p a n d e di n t oaf i n i t es u mo fc o m p l e xg a u s s i a nf u n c t i o n s ，t h ep r o p a g a t i o n p r o p e r t i e so fc o s h s q u a r e d - g a u s s i a nb e a mp a s s i n gt h r o u g hi d e a l a n da p e r t u r e d f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ms y s t e m sh a v eb e e ns t u d i e d i ti ss h o w nt h a tt h e s i m u l a t i o nr e s u l t so b t a i n e db yu s i n gt h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i c a lf o r m u l aa r ec o i n c i d e w i t ht h o s eb yu s i n gt h en u m e r i c a li n t e g r a lc a l c u l a t i o nq u i t ew e l l f u r t h e r , t h e v a r i a t i o n so fn o r m a l i z e di n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n sw i t hf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m o r d e ri sp e r i o d i c ：w h i l et h ei m p a c to fa p e r t u r ec a l ln o tb ei g n o r e d ，t h ev a r i a t i o n p e r i o di s4 ；w h i l et h ei m p a c to fa p e r t u r ec a nb ei g n o r e d ，t h ev a r i a t i o np e r i o di s2 3 d i s c u s s e dt h es p e c t r u mp r o p e r t yo fp a r t i a l l yc o h e r e n tg a u s s i a nb e a mi n c h r o m a t i c sa b e r r a t e df r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ms y s t e m t h er e s e a r c h e se x p l i c i t i n d i c a t et h a tt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mo r d e rh a sg r e a te f f e c to nt h en o r m a l i z e d s p e c t r u ma n dr e l a t i v es p e c t r a l s h i f t t h er e l a t i v es p e c t r a ls h i f tc h a n g e d 、历mt h e f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mo r d e r , a n dt h ec h r o m a t i ca b e r r a t i o nc o e f f i c i e n ta f f e c tt h e c r i t i c a lf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mo r d e r ( a tw h i c ht h es p e c t r a ls w i t c ht a k i n gp l a c e ) a n dt h em a g n i t u d eo ft h es p e c t r a lj u m p t h er e l a t i v es p e c t r a ls h i f tc h a n g e dw i t h c h r o m a t i c sa b e r r a t i o na sw e l l ，a n dt h ev a r i a t i o nc h a n g e dw i t hf r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r n lo r d e ra sw e l l f u r t h e r m o r e ，i nc h r o m a t i ca b e r r a t e df r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r ms y s t e m s ，w h e t h e rl o h m a n nis y s t e me q u i v a l e n tt ol o h m a n ni is y s t e mo r n o td e p e n d i n gal o to nt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mo r d e r 4 t h es p e c t r u mo fp a r t i a l l yc o h e r e n th e r m i t e g a u s s i a nb e a mi nf r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r ms y s t e mw i t hc h r o m a t i c sa b e r r a t i o nh a sb e e ns t u d i e d i ti ss h o w n t h a tt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o n no r d e r , c h r o m a t i c sa b e r r a t i o nc o e f f i c i e n ta n d b e a mo r d e rh a ss i g n i f i c a n c ei n f l u e n c eo nt h en o r m a l i z e do n a x i sa n do f f - a x i s s p e c t r u m t h er e l a t i v e o f f - a x i ss p e c t r a ls h i f tc h a n g e dw i t hf r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mo r d e r , a n dt h ec h r o m a t i c sc o e f f i c i e n ta n db e a mo r d e ra f f e c tt h ev a r i a t i o n t h er e l a t i v eo f f - a x i s s p e c t r a l s h i f t c h a n g e d w i t ht h ec h r o m a t i c sa b e r r a t i o n c o e f f i c i e n ta sw e l la n dt h ev a r i a t i o nc u r v e sa r ed i f f e r e n tw h e nt h ef r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r m so r d e ro rb e a mo r d e rv a r y i v abstract k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m s ( f r f t )s p e c t r u m c h r o m a t i c sa b e r r a t i o n h e r m i t e l a g u e r r e g a u s s i a nb e a m c o s h s q u a r e d - g a u s s i a nb e a mp a r t i a l l yc o h e r e n tg a u s s i a nb e a m p a r t i a l l yc o h e r e n th e r m i t e g a u s s i a nb e a m v 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师鲞整錾垫攮 指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承 担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作声签名：吁氛森会 签字日期：籼扣年岁月纠日 第一章前言 第一章前言 1 1 研究背景 1 9 6 0 年梅曼发明了世界上第一台红宝石激光器，与传统光源相比，激 光具有单色性好、方向性好、亮度高等特点。激光的诞生使光学这一有着 悠久历史的学科在沉寂了数百年后，又重新焕发了蓬勃生机。半个世纪以 来，人们对激光在理论、实验及其应用方面的研究，极大的推动了激光技 术的发展和科技的进步。激光在发展过程中又不断开拓新的物理应用，取得 系列引人瞩目的成就。如今，激光已成为当今科技的一个重要前沿，其应 用己遍及科技、经济、军事和社会发展的各个领域。在激光的许多应用领 域，都需要处理光束的传输变换、控制与整形、质量的评价与测量等问题。 这些问题是光束传输变换的主要研究内容，具有相当的复杂性，也是光学 研究领域的前沿课题，具有重要的理论和实际意义，它直接影响激光工程 设计的质量和性价比。 关于激光光束传输特性研究，早期重点研究以高斯分布为代表的非均 幅激光光束通过自由空间、不同介质( 诸如均匀和非均匀介质、各向同性 和各向异性、非线性介质等) ，光学系统、光学谐振腔的传输变化规律。 2 0 世纪6 0 年代，f o x l i 所引入的数值迭代法，a b c d 矩阵和a b c d 定律己成 为研究光学谐振腔问题和激光光束传输变换【2 卅的基本方法。1 9 7 0 年，c o l l i n s 开创性的将复杂光学系统的衍射积分公式与a b c d 矩阵元联系起来 5 】，不 仅大大增强了矩阵光学的活力，而且拓宽了衍射积分公式的应用范围。这 些研究成果被广泛应用于处理部分相干高斯光束、非高斯光束的传输问 题，并取得了很大成功。可以认为，在标量衍射理论和近轴近似框架理论 内，使用激光光学方法能足够好地描述光束通过介质和光学系统以及光学 谐振腔的变化规律。迄今，此方法已广泛用于研究各类激光光束在自由空 间、各类介质、光学系统、湍流大气和光学谐振腔中的传输特性。 另一方面，分数傅里叶变换是传统傅里叶变换在分数级次上的推广，与傅 里叶变换和f r e s n d 衍射有着紧密联系，同时又具有许多不同于傅里叶变换和菲 涅尔衍射的特殊性质睁刀。自1 9 9 3 年hmo z a k t a s 、dm e n d l o v i c 和aw l o h m a n n 将分数傅里叶变换引入到光学领域【8 - l o 】后，分数傅里叶变换的一些基本特性【l o 】、 第一章前言 光学实现【l l 】、与w i g n e r 分布函数的关系1 0 , 1 2 、与啁啾变换和小波变换的关系【1 3 1 、 激光光束通过分数傅里叶变换系统的传输【1 4 d 6 1 、以及分数傅里叶变换在图像加 密【1 7 1 、空间滤、波【1 8 1 、全息防伪9 1 、光学信息处理【2 0 之1 1 、光束整形【2 2 1 等方面的应 用得到了广泛的研究。分数傅里叶变换是信息光学中的又一种处理方法，因而， 对光学分数傅里叶变换的研究( 尤其是由它演变出来的许多运算方法) ，必将 推动光学信息技术的进一步发展。随着研究的深入，人们发现分数傅里叶变换 的应用领域越来越广，特别是在光学信息处理方面，由于分数变换阶数的可变 性，它的灵活性和优越性得到了充分显示。 由于光学实验仪器精度要求高，实验环境苛刻，设备昂贵，在现有条件下， 进行大量实验研究还存在困难。目前，大部分的研究都是通过计算机仿真方法 进行的。随着计算机的迅猛发展，分数傅里叶变换的研究也将更加容易进行， 仿真的效果会更好，对实时处理更有参考价值，这无疑将极大地推动分数傅里 叶变换向实用阶段发展。 1 2 激光光束在分数傅里叶变换系统中传输变换的研究现状 1 9 9 4 年1 1 月，hmo z a k t a s 和dm e n d l o v i c 提出可利用分数傅里叶变换研 究光束传输【2 3 1 ，此后，人们对激光光束在分数傅里叶变换系统中的传输特性进 行了广泛的理论和实验研究【悼1 62 4 都】，理论研究中，一般采用l o h m a n ni 型和 l o h m a n ni i 型系统【l o t1 奉1 6 2 4 4 2 1 。随着研究的深入，人们还逐步讨论了这两个系 统中透镜的光阑效应【4 5 5 5 1 、球差【5 6 - 6 0 、失调【6 1 - 6 2 等对输出面光强分布的影响， 以及激光光束在理想分数傅里叶变换系统中的光谱特性【6 确5 1 。 1 2 1 激光光束在理想分数傅里叶变换系统中传输变换的研究现状 激光光束在理想分数傅里叶变换系统中传输变换的研究，主要可分为两种 方法：其一是以蔡阳健、林强、赵道木、郑崇伟等为代表，采用张量方法，从 c o l l i n s 积分公式出发，研究了部分相干高斯谢尔模型光束【1 4 1 、椭圆高斯光束 2 4 】、平项高斯光束【2 5 】、部分相干极化高斯谢尔模型光束2 6 1 、部分相干平项光 束2 7 1 、部分相干高斯脉冲2 8 1 、部分相干平项多高斯谢尔模型光利2 9 1 、椭圆平 项光束3 0 1 、厄米双曲余弦高斯光束【1 5 】、激光列阵【3 1 1 、空心高斯光束【3 2 】、部分 2 第一章前言 相干离轴高斯谢尔模型光束【3 3 】、椭圆厄米双曲余弦高斯光束【3 4 1 、空心光束3 5 1 、 离轴平顶多高斯光利3 5 1 、离轴椭圆一双曲余弦高斯光束【3 6 和离轴空心光束m 在 分数傅里叶变换系统中的传输特性。其二是以吴平等为代表，主要采用w i g n c r 分布函数法，研究了平顶多高斯光束【l6 1 、厄米高斯光束【3 8 1 、贝塞尔一高斯光束 0 9 、椭圆高斯光束【柏】、双曲余弦高斯光束( 4 1 1 和余弦高斯光束的分数傅里叶 变换。值得一提的是，虽然蔡阳健和吴平分别采用不同的方法研究了椭圆高斯 光束的分数傅里叶变换，却得到相同的结果 2 4 , 4 0 ，即这两种方法是等效的。以 上报道主要研究了输出面上光强和二阶矩束宽随分数傅里叶变换阶数的变化规 律。结果可以归纳为：系统输出面上的光强分布随分数傅里叶变换阶数周期性 变化，周期为2 。在一个周期内，分数傅里叶变换的阶数不同时，所得光强分 布一般不同。因而，可以通过改变分数傅里叶变换阶数达到光束整形和光束质 量控制的目的。同时，研究还发现：厄米高斯光束和拉盖尔高斯光束通过不 同阶数的分数傅里叶变换系统后，光束的形状不变，但光束的宽度随分数傅里 叶变换阶数的变化而改变；而其他光束的形状和束宽均随分数傅里叶变换阶数 的变化发生改变。此外，蔡阳健等还通过实验研究了部分相干高斯光束在分数 傅里叶变换系统中的传输特性【4 4 1 ，实验结果与理论分析吻合较好。 1 2 2 激光光束在有光阑的分数傅里叶变换系统中传输变换的研究现状 在早期研究中，一般没考虑l o b m a n ni 型和l o h m a n ni i 型系统中透镜尺 寸对输出面光强分布的影响，即认为系统中透镜的尺寸相对于光束的宽度为无 穷大。随着研究的深入，人们发现，需要考虑实际系统中透镜尺寸有限的情况。 透镜尺寸的有限意味着求解输出面上光场分布时，c o l l i n s 积分公式的积分范围 不再是无穷大，而是有限的透镜尺寸。具体计算时，可认为透镜尺寸为无穷大， 但透镜前紧贴透镜处有一大小等于透镜尺寸的硬边光阑，在此光阑内，光束的 透过率为1 ：而在光阑外，光束的透过率为0 t 4 孓5 5 】。 赵道木等在这一领域作了较为广泛的理论研究，迄今，已研究了厄米高斯 光束、拉盖尔高斯光束和像散拉盖尔高斯光束【4 7 1 、平项高斯光束【4 8 】、厄米 余弦高斯光束【4 9 】、偏心椭圆高斯光束以及椭圆高斯光束【5 1 睨1 在透镜的光阑 效应不能忽略的分数傅里叶变换系统中的传输特性。他们基于硬边光阑函数可 第一章前言 展开成有限级次的复高斯函数叠加的理论【鲫，导出输出面上的近似光强分布； 并将得到的近似光强分布与直接积分得到的光强分布进行比较，发现当分数傅 里叶变换阶数趋于0 时，两者存在一定差异，而当分数傅里叶变换阶数趋于1 时，两种方法得到的光强分布吻合较好；且采用近似方法计算的速度较直接积 分的计算速度快得多。但上述研究中没有讨论当光阑效应不能忽略时，输出面 上的光强分布随分数傅里叶变换阶数的变化周期。 此外，2 0 0 8 年，蔡阳健等还通过实验观察了部分相干高斯谢尔模型高斯 光束在有光阑的分数傅里叶变换系统中的传输特性，实验所得光强分布与采用 近似方法得到的光强分布吻合较好【5 5 】。 1 2 3 激光光束在球差和失调的分数傅里叶变换系统中传输变换的研究现状 l o h m a n n 所定义的分数傅里叶变换是一个理想系统，而实际工作中常面对 的光学系统是非理想的。由于l o h m a n ni 型系统和l o h m a n ni i 型系统均含透 镜，透镜中一般还存在球差。因而对激光光束在有球差的分数傅里叶变换系统 中的传输特性的研究有一定的实际价值。目前，赵道木等己以平面波和高斯光 束为例【5 6 枷】，研究了光束在有球差的分数傅里叶变换系统中的传输特性。研究 发现：输出面上的光强分布随球差系数和分数傅里叶变换阶数的变化而改变： 且球差相同时，相同阶数的l o b _ m a n ni 型系统和l o h m a n ni i 型系统不再等价； 除以上提到的透镜光阑效应和球差外，光学系统还或多或少地存在着失调 现象，如光学元件的位置或角度失调，因此，研究激光光束通过失调分数傅里叶 变换系统的传输特性具有一定实际意义。目前，赵道木、陈建农等已对激光光 束在失调分数傅里叶变换系统中的传输变换作了一定的研究【6 m 2 1 。 1 2 4 激光光束在分数傅里叶变换面上光谱的研究现状 由于激光的单色性好，在理论中，经常把激光当单色光处理( 如研究各类 激光光束在分数傅里叶变换系统中的传输特性时) 。事实上，激光是有一定谱 宽的准单色光，因此，研究激光光束在各类光学系统中的光谱特性具有重要意 义。目前，已有大量关于这课题的研究报道。但到目前为止，关于激光光束 在分数傅里叶变换系统中光谱特性的研究报道还较少。蔡阳健等在理论上研究 4 第一章前言 了激光光束在分数傅里叶变换系统中的光谱特性 6 3 - 6 5 】，发现输出面上的光谱随 分数傅里叶变换阶数变化；归一化的轴上相对谱移动随分数傅里叶变换阶数和 横向坐标变换。其中，相对谱移动随分数傅里叶变换阶数的变化周期为2 。但在 其研究报道中，没有考虑透镜色差对光谱的影响。 1 3 论文的选题与研究意义 1 9 9 3 年hmo z a k t a s 、dm e n d l o v i c 和a wl o h m a n n 将分数傅里叶变换引 入到光学领域，迄今，人们已对分数傅里叶变换的基本理论及其应用进行了研 刭蹦5 1 ，包括光束在分数傅里叶变换系统中的传输变换。通常采用l o h m a n ni 型和l o h m a n ni i 型系统研究光束在分数傅里叶变换系统中的传输特性，所用的 研究方法有w i g n e r 分布函数法( 以吴平等为代表) 和c o l l i n s 积分公式积分法 ( 以赵道木等为代表) ，并得出相同的结论：输出面上光强分布随分数傅里叶变 换阶数周期性变化，变化周期为2 。但在早期的研究中，一般认为l o h m a n ni 型和l o h m a n ni i 型系统中的透镜是理想的。随着研究的深入，人们逐步开始考 虑透镜的光阑效应、失调和球差对输出面上光强分布的影响。 2 0 0 3 年至今，浙江大学的赵道木掣4 孓5 5 】研究了激光光束在有光阑的分数傅 里叶变换系统中的传输特性。他们主要讨论了光阑尺寸对输出面上光强分布的 影响，以及采用直接积分法得到的光强分布与采用硬边光阑函数展开成有限级 次复高斯函数叠加得到的近似光强分布之间的差异，但没有讨论光阑效应不能 忽略时输出面上的光强分布随分数傅里叶变换阶数的变化周期。本文将对这些 问题作迸一步研究。 众所周知，激光的单色性较好，故在理论研究中通常认为激光是理想的单 色光。但事实上激光是有一定谱宽的准单色光，其在传输过程中会发生相关诱 导或衍射诱导的光谱变换【6 7 刁1 1 。对光谱的理论和实验研究均已证实，透镜的色 差对输出面的光谱具有较大影响【终7 9 。但遗憾的是，早期人们研究光束在含透 镜系统中的光谱特性时，一般认为透镜是无色差的光学元件，包括实现光学分 数傅里叶变换的l o h m a n ni 型和l o h m a n ni i 型系统。近几年，已有少量关于激 光光束在分数傅里叶变换面上光谱特性的研究报道【6 3 彤】，但没有考虑透镜的色 差对输出面上光谱的影响。因此，研究激光光束通过有色差的分数傅里叶变换 5 第一章前言 系统后的光谱特性，有一定的理论意义。 总之，对光束通过分数傅里叶变换系统传输特性的研究，在光束整形、光 束质量控制方面具有重要意义；而光束通过有色差的分数傅里叶变换系统 光谱的研究，对实验室研究光束在分数傅里叶变换系统中的传输、光通讯、 光开光及光开关在光学互连、光通讯等领域的应用具有重要参考价值。 1 4 论文结构 本文以几种激光光束为例，研究了光束在分数傅里叶变换系统中的光强及 光谱特性。研究结果有望对光束在分数傅里叶变换系统中的传输变换性质有更 深层次的认识，对光束的控制、整形、光学系统设计以及实验室研究光束在分 数傅里叶变换系统中的传输具有一定的参考价值。内容安排如下： 第一章，前言。本部分首先介绍光束传输变换研究的历史，光束在分数傅 里叶变换系统中的光强及光谱特性的研究现状。最后，给出论文的研究意义和 结构。 第二章，理论基础。较为详细地介绍了分数傅里叶变换的基本定义、光学 实现( 基于分数傅里叶变换的a b c d 矩阵理论，导出了l o h m a n ni 型系统和 l o h m a n ni i 型系统的传输矩阵) 、研究光束分数傅里叶变换的基本方法和交叉谱 密度理论。 第三章，研究了两种激光光束在分数傅里叶变换系统中的传输特性。3 1 采用c o l l i n s 积分公式，研究了厄米拉盖尔高斯光束在分数傅里叶变换系统中 的传输特性。3 2 基于光阑函数可以展开成有限级次复高斯函数的叠加理论， 研究双曲余弦平方高斯光束在有光阑的分数傅里叶变换系统中的传输特性。 第四章，以部分相干高斯光束和部分相干厄米高斯光束为例，讨论了激光 光束在有色差的分数傅里叶变换系统中的光谱特性。 第五章，总结。对本文工作进行总结并给出结论。 6 第二章理论基础 第二章理论基础 2 0 世纪8 0 年代，v n a m i a s 、a cm c b r i d e 和fhk e n 完整的提出了分数傅 里叶变换的数学定义及性质【6 1 。上世纪9 0 年代以来，经hmo z a k t a s 、d m e n d l o v i c 和awl o h r n a n n 等的努力，分数傅里叶变换被引入光学领域【7 j3 1 ， 使我们对光束传输变换的分析有了更为方便的工具。如今，分数傅里叶变换在 光学领域的广泛应用已发展成为光学领域中一个较为活跃的分支一分数傅里叶 光学。 2 1 分数傅里叶变换的定义 一维函数厂( x ) 的分数傅里叶变换的定义为【1 0 ，8 0 】： q 州= f - 坐2 z s 竺i n a l ，2p 盖三岳剖m ) 出c 小i 2 )c 2 小， 将f o c ) 的分数傅里叶变换记为f ( v ) ，并称为f ( x ) 的分数傅里叶谱。其中 a = p z 2 ，p 称为分数傅里叶变换的阶，p 取值区间( 一2 ，2 ，( - 2 ，2 称为分 数傅里叶变换的主值区间。由定义可知：巧 ( 功) = 巧嘲 厂扛) ) ，即，( y ) 随 分数傅里叶变换阶数的变化周期为4 。当p 超出主值区间时，相应的变换可以 化成主值区间的变换。 以节代替p ，得到负数阶的分数傅里叶变换 胆p 厂( 工) ) ：l 2 z s i n a e - 兰： 2 e2 , , ip 【瓦x 2 口+ 咖v x i j m ) 血( i p i 2 ) ( 2 - 1 - 2 ) 并且负数阶的分数傅里叶变换胆p ( p o ) 是的逆变换，有 胆p 巧) ：坐2 z s i 叫n a 2 p 名ip f 三割 i l 旦呈-。【岳2ta尝ng-e-iix2-a)2nsina 1 2 e 2 t a a ae j 似，出卜 7 第二章理论基础 = 上2 z s i n a - c 。p 警m ， 芦咖卜= 上k 一八功i ! p 一咖卜 = 志呈p 譬m 枷劬似一) 出( 2 - 1 - 3 ) = f ( v ) 当p = 1 ，即口= 万2 时，分数傅里叶变换退化为常规的傅里叶变换和傅里叶 逆变换，即 硎八曲) _ 去! 八功p 珈出 魍t 矿 ”2 去! 八矿咖 在式( 2 1 1 ) 定义的分数傅里叶变换中，当p = o 时， 当p 一0 即口一0 时，s i n a 口，t a n c t a ，应用5 函数 口一x 2 i t a ( x ) = 1 i m ； q t 您 得到零阶分数傅里叶变换 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 口= 0 没有意义。但 ( 2 1 6 ) f t o f ( 枷= 吼“) 等磋骂肛m ) ( 2 - 1 - 7 ) 类似地，可以给出2 阶分数傅里叶变换的定义为 ，互 厂( x ) ) = ，乙i p - ： 厂( x ) ) = 厂( 一1 ，) ( 2 1 8 ) 式( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 表明，零阶分数傅里叶变换给出了物函数本身；2 阶分数 傅里叶变换则给出了物函数的倒像，相当于一个成像系统，只是坐标发生了反 演。 2 2 分数傅里叶变换的光学实现 分数傅里叶变换引入光学，其光学实现一直备受关注。迄今，已设计出多 种可实现分数傅里叶变换的光学系统，但主要用以下两种方式实现光学分数傅 里叶变换：其一是hmo z a k t a s 和dm e n d l o v i c 等提出的用梯度折射率介质 1 8 - 9 , 1 3 】；其二是awl o h m a n n 提出的两个对称单透镜和双透镜模型【l o 】。分别 介绍如下： 8 第二章理论基础 2 2 1 梯度折射率介质( g r i n ) 输入光束的横向复振幅分布在梯度折射率( g r i n ) 介质中的传播可用p 阶 分数傅里叶变换描述，分数阶p 与传播距离成正比。对折射率分布为n ( r ) 的梯 度折射率介质【9 ，8 1 】 n 2 ( ，- ) = 1 2 【l 一( 詈) r 2 】 ( 2 2 1 ) 厂2 - x 2 + 少2 其中，为径向坐标，l i 为梯度折射率介质中心的最大折射率，l ，为梯度折 射率介质的最小折射率。设输入面与z = 0 平面重合，输出函数为f ( x ) ，则在 2 = 三= 詈瓜平面上得到傅里叶变换一 厂o ) 】，由于系统在轴向完全均 匀，因此在z = p l 的面上得到分数傅里叶变换f t p f ( x ) 。 hmo z a k t a s 和dm e n d l o v i e 从光在梯度折射率( g r i n ) 介质中的传播入手 给出了分数阶傅里叶变换的具体数学形式【9 , 8 0 4 1 1 在梯度折射率介质中的本征模是厄米高斯函数： 瓦( 训) ：q ( 鱼) 风( 垒) e x p ( 一生喾) ( 2 2 2 ) www - 骂，4 分别是，、m 阶厄米多项式 w = 船 l 4 ，后= 孕 五是波长。在梯度折射率介质中，每个厄米- 高斯模以不同的传播常数局。传播： 局爪= k 1 2 kr 兰n 1 、“2 ( ，+ m + 1 ) 2 后一( 詈) “2 ( ，+ m + 1 ) ( 2 - 2 3 ) 则在梯度折射率介质中一个特定的模( 1 ，m ) 的传输可写为： 瓦( x ，y ，z ) = y l r a ( x ，y ) e x p i f l z m ( z ) 】 ( 2 - 2 - 4 ) 由于厄米高斯函数的正较完备性，故任意函数f ( x ，y ) 可用它表示： f ( x ，y ) - - 如y 锄( x ，y ) ( 2 2 5 2 ) ，m 9 第二章理论基础 其中： 如= ，厂( x ，y ) 謦哟 = 2 1 + m ，! ，l ! 万孚 由上面的讨论很容易定义函数f ( x ，y ) 的p 阶分数傅里叶变换为： f t p f ( x ，y ) l = e 如( x ，y ) e x p ( i f l ，, p 1 ) lm ( 2 2 6 ) 显然当p = 1 时，只要选取尺度因子： s ：w 6 则此时就是普通傅里叶变换。 其次 羁q 【( x ，y ) = f t b z 如( x ，y ) e x p ( i f l t , , , p 1 ) ， n l = ( x ，y ) e x p i f l l m ( b + p ) 1 ( 2 2 7 ) ，埘 = 羁+ p ( 邑y ) 】 满足分数傅里叶变换性质2 ，即阶数的可加性和交换性【8 l 】。 2 2 2l o h r n a t m 对称单透镜和双透镜模型 ( i ) l o h m a t mi 型( 单透镜系统) 【l o 】 l o h r n a n n 提出的实现光学数傅里叶变换的单透镜模型( l o h m a n ni 型分数 傅里叶变换系统) 如图2 - 1 所示：d 表示距离，厂为透镜焦距，石为族参数( 当 变换系统确定时为常数) ，口= p 7 r 2 ，p 为分数傅里叶变换的阶数。按照图中 所示的关系 拈z 锄詈= f , t a n - e - 孑，厂= 盘= 去( 2 - 2 - 8 ) 2 同时改变和d ，可实现物函数不同阶数的分数傅里叶变换。依据矩阵光学理 论，可求出l o h m a n ni 型系统的传输矩阵 1 0 第二章理论基础 赇玲 - 珥抑州孚= 卜剐 d = 五t a 坟伍2 ) i | 1 眺p 2 d = 五t a 坟也t 2 ) 图2 1l o h m a n ni 型分数傅里叶变换系统 拈细拈埘n 等，厂= 去卅伽等， ( 2 2 - 1 0 ) 球耻啦牝 = 车= 卜州) 第二章理论基础 图2 2l o h r n a n ni i 型分数傅里叶变换系统 2 3 激光光束在分数傅里叶变换系统中传输特性的研究方法 常用于研究激光光束分数傅里叶变换的方法有c o l l i n s 积分公式法和 w i g n e r 分布函数法，现介绍如下： 2 3 1c o l l i n s 积分公式法 经典标量衍射理论中，常用于描述光束在自由空间传输的 h u y g e n s f r e s n e l 衍射积分公式( 简称f r e s n