地形法计算库容的公式分析.docx

水 文 第28卷图 1 库容计算公式的三种模型第28卷第4期2008年8月水 文journal of china hydrologyvol.28 no.4aug., 2008地形法计算库容的公式分析杜玉柱( 山西水利职业技术学院, 山西 运城044004)摘 要: 本文对地形法计算库容的公式进行了分析, 提出了各种公式的适用范围, 为库容计算公式的选用提供了依据。关键词: 地形法; 库容公式; 分析中图分类号: tv697.2文献标识码: a文章编号: 1000- 0852( 2008) 04- 0054- 03于受上述观点的影响, 在库容计算中, 拟 逐 步 舍 弃 梯 形 公 式 而采用截锥公式。其实这些观点并不完全正确, 并存在一定的问 题。如何合理地选用计算公式, 达到既减少工作量而又确保其 精度, 了解水库的容体模型及计算公式 的 容 积 模 型 是 非 常 必 要的。如图 1, 如果通过水库的最低点 o 及 z 正轴以任意 $ 角作 一 平 面 , 所 得 截 面 的 基 本 形 式 不 外 乎 3 种 , 即 凹 形 、直 形 及 凸 形。分析现有的各种容体求积公式, 虽然其形式各异, 但归纳起 来, 无非都是对这 3 种类型的容积计算。如设截面的直角坐标 1 1引言根据水库的地形图计算其容积的方法, 简称地形法。利用地形图计算库容的公式较多, 最常用的是几何学梯形公式和截锥 公式 , 此外, 还有巴乌曼公式、索布洛 夫 斯 基 公 式 、辛 普 森 公 式 等, 见下式( 1) ( 5) 。式( 1) 和( 2) 计算简单, 在现行库容计算中 得到广泛使用。式( 3) ( 5) 均系选用简单的线形, 概化出不同的 曲面, 再逼近库底的实际形状。计算结果虽较前二式更接近实 际, 但计算较繁琐,很少应用。下面就这些公式的模型、精度等加 以分析。方程为凹形的半次方抛物线 p( z, $) =( z+c ) 2 ( a、c 为系数及常梯形公式: !1= h ( 1+2)a数) , p( z, $) 为连续、可导函数, p( z, 0) =p( z, 2%) , 且设 p( 0, $) =p ( $) ,( 1)21截锥公式: !2= h ( 1+2+ !12 )( 2)p( h, $) =p ( $) , 则相邻等高线的容积为:3巴乌曼公式: !3= h ( 1+2) - h s1.222%h! = #pdpdzd$= 1d$ $p dz=( 1+2)02$0h( 3)2( 6)2612!索布洛夫斯基公式: !4= h ( 1+2 +2 )( 4)这就是“梯形公式”。若假定截面的方程为一直线 p( z, $) =az+c, 则 可 得 到 巴 乌 曼 公 式 。 若 再 假 定 p2 ( $) =kp1 ( $) ( k 为 常 数) , 则可得到巴乌曼的特例截锥公式。索布洛夫斯基公式 与辛普森公式实为一式, 都是巴乌曼公式取 3 条等高线计算的 表达式。32辛普森公式: !5= h ( 1+42+3)h2( 5)3式中: 1 2 3依次为相应等高线内之面积; h 为等高线间距;h h 为 2 处之等高线内面积; s 为改正面积, 又称巴乌曼改正数。2式( 5) 为三根等高线间之容积。2库容公式分析2.1 库容公式的模型分析对于上述库容计算公式, 人们往往基于对同一地形资料的 计算, 只要 !1!2!3, 便 认 为 梯 形 公 式 偏 大 ; 又 囿 于 平 面 求 积 的 概 念 , 认 为 梯 形 公 式 将 面 的 量 纲 作 为 线 来 考 虑 , 因 而 局 限 性 较 大 , 不 如 其 他 公 式 精 确 合 理 。 但 是 , 因 为 梯 形 公 式 最 为 简便 , 所 以 仍 得 到 广 泛 使 用 , 且 规 定 : 当 相 邻 两 等 高 线 面 积 之 差#= 2+1 40%时用梯形公式, #40%时用截锥公式。由2收稿日期: 2007- 09- 26作者简介: 杜玉柱( 1971- ) , 男, 山西灵丘人, 讲师, 硕士, 研究方向为水文水资源。55第4期杜玉柱: 地形法计算库容的公式分析弄清了各公式的计算模型后, 可以看出, 虽然对于同一地形资料计算得出 !1!2!3 但各有各的适用模式, 不能笼统地说哪 一式偏大, 哪一式偏小, 哪一式不精确等等。只有当选用的计算 公式与库容的概化模型不一致时, 才存在计算结果偏大或偏小 的问题。同时前面的公式推导也说明, 梯形公式并非把面的量纲 作为 1 来考虑而欠准, 实际上是适用于凹形容体的求积公式, 人 们之所以产生上述认识上的偏差, 主要是混淆了平面求积与立 体求积的不同概念, 以及忽略了容体的模型与求积公式的性质 所致。锥公式或辛普森公式, 其计算误差也不会超过 1%。以丹江口水库为例 ( 见表 2) , 在 10m 高程内, 每米相邻等高线面积差为4.85%16.66% , 平 均 为 8.394% , 用 梯 形 公 式 代 替 截 锥 公 式 , 误 差为 0.474%, 代替辛普森公式计算, 也仅为 0.514%, 均 未 超 过1%, 这说明公式的理论偏差与实际资料的计算结果是一致的。 对三门峡水库库容用梯形和截锥公式分别计算 ( 见表 3) ,结果十分接近。虽然利用梯形公式计算的分级高程库容比用截 锥公式计算的偏大, 但其差率仍小于 1%。凸形容体一般存在于浅沼或水库的原河漫滩处, 如用梯形公式计算, 误差较大,此种情况下宜减少计算高程( 即增加一些首曲线计算) , 并 用辛普森公式计算, 以减少工作量和误差。2.2库容公式的精度分析在各库容计算式中, 以梯形公式最为简便, 截锥公式及辛普森公式次之。索布洛夫斯基公式需要内插 h/2 处的等高线, 巴乌2曼公式需要求解改正面积 s=1 p2( #) - p1( #) 2d#, 此值不能!03结语2直接积分计算, 只能图解。因此, 尽管在某些地形条件下用式( 3) 、式( 5) 计算比较接近实际形状, 但鉴于式( 1) 的简便和式( 3) 的实用性较差, 仍常采用式( 1) , 这样就势必给计算结果带来一 定的误差。各种 $% 值下的偏差( 见表 1) 。综上所述, 水库的容积计算要根据其容体实际形状去选择相应类型的计算公式, 具体可以从以下几个方面来考虑:( 1) 要提高水库、湖泊等容积的计算精度, 首先必须对其容 体的特性进行分析, 然后再根据整体的形状或面积曲线的整体 趋势来选择计算公式, 而不应简单地根据某一级高程的面积差 值去选择。如梯形公式的计算模型, 其等高线面积与高程的关 系为线形关系, 而直线的容体其面积与高程的关系为大于一次 方的方程, 所以, 可绘制水库面积与高程的关系曲线 % =f( z) 。若 呈直线或接近一直线, 如图 2 中的新安江水库, 其 库 盆 的 概 化 图形为凹形, 采用梯形公式计算, 不仅简便而且误差小; 而丹江 口水库, 其关系为一曲线, 则宜采用截锥公式或辛普森公式; 有 的水库, 其关系线不甚规则, 如三门峡水库, 则可视形状分高程 用不同的公式计算库容。表1 各种 $! 值下的偏差1 21 5由表 1 可见, 梯形公式相对截锥公式及辛普森公式的偏差都很小。一般情况下, 相邻计算等高线面积之差超过 40%的情 形是不多见的, 所以, 对于直形的容体, 即使用梯形公式代替截( 2)应该区分平面求积与立体求积的不同概念。“梯形公式”是对凹形容体的正确计算公式, 与平面求积的 梯 形 公 式 形表2对丹江口水库各类容积计算公式的偏差情况%1!2=0.514%高程z( m)面积%( km2)面积差$% = %2- %1( %)分级库容 $! ( 106m3)说明梯形公式$!1截锥公式$!2辛普森公式$!51001011021031041051061071081091109.0019.69810.45811.31613.20115.00015.73016.94018.53619.46420.6067.744.858.2016.6613.634.877.699.425.015.879.35010.07810.88712.25914.10115.36516.33517.73819.00020.0359.34710.07610.88412.24614.09115.36416.33117.73218.99820.03219.41722.97429.64434.00938.999!1- !2 =0.474%!1- !5 !5$% =8.394%合计145.789145.101145.043$% = %i+1- %i%i( %)$!( %) ! - ! !2 ! - ! !54060800.4680.9081.4090.9351.8072.79756第28卷水 文( 单位: 亿m3)表3 三门峡库区采用梯形、截锥公式计算的分段库容成果注: 表头数字 12, 22, 41 为测验断面编号; 列表数据为黄海基面成果。有一定的局限性。对于直形容体的容积计算, 不如采用辛普森公式的计算结果准确。( 4) 由于库区地形是十分 复 杂 的 , 简 单 的 数 学 曲 线 图 像 不 可能与之完全相符, 而采用复杂的数学模型去模拟 计 算 , 又 往 往失去了实用意义。所以, 在满足一定精度要求的前提下, 梯形 公式和截锥公式常作为计算库容的基本方法。这就是现行水文 教材中只列出这两种公式的原因所在。参考文献:1 陶祖昶.水库、湖泊的容积计算问题a. 水文水资源科技论文集m.郑州: 黄河水利出版社, 2001.2 刘汉忠, 李光, 孙绵惠.三门峡库容、淤积等计算方法与精度分析a.水文水资源科技论文集m.郑州: 黄河水利出版社, 2001.3 同济大学数学教研室. 高等数学 ( 下) m. 北京: 高等教育出版社,1989.4 崔振才, 白玉慧.水文及水利水电规划m.北京: 中国水利水电出版 社,2007.同而实异, 一般情况下用以代替截锥公式或辛普森公式, 其误差不致超过 1%。在特殊的地形情况下, 例如浅沼或水库的原河漫 滩部分, 用梯形公式计算, 误差较大, 可达 10% , 应 考 虑 用 辛 普 森公式计算。( 3) 现在广泛推荐使用的截锥公式仅为巴乌曼公式的特例,analysis of ter r ain method and for mulas to calculate reser voir stor agedu yu- zhu( shanxi water technics professional college, yuncheng 044004, china)abstr act: this paper analyzed the terrain method and formulas to calculate reservoir storage, and offered the application range of the various formulas, which provided the basis for choosing the suitable formula to calculate reservoir storage.key wor ds: terrain method; formula of reservoir storage; analysis!( 上接第 11 页)study on agr icultur al dr ought risk assessment and concer ned technical applicationzeng yan- li, gu ying( nanjing hydraulic research institute, nanjing 210029, china)abstr act: this paper studied the method of agricultural drought risk assessment by using risk analysis technology and building up an agricultural drought risk assessment model. the model was applied to assess agricultural drought risk with shaoyang city as the study case and obtained the regional distribution of dry crops drought risk. the results could provide scientific basis for drought risk management.key wor ds: agricultural drought; risk assessment; technical application; discussion公式名称高程( m)坝- 1212- 2222- 3131- 3636- 41坝- 41梯 形 公 式3103153203253303350.69321.1801.9953.0074.1165.3020.70711.7143.5556.3969.62413.180.07360.74432.6487.06512.571