（应用数学专业论文）分圆陪集的性质及一类bch码的维数.pdf

摘要 内容摘要：分圆陪集是研究循环码的基础。由于分圆陪集的性质与 循环码，特别是狭义本原b c h 码的维数密切相关，因此国内外一些 学者对围绕分圆陪集及分圆陪集首而展开的狭义本原b c h 码的维数 进行了广泛而深刻的讨论。虽然一些相关文献资料中己将分圆陪集 及分圆陪集首的一般特性加以研究总结，但有关于分圆陪集首的 某些特殊形式与其所在的分圆陪集所含元素的个数的具体关系以 及b c h 码的指定距离在某些特殊条件下，其码的维数的确切值或取 值范围的研究结果尚未在文献中发现。本文在前人的基础上给出了 分圆陪集首的某些特殊形式与其所在的分圆陪集所含元素的个数的 具体关系，给出了狭义本原b c h 码的指定距离在某些特殊条件下， 其维数的取值范围或确切值。 本文首先利用有限域上分圆多项式的性质讨论了多项式z n 一1 在 特征为p 且( 礼，p ) = 1 的域中的分解，给出了矿一1 在域上分解成不可 约多项式的个数的公式，由此引出了当仃= q m 一1 时，分圆陪集个数 与多项式x n 一1 分解的具体关系；并给出了分圆陪集或分圆陪集首个 数的公式。 其次，利用非递减序列的定义及判断分圆陪集首的方法得出分圆 陪集所含元素的个数与其分圆陪集首的n d s 分解形式的关系。 最后给出了狭义本原b c h 码的指定距离满足一些特殊条件时，码 维数的范围或确切值。 关键词：分圆陪集，分圆陪集首，非递减序列，n d s 分解。 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h ec y c l o t o m i cc o s e t sa r et h eb a s i st os t u d yc y c f i cc o d e s s i n c et h ep r o p e r t i e so ft h ec y c l o t o m i cc o s e t sa x ec l o s e l yr e l a t e dt o c y c l i cc o d e s ，e s p e c i a l l yt on a x r o w - s e n s eb c hc o d e s ，m a n yr e s e a r c h e r s f r o md i f f e r e n tc o u n t r i e sh a v es t a r t e dae x t e n s i v ea n dp r o f o u n dd i s c u s s i o n sa b o u tt h ec y c l o t o m i cc o s e t s ，r e p r e s e n t a t i v eo ft h ec y c l o t o m i c c o s e t sa n dd i m e n s i o n so fn a r r o w - s e n s eb c hc o d e s a l t h o u g hs o m e p r o p e r t i e so fc y c l o t o m i cc o s e t sa n dr e p r e s e n t a t i v e so fc y c l o t o m i cc o s e t s a x es t u d i e di ns o m er e f e r e n c el i t e r a t u r e s ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h en u m - b e ro fe l e m e n t si nac y c l o t o m i cc o s e ta n dt h ef o r mo ft h er e p r e s e n t a t i v e o ft h ec y c l o t o m i cc o s e th a sn o tb e e nm e n t i o n e d ，n e i t h e rh a st h ep r e - c i s ev a l u eo ra r a n g eo fd i m e n s i o n so fs o m en a r r o w - s e n s eb c hc o d e s w h o s ed e s i g n e dd i s t a n c ei su n d e rs p e c i a lc o n d i t i o n s o nt h eb a s i so ff o r m e rr e s e a r c h e r s s t u d i e s ，t h i sp a p e rg i v e st h e r e l a t i o nb e t w e e nt h en u m b e ro fe l e m e n t si nac y c l o t o m i cc o s e ta n dt h e f o r mo ft h er e p r e s e n t a t i v eo fc y c l o t o m i cc o s e t ，a n dd e d u c e st h ep r e c i s e v m u eo rar a n g eo fn a x r o w - s e n s eb c hc o d e sw h o s ed e s i g n e dd i s t a n c e i su n d e rs p e c i a lc o n d i t i o n s t h ep a p e r 缸s t l yd i s c u s s e st h ef a c t o r i n go fz n li naf i n i t ef i e mb y t h ep r o p e r t i e so fc y c l o t o m i cp o l y n o m i a l sa n dg i v e st h ef o r m u l ao ft h e n u m b e ro fz n 一1f a c t o r i n gi n t oi r r e d u c i b l ep o l y n o m i a l s ，w h i c hd e d u c e s t h en u m b e ro fc y c l o t o m i cc o s e t sa n dt h er e p r e s e n t a t i v eo fc y c l o t o m i c c o s e t s s e c o n d l y , t h er e l a t i o nb e t w e e nt h en u m b e ro fe l e m e n t si nac y c l o - t o m i cc o s e ta n dt h ef o r mo fn d sd e c o m p o s i t i o no far e p r e s e n t a t i v eo f l l 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 ac y c l o t o m i cc o s e th a sb e e ng i v e nb yt h ed e f i n i t i o no fn o n d e c r e a s i i l g s e q u e n c ea n dt h em e t h o dt om e a s u r et h er e p r e s e n t a t i v eo ft h ec y c l o - t o m i cc o s e t f i n m l y , ar a n g eo rt h ep r e c i s ev a l u eo fd i m e n s i o n so fs o m en a r r o w - s e n s eb c hc o d e s ，w h o s ed e s i g n e dd i s t a n c ei su n d e rs p e c i a lc o n d i t i o n s ， i sd e d u c e d k e yw o r d s ：c y c l o t o m i cc o s e t ，r e p r e s e n t a t i v eo fc y c o l t o m i cc o s e t ， n o n d e c r e a s i n gs e q u e n c e ，n d sd e c o m p o s i t i o n 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名：筏该为 日期：翮年雹 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文。保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名 为院亏 一：瓠雪 日 期：跏矿7 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 1引言 线性码的主要参数有码的长度，维数以及码的极小距离。其中码的维数 确定了码的大小，极小距离确定了码的纠错能力。一般来说，不容易确定码的 维数以及极小距离。b o s e ，c h a u d h u r i ，h o c q u e n g h e m 三人给出了一类特殊的循 环码，称为b c h 码。循环码的维数可由其生成多项式的次数得出，所以确定了 循环码的生成多项式的次数也就确定了循环码的维数。而循环码的生成多项式 的根的幂是由分圆陪集的元素所构成的，所以分圆陪集与循环码间有着重要的 联系。基于分圆陪集对循环码的重要性，国内外一些学者对分圆陪集进行了 广泛而深刻的讨论，得到了不少有意义的结果。文献1 1 给出了线性码，分圆陪 集的定义以及一些基本性质定理。文献 2 】提供了与线性码及分圆陪集密切相关 的域的一些定义及性质。文献 3 1 ，【4 1 ，f 5 】给出了b c h 码的维数的一般表达式。 文献6 定义了非递减序列并给出了分圆陪集首的判定条件。文献f 7 1 f 8 1 ，f 9 1 给 出了有限域上的本原多项式的特征对b c h 码的应用。文献f 1 0 1 ，f 1 1 1 给出了幂等 元与b c h 界的关系。本文在前人的基础上给出了分圆陪集首的某些特殊形式 与其所在分圆陪集所含元素的个数的具体关系以及指定距离在某些特殊条件 下，b c h 码的维数的取值范围或确切值。 本论文结构如下：第二部分提供了一些与本论文结果相关的预备知识。 第三部分利用有限域上分圆多项式的某些性质讨论了多项式矿一1 在特征 为p t ( n ，p ) = 1 的域中的分解；给出了扩一1 在域上分解成不可约多项式的个数 的公式，由此引出了当n = q ”一1 时，分圆陪集与多项式护一1 分解的具体关 系；并给出了分圆陪集的个数或分圆陪集首个数的公式。第四部分得出某分些 圆陪集所含元素的个数与其分圆陪集首具体形式的关系并给出了在指定距离6 满 足一些特殊条件下狭义本原b c h 码维数的范围或确切值。 1 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 2 预备知识 定义2 1 1 1 】设g f ( q n ) 是有限域，g f ( q n ) 的任何一个k 维线性子空间称为一 个k ，七】线性码。线性码中的每个向量称为码字，n 称为码长。 定义2 2 【1 】 两个码字；= 0 1 ，z 。) 与多= ( y 1 ，蜘) 中不同分量的个数 称为码字i 与歹间的汉明距离。 定义2 3 1 1 】 码字；= 1 ，z n ) 中非零分量的个数称为向量；的汉明重 量。 定义2 4 l 】线性码f 中所有码字问汉明距离的最小值称为码的极小距离， 简称码的距离。即：d = m h a d i s t ( u ，口) = m i n w t ( u 一移) ，钍，口e ，u 秽。 定义2 5 【1 】 粤是一个线性码，若当，a n 一1 ) 粤时，就有( a n _ 1 c o ， a n 一2 ) z ，则称该码为循环码。 。 定义2 6 1 1 】 每个码字( c j d ，c ，l 一1 ) 与多项式c o + c 1 x4 - + 一1 。一1 是一一 对应的关系。则循环码中次数最低且首项系数为1 的多项式称为该循环码的生 成多项式。 定义2 7 【1 1 给定任一有限域g f ( q ) 及其扩域g f ( q “) ，其中q 为素数或素数的 幂， 。为某一正整数。设粤是一个循环码，若其生成多项式g ( x ) 的根的集合r 中 含有以下6 1 个连续根q 6 ，q 蚪1 ，口j ，则由夕0 ) 生成的循环码称为q 进 制b c h 码。其中，口g f ( q m ) 是域的佗次本原单位根。当b = 1 时，称该码 为狭义b c h 码；当扎= g m l 时，称该码为本原b c h 码；所以，当b = 1 ，n = q m 一1 时，称该码为狭义本原b c h 码。 定义2 8 【l 】 有限域g f ( q ) 上长度为n ，指定距离为j 的b c h 码的生成多项式 为夕( z ) = 1 c m m ( 6 ) ) ，m ( 1 ) ( z ) ，m ( 6 2 ) ( z ) ) ，其中m ( 6 + i ) ( z ) 表示g f ( g ) 上 以a i 为根的极小多项式，即夕( z ) 为g f ( q ) _ l 以扩，a 1 ，扩+ 6 2 为根的极小 多项式。 引理2 1 【1 】 设循环码z 的长度为n ，其生成多项式9 ( z ) 的次数为d e 9 9 ( z ) ，则 码粤维数为几一d e g g ( x ) 。 引理2 2 1 1 】g f ( q ) 上长度为n = 矿一1 ，指定距离为6 的b c h 码的生成多 项式9 ( z ) 的次数是满足1 i q 一1 ，且i 的g 进展开式中某个循环移动的 值6 一l 的i 的个数。 定义2 9 【1 】 设z i o ，1 ，g 一1 ) ，i = 1 ，m ，( x l ，z ，。) 中连续 为0 的极大串称为一个游程。游程分为直游程和循环游程。 例：0 1 0 0 1 0 0 含有两个长度为2 的直游程，一个长度为1 的直游程，及一个 长度为3 的循环游程。 2 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 引理2 3 1 1长度为n = q m 一1 ，指定距离杏= q h 的b c h 码的生成多项 式夕0 ) 的次数为1 i q m 一1 中i 的q 进展开式含有游程至少为r = 7 n 一 的i 的个 数。 引理2 4 【l 】 若码e 为【n ，k ，d 】线性码，则佗一k d 一1 0 引理2 5 【1 i ( b c h ) 界-令粤为一循环码，其生成多项式9 ( z ) 满足条件：夕( q 矗) = g ( a 1 ) = = g ( a b + 6 - 2 ) = 0 ，其中6 0 ，6 2 。即该码具有6 一1 个连续的o l 的 幂的根，则该码的极小距离至少为6 。 引理2 6 【1 】 一个长度为佗的循环码，其生成多项式夕 ) 以q 6 ，q 6 + r ， a 扣+ ( 扣2 ) r 为根，其中( 7 , ，r ) = 1 ，则该码的极小距离至少为j 。 引理2 7 【1 】 域c f ( q ) 上长度为n ，指定距离为6 的b c h 码的极小距离d 6 ， 维数南竹一m ( 6 1 ) ，其中m 为码的q 进展开式中分量的个数。 引理2 8 【1 】域a f ( q ) 上长度为珏= q 一1 ，指定距离6 = q 一i 的b c h 码的 极小距离为j 。 一 引理2 9 【1 】域g f ( q ) 上，指定距离为6 的b c h 码的极小距离至多为q 6 1 ， 即d q 6 1 。 3 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 3x n 一1 的分解与分圆陪集个数的关系 定义3 1 【6 】对任意8 ，1 5 g m 一1 ，集合q = 5 矿m o d ( g m 一1 ) ：0 i 竹z ) 称为5r o o d ( g ”一1 ) 的分圆陪集。令t 为使得s q t 耋sm o d ( g m 一1 ) 成立的最小 值，则 q l = t 。称s = m m ( t ：季g ) 为g 的分圆陪集首，m i n r e p = 【矿： 1 s 嘶，当1 i 歹一1 时，坎= 切 ，则型 丝。 引理4 1 1 6 对任意s ，t ( 1 s ，t q 仇一1 ) ，令e ( s ) = v l 可2 ，e ( t ) = 伽l 叫2 伽。分别为s ，t 的n d s 分解，则当且仅当存在整数b ，1 b m i n r ，n l ， 使得当i 6 时，v i = 叫i ，当i = 6 时，v b ，使得当i 6 时，钦= 毗，当i = 6 时，v b 钮6 。则存 在整数i ，p ，后使得堡= ( 8 i ，8 i + 1 ，5 p ) ，w b = ( t i ，t 件1 ，奴) ，当1 歹 i 时，s j = t ja 因为堡 w b ，则存在整数d ，使得s d t d 。当i 歹d 一1 时，彤= 如。因 此可得s 歹) 均有堕= v 2 = = 吻 丝，则s = s + 。 ( 3 ) 若r = 1 ，贝i j e ( s + ) = z ( 8 ) ，a p s = 矿。 ( 4 ) 若5 = u q a 一1 ，1 牡q 一1 ，1 a m 一1 ，则e ( 占) = 0 r n - l - a ( “一 1 ) ( g 一1 ) a = v _ i ，s = 5 。 ( 5 ) 若s = ( g 一1 ) q - 1 - 1 ，贝0 e ( s ) = ( g 一2 ，g 一1 ，q - 1 ) = 口1 ，5 = s + = m ， 其中m 为m 饥r e p 中的最大值。 证明：( 1 ) 对任意t g 必存在整数k ，( 1 七r ) 使得e ( ) = v k ( 2 吼+ 1 6 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 v r v l v 2 坐= ! 坐( 1 ) ，其中丝= n 扩，v _ a k ( 1 ) = nb i ( b ) ，塑( 2 ) = 1 - i 驴( 6 ) ；令e ( u ) = v k v k + 巡v r v l 忱吼一1 。因为魄v k ( 2 ) ，所以根据引理4 1 知u t 。因此 存在歹，使得e ( 8 。) = 竺盟v r v l v 2 一l 。假设存在整数d ，d g ，使 得e ( d ) = v l v i + l v r v ：v 2 v i 一1 ，其中v i ，则根据引理4 1 可得d s 。若0 b 6 时，3 s 。当6 = 0 ，a = 1 时，s = g 詈，此时g i s ，所以s 不可作为分圆陪集首。当a b l ，g l a 2 时，5 2 9 予。当s = 2 9 予+ l q 2 时，e ( s ) = ( o 等一1 2 ) ( o 予一1 1 ) ；由引 理4 2 中的( 1 ) 知，此时s 所在的分圆陪集的分圆陪集首为8 + = e 一1 ( o 号_ 1 1 ) ( o 等一1 2 ) 】 = g 予+ 2 ，当s = 2 口号+ l ，q = 2 时，e ( 8 ) = ( o 詈一2 1 ) ( o 号1 ) ，此时3 所在的分圆陪 集的分圆陪集首为矿= e 一1 ( o 号1 ) ( o 詈一2 1 ) 】= g 罟一1 + 1 ，所以丁在满足同等条件 下最大。 定义4 4 6 j 钝= ( v l ，7 2 2 ，铆) 为一个n d s 分解。死( 型) = ( 可1 ，v 2 ，v k ) 称 为截断算子( t r u n c t i o no p e r a t o r ，) l 惫z 。s ( 型) = ( 秽1 ，v 2 ，饥+ 1 ) ，q q l ，称为继承算子s l l c c e s s o ro p e r a t o r ) 。 7 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 引理4 4 【6 1 令e ( 矿) = t 3 1 t 3 2 珥，其中堑l 长度为2 ，含有1 7 个小于g 一1 的元 素。令m = a l + b ，0 b s + 。 ( a ) 存在i ，i a ，使得 1 3 1 = u 2 = = 优一l ，口1 0 i 。 ( b ) 存在歹，0 口+ c ) ，使得坐= v _ 2 2 = = 丝，s 五，( 妇= 一v i ， + 1 i 歹一1 ) ，s 正，( 秽1 ) 。 ( c ) 塑= v _ 2 2 = = v m a ，s r l ，( 四= v i ，( a + 1 i o + c ) ，s t d ( v _ 1 ) v a + c + l 。 以上( a ) ，( b ) ，( c ) - - 种情况均与对任意j 1 ，望堕的结论相矛盾。因此假设 不成立，8 l 。 “ 引理4 5 【6 】 ( 1 ) 若t l , 1 n m 为奇数，丁= g 警，则当s + t 时，3 + t + g + 1 ， ( 2 ) 若m 为偶数且t = 2 q 予则当g 3 时，s t + 2 ，当g = 2 时，矿 t + 5 。 证明：( 1 ) e ( q 孚) = ( o 字1 ) ( o 学) ，则引理4 4 中的l = 匠2 ，n = 2 ，6 = 1 ，z 7 = 孕，c = 0 ，d = 1 。所以由引理4 4 可得s e 一1 【( o 字1 ) ( o 字) ( 1 ) 】= g 华+ g + 1 。 ( 2 ) e ( 2 q 詈) = ( o 宁2 ) ( o 詈) ，f h 芒j i n 4 4 可得f - 2 = 警，口= 2 ，6 = 0 ，c = d = o ，所以s e 一1 【( o 詈一1 2 ) ( o 予一1 2 ) 】= 2 9 署+ 2 。 ( 3 ) q = 2 时，e ( 2 罟+ 1 ) = ( o 詈- 2 1 ) ( o 等+ 1 ) ，由引理4 4 可得z = 等一1 ，z 7 = 筹一 2 ，口= 2 ，b = 2 ，d = 2 ，c = 0 。所以矿e 一1 【( o 号一2 1 ) ( o 号一2 1 ) ( 0 1 ) 】= 2 孑+ 1 + 5 。 引理4 6 1 6 若s + p 矿，令e ( p 矿) = ( 0 m - l - , 、p ) ( o a ) ，则s + e - 1 【( 坐) “翻， 其中型为空集或型= ( 0 b - 1 1 ) ，o ，6 与引理4 4 所定义的一致。 证明：因为s 。朋a ，根据引理4 1 可知5 的n d s 分解中刀1 ( 0 , - - 1 - 堆) ，所 以s 4 必大于等于以( o m o o p ) 作为第一个非递减序列的分圆陪集首s p 。对s p 进 行引理4 4 的讨论，可知仃l = a ( m a ) + 6 0 6 竹l 一入， ( 1 ) 当p q 一1 时，z 7 = f = m 二a ，此时根据6 的取值范围可知c = 0 ，b = d l 时，根据j 的定义可得夕 ) = 9 ( a 2 ) = = 夕( 口6 1 ) = 0 ，夕( ) 0 。 假设6 萑m i n r e p ，则必存在以( 6 7 6 1 ) ，使得夕( ) = 夕( a ) = o 这与6 的定 义相矛盾，所以6 m i n r e p 。 ( 2 ) 任意6 m i n r e p ，可取b c h 码的生成多项式9 ( z ) 满足：g ( x ) = 1 c m m ( 1 ( z ) ，m ( 2 ) ) ，m c a - ) c x ) ，l i p - - i 建立一个指定距离为j 的b c h 码。 引理4 8 f 3 】 若0 s q 仇一2 ，则i g i m 。 定理4 1设码长珏= q m l 的b c h 码的任意分圆陪集首s + 的g 进展开 式为( s l ，8 2 ，s 。) ，其n d s 分解为e ( s + ) = y l v 2 。若l q l m ，则必存 在k ，( 1 k 7 ) ，使得后i r ，不妨设，厂= a k ，则仇打= v j ，其中o i a ，1 歹后。 证明：由定义3 1 可知l g 。l 为( 5 1 5 2 ，s 。) 中分量左循环移动直至与自身相 同时所移动的分量个数。即为( 5 1 ，5 2 ，5 。) 中分量左循环移动直至再次产生与 自身相同的n d s 分解v 1 v 2 坼时所移动的分量个数。由引理4 2 的( 1 ) 的证明过 程可知任意h g 必存在整数t ，1 t r ，使得e ( h ) = v t ( 2 ) 仇+ 1 v ，v z v 2 坐( 1 ) ，其中丝= hb i ( 们，型1 ) = n6 i ( 6 ) ，丝( 2 ) = 。n b i ( b ) 由定义4 2 及 d = ud = uo = n + 上 弓i 理4 1 知v t ( 2 ) v t + l b 可1 秽2 仇一1 钞( 1 ) y t v t + 1 秽r 秽1 仇一l ，其中1 t r ，当l q 。l m 时，根据引理4 2 中的( 1 ) 知必存在整数k ，( 1 k r ) ，使 得v k + 1 o k + 2 v r v l 钞七2v l 可r ，所以v k + 12y l ，u k + 22v 2 ，v 2 k2v k ，v 2 k + 1 = v + 1 = 口1 ，依次类推可得尼i r 。设r = a k ，则有优七句= ，其中0 i a ，1 歹k 。 推论4 1 若i q 。i m ，r = a k ，( r ，a ，忌即为定理4 1 中的符号) 。则i q i = 堡。 “ 证明：不妨设v l 的序列展开式中共含有z 个分量。若i g 。i m ，由 定理4 1 可知e ( s + ) = z ，1 = 口1 v k u l y k 7 3 1 讥，所以可得a x = m ， 而l q 。i 即为( s 1 ，s 2 ，5 。) 中分量左循环移动直至再次产生与自身相同的n d s 分 解v l 可2 阱时所移动的分量个数。可知名= 詈即为l g l 。 推论4 2 当s + 的g 进展开式( 占1 ，一，5 。) 的n d s 分解e ( 5 ) = ? ) l v 2 坠满足： 对任意l 1 ，均有仇口1 ，则l q i = m 。 证明：可知在此定理条件下，不存在定理4 1 中使得v 七+ 1 = 移l 成立的南，所 9 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 以结论成立。 推论4 3 当且仅当s + 的q 元展开式为( 0 a ，n ) 时，i q 1 = 1 ，其中o a q l 。 证明：( 兮) 由引理2 2 可知结论成立。 ( 乍) 当i a l = l 时，由定理4 1 的证明过程可知s + 的g 进制展开式( 占l ，5 m ) 满 足( 5 1 ，s m ) = ( 8 2 ，s 3 ，一，s m ，8 1 ) ，从而s l = 8 2 ，s 2 = 5 3 = = 5 m = 8 1 ，所 以结论成立。 推论4 。4 【6 j 当m 为偶数时，l q 予+ t l = i f i r s ，除此之外对任意5 ，( 0 s t ) ，均 有i c i = m ，其中丁如引理4 3 所定义。 罟罟 证明：当m 为偶数时，口署+ 1 的g 元展开式为而_ j 订，丽_ 研) 由定理4 1 及 推论4 1 可知i q 晋+ - i = 詈。除此之外，当o 5 t 时，由引理4 。3 的证明过程可 知s 的g 进展开式的n d s 分解! 擞堡中对任意1 1 ) ，均有堕堕， 由推论4 2 知结论成立。 推论4 5 n e ( s + ) = 塑且望( a ，n ) ，( 0 a q 一1 ) 1 1 l 寸，i g i = m 。 证明：由定理4 1 易知结论成立。 定理4 2 设码p 为指定距离为6 的g 元b c h 码，则 ( 1 ) 当6 1 qf 詈1 - f1 时，该码的维数后= n m 【( o 1 ) + h i ；其中罟 表 示大于等于导的最小整数。 ( 2 ) 当m 为偶数，g 号+ 1 6 1 2 9 罟+ 1 时，该码的维数后= n m ( o 1 ) + 6 + 等。 其中6 一l = a q + b ，0 b q 。 证明：( 1 ) 由引理4 3 可知无论m 为奇数还是偶数，只要满足s q l 予i + 1 且( s ，q ) = 1 的s 均为其所在的分圆陪集的分圆陪集首，所以当万一l q l 等j 。+ 1 时，共有a 一1 ) q + 蚧分圆陪集首，再根据推论4 4 可知这些分圆陪集首所在的 分圆陪集均含有m 个元素，所以结论成立。 ( 2 ) 同样根据引理4 。3 及推论4 4 可知除了s = g 詈+ 1 外，任意满足g 等+ 1 5 t ， 则( 1 ) 当m 为奇数时，码的维数k = n m g 丁m - - 1 ，或詹仃一m ( g 下r n - - 1 - 4 - 1 ) ； ( 2 ) 当m 为偶数k q 3 时，码的维数k = 礼一( 2 m 口予一芋) ，或后 扎一2 m q # 。 ( 3 ) 当m 为偶数且g = 2 时，惫= 扎一m 2 孚或七n 一仇( 22 学+ 1 ) 。其 中丁如引理4 5 所定义。 1 0 分圆陪集的性质及一类b c h 码的维数 证明：由引理4 7 可知j 必与某个分圆陪集首s + 相等。 ( 1 ) 当m 为奇数时，由引理4 5 可知5 t + q + 1 ，若s = t + q + 1 ，由引 理4 4 及引理4 5 的证明过程可知t + q + 1 = q 学+ q + 1 为大于t 的最小的分圆 陪集首。由引理4 4 可知任意s ，( o t + 2 时，由定理4 1 可知j f l + 2 所在的分圆陪集中含有罟个元素。所以此 时d e g g ( x ) 2 m q 孚- 一1 ，维数k n 一2 m q - 警一1 。 ( 3 ) 当m 为偶数且q = 2 时，此时5 t + 5 。同上述方法一样，当6 = 矿= t + 2 时，可得d e gg ( x ) = m 2 孕，七= 礼一m 2 学；当占= 5 + t + 5 时， 由定理4 1 可知丁+ 5 所在的分圆陪集中含有m 个元素，所以此时d e g g ( x ) m ( 2 鼍尹+ 1 ) ，南礼一，n ( 2 鼍尹+ 1 ) 。 定理4 4设码z 为有限域g f ( q ) 上长度n = q m 一1 ，指定距离6 = 矿一 1 的b c h 码，则粤的维数忌嚷( g 一1 ) m 一+ 铝。特别地，当 = m 一 1 时，等式成立，即足= m + ( g 一1 ) ”。 证明：由于艿= g h 一1 = ( q 1 ) ( 1 + q + + 矿一1 ) = 0 q ”一1 + ! t + 0 m - h _ _ _ _ - - _ ，- - - _ _ 一 q h + ( q 一1 ) q 一1 + + ( q 一1 ) q + ( q 1 ) = ( b ，- - ，d ，q l ，q l ，q 一1 ) 。 r t t h 故d 一1 ：( f o ，口一1 ，q 一1 ，q 一2 ) 。由引理2 2 可知生成多项式夕( z ) 的次 数为满足1 i q m 一1 ，且i 的q 进展开式中某个循环移动的值j 一1 的i 的 个数。当正整数i 的q 展开式中至多含有 l h 一1 个零时，i 6 一l g 样的i 共 有嚷( g 一1 ) ”一j 个，式中的歹代表数组中零的个数；另外，在i 的g 进展开 式中选取m h 个位置，使这些位置上的数均为0 ，而其位置均取g 一1 ，可知这 样的j 共有铝“且均大于6 1 的。 综上所述，可知d e gg ( x ) l t 一( 嚷( 口一1 ) “- j + 昭她) ，所以后= j - - o m - h - 1 n d e gg ( x ) c 嘉( 口一1 ) m - j + c 署一 。 特别的，当h = ，n 一1 时，万= ( 0 ，q 一1 ，q 一2 ) ，设i 的q 进展开式 分网陪集的性质及一类b c h 码的维数 为( z l ，z 价) ，则当1 z q 一1 ，( 1 i 7 n ) 时，i 6 ；满足次条件的i 共 有( g 一1 ) m 个；此外，( 0 ，g 一1 ，g 一1 ) 及其m 个循环移动均大于6 一l ，不满足上 述两种情况的i 均有一个循环移动小于或等于6 。故d e gg ( x ) = 佗一( q 一1 ) ”一m ， 所以d i m z = n d e g 夕( z ) = m + ( q 一1 ) 仇。 。， 定理4 5设码为有限域g f ( g ) 上长度n = 一1 ，指定距离6 = q m - 1 的b c h 码，贝u d i m e = ( q 一1 )