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第三章 晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。一、 几个相关术语1. 等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。二、 宏观对称元素1. 反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。2. 对称中心（符号用C）：描述：点不动。对称中心可以产生左右型、阶次为2。3. 旋转对称轴（用Ln表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。4. 旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。三、 宏观对称要素和点阵的几何配置1. 对称中心对应于点阵点2. 旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3. 对称面对应于点阵面（包含平行）四、 宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。下面研究这种组合规律。一、 反映对称面-反映对称面间的组合规律定理：两个反映对称面相交，其交线为旋转对称轴。旋转对称轴的基转角为反映对称面交角的二倍（证）。推论：基转角为的旋转对称轴可分解为（注：不一定真实存在）两个反映对称面的连续操作，两个反映对称面的夹角为/2。二、 反映对称面-旋转对称轴组合规律定理：当一个反映对称面包含一Ln时，必然有n个P同时包含Ln。三、 旋转对称轴与对称中心的组合定理：如果偶次对称轴上有对称中心，那么必有一对称面与对称轴垂直相交于对称中心。推论1：在有对称中心时，若还有偶次对称轴，偶次对称轴的数目和对称面的数目相等。推论2：对称面和偶次对称轴垂直，必有对称中心。推论3：对称面和对称中心存在时，必有一垂直对称面的二次对称轴。四、 旋转轴之间的组合定理1：如果有一个L2垂直Ln，则必然有n个L2垂直Ln。相邻L2的夹角是Ln基转角的一半。推论：两个二次轴相交，交角为，则垂直于这两个二次轴必然有一基转角为2的n次对称轴。定理2：（欧拉定理）：两个对称轴的适当组合可产生第三个对称轴。五、 旋转反伸轴与二次对称轴和对称面组合定理：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P包含它）的组）；当其为偶数时必然有n/2个L2垂直它，（或n/2个P包含它）第三节、32种对称型（或32种点群）在晶体宏观对称性中，对称要素的数目是有限的，根据对称要素的组合规律可推导出的对称要素组合的数目也是有限的，共计32种，我们称之为32种对称型。由于在每种对称要素组合中，所有的对称要素相交于一点，换句话说，在每种对称要素操作过程中，至少有一点是不动的。所以，按照数学中群论的观点，这些对称要素的集合构成了一个群（符合群的基本属性），每种对称要素就是群中的元素。这些群元素在空间上相交于一点，所以我们也常将32种对称型称之为32种点群。一、32种对称型推导从前述内容可知，宏观晶体中可能存在的对称要素有：旋转对称轴：L1、L2、L3、L4、L6；反映对称面：P（L-2=P）对称中心：C（L-1=C）旋转反伸轴：（L-1= C、L-2=P、L-3= L3C）、L-4、L-6= L3P；共计9种，这9种毒称要素可单独存在，就构成了9种对称型。下面推导由这九种对称要素组合所产生的新的对称型。为了便于推导，我们一般将这些对称要素的组合分成两类：将高次轴（n2）不多于一个地组合称为A类，将高次轴多于一个的组合称为B 类。先考虑A类：1. 对称轴与对称轴的组合，只有两种组合关系：垂直和包含。先考虑L2与Ln垂直组合，根据定理“如果有一个L2垂直Ln，则必然有n个L2垂直Ln，相邻L2的夹角是Ln基转角的一半。”即L2+ Ln= Ln n L2。组合所产生的新的对称型有：（L1L2=L2）、 3L2、L3 3L2、L4 4L2、L6 6L2，共计4种。2. 对称轴与垂直它的对称面组合，可产生的新的对称型有：（L1P=P）、L2 PC、（L3P=L-6）、L4 PC、L6 PC，共计3种。3. 对称轴与包含它的对称面的组合，可产生的新对称型有：（L1P=P）、L2 2P、L3 3P、L4 4P、L6 6P，共计4种。4. 对称轴同时与垂直它的对称面和包含它的对称面组合，可产生的新的对称型有：（L1L2P=L22P）、3L23PC、（L33L24P=L-63L23P）、L44L25PC、L66L27PC，共计3种。5. 旋转反伸轴与垂直它的L2（或包含它的P）的组合，可形成的新的对称型有（定理有：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P包含它）的组）；当其为偶数时必然有n/2个L2垂直它，（或n/2个P包含它）：L-33L23P=L33L23PC、L-42L22P 、L-63L23P，共计3种。6. 旋转对称轴与对称中心的组合，可产生的新对称型有L3C，共计1种。综上所述，对于A类，我们一共推导了27种对称型。下面推导B类（包含多个高次对称轴的对称要素组合）1. 根据欧拉公式，首先推导高次轴的组合，有3L44L36L2、3L44L3，共计2种。2. 3L44L36L2和对称面组合，可形成3L44L36L2 9PC，共计1种。3. 3L44L3和对称面的组合，可形成3L-44L36P、3L24L36PC，共计2种。对于B类，我们一共推导出了5种对称型。以上我们运用对称要素组合规律和对称定律，一一推导出晶体中所有可能的对称型（点群），见教材36页表2-1二、根据对称要素的特点对七大晶系的划分等轴晶系（或立方晶系）.：包含4个L3四方晶系： 包含一个L4或L-4六方晶系： 包含一个L6或L-6三方晶系： 包含一个L3斜方晶系： .L2和P的数目大于1单斜晶系： .L2和P的数目等于1三斜晶系： 无对称面和真正意义上的旋转对称轴人们习惯上将上述七大晶系又划分为三大晶族：高级、中级、低级。三、对称型符号（点群符号）对称型的表示有两种方法：1. 其一为全称表示法：就是将各对称型中的对称要素按轴、面、心的顺序全部写出，多余一个的将其数目置于对称要素符号之前。如L66L27PC等2. 其二为符号表示法：根据是一个对称型种的全部对称要素并不都是独立存在的，根据其独立存在的对称要素必然可以导出其它对称要素，所以在书写时没必要全部写出。符号表示法有两种：一种是所谓的圣弗里斯符号（Shoentlies），一种是国际符号。在圣弗里斯符号中，主符号分别有C、D、O、T、S、,其意义分别代表旋转点群（Cyclic Group）、二面体点群（Dihedral Group）、八面体点群（Octahedral Group）、四面体点群（Tetrahedral Group）、旋转反映轴（Spiegnl）；其下标符号有数字、n、i、v、h、d、s等，分别代表旋转轴轴次、对称中心(inner)、对称面和主轴平行（vertical）、对称面和主轴垂直（hrizontal）、对称面包含主轴又何两个二次轴夹等角（diagonal）等。圣弗里斯符号虽然非常简洁，但比较晦涩难懂，在其后国际有关组织颁布了国际符号，国际符号的表示方法如下：单一对称轴以数字表示，数字代表对称轴的轴次，如1、2、3、4、6分别代表L1、L2、L3、L4、L6。国际符号表示法采用轴次采用数字，旋转反伸轴在轴次数字上加一负号；若为对称轴组合，则采用数字并列的方式。如L66L2对称型的国际符号表示为622（62）。反映对称面用m表示，若旋转对称轴与对称面垂直，则写为n(数字)/m（符号），如L4PC对称型的国际符号表示为4/m。.对称中心用T表示。表示原则：1. 在国际符号表示法中，一般选用晶体中三个不同方向上的主要对称要素符号顺序写出即可，如3L2对称型的国际符号为222。2. 省略原则：如果能从所表示的对称要素推导出其它对称要素，就没必要写出其它对称要素，L22P的国际符号为mm（mm2）。3. 面优先原则：在既可以写面又可以写轴的情况下尽量写面，因为面组合可以产生旋转轴，而轴组合不能产生对称面,如对称型L44L25PC的国际符号我们写成4/mmm(4/m2/m2/m)。4. 国际符号中最多只表示晶体三个不同方向上的对称要素，而不同晶系这种选择规律不同。如立方晶系为：a,a+b+c,a+b，如m3m(3L44L36L29PC) 四方晶系为：c,a,a+b，如4/mmm（L44L25PC） 斜方晶系为：a, b, c，如mmm（3L23PC） 单斜晶系为：b，如2（L2） 三斜晶系为：a，如1（L1）；T（C） 三方和六方晶系为：c, a, 2a+b或c，a，如32（L33L2）；62（L66L2）以上所述的三种对称型表示法：全称表示法最容易理解和接受，但相对繁琐；圣弗里斯表示法和相对简洁，但难于理解，国际符号法介于其间。对于对称型的真正理解，只有掌握了符号表示法才算真正掌握了对称要素组合规律的真谛，建议大家先掌握全称表示法，慢慢过渡到符号表示法。第四节 晶体定向与晶面指数一、晶体定向为了精确并简洁地表示晶体几何形态上的几何要素（角顶、晶面和晶棱等），我们需要用数学语言。要完成几何形态到数学语言的转变，首先必须围绕晶体的几何形态建立坐标系。要使这种表达精确无误地进行交流，必须对建立坐标系的原则作出规定。所谓的晶体定向就是建立晶体坐标系。实际上，我们在介绍空间格子和点阵参数时已介绍了七大晶系的坐标系特点，在这只是介绍如何将宏观晶体放置到这个坐标系中去。放置坐标系的原则是坐标轴要和行列点阵对应，根据晶体对称要素和空间点阵的关系点，我们知道对称轴就代表点阵行列，对称面和点阵行列垂直。我们只要根据各晶体的对称要素特点，使坐标轴平行对称轴或垂直对称面就行了。不同的晶系坐标轴与对称要素的关系不同。规定如下：等轴晶系：三个坐标轴分别平行三个4次轴或四次反伸轴或而次轴。四方晶系：唯一的一个四次轴（或四次反伸轴）为c轴，相互垂直的两个二次对称轴（或相互垂直的两个对称面的法线、或相互垂直的两个晶棱）为a，b轴。正交晶系：3个二次对称轴分别为a，b，c轴，或一个二次轴为c轴，两个对称面的法线为a，b轴。单斜晶系：二次对称轴（或对称面的法线）为b，两个实际或可能晶棱（在对称面内或垂直而次对称轴的平面内）为a，c轴。三斜晶系：三个实际或可能晶棱。六方和三方晶系：三次（包括反伸）轴或六次轴为c轴，三个二次轴（对称面的法线、或垂直于c轴平面内三个交角互为60o的晶棱为a1、a2、a3轴。详见P40的定向表。二、晶面表示法有了坐标系，我们就可以将晶体几何要素用数学语言表述出来，先看晶面表示的方法。用晶面在三个坐标轴上的截距系数的倒数比连写加圆括号表示：设截距分别为x，y，z，它们分别mao，nbo，pco， ao， bo， co分别为对应坐标轴的轴单位，m，n，p分别为截距系数。将1/m：1/n：1/p连比，消去分母并约简，去掉比号，放在圆括号中即成，如（hkl）说明：1.晶面指数只有方向意义，因为相互平行的晶面，晶面性质相同。所以晶面指数总是三个互质数。2.由对称性联系着的一组晶面，尽管其空间方位不同（其晶面指数的绝对值相同，但正负号不同），但它们的性质相同。表征这些性质相同晶面的符号称单性符号，用其正指数的晶面符号表示在花括号中，如111。3.不同晶系的对称性不同，所以同一单形符号所代表的单形不同，如四方晶系的321和立方晶系的321所代表的内容是不同的。4.关于四轴定向的三方和六方晶系的晶面符号表示法表示为（hkil）因为在立体几何中，三个坐标轴就可以表征，只是我们为了方便选择了四轴定向。这三个水平轴中，必然有一个是多余的，换句话说，这三个指数有某种关系。这种关系可表征为：h+k+i=0，证明方法为几何法，有两种，其一为面积法，其二为相似三角形法，教材上使用面积法。我们采用相似三角形法，画图、解析。三、整数定律概念：晶面在晶轴上的截距系数之比为简单整数比，这一规律称为整数定律这一规律系法国学者浩羽伍（R.J.Hauy）在1774年所发现。当时他不可能知道ao、bo、co的具体长度，但他发现“晶体上任意而晶面在三个相交于一点但不在同一平面内的晶棱上的截距之比为简单整数比，这一规律被称为有理指数定律（即整数定律）。晶面符号的使用远早于X射线的发现，因此，当时不可能知道ao、bo、co的真实长度。根据晶体外形来计算轴率ao：bo：co和晶面符号是依靠对比晶面在晶轴上的截距系数。其方法是选择一个面作为单位面（其在三个坐标轴上的截距系数均为n（相等），其晶面符号为（111），根据布拉维法则这是可能的。则这个晶面在晶轴上的截距之比等于轴率nao：nbo：nco=ao：bo：co。然后再以此单位面在晶轴上的截距之比(111)与其它晶面在晶轴上的截距之比相比，求得其它晶面的晶面指数。1.先证明为什么是整数比：设任意二晶面在三轴上的截距分别为A1、B1、C1和A2、B2、C2，它们分别等于x1ao、y1bo、z1co和x2ao、y2bo、z2co，x1、y1、z1和x2、y2、z2均为整数，其比值为x1ao/x2ao：y1bo /y2bo：z1co/ z2co=x1/x2：y1 /y2：z1/ z2也必然可化成整数比。2.再证明为什么是简单整数：要证明为什么是简单整数，先要介绍布拉维法则：所谓布拉维法则就是指晶体实际存在的晶面是面网密度较大的晶面。而面网密度大的晶面，其面网间距也大，推进生长比较慢，而面网密度小的晶面，面网间距也小，推进生长较快。而推进生长快的晶面有逐渐消亡的趋势，结果，最终保留在晶体上的晶面是面网密度较大的晶面。而面网密度较大的晶面是在三晶轴上的截距系数比较接近或相等，所以约简后一般比较小。五、 晶棱表示法晶棱符号是表示晶棱的方向指数，其方法为将晶棱移至坐标原点，然后再其上任选一点（不选原点位置），求其在三个坐标轴的坐标，连比、消去分数、化成互质，去掉分号，用尖括号括起来，如第五节 47种几何单形一、 概念单形是指由对称要素联系起来的一组同形等大的晶面所形成的空间几何图形。二、 单形的获得选择任一原始平面作为起始