（新课标）2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案文新人教A版.docx

第1讲直线与圆 做真题1(2016高考全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC. D2解析：选A.由圆的方程可知圆心(1，4)由点到直线的距离公式可得1，解得a，故选A.2(2018高考全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_解析：将圆x2y22y30化为标准方程为x2(y1)24，则圆心坐标为(0，1)，半径r2，所以圆心到直线xy10的距离d，所以|AB|222.答案：23(2019高考全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解：(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.连接MA，由已知得|AO|2，又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.明考情1直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点2考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，其难度多为中档题直线的方程(基础型) 知识整合 三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|.(2)点到直线的距离：d(其中点为(x0，y0)，直线方程为AxByC0)(3)两平行直线间的距离：d(其中两平行直线的方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20) 两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在注意要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线考法全练1已知经过点A(2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为()A0B1C0或1 D1或1解析：选C.直线l1的斜率k1a.当a0时，直线l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0，0)，此时直线l2为y轴，又A(2，0)，B(1，0)，则直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为0或1.故选C.2若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A. B4C. D2解析：选C.因为l1l2，所以，解得a1，所以l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2的距离d.3若直线l1：ykxk2与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点()A(3，1) B(3，0)C(0，1) D(2，1)解析：选B.因为ykxk2k(x1)2，所以l1：ykxk2过定点(1，2)设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则得所以直线l2过定点(3，0)故选B.圆的方程(基础型)知识整合圆的3种方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)考法全练1(2019河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y24x0 Dx2y22x30解析：选C.由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则2，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.故选C.2已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y293若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b，3a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为_，圆(x2)2(y3)21关于直线l对称的圆的方程为_解析：kPQ1，故直线l的斜率为1，由点斜式可知l的方程为yx3，圆心(2，3)关于直线yx3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x2(y1)21.答案：1x2(y1)21直线(圆)与圆的位置关系(综合型) 知识整合 直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；r1r2两圆外离(2)dr1r2两圆外切(3)|r1r2|dr1r2两圆相交(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切(5)0d0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且35，则r_(2)已知点F是抛物线C：y24x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆(x1)2y2作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为_【解析】(1)如图，过O点作OEAB于点E，连接OA，则|OE|，易知|AE|EB|，不妨令|AD|5m(m0)，由35可得，|BD|3m，|AB|8m，则|DE|4m3mm，在RtODE中，有()2m2，在RtOAE中，有r2()2(4m)2，联立，解得r.(2)设M(x，y)，易知抛物线C的焦点F(1，0)也为圆的圆心，圆的半径r|FA|，连接MF，则|MF|x1.因为MA为切线，所以MAAF，在RtMAF中，|MA|.易知MAFMBF，所以四边形AFBM的面积S2|MA|AF|MA|，又因为x0，所以当x0时，四边形AFBM的面积取得最小值，所以Smin.【答案】(1)(2)(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线(2)弦长的求解方法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R2d2(其中l为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的距离)根据公式：l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)求出交点坐标，用两点间距离公式求解 对点训练1已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切 D相离解析：选B.由题知圆M：x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2.圆M与圆N的圆心距|MN|0)，则圆心到直线xy2的距离d2，所以a2，所以该圆的标准方程为(x2)2(y2)24，故选C.3已知直线l：yx1平分圆C：(x1)2(yb)24的周长，则直线x3与圆C的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不能确定解析：选B.由已知得，圆心C(1，b)在直线l：yx1上，所以b112，即圆心C(1，2)，半径为r2.由圆心C(1，2)到直线x3的距离d312r知，此时直线与圆相切4(2019重庆市七校联合考试)两圆x2y24x4y0和x2y22x80相交于M，N两点，则线段MN的长为()A. B4C. D.解析：选D.两圆方程相减，得直线MN的方程为x2y40，圆x2y22x80的标准方程为(x1)2y29，所以圆x2y22x80的圆心为(1，0)，半径为3，圆心(1，0)到直线MN的距离d，所以线段MN的长为2.故选D.5(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，设直线xym0与圆O：x2y28交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得ABC为等边三角形，则实数m的值为()A1 B2C2 D2解析：选B.通解：由题意知，点C和圆心O在直线AB的同侧，且圆心O在线段AB的垂直平分线上，设线段AB的中点为D，圆O的半径r2，则|CD|OD|r|AB|.因为|OD|，|AB|2，所以22，解得m2.优解：设圆O的半径为r，则r2，由圆周角ACB60，得圆心角AOB120，则圆心O到直线xym0的距离dr，所以，解得m2.6已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B分别是切点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为()A1 B.C. D2解析：选D.由题意知，圆C的圆心为C(0，1)，半径r1，四边形PACB的面积S2SPBC，若四边形PACB的面积的最小值是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|PB|1，则|PB|的最小值为2，此时|PC|取得最小值，而|PC|的最小值为圆心到直线的距离，所以，即k24，由k0，解得k2.二、填空题7已知直线l：xmy30与圆C：x2y24相切，则m_解析：因为圆C：x2y24的圆心为(0，0)，半径为2，直线l：xmy30与圆C：x2y24相切，所以2，解得m.答案：8(2019广州市调研测试)若点P(1，1)为圆C：x2y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3，0)，又P(1，1)，所以kPC.易知MNPC，所以kMNkPC1，所以kMN2.由弦MN所在的直线经过点P(1，1)，得所求直线的方程为y12(x1)，即2xy10.答案：2xy109已知圆C：(x2)2y24，直线l1：yx，l2：ykx1.若直线l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为12，则k的值为_解析：依题意知，圆C：(x2)2y24的圆心为C(2，0)，半径为2.圆心C到直线l1：yx的距离为，所以直线l1被圆C所截得的弦长为22.圆心C到直线l2：ykx1的距离d，所以直线l2被圆C所截得的弦长为2，由题意知2(2)12，解得d0，故直线l2过圆心C.所以2k10，解得k.答案：三、解答题10已知点P(0，5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解：(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为标准方程即(x2)2(y6)216，所以圆C的圆心坐标为(2，6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，所以|AD|2，|AC|4，C点坐标为(2，6)在RtACD中，可得|CD|2.若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式为2，得k.故直线l的方程为3x4y200.直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所以所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，所以(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.11(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.12已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290相切(1)设直线axy50与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心为M(m，0)(mZ)因为圆与直线4x3y290相切，且圆的半径为5，所以