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备战高考数学 极限【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布极限作为初等数学与高等数学的衔接点，每年必考，主要考查极限的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈 “小题”，在选择、填空题中出现，都属容易题；极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 （2）了解数列极限和函数极限的概念 （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质【考点pk】名师考点透析考点一、数学归纳法 【名师点睛】1数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（kN*， kn0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法. 特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标2数学归纳法的应用：证恒等式；整除性的证明；探求平面几何中的问题；探求数列的通项；不等式的证明.【试题演练】设数列an满足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，）.（1）证明an对一切正整数n都成立；（2）令bn= （n=1，2，），判定bn与bn+1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n=1时，a1=2，不等式成立.假设n=k时，ak成立，当n=k+1时，ak+12=ak2+22k+3+2（k+1）+1，当n=k+1时，ak+1成立.综上，由数学归纳法可知，an对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2=结论成立.假设n=k时结论成立，即ak，当n=k+1时，由函数f（x）=x+（x1）的单调递增性和归纳假设有ak+1=ak+ =.当n=k+1时，结论成立.因此，an对一切正整数n均成立.（2）解：=（1+）（1+） = = =1.故bn+1bn.误点警示：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.二、数列的极限 【名师点睛】1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数 【试题演练】1求下列数列的极限：（1）;（2） （n）;（3）（+）.分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）=.（2） （n）= =.（3）原式=（1+）=1.误点警示：:对于（1）要避免下面两种错误：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： （n）= n=0;原式=n=不存在.对于（3）要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误.2.已知数列是由正数构成的数列，3，且满足lglglgc，其中n是大于1的整数，c是正数（1）求数列的通项公式及前n和；（2）求的值解:（1）由已知得an,an是以a13，公比为c的等比数列，则3n1.（2） .当c=2时，原式;当2时，原式;当02时，原式=.误点警示：几个常用的极限：C=C（C为常数）;=0;qn=0（|q|1）。求数列极限时要注意分类讨论三、函数的极限根限的四则运算法则【名师点睛】1.函数极限的概念：（1）如果=a且=a,那么就说当x趋向于无穷大时，1.求下列函数的极限：（1） （2）（x）（3） ；（4） 解:（1）原式=.（2）原式=a+b.（3）因为=1,而=1，,所以不存在（4）原式=（cos+sin） 误点警示：1。函数极限有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需注意.2在求函数极限时需观察，对不能直接求的可以化简后求，但要注意与的区别.四、函数的连续性【名师点睛】1.函数的连续性.一般地，函数在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数在点x=x0处有定义；（2）存在；（3）=.如果函数y=在点x=x0处及其附近有定义，而且=,就说函数在点x0处连续.2.如果是闭区间a,b上的连续函数，那么在闭区间a,b上有最大值和最小值.3.若、都在点x0处连续,则, g（x）,（0）也在点x0处连续.若在点x0处连续,且在u0=处连续,则复合函数在点x0处也连续.特别提示（1）连续必有极限,有极限未必连续（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“”是可以交换顺序的.【试题演练】1讨论函数=分析：需判断=f（0）.解:=1, =1,不存在.在x=0处不连续.2.设=当a为何值时,函数是连续的.分析：函数在x=0处连续,而在x0时, 显然连续,于是我们可判断当a=1时,在（,+）内是连续的.解: = （a+x）=a, =ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, =f（0）,误点警示：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析2009高考试题及解析 1北京（理）9_.【答案】【解析】，故填.2重庆理（8）已知，其中，则的值为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】所以则3湖北理6.设，则 【答案】选。【解析】令(),则，0.4湖南（理科）15、将正ABC分割成（2，nN）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2)【答案】【解析】（1）由于任意一条线上的数成等差数列，记三点的数分别为，则在上的两点所对应的数的和等于，又由重心性质可得：三角形中心点对应的为，所以.（2）因为，所以归纳得：.5陕西理13设等差数列的前项和为，若，则 【答案】1【解析】由2008高考试题及解析一选择题1（湖北卷理8）已知,，若,则（ ）A B C D【标准答案】【试题解析】易知由洛必达法则有，所以2（江西卷理4）（ ）A B C D不存在【标准答案】.【试题解析】3（辽宁卷理2）（ ）A B C1 D2答案：B解析：本小题主要考查对数列极限的求解。依题4（上海卷理14文14）若数列an是首项为1，公比为a的无穷等比数列，且an各项的和为a，则a的值是（ ）A1 B2 C D【答案】【解析】由.二填空题1（湖北卷理15）观察下列等式：可以推测，当2（）时， ， .【标准答案】15【试题解析】由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以。【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。【易错提醒】没有正确理解题意。【备考提示】数列是高中的重要内容，要重点复习。2（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 。【答案】【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。5（湖南卷理11）.【答案】 【解析】6（陕西卷理13），则 【解析】 分式类极限的逆向思维问题，注意到同次的分式极限值为最高项系数比，则有 ；7（天津卷理15）已知数列中，则 .解析：所以.8（重庆卷理12）已知函数f(x)=(当x0时) ，点在x=0处连续，则 .【答案】【解析】 又 点在x=0处连续，所以 即 故2007高考试题及解析一、选择题1.（福建理9）把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）A B C D2解析：令x=1得an=1+2+22+2n=，选D.2.（湖北理5）已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）A0 B1 CD答案：选C解析：法一 特殊值法，由题意取，则，可见应选C法二 令，分别取和，则原式化为所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）3（湖南理7）下列四个命题中，不正确的是（ ）A若函数在处连续，则B函数的不连续点是和C若函数，满足，则D【答案】C.【解析】的前提是必须都存在！4（江西理2）（）等于等于等于不存在解析：=，选B5(上海文14)数列中， 则数列的极限值（） 等于等于等于或不存在【答案】B【解析】，选B。6. （四川理3）（A）0 (B)1 (C) (D)解：原式或原式选D7（重庆理8）设正数满足，则（） 【答案】：BP1,P2,Pn1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn1，从而得到n1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn1Pn2Pn1, ，当n时，这些三角形的面积之和的极限为.整理得=。9（辽宁理13）已知函数在点处连续，则 解析：因为在点处连续，故，填-110（全国理16）已知数列的通项，其前项和为，则 解：【答案】 【解析】已知数列的通项an=5n+2，其前n项和为Sn，则=。11（陕西理13） 解析：12（天津理13）设等差数列的公差是2，前项的和为，则【答案】3【分析】根据题意知代入极限式得.13（上海春1）计算 【答案】【分析】 所以三、解答题14（湖北理21）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证，（III）求出满足等式的所有正整数，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有解法2：（）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，因为，所以又因为，所以于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（）证：当，时，而由（），（）解：假设存在正整数使等式成立，即有又由（）可得，与式矛盾故当时，不存在满足该等式的正整数下同解法115（江西理17）已知函数在区间内连续，且（1）求实数和的值；（2）解不等式2假设成立，则，则时由得因为时，所以，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，（2）方法二：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得即由左式，得，即，因为两端为整数，则于是又由右式，则因为两端为正整数，则，所以又因时，为正整数，则据，即时，成立由1，2知，对任意，17. （辽宁理21）已知数列，与函数，满足条件：，.（I）若，存在，求的取值范围；（II）若函数为上的增函数，证明对任意，（用表示）()解法一：由题设知得又已知,可得4分由 是等比数列，其首项为.于是又存在，可得01,所以-2t2且8分解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得4分由可知,所以是首项为,公比为的等比数列.由 可知，若存在，则存在.于是可得01,所以-2t2且=28分解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即 于是有 -得4分由所以是首项为,公比为的等比数列，于是（b2-b1）+2b.又存在，可得01,所以-2t2且8分18.（全国I理22）已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，解：（）由题设：，19.（天津理21）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立(I)解法一：，.由此可猜想出数列的通项公式为.以下用数学归纳法证明.(1)当时等式成立.(2)假设当时等式成立，即 那么，这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.解法二：由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为(II)解：设 当时，式减去式，得这时数列的前项和当 时，这时数列的前项和(III)证明：通过分析，推测数列的第一项最大.下面证明：由知要使式成立，只要因为所以式成立. 因此，存在使得对任意N均成立.20.（重庆理21）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：（I）解：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去由此不等式有证法三：同证法一求得及令，因因此从而证法四：同证法一求得及下面用数学归纳法证明：当时，因此，结论成立假设结论当时成立，即则当时，因故从而这就是说，当时结论也成立综上对任何成立【两年模拟】 08名校模拟题及其答案一、选择题1、（2008荆门市实验高中测试）等于 ( )A.1 B. C. c D.1或答案 D2、（2008荆门市实验高中测试）下列极限存在的是 ( ) A. B. C. D.答案 C3、（2008荆门市实验高中测试）已知a,b时互不相等的正数，则等于（ ）A.1 B.1或1 C.0 D.0或1答案 B4、(淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试）设存在，则常数b的值是（ ）A0B1C1De.答案 B5、 (巢湖2007二模)若,则常数、的值为 （ ）A.， B. ， C. ， D. .答案 C6、(皖南八校2007届一联）的值为（ ）A0B不存在CD.答案 C7、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4 则这个数列的第2006个数是 ( )A 62 B.63 C 64 D 65答案 B 8、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）函数f（x）=的不连续点为 ( )A x= B x=1 C x= D 以上答案都不对 答案A 9、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加( )A B C D答案C 二、填空题10、 （2008荆门市实验高中测试） 若 。.答案 211、（2008荆门市实验高中测试） _。答案 112、（2008宣威六中高三数学测试）_。答案 113、（安徽宿州三中2007年三模）已知，则 答案 -8 三、解答题14、 （2008荆门市实验高中测试）求解 （2）因为所以故17、(南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练)数列（1）求（2）证明猜想的正确性解 ： 由知2009名校模拟题及其答案一、选择题1、(2009年3月襄樊市高中调研统一测试理)的值为 ( )A0B1CD答案 CA如果 f (x) = ，则 f (x) = 0 B如果 f (x) = 2 x1，则 f (x) = 0C如果 f (n) = ，则 f (n) 不存在D如果 f (x) = ，则 f (x) = 0答案 D6、（2009宣威六中第一次月考），则（ ）A B C D答案 A二、填空题7、（2009上海十四校联考）如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列： 1，3，6，10，记这个数列的前n项和为Sn， 则= .答案 68、（2009上海奉贤区模拟考）已知各项均为正数的等比数列的首项，公比为，前n项和为，若，则公比为的取值范围是 。答案 9、（2009闵行三中模拟）若实数满足，则_.答案310(北京市石景山区2009年4月高三一模理)若展开式的第项为，则= 答案 217、（2009宣威六中第一次月考）= .答案 -3三、解答题18、（2009冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，函数的反函数能确定数列，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，都满足，求. 解 因为，所以由条件可得，.即数列是公比的等比数列.又，所以，.【一年原创】 2008和2009原创试题及其解析一选择题1、如果复数m2(1i)(mi)i2为纯虚数，则实数m的值为( )A0 B1 C1 D0或1答案A2、已知数列an满足：，且对任意正整数m、n，都有amn=aman，若数列an的前n项和为Sn，则( )答案A5、（ ）A B C D 答案D6.的值为（ ） A.0 B.1 C.- D.答案C7、等于（ ）A.2 B.1 C. D.0答案C8、已知，且函数在上具有单调性，则的取值范围是A BCD 答案D13.设f(n)=1+（nN*），那么f(n+1)-f(n)等于 （ ）A. B.C. D.答案D14.的值为 （ ）A.-1 B.0 C. D.1答案A15.设正数a,b满足（x2+ax-b）=4,则等于 （ ）A.0 B. C. D.1答案B16.数列an中a1=2，且an=（an-1+）（n2），若an存在，则an等于 （ ）A. B.- C. D.答案A11.17.数列an中，有（5n+2）an=2,并有an存在，则(nan)的值为 （ ）A.0 B.2 C. D.不存在答案C二填空题1. =2，则a= .答案 12.设常数a0,4展开式中x3的系数为,则(a+a2+an)= .答案 13.= .答案 -2三解答题1已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2 550.（1）求a及k的值；（2）求.解 （1）由已知得a1=a，a2=4，a3=3a，a3-a2=a2-a1，即4a=8，a=2.首项a1=2，公差d=2.由Sk=ka1+d，得2k+2=2 550，k2+k-2 550=0，k=50或k=-51（舍去).a=2，k=50.（2）由Sn=na1+n（n-1）d=2n+n（n-1）得Sn=n2+n=n（n+1）.=1-=12.若函数f(x)=(+)2 (x0),数列an（an0）的前n项和Sn（nN*）对所有大于1的正整数n都有Sn=f(Sn-1),且a1=2.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn= (nN*)，求(b1+b2+bn-n).解 （1）Sn=f（Sn-1）=（）2（n2），,是以为首项，为公差的等差数列.=+（n-1）=n，Sn=2n2.当n2时，an=Sn-Sn-1=4n-2,又a1=2适合上式，故an=4n-2.（2）bn=,b1+b2+bn-n=1-.( b1+b2+bn-n)=(1-)=1.3已知函数f(x)= (1)求f(x);(2)若f(x)存在，求a，b的值；（3）若函数f(x)在x=1处连续，求a，b所满足的条件.解 （1）x0时，的分子、分母都有极限-1，f(x)=1.(2)若f(x)存在，则f(x)=f(x),而f(x)=(ax2+2)=a+2. f(x)=a+2=,a=-,b可为任意实数.（3）若f(x)在x=1处连续，则f(x)=f(x)=f(1),则a=-,b=.4是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于一切nN*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.解 假设存在a、b、c使12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于一切nN*都成立.当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19.解方程组解得证明如下：当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立.假设n=k（kN*）时等式成立，即12+22+32+k2+（k-1）2+22+12=k（2k2+1）；当n=k+1时，12+22+32+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=k（2k2+3k+1）+（k+1）2=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2=（k+1）（2k2+4k+3）=（k+1）2（k+1）2+1.即n=k+1时，等式成立.因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切nN*都成立.【考点预测】 2010高考预测极限是考查的重点内容，2010以选择或填空题为主，主要考察求函数、数列的极限复习建议数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.数学归纳法在考试中时隐时现，