（应用数学专业论文）反应扩散方程一致吸引子的存在性研究.pdf

摘要 在这篇硕士学位论文中，我们主要考虑下面无界域上非自治反应扩散方 程解的长时间行为 掰f + 触一a u + f ( u ) = g ( ) 其中非线性项满足多项式增长条件， 是平移紧函数类 i nr + r “( i ) g e ( 尺，r ( 尺”) ) 仅仅属于平移有界而不 在理论框架方面，在第二章我们给出非自治系统一致吸引子基本概念和结 构，然后在此基础上建立在无界域一致吸引子存在性的一般判别定理为了进一 步刻画一致吸引子的结构，我们将有界域上的强弱连续过程的概念推广到无界域 上，提出相应的强弱连续过程，并建立了相应的一致吸引子存在性的判别定理 为了验证非自治系统( i ) 在无界域上的过程簇必要的紧性，我们在第三章 给出了一种特别适合验证发展方程的诱导过程的渐近紧的新的方法即渐近先验 估计 作为具体的应用，在第四章，对带有超临界非线性项的非自治反应扩散方程， 对于外力项不是平移紧的情形我们首先证明其对应过程族的紧的一致吸引子的 关键性条件一过程簇在( r ( r ”) ，r ( 尺”) ) 和( r ( 尺”) ，( 尺”) ) 中的渐近紧性然后利 用第三章给出的抽象定理得到一致吸引子的存在性 关键词：反应扩散方程；无界域；渐近先验估计；渐近紧；一致吸引子 i l a b s t r a c t mt h i sm a s t e r sd i s s e n a t i o n ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gl o n gt i m eb e h a v i o r o fn o n - a u t o n o m o u sr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n si nu n b o u n d e dd o m a i n “l + “2 - a u + f ( u ) = g ( f ) i nr + r “， ( i ) 、枷e r en o n l i n e a rfs a t i s f i e dw i t hc o n d i t i o no fi n c r e a s e - 0 r d e r g 蠢( r ，l 2 ( r ”) ) i s n o tt r a n s l a t i o nt i g h tf u n c t i o n sb u tt r a n s l a t i o nb o u n d e d 0 nt h e o r y , w eg i v et h eb a s i cc o n c e p ta n ds t r u c t u r e o fu n i f o r ma t t r a c t o r sm c h a p t e r1 i w oa n do nt h i s b a s i sp r o v et h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s sm u n b o u n d e q d o m a i n t of u r t h e rc h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r eo fu n i f o r ma t t r a c t o r s ，w ep r o m o t et h e c o n c e p to fs t r o n g a n dw e a kc o n t i n u o u ss e m i g r o u p f r o mb o u n d e dd o m a l nt o u n b o u n d e dd o m a i n w ec o n s t r u c tc o r r e s p o n d i n gd i s t i n g u i s h e d t h e o r e mo ft h e e x i s t e n c eo ft h eu n i f o n l la t t r a c t o r sa n dp r o p o s et h ec o r r e s p o n d i n gs t r o n ga n dw e a k c o n t i n u o u sp r o g r e s s t op r o v et h en e c e s s a r yc o m p a c t n e s s 。fp r o c e s sf o rn o n - a u t 。n 。m 。u ss y s t 锄( i ) i n u n b o u n d e dd o m a i n ，w ep r e s e n tan e wa p p r o a c hs u i t a b l ef o rv e r i f y i n gt h ec o m p a c t n e s s o ft h ei n d u c t i o np r o c e s so fe v o l u t i o ne q u a t i o ni nc h a p t e rt h r e e ，w h i c h i sa s y m p t o t i c p n o n e s t i m a t e a sas p e c i f i ca p p l i c a t i o n ，i nc h a p t e rf o u r w ei n i t i a l l yp r o v et h ea 8 m p t o t l c c o m p a c t n e s so f p r o c e s si n ( l 2 ( r “) ，l z ( r 打) ) a n d ( l 2 ( r n ) ，l p ( r 竹) ) a r e t h ek e yp 0 i n t o fc o m p a c tu n i f o r ma t t r a c t o r sf o rc o r r e s p o n d i n gp r o c e s s ， w h i c hi su n d e rs u c h c o n d i t i o n st h a tw i t hc r i t i c a ln o n l i n e a r i t yo nt h en o n l i n e a rd a m p i n g o fn o n - a u t o n o m o u s r e a c t i o n d i 肺s i o ne q u a t i o n sa n dt h a tt h ee x t e r n a lf o r c et e r m i sn o tt r a n s l a t i o nc o m p a c t t h e nw eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h eu n i f o r ma t t r a c t o r sb yu s i n ga b s t r a c tt h e o r e r n sm c h a p t e r t h r e e k e yw 。r d s ：r e a c t i o n d i f f u s i 。ne q u a t i 。n s ；u n b 。u n d e dd o m a i n ；a s y m p t 。t i cp r i o r i e s t i m a t e ；a s y m p t o t i cc o m p a c t n e s s ；u n i f o r ma t t r a c t o r s l l 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所 取得的成果，学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等。 均已明确注明出处j 除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 作者签名：卵 日期：础年夕月必只 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的舰定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：卯j 之至 导师躲弓p 钕 日期：帅年，月坫1 7 1 同期：枷年r 月龆1 7 1 2 第一章综述帚一早琢逊 无穷维动力系统可分为自治的和非自治的系统两种，自治系统的研究已有很 长的时间了，方法和理论也相对比较丰富、完整但是对于无穷维动力非自治系 统实际性研究大概是从二十世纪八十年代开始，和自治系统相比较起来系统解对 应的过程族的长时间行为更加复杂，起步时间也比自治系统的时间要晚很多，所 以它的理论结构比起自治系统来说就不像它那么丰富、完整 本文主要时候考虑如下无界域上反应扩散方程一致吸引子的存在性 u f + 2 u 一“+ 厂( “) = g ( x ，f ) i nr + r n 以及初始条件 u l f = f = u r ( 工) i nr ” 其中五 0 是一个常数 f ( o ) = 0 ，f ( s ) - t z o ： o 是一个正常数和s r 满足： k , l s p 一口。i s l 2 厂( s ) s5 如i j l p + l j l 22 一f ( s 2 ) ) ( s i s 2 ) - , u o p l j 2 为给定的正数； k 2 l s p o r 2 i s l 2sf ( s ) s k 1 i s l p o r l i s l 2 其中o r l ，口2 ，o ，k lk 2 是f 常数并且 见 k 2 2 0 0 6 年。杨 2 8 3 在她的博士论文中首先提出了局部致空间的概念，并将局 部一致空问作为自治系统的解相空i 日j 得到了像强耗散波动方程、非经典扩散方程 与半线性双曲方程的全局吸引子存在性，在局部一致空问中s o b o l e v 紧嵌入定理 验证紧性的时候使成立的，因而与有界域验证紧性的时候情形没有本质区别 2 0 0 9 年王 3 7 】在其硕士论文中证明了自治的半线性反应扩散方程在 ( l 2 ( r 玎) ，l 2 ( r n ) ) ，( r ( 尺”) ，1 ( 尺盯) ) 上全局吸引子的存在性作者采用了一种新的 方法即压缩函数的方法来证明解半群在( l 2 ( r 疗) ，日1 ( 尺“) ) 上的渐近紧性，从而得 到了方程( l 2 ( r n ) ，h 1 ( r 行) ) 的全局吸引子 为了更好的去描述无穷维动力系统非自治的所对应的过程族的致吸引子 的存在性， 3 8 ，4 0 将m a ，w a n g & z h o n g 4 3 的思想推广到了非自治情形，并且提 出了一致缈一极限紧的概念 2 0 0 6 年卢 3 8 3 主要引入了正规函数类的概念考虑不是平移紧函数而是更一 般的非自治外力项作用下的无穷维动力系统非自治系统的一致吸引子的存在性 及其结构，并且还要借助于( c ) 条件的成立证明了系统整体弱解相对应的过 程簇是彩一极限紧的，利用一致渐进紧的方法从而得到了非自治2 d n a v i e r - s t o k e s 方程的一致吸引子这一验证一致国一极限紧的方法的前提条件是 2 需要考虑的是当q 为彤中有适当光滑边界的有界域上的时候，算子一在酬( q ) 中的特征值0 丑 五丸o丸寸伽一o o ) 这一性质但是只是适 合在有界域上时成立，而在无界域上时这一关键的性质是不成立的 随后，2 0 0 7 年s o n g & z h o n g 【3 9 禾1 j 用卢 3 8 】所提出的正规函数类的概念和它 的性质，并且提出了有界域上非自治系统相对应的过程族的验证方法缈一极限紧 的方法即一致渐近先验估计，并且用此方法证明了非自治系统反应扩散方程 ”，一a u + 厂( 比) = g ( f ) 在( r ( q ) ，r ( q ) ) 的一致吸引子，其中qc r ”为适当光滑 的有界域 但是他们所有的研究都是在有界域上研究自治系统和非自治系统的发展方 程、半线性和双曲型的方程，很少人研究无界域上非自治系统发展方程的一致吸 引子的存在性我们知道关于研究非自治系统的反应扩散方程在无界域上的一致 吸引子的研究主要面对有两大困难：第一是无界域上s o b o l e v 嵌入定理在无界域 上不再是紧的使得验证紧性的缺失从而使问题变得非常复杂，我们不能直接像自 治系统那样利用解的高j 下则性( 较初始状态) 而获得解半群的某种j 下则性也不 能象有界域情形利用算子一在酬( q ) 中的特征值 0 0 ，r u e s ( e ) o ( t 斗佃) 定义2 1 2 假发 u 。( f ，f ) ) ，盯是定义在空间e 上的过程簇，称集 p b ( e ) 为双空问( e 。，e 2 ) 一一致( 关于o r ) 吸引的，如果固定v r r ， b b ( e i ) 有 l i m ( s u p d i s t e ( ( f ，r ) b ，p ) ) = 0 l - - _ o o 口e 非自治系统的过程族与半群 s ( f ) ) 御的( e 。，e ：) 一全局吸引子的概念相对 应的是一致吸引子下面我们给出定义在空间e 上的过程族妙口( f ，f ) ，仃的 ( e i ，e 2 ) 一一致( 关于o r ) 吸引子的概念 定义2 1 3 假设妙，( f ，f ) ，仃是b a n a c h 空间e 上的过程簇，称闭集 a ce 为过程簇妙口( f ，f ) ，盯的( e l ，e 2 ) 一一致( y l 于o - ) 吸引子，如果a 是( e 。，e 2 ) 一一致( 关于o r ) 吸引的，即对任意固定f r ，b b ( e ) 有 l i m ( s u pd i s t e ( u 。( f ，r ) b ，e ) ) = 0 i - - o o o e y - 并且a 是妙。( f ，r ) ，o r 最小的闭吸收集，即妙，( ，r ) ，仃的闭吸收集如果有 a ce ，则必有a zc a 为了得到非自治系统的一致i 吸引子的存在性判别定理，我们可以先作如下假 设： 定义2 1 4 集合c e 是系统过程族 ( f ，f ) ) 仃的一致( 关于盯) 有界的吸收集，如果对v r 尺和每一个b b ( e ) 都存在f 。= t o ( f ，曰) r ，使得 u 仃( f ，t ) bc b 。，v t t 。 ( 2 4 ) 7 其中b ( e ) 表示空问g e 中所有有界集的全体 定义2 1 5 集合e 。ce 被称为是过程族 ( f ，f ) o r 的有界的一致 ( 关于盯) 吸引集，如果对每一个固定的f r 和每一个b b ( e ) ，满足 l ，i m 。s 。u 。z pd i s t e 。( u 口( f ，r ) 曰，e 。) = o ( 2 5 ) 特别地，如果关于a 任意一个闭的一致( 关于仃) 吸引集中的一个闭的一 致( 关于仃) 吸引集a ( 最小性) ，那么a 就称为是过程族 ( f ，r ) 盯的 一致( 关于仃) 吸引子 定义2 1 6对任意的bc b ( e ) ，记国吨( b ) 为集合b 关于过程族 u ，( f ，f ) 仃的一致( 关于盯) c o 一极限集，即 ( - d r z ( 曰) = nuu 虬( f ，r ) b ( 2 6 ) 下面的关于一致( 关于盯) 缈一极限集的有用的性质( 很容易有定义得到，因 此我们不加证明) y q z ( b ) 的充要条件是：存在序列 吒) 二。cb ， 吒) ：。c ， t 。伽cr ，乙一，使得阢( f 。，f ) 涉。一x ，( 甩寸o 。) 一致 ( 关于盯) 的缈一极限集q z ( b ) 和一致( 关9 0 - ) 吸引子a 有着很重要 的联系 定义2 1 7 如果完备度量空间e 上的过程簇帆( f ，f ) ) ，满足：对任意 f r 和e 中的任何有界集b ，使得 毁口l 望g ( s ，r ) b j 2 o 其中口( 彳) 表示a 的非紧性测度，称过程簇帆( f ，f ) ) ，盯在空间e 上是一致( 关 于仃) 缈一极限紧的 定义2 1 8 【2 ，1 9 】b a n a c h 空间中过程族妙。( f ，r ) ) ，盯，称为是一致( 关 于仃) ( i ) - - 极限紧的，如果对任意的f r ，bc 曰( e ) 和任何有界。) ：。ce ， 乜) ：lc t n f ，t n 一，当刀一使得妙。( f 。，r ) y 。 ：。有一个关于z 的拓扑 的收敛子列 定义2 1 9 【2 ，1 9 】我们称过程簇妙d ( f ，0 , o - 是( e 。，e ：) 一一致紧的，如 果此过程簇，( f ，r ) j ，仃拥有( e 。，e ：) 一一致( 关于仃) 紧的吸收集，我 们称过程簇 虬( f ，r ) 仃是( e 。，e ：) 一一致渐近紧的，如果此过程簇 妙。( ，z - ) ，盯拥有( e 。，e ：) 一一致( 关于仃) 紧的吸引集 从上面的定义可以看出若过程簇是一致紧的，则它必定足一敛渐近紧的 但是反过来如果它是一致渐进紧的，它不一定是一致紧的。反过柬时不成立的。 2 2 一致吸引子存在性判别定理 定理2 2 1 帆( f ，f ) ，盯是一致( 关于) 渐进紧的，则存在 妙玎( f ，r ) ) ，巧一致吸引子a ，并有a ce 是紧的 评述：定理2 2 1 支持没有任何连续性假设，则过程族 ( f ，f ) ，仃存在一 个半群的全局吸引子，这理由是一个半群的全局吸引子的不变性被定义住过程族 的一致的吸引子的最小性所取代 定理2 2 2 假设 ( f ，f ) ) 盯是一致渐进紧的，则它存在一致吸收集a 。 定理2 2 31 3 8 我们假设扩( 厅) j i l 0 是一个弱连续半群如果 ( f ，f ) 仃满 足 i ) 有一个有界且一致( 关于1 9 ) 吸收集b t ； i i ) ( f ，r ) ) 伊是一致( 关于盯) 国一极限紧 由定理2 2 2 我们知道，眈( ，z ) 仃有一个紧的一致( 关于万) 吸 引子a y ，满足 生= z ( 民) = ub ( s ) ，v s r 口。己 这罩b ( s ) 是 ( f ，f ) o - ez 当t = j 时的核进一步，对所有盯，b ( s ) 非空的 证明： 因为 s ( f ) ( “，仃) = ( u ，( t , o ) u ，r ( f ) 盯，t 0 ，( “，盯) 占x ( 2 8 ) 我们很容易得到证明冬( ) f o 在e 上是一个弱连续半群，并且岛 是一个弱紧集，对每个曰b ( e ) 它都是弱吸收b x z 应用 9 中定理x i 3 1 ，得 彳= 国( b 。) = nus ( f ) ( b 。) = 缸( o ) 陋( ) 是p ( f ) ) ) ( 2 9 ) s o ， 9 是一条完整的有界轨道 是弱紧吸引子，对每个b b ( x ) 是恒定的并弱吸收bxe 记y p a 为从b xz 到 y 的映射对任意y p a ，由( 2 7 ) 和( 2 8 ) 知，存在序列 k ) c ，p 。) c ，t n cq ，t 门- - ) + o o j l wn _ 0 0 ，使得( f 。，o ) 寸j ， 但由引理2 2 ，u 册( f 。，o ) x 。是预紧致的因此u 册( f 竹，o ) x 。一y 由( 2 3 ) 和定 理2 2 ，我们可得刚ca r 相反地，我们发现a zcp a 因此剐= a z 由 3 中定 理3 2 的 = 【e 明( 也可见 9 中定理i v 5 1 ) 我们得 p a = ub ( s ) ，s r ， 盯 并且对所有o r ，k ( s ) 是非空的 证明完毕 引理2 2 4 令 0 ，e 。是的一个e 。中的一个紧集如果序列 。 ，。 ，cn ( e o ，s o ) ，y 。一y o 习i j 么y o n ( e o ，占o ) 证明： 第一步，首先我们令秒。) 艟cu 羔。e ，中的一个任意弱收敛的序列，这旱e ， 是e 中的球那么，存在属于e ，某些序列。) 。，由m a z u r s 定理，y 。e ， 第二步，对v s o ，p a y 为圆心，s 为半径的球 e ( y ，s ) y 。晶是紧集e 中 的丌覆盖，它里面的某些有界元素 e ，( y ，s ) ) 蒯也是如此 e ( y ，+ g ) ) 矧是 n ( e ，占。) 的一个开覆盖因已证明上述而属于某些 e ( y ，占。+ s ) ) 矧闭包所 以我们只需要令s 一0 ，就可以的到我们的引理是对的。 定理2 2 5 设e l ，e 2 为两个b a n a c h 空间，并且e l 是连续嵌入e 2 中，如果定义 眈( f ，f ) ，盯是e ，e ：的过程簇，则帆( f ，f ) 盯存在( e ，e ：) 一致( 关于 o r ) 吸引子a 满足： 逸= c o o ( 岛) =b ( s ) ， ,z u v sr 盯上 的充分必要条件是 ( 1 ) 、存在有界的( e l ，e 2 ) 一致( 关于仃) 吸收集b oce 2 ； 1 0 ( 2 ) 、 ( f ，r ) ) ，盯是( e 。，e ：) 一致( 关于盯) 缈一极限紧或足( e ，e ：) 一 致( 关于仃) 渐近紧 证明： 充分性 对v f r ，b b ( e ，) ，利用仃界一致( 关_ f 盯) 吸收集的定义 知：存在t = f 协b ) 使得 u uu ( t ，r ) gcb o 口z ，7 由定理我们可以得到 缈啦( b ) c 缈啦( b o ) = ( 0 0 ，( 玩) ， 并且国晓( 曰) 显然可以知道。( 玩) 一致( 关于仃) 吸引b 同时我们也 可以得到u b 咧国啦( 曰) ce 0 0y ( 玩) ，由上面的所得到的知道风b ( e ：) 的等号 是成立的。 由前面的引理我们知道缈o ( b 。) 是最小的、闭的一致( 关于仃) 吸引集 紧性我们就很容易得到了； 必要性 ( f ，f ) ) ，仃定义为( e ，e ：) 上的过程族，根据一致( 关于 盯z ) 吸引子的定义以及么z 的紧性知必要性是成立的 定理2 2 6 2 2 ，2 5 ，2 6 设帆( f ，r ) ，盯是( r “) ( p 2 ) 的过程族，若 ( f ，r ) ) 盯在l p ( r 月) 上有一致( 关于盯z ) 有界吸收集，则对v s o 和 v bc l p ( r ”) ，存在t = t ( r ，b ) f 和m = m ( s ) ，使得对任意b 和t t 有： 朋( 尺”( 1 ( ) u o f m ) ) 占 其中所( p ) 表示集p 的l e b e s g u e 测度，尺”( i “f m ) = x r ”iu ( x ) l m ) 定理2 2 7设过程族 u 。( ，f ) ，盯关于r ( 畏”) 和r ( 足”) 是连续的，假设 ( f ，f ) ) ，仃有一个一致吸引子( r ( 尺”) ，e ( r ”) ) ，则妙( f ，f ) ，盯在 ( r ( r ) ，r ( r ”) ) 有一个一致吸引子，如果满足以下条件： ( i ) 妙。( f ，r ) ，盯有一个一致有界吸收集b o 在( r ( r ”) ，r ( 彤) ) ； ( i i ) 渺。( f ，f ) j ，仃是一致渐进紧( r ( r ”) ，r ( 尺“) ) 由定理2 2 6 ，2 2 7 的条件成立，作为上述定理的推论，可以得到以下结论 定理2 2 8设过程族妙一( f ，f ) ) ，仃关于r ( 尺”) 和l p ( r ”) 是连续的，假 设 ( f ，r ) ，仃有一个一致吸引子( r ( 尺露) ，z 2 ( a 拄) ) ，则妙( f ，f ) 仃在 ( r 俾”) l e ( r ”) ) 有一个一致吸引子，如果满i f = p a t 条件： ( i ) 妙，( ，z - ) ，盯有一个一致有界吸收集b 。：r e ( l 2 ( r ”) ，l e ( r ，) ) ( ii ) 妙盯( f ，f ) ，仃有一个( r ( r ，t ) ，l p ( 尺”) ) 一一致吸引子 ( iii ) 、对任意的“b 有( l 川：m j i “i 户) 7 0 是一个常数和厂 满足多项式增长方式，其中f c 1 ( 尺) 并且满足下面的假设 厂( 0 ) = o ，f ( s ) - t 。： ( 3 3 ) 鳓是一个正常数和s r 满足 k il ji p 一口llj j 2 f 0 ) k 2ijl p + 口2 s 1 22 2 ，在( r ”) 和l p ( r ”) 空间之间没有紧嵌入的嵌套 关系结合前人所作的工作，本文我们给出了一种特别适用于验证无界域上非自 治系统过程族的渐近紧的新方法证明了在( r ( 尺”) ，l p ( r ”) ) 空间中过程 v o ( f ，r ) ，盯的渐进紧 本文我们证明了问题( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的产生的过程 u 。( f ，r ) ，盯在 ( r ( r ”) ，l p ( r ”) ) 一致吸引子的存在性本文利用新的方法来验证非自治反应扩 散方程在无界域上过程族的渐进紧，此系统非线性项厂有任意阶多项式增长的非 线性项，并且厂c 1 ( 月) ，其中p 2 是具次超临界的增长的非线性项外力项属于 g 层( 足l 2 ( r ”) 是平移有界的函数而不是平移紧的函数类就我们的了解，在无 界域上目前还没有这方面的结果，即( r ( r ”) ，( 尺”) ) 一致吸引子的存在性 首先，我们给出问题( 3 。1 ) 一( 3 2 ) 的过程族的存在及唯一性结果，他可 由标准的f a t o u g a l e r k i n 方法就可以得到，在本文中我们只陈述其结果 在下面的我们首先叙述定理 定理3 1 1 设g e ( r ，r 似“) 满足( 3 3 ) 一( 3 5 ) ，则问题( 3 1 ) 一 ( 3 2 ) 对任意初值z n e ( r n ) 和任意t 0 ，都存在唯一的解u 满足： 1 4 r ( 0 ，t ；l 2 ( r n ) ) r 、r ( 0 ，t ；h 1 ( 尺一) ) n 口( o ，t ；l p ( r n ) ) 并且，并且映射“一u ( t ；r ，“o ) 在l 2 ( r 疗) 中是连续的 由定理3 1 1 ，我们可以定义过程簇妙仃( s ，r ) ) ，仃z 在l 2 ( r n ) 中连续 在这下面我们主要是证明得到( ( r ( 尺“) ，( l 2 ( 掣) ) ，( ( r ( 只”) ，( l p ( r ”) ) 和 ( ( r ( 尺”) ，( 日1 ( 尺”) ) 中的一致有界吸收集 3 2 ( l 2 ( r ”) ，l p ( r ”) ) 一有界吸收集 引理3 2 1 系统( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的过程族妙( ，f ) 盯z 存在( ( r ( 灵”) ，( ( 彤) ) 一 一致有界吸收集，即存在p o 0 ，对r ( r n ) 中任何有界集b ，存在正常数t ( = t ( b ) ) ， 使得成立 i u ，( j ，f ) “，仨 p ， v f f ，。b 证明：用u 作用系统( 3 1 ) 两端在并对x 在尺”上积分可得： 互l 刻d “1 1 2 = 一i l v u1 1 2 ；tl lu 1 1 2 一( m ) ，“) + ( 如f ) ，“) ( 3 6 ) 其中我们用了假设( 3 3 ) 一( 3 4 ) 一( 厂( “) ，“) = 一，月。厂( “) “d x _ o ( 3 7 现在处理( g ( x ，f ) ，甜) 这一项利用g r o n w a l1 引理得 ( g ( 蚺“) | i g l l | 万1i i g | | ；+ 扣“1 1 2 ( 3 8 ) 结合上面我们可以得到： j l 引d “1 1 2 + 训c “1 1 2 扣g i i ； ( 3 9 ) 其中( gel ；( r ，r ( 尺) ) 利用g r o n w a l i 引理得 1 5 愀w - 1 1 “( r ) 1 1 2p 叫h + 了l | i g l 麽( 1 _ e - a o - o ) ( 3 1 0 ) 证毕 引理3 2 2 系统( 3 1 ) 一( 3 2 ) 所对应的过程簇妙。( f ，f ) ) m ，存在 ( ( 2 ( 掣) ，( l 2 ( r ”) ) 一致有界的吸收集，则存在( l 2 ( 尺”) ，l p ( 尺”) ) 一致有界吸收集 和( l 2 ( r ”) ，h ( 尺”) ) 一致有界吸收集，即对b l 2 ( r ”) ( 关于1 | 范数) ，存在于常 数r ( = t ( 8 ，t f ) 使得 u 。( f ，r ) u oi p + u 。( f ，r ) u o1 2 + i iu 。( f ，r ) u o1 1 - p i 对于v t 研口o b ( 3 11 ) 其中正常数p 不依赖于t ，b 证明：用“作用系统( 3 1 ) 式两端在对z 在r ”上积分可得： 互l 训d “1 1 2 + i i v un 小n 尼。，r 。l “i - - - ( 姒“) ( 3 1 2 ) 其中我们用了假设( 3 3 ) 一( 3 4 ) 设，( s ) = f ；厂( r ) d r ，利用( 3 4 ) 可得 k l si p 口ls1 2 ，0 ) k 2sl ，+ 口2isi ， ( 3 1 3 ) 因此， 墨，l “l p 咆i 材胳，o ) 0 ) 和丁( o ) ，使得 对任意f r ，u 0 e 有： li “1 2 d x o e 及l iv “1 2 d x _ - - k 证明：选取试验函数 秒使得又必r + 有o 秒( s ) l ，且秒( s ) = 0 , 0 s 1 和乡( s ) = 1 ，j 2 ，则存在常数对se r + ，刊秒( s ) i c 用p 2 ( 可i x 2 ) “乘以( 3 1 ) 式两端，再对z 在r 一上积分可得 三2 瓤欧譬m1 2 - c 譬，“? + 五扩c 譬m r 慨2 3 ) = ( 譬m1 2 9 ( 圳一( 譬小咖 下面我们逐一处理每一项 ( 譬) u a u = ( i 五x 1 2 、l v u1 2 + l 争( 譬坝譬胛“ ( 3 2 4 ) 和 k ( 警秒( 譬叫池蜩口( f x 1 2 地i i v i 缸i “1 2 + l p2可ix 2 ) 附i ( 3 2 5 ) 下面我们处理 丘。乡2 ( 譬培( z ，) “l 阱ig ( 工，弦峰i ( 1g ( z ，) f 2 ) 2i ”i ：一。k 专o o ( 3 2 6 ) 由( 3 2 3 ) 一( 3 2 6 ) ，则有 1 7 鲁( 譬m | 2 + 2 ( 譬m1 2 三 ( 3 2 7 ) 根据g r o n w a l l 引理，则有 ( 譬m1 2 _ e - t 驴( 譬m ( o ) | 2 + 三g m + 三 ( 3 2 8 ) 其中m = 2 j s t 2 a 则我们可得到 l 。i “( f ) l z 出上，口2 。万x 2 ) i “i z 出 占 矫f f 足够大时。 当从( 3 2 7 ) 一( 3 2 8 ) ，我们可以得到 从而该定理得证 l i v “1 2 d x e 3 3( r ( 尺一) ，l 2 ( r 一) ) 一一致吸引子 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 本节主要是证明在( r ( 天一) ，r ( r 厅) ) 上面的一致吸引子，首先我们把无界域 分解成有界球域和他的余，得到了系统( 3 1 ) 对应的帆( f ，f ) ) ，盯在 ( r ( r ”) ，r ( r ”) ) 上的一致渐近紧 定理3 3 1 假设ge l ：( r ，l 2 ( r ”) ，并且满足( 3 3 ) 一( 3 5 ) 那么系统( 3 1 ) 对应u o - ( f ，f ) ) ，仃有一个( r ( 尺”) ，l 2 ( r ”) ) 一一致吸引子 证明：由引理3 1 3 ，系统的整体解在h ( 尺”) 上一致有界，我们将空恻r ”分解 为两个部分：b x = k r ”i x i o ) 为半径的球以及 b 三= & r ”：h 0 ，系统( 3 1 ) 一( 3 2 ) 总存在一个满足以下条件 的解u ， “r ( f ，t ；f f ( r ”) ) n l 2 ( o ，t ；h 1 ( r ”) ) n 己p ( o ，t ；l p ( r “) ) 并且映射u 专u ( t ；r ，u o ) 在r ( 尺”) 中是连续的 由引理3 1 ，我们可以在r ( 尺疗) 中定义如下连续过程 妙( f ，r ) ；埘 f t 0 总存 在巧 o 使得s u pf 叼i l 缈( s ) 幢凼sg f 片 用e ( r ；e ) 来表示玩c ( 尺；e ) 中所有正规函数的集