（凝聚态物理专业论文）激光驱动两分量玻色爱因斯坦凝聚的精确floquet态.pdf

壅，鲤动两分莒玻色爱因斯坦凝聚系统的精确f l o q u e t 态 摘要 在平均场理论下，我们用g r o s s - p i t a e v s k i i 方程描述玻色一爱因斯坦凝 聚( b e c ) 系统的运动规律为研究b e c 的各种性质，我们需要得到系统 的精确解或近似解。有一些文章在一些特定的势下求得了b e c 系统的精 确定态解，并由此研究了系统的多种性质同时也有少数几篇文章获得 了系统的非定态精确解我们的文章则主要利用本组常用的内外势平衡 条件获得了激光诱导时空周期势中两分量b e c 的一系列的非定态解精 确f l o q u e t 解( e f s ) ，并研究了这些精确解描述的b e c 的各种物理性质 本文共包括四章第一章为绪论，简单介绍了平均场理论和两分量玻 色一爱因斯坦凝聚的相关现状 第二章中，基于内外势平衡条件，我们发现对于一个被光格势囚禁 的两分量玻色一爱因斯坦凝聚系统，若外加一个时一空周期的激光驻波 势，将诱导出系统的一系列精确的f l o q u e t 态我们研究了原子数密度、 原子流、相的b l o w i n g - u p 及量子反射等现象，找到了满足平衡条件的参数 空间以及相的b l o w i n g - u p 区域，讨论了相的b l o w i n g - u p 对速度场和流密度 的影响，且发现了通过调节激光驻波的频率、波矢和幅度来控制b e c 原 子运动的新途径 在第三章中，为了进一步讨论系统是否稳定，我们应用了李雅普诺 夫稳定性标准和线性稳定性分析，发现当驱动场的强度与光格势强度之 比小于2 时，系统会发生相的b l o w i n g - u p 现象，从而导致系统的不稳定， 我们称这种不稳定性为弱驱动不稳定性；而当驱动场的强度与光格势的 强度之比大于2 时，系统不会发生相的b l o w i n g - u p 现象，因而是可能稳定 的那么通过加强激光场的强度，我们可以避免这种弱驱动不稳定性 最后，我们在第四章中对本文做了简要的总结，并对该领域前景作了 一点展望本人的主要工作集中在第二章和第三章 关键词：两分量玻色一爱因斯坦凝聚，周期势，相的b l o w i n g u p ，不稳 i i 硕士学位论文 定性 p a c s ：0 3 7 5 l m ，0 3 7 5 m n ，0 5 7 0 j k ，0 3 7 5 k k 整垄墅垫堕坌量茎鱼：墨里堑墨篓茎墨簦箜堕苎! ! ! 旦坚查 ：! 坚： a b s t r a c t i nt h em e a n - f i e l dt h e o r y , t h em a c r o s c o p i cw a v e f u n c t i o no fab o s e - e i n s t e i nc o i l - d e n s a t eo b e y sg r o s s - p i t a e v s k i ie q u a t i o n t oi n v e s t i g a t et h ep h y s i c a lp r o p e r t i e so f b e c w er e q u i r et os e e kt h ee x a c to ra p p r o x i m a t es o l u t i o n so fg p e s e v e r a l 锵 a c ts t a t i o n a r y s o l u t i o n so fg p e sh a v eb e e no b a t i n e df o rb e ch e l di ns o m es p e c i a l p o t e n t i a l s ，a n db yu s i n gt h ee x a c ts o l u t i o n s ，m a n yp h y s i c a lp r o p e r t i e so fb e c a r e r e v e a l e d a n dt h e r ea r eo n l yf e wr e p o r t si nt h ee x a c tn o n s t a t i o n n a r ys o l u t i o n s i n t h i sp a p e iw ec o n s t u c taf a m i l yo fe x a c tn o n s t a t i o n a r ys o l u t i o n s - e x a c tf l o q u e ts o - l u t i o n s ( e f s s ) i nb e cs y s t e ma n di n v e s t i g a t et h ev a r i o u sp h y s i c a lp r o p e r t i e sw h i c h t h ee f s sr e v e a l t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r w es h a l lg i v eas i m p l e i n t r o d u c t i o nt ot h em e a n - f i e l dt h e o r ya n dt h et w o - e o m p o n e n tb o s e - e i n s t e i nc o i l - d e n s a t e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b a s e do nt h ei d e ao fb a l a n c eb e t w e e nt h ei n t e r n a la n d e x t e r n a lp o t e n t i a l s ，i ti ss h o w nt h a tf o rat w o - c o m p o n e n tb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) c o n f i n e di na no p t i c a ll a t t i c et h ep r e s e n c eo fas p a c e - t i m ep e r i o d i cl a s e rf i e l d c a l li n d u c eaf a m i l yo fe x a c tf l o q u e ts t a t e sf e f s s ) t h ea t o m i c - n u m b e rd e n s i t i e s o ft h ee f s sa r ei l l u s t r a t e da n dt h ea t o m i cc u r r e n t ，p h a s eb l o w i n g - u pa n dt h eq u a n - t u mr e f l e c t i o na r ei n v e s t i g a t e d t h eb a l a n c ec o n d i t i o n sa n db l o w i n g - u pr e g i o no n p a r a m e t e rs p a c ea r ef o u n d ，a n dt h ei n f l u e n c e so fp h a s eb l o w i n g - u pt ot h ev e l o c i t y f i e l d s f l o wd e n s i t i e sa r er e v e a l e d t ti sd e m o n e t r a t e dt h a tt h eb e cm o t i o n sc a nb e c o n t r o l l e db ya d j u s t i n gt h el a s e r 在e q u e n c y , w a v ev e c t o ra n da m p l i t u d e i nt h et h i r dc h a p t e r ，i no r d e rt oi n v e s t i g a t ew h e t h e rt h es y s t e mi ss t a b l eo r n o t ，w ea p p l yl y a p u n o vs t a b i l i t yc r i t e r i o na n dt h el i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i sa n d f i n d t h a t ：i ft h es t r e n g t ho fd r i v i n gl a s e ri ss m a l l e rt h a nt w i c eo ft h el a t t i c es t r e n g t h ， t h ep h e n o m e n ao fp h a b eb l o w i n g - u po c c u r sa n dc a u s e st h ew e a k - i n s t a b i l i t yo ft h e e f s s ；a n di ft h es t r e n g t ho fl a s e ri sl a r g e rt h a nt w i c eo ft h el a t t i c es t r e n g t h ，t h e p h e n o n e m ao fp h a s eb l o w i n g - u pd o e s to c c u r s 0t h es y s t e mi sp o s s i b l ys t a b l e b y r e i n f o r c i n gt h ei a 8 e rs t r e n g t h w ec a na v o i dt h ei n s t a b i l i t ya n db r i n gt h es y s t e mi n t o p o s s i b l es t a b i l i t y i v 硕士学位论文 i nt h el a s tp a r to f t h i sp a p e r ，w eg i v eas i m p l es u m m a r ya n dd i s c u s s i o n t o t h ea b o v e - m e n t i o n e dw o r k s h e r e ，o u rm a i nw o r k sa r ei n v o l v e di nc h p a t e rt w oa n d t h r e e k e yw o r d s - t w o - c o m p o n e n tb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，p e r i o d i cp o t e n t i a l ， p h a s eb l o w i n g - u p ，i n s t a b i l i t y p a c s ：0 3 7 5 l m ，0 3 7 5 m n ，0 5 7 0 j k ，0 3 7 5 k k 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：叉眵漆舀毯 矽f 年易马砂日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位沦文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打”) 作者签名：茚蘧剐日期：卿年6 月砂日 聊獬：协肇醐匆年莎日 f， 激光驱动两分量玻色一爱因斯坦凝聚系统的精确f l o q u e t 态 第一章绪论 1 1 引言 基于玻色关于光子的基本理论，1 9 2 4 年，爱因斯坦预言了玻色一爱 因斯坦凝聚的物理现象，即如果系统中的粒子遵循玻色统计且总的粒子 数不变，那么当温度低于某一i f 缶界值时，系统中一部分粒子将凝聚到同 一单粒子态f 1 】【2 】【3 】但是玻色一爱因斯坦凝聚在实验中的实现却经历 了一个长期的探索过程直到1 9 9 5 年，e r i cc o m e l l 与c a r lw i e m a n 等利 用激光冷却再加上蒸发冷却的技术将”r b 气体冷却到了l o o n k 的量级， 首次观测到该物理现象4 1 ；同年又有另外两个小组分别用n a ，厶原 子气体实现了玻色一爱因斯坦凝聚【5 】5 【6 】玻色一爱因斯坦凝聚作为一 种新的物质存在的形态一宏观量子态，它的实验实现在物理学界引起了 强烈的反响。人们不仅非常关注玻色一爱因斯坦凝聚中所包含的各种物 理现象，同时玻色一爱因斯坦凝聚也被应用到了现代许多的高新技术， 如原子激光【7 1 ，原子钟【8 】，原子波导【9 ，原子干涉仪【1 0 】【1 1 】，超辐 射【1 2 i 【1 3 】，量子镊【1 4 】等等。 目前可以用来描述玻色一爱因斯坦凝聚性质的理论方法有很多，当 原子间相互作用的8 - 波散射长度远小于原子间的平均距离，并且凝聚原 子足够大时，g r o s s - p i t a e v s k i i 近似或者说平均场近似是一类有效丽又方便 的方法利用该方程可以分析b e c 的特性并预言b e c 的许多新特征。 平均场方法是本文所采用的方法在这里，我们对该理论进行简单的回 顾。在二次量子化方法中，个相互作用的玻色原子系统的哈密顿超可 表示为f 1 】【1 5 】 ，竟2 序= 冽 + ( 而卜岳v 2 + m ，。( 力】妒( 力 j 1， + 言fd f a r 7 1 l f i + ( 力妒+ ( r ) y ( 尹一r ，) 妒( r ，) 妒( 力 ( 1 1 ) j 其中伊( 而和函( 力分别为产生和湮灭场算符它们满足b o s e 对易关系 l 妒+ ( 力，妒( 力 = 6 ( ，一r ) ( 1 ，2 ) 2 硕士学位论文 k ，。( 而是外场囚禁势在早期观察到b e c 的实验中，各项同性的磁场囚 禁势k ，。( 刁可表示为 。( 而= ；舢2 r 2 而各项异性的磁场囚禁势则表示为 ( 1 3 ) k ，。( 而= ；m ( 雹+ 嵋y 2 + u ：2 。2 ) ( 1 4 ) 目前多数磁囚禁势主要为两种形式，一种为盘形，即( = ) ，另一 种为雪茄形，即此( = ) 。y 扩一一) 是两体相互作用势。1 9 4 7 年， b o g o l i u b o v 提出了稀薄玻色气体的平均场理论，其后被b a l i a e v 推广，其关 键思想是移( 力分离为凝聚和非凝聚部分 毒( 力= ( 西( 刁) + 西( 而 其中 ( 移( 而) ；皿( 力， ( 15 ) ( 1 6 ) 这里皿( 力为玻色子宏观波函数，即是场算符的期待值当系统的温度极 低时，每7 ( 而是小量，即非凝聚部分非常少，这时我们就可以把市( 力看成 微扰将多体哈密顿鼍( 1 1 ) 代入海森堡方程，可得场算符所满足的方程 统是移( 删= 陋( 删，明= i - 罴v 2 + ( 列毒( 酬 + j 厂d ，市+ ( ，t ) y ( ，一力西( ，) 西( ( ) ( 1 7 ) 在实现b e c 的条件中，原子间的相互作用起很重要的作用。虽然原子间 的相互作用很复杂，但是通过赝势法，将相互作用转为有效作用势，可 简化到只用低能相移参数来表示。在量子力学中，低能散射相移与势的 形状无关，而只依赖于一个参数称为散射波长。用钢球模型处理稀薄 气体原子，v ( 尹一力可以用一个有效作用势来表示 v ( r 一而= g s ( r 一雨 激光驱动两分量玻色一爱因斯坦凝聚系统的精确f l o q u e t 态 这里9 为耦合常数，与s 一波散射长度相关可以为正也可以为负， 正表示两体作用相互排斥，负表示两体作用相互吸引 4 7 r 危 g 。i ( 1 9 ) 这里m 是玻色原子的质量在首先实现b e c 的三个实验中，分别为 ”渤： a a = 5 8 a ”n a ：口i = 2 s a 7 a ： a 。；一4 1 a( 1 1 0 ) 在温度为零的条件下，可以得到宏观波函数皿僻) 满足的方程 i 危晏皿( 锄= 卜黑v 2 + 吲( 力+ 9 i 皿( 删j 2 】( 删 ( 1 1 1 ) 这就是著名的g r o s s - p i t a e v s k i i ( g p ) 方程1 9 6 1 年，g r o s s 和p i t a e v s k i i 分别 独立完成其推导。这也是用平均场理论处理b o s e - e i n s t e i n 凝聚系统的基本 方程在平均场理论框架下，系统动力学行为可以方便地由g p 方程描 述当系统处于绝对零度时，非凝聚部分妒( 而= 0 ，此时的g p 方程是陟 格有效地实践证明了平均场理论是一种较为成功地方法绝大部分研 究b o s e - e i n s t e i n 凝聚的工作都是在上述基本方程的基础上展开的 1 2 两分量玻色一爱因斯坦凝聚 组成自然界的粒子可分为两大类一玻色子和费米子区分这两类粒 子的重要特征是自旋自旋是粒子的一种与其轨道角动量相联系的固有 性质。量子力学所解释的一个重要之点是，自旋是量子化的，这就是说， 它只能取普朗克常数的整数倍( 玻色子，如光子、介子等) 或半整数倍( 费 米子，如电子、质子等) 原子包括等数量的电子和质子( 等于它的核电 荷数z ) ，所以一个原子是否是玻色子或费米子取决于其中子的数量_ 如果一个原子含有偶数个中子，它的自旋是取普朗克常数的整数倍，属 于玻色子，相反，含有奇数个中子的自旋是取普朗克常数的半整数倍，是 4 硕士学位论文 费米子。对于碱金属气体原子，最外层只有一个电子，它的轨道角动量量 子数为零，电子的固有自旋角动量为s = 1 2 ，再考虑到原子核的自旋， 我们可以得到原子总的自旋。原子总的自旋为f = ，+ s ，这里f 取值于 ，4 - 1 2 之间。由于电子自旋，存在自旋磁矩，它与电子的轨道磁矩及原子 核磁矩仪器构成原子的总磁矩，当原子被磁场捕陷时就会分裂产生几个 超精细基态，在磁阱中，原子通常只被捕获在其中一个超精细能级上 在1 9 9 5 年到1 9 9 8 年间，大多数实验研究小组使用磁场囚禁处于某个原子 自旋态的玻色原子气体w i e m a n 和c o r n e l l 的研究组实现8 7 肋原子在自 旋态l f = 2 ，m f = 1 的b e c ，凯特纳研究组将”n a 原子蒸气凝聚在自 旋态i f = 1 ，m f = - 1 ，在r i c e 大学的b r a d l e y 小组中7 乜原子b e c 布居 在自旋态i f = 2 ，m ，= 2 ，处在这个自旋态上的原子散射波长小于零 而对于全光阱，就不存在这样的问题了。1 9 9 8 年，k e t t e r l e r 小组采用功 率为几瓦的单束聚焦的红失谐半导体激光实现了磁囚禁2 a n a 原子b e c 到光势阱的转移，获得了一些重要的参数，例如三体复合速率f 1 6 1 2 0 0 1 年，c h a p m a n 小组采用两束交叉的聚焦c o 。激光构成的光学势阱首次实 现了全光型s ，m 原子的b e c 1 7 1 ，其后他们观察到了旋量玻色一爱因斯 坦凝聚具有更多新的特征。这里，我们主要介绍两分量玻色一爱因斯坦 凝聚系统。所谓两分量玻色一爱因斯坦凝聚是指凝聚原子布居在两个不 同的超精细态上这样一个两态物理系统已经能够在实验室中实现如 b o u l d e r 小组应用s ，m 原子的两个不同的超精细态实现了两分鼙的玻色一 爱因斯坦凝聚【1 8 】【1 9 】首先是将处于超精细自旋态f = 1 的单分量b e c 囚禁在磁场中，然后利用两光子跃迁将一部分原子转移到f = 2 的超精 细自旋态一旦关闭两光子脉冲，两分量中各自的原子数将基本保持恒 定。m i t 小组则应用激光实现了由。n a 原子的两个不同的超精细态组成 的两分量b e c 【2 0 】 2 1 】而m o u d u g n o 等人则用4 1 k 和”励这两种不同的 原子实现了两分量b e c1 2 2 】 显然，原子玻色一爱因斯坦凝聚相关的宏观量子态实验和理论研究， 目前已成为现代物理学的重要前沿领域c w i e m a n ，e c o r n e l l 和w k e b t e r l e 在成功的获得了稀薄气体b e c 之后，人们对这种b e c 物质的性质 进行了广泛的研究。例如k e t t e r l e 将b e c 体分为两团，让它们互相叠 加，可以明显的观察到它们之间的干涉条纹，这充分显示了爱因斯坦的 激光驱动两分鼍玻色一爱因斯坦凝聚系统的精确f l o q u e t 态 预言，证实了b e c 体是一种相干物质，一种新的宏观量子状态的物质 同时，他们也将b e c 象水滴一样从磁阱中输出，形成脉冲状的凝聚体， 象激光脉冲一样，这种现象被描述成相干物质的原子激光另外在实现 b e c 中，原子间的散射长度起决定性的作用在一定的磁场条件下， 散射长度可以调节，甚至可以改变符号，即原子间相互作用和磁场间 的共振德国科学家们在激光光束构成的三维光格点阵中，成功地实现 了气体超流体态与绝缘态之f 副也转换，这一结论将在量子计算机应用研 究方面带来中大的突破总之，人们预测，b e c 在现代科技中地革命性 地应用即将到来 1 本文的主要内容 在本文中，我们主要研究了处于光格势中的两分量玻色一爱因斯坦凝 聚体，在外加一个时空周期的激光驻波势的驱动下，系统产生的精确 f l o q u e t 解，并主要对解的b l o w i n g - u p 性质，解的弱驱动不稳定性等进行 了探讨 本文的主要结构如下：第一章为绪论，主要阐述了我们研究课题的相 关背景第二章中，我们在原有的内外势平衡条件的基础中，将该概念进 行了拓展，认为在任意时空点原子间的相互作用势与外势都能达到一种 平衡常数不变的平衡，即在任意时空点原子间的相互作用势与外势之和 为一常数应用该条件，我们构造了时一空周期势中两分量b e c 的一种 精确的非定态解一f l o q u e t 解，给出了解存在的参数空间，分析了f l o q u e t 解原子数密度的的时一空分布，研究了解的一些重要的性质，如原子流， 相相干，相的b l o w i n g - u p ，量子反射等，并求得了相的b l o w i n g - u p 在参数空 间的分岔点，得到了流速度场的奇点，这些奇点也就是原子数密度分布为 零的点我们还发现速度场和流密度随着激光驻波的频率和幅度振动， 这样我们可以通过调节激光强度和频率来控制原子速度场和原子流即控 制b e c 原子的运动在第三章中，我们主要在第二章的基础上进一步研 究了f l o q u e t 解的弱驱动不稳定性在f l o q u e t 解存在的参数区域，我们 发现当激光场的强度也就是驱动势的强度弱于光格势强度的两倍时，系 统会发生相的b l o w i n g - u p ，丽根据李雅普诺夫稳定性标准和线性稳定性分 6硕士学位论文 析，相的b l o w i n g - u p 将引起系统的不稳定。当驱动场的强度强于光格势强 度的两倍时，系统不会发生相的b l o w i n g - u p ，而f l o q u e t 态则可能是稳定 的那么在实验中，我们应该加强驱动场的强度来避免这种弱驱动不稳 定性。我们的结果也进一步证明了文献2 3 】中有关低加速不稳定性的结 论，即弱的外场将弓f 起系统的不稳定，而实验中，我们可以通过加强外 场的强度来避免这种不稳定性。最后第四章对本文做了简要的总结和展 望本人的主要工作集中在第二章和第三章 激光驱动两分鼍玻色- 爱因斯坦凝聚系统的精确f l o q u e t 态 第二章激光驱动两分量b e c 的精确f l o q u e t 态 2 1 引言 在平均场理论中，玻色一爱因斯坦凝聚的宏观波函数遵循g r o m - p i t a e v s k i i 方程( g p e 【2 4 】为了研究玻色一爱因斯坦凝聚的物理性质，我们要求 找到g p e 的精确解或者近似解。然而一般情况下，由于原子间的非线性 相互作用以及外场的存在，多维的g p e 很难求解的。幸运的是，多维g p e 可以简化为处于一个或两个强囚禁势中的低维( 一维、二维或i + i 维) 非 线性薛定谔方程1 2 5 】1 2 6 】人们已经在处于准一维k r o n i g - p e n n y 势【2 7 】， 光格势【2 8 】【2 铷【3 0 j 及两维光格势【3 1 】【3 2 】中的玻色一爱因斯坦凝聚系统中 获得了一些精确的定态解。人们也应用这些精确解讨论了很多的物理性 质如b e c 的稳定性【2 8 】1 2 9 【3 3 【3 4 】、相相干、超流速度和流密度【3 5 1 以 及孤子的产生 3 3 】 而与定态解相比，只有为数不多的文章在处于( 1 + 1 维) 时空周期势 中找到了精确的非定态解，因为与前面所述的定态情形相比，要求得非 定态解则更加困难只有在相互作用强度受到一些非常严格的限制的时 候，人们在排斥的抛物线势【3 6 j 【37 】以及光格势【3 8 l 中得到一些精确的非 定态解这些精确的非定态解描述了物质波的压缩、亮孤子的动力学特 征、解的稳定性以及凝聚体的次光格振荡 f l o q u e t 态是非定态解的一种非常重要的形式，它被广泛的用来研究各 种物理现象，如被驱动的r e d b e r g 原子的相干态 3 9 】，混沌量子棘齿【4 0 ， 半导体异质结构中电子的跃迁 4 1 】，量子点矩阵隧穿的选择性压缩【4 2 】及 电子的电离抑制阳】人们在b e c 中也发现了f l o q u e t 态并且利用它们 来探索超流一绝缘跃迁【4 4 j ，相干控制【4 5 】以及动力学隧穿】我们知 道当g p e 处于空间周期的外势的时候，该方程具有b l o c h 形式的解；而 当它的外势为时间周期的时候，该方程具有f l o q u e t 形式的解，那么这就 提示了我们可以用一个时间周期的激光场作为驱动来获得精确的f l o q u e t 态 在我这篇文章中，我们考虑的是对一个限制在光格势( v o s i n 2k x 光格 硕士学位论文 强度为k ，波矢为k ) 中的两分量的b e c ，添加一个时一空周期的激光 驻波uc o s k x c o s ( w t 一卢) ( ，u ，p 分别表示激光强度，频率和初始位相) 来寻 找有趣的精确f l o q u e t 态。在我们以前关于b e c 系统精确解的工作中， 应用了平衡的概念，也就是外加势与原子间的相互作用势在空间的每一 点都能达到一个平衡常数不变的平衡【3 0 】【3 1 【3 2 l 【3 5 1 为了进一步考虑 含时的b e c 系统，我们将在任意一个时空点建立一个新的平衡，应用该 平衡能得到一系列的精确f l o q u e t 态这些精确f l o q u e t 态的原子数密度 的空间分布以及原子流，相的b l o w i n g - u p1 4 7 】1 4 8 以及量子反射等性质都 有被研究同时我们展示了平衡解存在的参数区域，该区域也正好包含 了相的b l o w i n g - u p 发生的参数区域。我们还发现了速度场周期分布的时一 空奇点，在这些点上面原子数密度为零，相的b l o w i n g u p 效应对系统的 物理意义也有被揭示最后，我们还研究发现速度场和流密度会随着激 光频率和幅度周期振动，所以，我们能够通过调节频率和幅度来控制速 度场和流密度。 2 2 精确f l o q u e t 态 我们考虑的1 + 1 维b e c 是由s t 舶原子的两个不同的超精细自旋态组 成，其中1 个原子处于态1 1 = i f = 1 ，m f = 一1 ，n 2 个原子处于态 1 2 = l f = 1 ，w t f = 1 ，那么总原子数n 一l4 - 2 。由于忽略了三体相互 作用，我们将处于态i i 的原子数m 看作是不变的那么描述我们b e c 系统的g p e 为： 疣娑：一旦尝(91|妒li=+931妒=i。)币，22 厅否r = 一m 否；歹4 - l 9 1 i 妒1 i - t - 9 3 1 妒2 1 j 妒1 4 - y l l c ，1 。 警= 一羔警也蚓2 蚓们也+ 嘞 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 这里，m 为8 7 舶的原子质量，9 t = 2 0 = 1 ，2 ，3 ) 它表示的是原子相互 作用强度，其中仇。表示凝聚体1 或2 中原子间的相互强度，而9 3 则表 示两种不同凝聚体原子间的相互作用强度a 。对应的是8 一波散射长度， 坼是径向的囚禁频率，在本文中，我们将其值取为坼= 2 ”7 0 0 h z 。在 激光驱动两分量玻色一爱因斯坦凝聚系统的精确f l o q u e t 态 9 时空周期激光场存在的情况下，外势的形式为 v = v o s i n 2 k x + y lc o s k x c o s ( l s t 一口)( 2 3 ) 第一项为一个普通的光格势，而第二项则是一个可随时间周期调节的光 学驻波，他们的波长都为a = 2 1 r k 那么该可随时间调节的光学驻波 v 1c 0 8k x c o s ( w t p ) 在实验上如何实现呢? 我们知道使用两束对传的激光 形成的驻波作用于原子上能够产生形如k ( z ，t ) = 导c o s ( k x + “t 一) 的行波 势【4 9 】，其中u 为两束激光的频率差，激光的波矢为k 2 ，而驻波的速度为 = u 用同样的方法我们也可以得到形如k ( z ，t ) = 粤c o s i k = 一( w t 一) l 的行波势。将k t ) 与u ( z ，) 进行叠加就能得到我们所讨论的系统中所 需要的形如y lc 0 8k x c o s ( w t p ) 的光学驻波 * 当外加的光学势与原子间的相互作用势在实验上取得了一个平衡常 数不变的平衡的时候，我们能建立一个平衡条件，也就是外势与所有的 内势之和等于一个常数。我们设这个常数为p ，它实际上也就是系统的 化学势，那么我们可以把平衡条件表示为 ( 9 1 i 妒1 1 2 + 9 3 i 也1 2 ) + v = p ( 缈l 也1 2 + 9 3 l 妒1 1 2 ) + v = p ( 2 4 ) ( 2 5 ) 根据以上两个方程，我们可以将方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 简化为一组具有常数势p 的线性薛定谔方程： ( 2 6 ) ( 2 7 ) 平衡条件( 2 4 ) ( 2 5 ) 对波函数妒t 。的幅度给出了限制，薛定谔方程( 2 6 ) ( 2 7 ) 同样给出了波函数妒2 的幅度，而且它们还描述了波函数的相求解方 程( 2 6 ) ( 2 7 ) ，我们可以得到粒子数密度为 渺lj 2 = g l ( p v ) 1 2 = g ：( p v ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 咖 如 p p + + 碧等旦轨竺凯 一 一 i | l i 堕优垫m 统 流 1 0 硬士学位论文 这里g = 糕，g 2 = 孝轰在势的一个空间周期的范围内对粒子数密 度积分，我们可以得到在每一个空间周期中，两分量各自的原子数i 及 m ”吖坩出：警 。小：如：警 a l ( p 一訾) = 研 g ：( p 一百y o ) = 蝇 ( 2 加) ( 2 1 1 ) 这里1 为任意整数通过以上两式，我们可以有趣的发现虽然原子数密 度是时间的周期函数，但是每个阱中的原子个数却不随时间变化，同时 这两个式子还告诉我们，化学势t 可以用参数吖，9 3 以及v o 表示为 肛= 器+ 虿v o = 糕+ 虿v o ( 2 1 2 ) 而且每个阱中的原子个数必须满足一下条件 这是方程( 2 4 ) 、( 2 5 ) 所示平衡解成立的第一个条件，该条件给出了每个 阱中的原子个数和相互作用强度之间的限制关系。在文献 3 8 】中非定态 精确解的成立要求s 波散射长度= n 。= n n ，即要求：= 瞒，也就是说 我们所求得的平衡解成立的条件比文献f 3 8 中所对应的条件要弱些 将方程( 2 3 ) 和( 2 1 2 ) 代入方程( 2 8 ) 、( 2 9 ) 中可以得到用实验参数所 表述的粒子数密度 妒1 1 2 = g , ( v 1 。_ - 一v o ) + g 1 c o s 2 七z g 1 c 0 8 七z c 0 8 t 一卢) 也1 2 = 塑坠2 塑+ g 2 y o c o s 2 k z g 2 v lc o s k z c o s ( u t 一卢) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 这里我们取k = 妊= 惫我们知道在任意时空点均有i 奶i 。0 ，那么 由c o s k x = 0 时l 妒j 1 2 = 型堡2 型0 可知，l k l 是外势强度j y o l 的上限值， h 肚h 肚e 激光驱动两分量玻色一爱因斯坦凝聚系统的精确f l