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工程硕士数理统计练习题 工程硕士数理统计练习题 1设是总体的样本， 4321 ,xxxx),( 2 n已知，未知，则不是统计量的是 （ ）. 2 （a）； （b） 41 5xx + 4 1 i i x = ； （c）； （d）. 1 x = 4 1 2 i i x 解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. 选 c. 2设总体为来自 n xxxpbx,), 1 ( 21 lx的样本，则= = n k xp（ ）. （a）； （b）pp1； （c）； （d）. knkk n ppc )1 ( knkk n ppc )1 ( 解：相互独立且均服从 故 n xxxl 21 ), 1 (pb = n i i pnbx 1 ),( 即 ),(pnbxn 则()()(1) kkn k n k p xp nxkc pp n = 选 c. 3 设是总体的样本， n xxx, 21 l) 1, 0(nx和分别为样本的均值和样本标准差， 则（ ）. s （a）) 1(/ntsx； （b）) 1, 0( nx； （c）； （d）) 1() 1( 22 nsn) 1(ntxn. 解： = = n i i x n x 1 1 0=xe，) 1 , 0( 11 2 n nx n n n xd= b 错 ) 1( ) 1( 2 2 2 n sn q ) 1() 1( 1 ) 1( 222 2 = nsns n ) 1(ntn s x . a 错. 选 c. 4 设是 总 体的 样 本 ， n xxx, 21 l),( 2 nx是 样 本 均 值 ， 记 = 2 1 s = = n i n i n i iii x n sxx n sxx n 111 22 3 22 2 2 )( 1 1 ,)( 1 ,)( 1 1 ， = = n i i x n s 1 22 4 )( 1 ，则服从自由度为1n的t分布的随机变量是（ ）. （a） 1/ 1 = ns x t ； （b） 1/ 2 = n x s t； （c） ns x t / 3 =； （d） ns x t / 4 = 解：) 1( )( 2 2 1 2 = n xx n i i ) 1 , 0( nn x ) 1( 1 )( 1 1 2 2 = = nt n xx n x t n i i ) 1(1 1/ )( 2 2 2 = =ntn s x nns nx t 选 b. 5 设是来自的样本，为其样本方差， 则的值为 （ ） . 621 ,xxxl),( 2 n 2 s 2 ds （a） 4 3 1 ； （b） 4 5 1 ； （c） 4 5 2 ； （d）. 5 2 2 解： 2 126 ,( ,),6xxxnn =l )5( 5 2 2 2 s 由分布性质： 2 1052 5 2 2 = s d 即 442 5 2 25 10 =ds 选 c. 6设总体x的数学期望为是来自 n xxx, 21 lx的样本，则下列结论中正确的 是（ ）. （a）是 1 x的无偏估计量； （b）是 1 x的极大似然估计量； （c）是 1 x的一致（相合）估计量； （d）不是 1 x的估计量. 解：是 1 exexx=q 1 的无偏估计量. 选 a. 7设是总体 n xxx, 21 lx的样本， 2 ,=dxexx是样本均值，是 样本方差，则（ ）. 2 s （a） 2 ,xn n ； （b） 与 2 sx独立； （c）) 1( ) 1( 2 2 2 n sn ； （d）是的无偏估计量. 2 s 2 解：已知总体x不是正态总体 （a） （b） （c）都不对. 选 d. 8设是总体的样本，则（ ）可以作为的无偏估计量. n xxx, 21 l), 0( 2 n 2 （a） = n i i x n 1 2 1 ； （b） = n i i x n 1 2 1 1 ； （c） = n i i x n 1 1 ； （d） = n i i x n 1 1 1 . 解： 2222 )(, 0= iiiii exexexdxex 22 1 2 1 ) 1 (= n n x n e n i 选 a. 9设总体x服从区间上均匀分布,)0(，为样本， n xx, 1 l 则的极大似然估计为（ ） （a）； （b） ,max 1n xx l,min 1n xx l （c） （d） | ,|,max| 1n xxl| ,|,min| 1n xxl 解： 1 , ( )2 0 x f x = 其它 似然正数 = = n i in xfxxl 1 1 ),();,(l 1 ,|1,2, (2 ) 0, i n xin = = l 其它 此处似然函数作为函数不连续 不能解似然方程求解极大似然估计 )(l在处取得极大值 )(n x=| ,|,max| 1nn xxxl= 选 c. 10设总体x的数学期望为 12 , n xxxl为来自x的样本，则下列结论中 正确的是 （a） 1 x是的无偏估计量. （b） 1 x是的极大似然估计量. （c） 1 x是的相合（一致）估计量. （d） 1 x不是的估计量. （ ） 解： 1 ex=，所以 1 x是的无偏估计，应选（a）. 11设 12 , n x x l x为正态总体( ,4)n的一个样本，x表示样本均值，则的 置信度为1的置信区间为 （a） /2/2 44 (,xuxu nn +). （b） 1/2/2 22 (,xuxu nn +). （c） 22 (,xuxu nn +). （d） /2/2 22 (,xuxu nn +). 解：因为方差已知，所以的置信区间为 /2/2 (,xuxu nn ) + 应选 d. 12设总体 x n ( , 2 ),其中2已知，则总体均值的置信区间长度l与置信度 1-的 关系是 (a) 当 1- 缩小时，l 缩短. (b) 当 1- 缩小时，l 增大. (c) 当 1- 缩小时，l 不变. (d) 以上说法均错. 解：当2已知时，总体均值的置信区间长度为当 1- 缩小时，l将缩短，故应选（a) 13设总体 x n ( 1 , 12 ), y n ( 2 , 22 ) ,x和y相互独立，且 1 , 12 ，2 , 22 均未 知,从x中抽取容量为n1 =9 的样本，从y中抽取容量为n2 =10 的样本分别算得样本方差为 s12 =63.86， s22=236.8 对于显著性水平=0.10（0 1）,检验假设 h0 : 12 = 22 ； h1 : 12 22 则正确的方法和结论是 (a) 用f检验法,查临界值表知f0.90(8 ，9)=0.40, f0.10(8,9)=2.47 结论是接受h0 (b) 用f检验法,查临界值表知f0.95(8,9)=0.31, f0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝h0 (c) 用t检验法,查临界值表知t0.05(17)=2.11 结论是拒绝h0 (d) 用2检验法,查临界值表知2 0.10(17)=24.67 结论是接受h0 解： 这是两个正态总体 均值未知时， 方差的检验问题， 要使用f检验法。 在假设h0 : 12 = 22 是双侧检验问题，选(b) 14机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为n1和n2的样本，并且已 知这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是 (a) h0 : 1 = 2 ； h1 : 1 2 (b) h0 : 1 = 2 ； h1 : 1 = 即 2 0.01(16) 4a=，亦即 43a2= 8a=. 18设测量零件的长度产生的误差x服从正态分布 2 ( ,)n ，今随机地测量 16 个零件， 得，. 在置信度 0.95 下， 16 1 8 i i x = = 16 2 1 34 i i x = = 的置信区间为_. 0.050.025 (15)1.7531,(15)2.1315)tt= 解：的置信度1下的置信区间为 /2/2 (1),(1) ss xtnxtn nn +) 16 222 1 1 0.5,162,1.4142,16 15 i i xsxxsn = = 0.025(15) 2.1315.t= 所以的置信区间为（）. 0.2535, 1.2535 19 最小二乘法的基本特点是使回归值与的平方和为最小， 最小二乘法的理论依据是 。 答：实际观测值；函数的极值原理。 20某单因子试验，因子a 有 2 个水平，水平 a1下进行 5 次重复试验，在水平a2下进行 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为（ ） 。 答：10 数理统计的基本概念 1某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为的 泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本n 12 , n xxxl，求样本的分布. 解 样本 12 (, n) xxxl的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为 1122 1 (,)() i n nni i p xkxkxkp xk = = l 1 ! i k n i i e k = = 1 12 ! n i i n k n e kkk = = l ，0,1, i k=l1,2, ,in=l 2加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/的指数分布，今以加工时间为 零件的数量指标，任取n件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。 n 解 零件的加工时间为总体x，则( )xe，其概率密度为 ,0 ( ) 0,0 x ex f x x = , . 于是样本 12 (, n) xxxl的密度为 1 12 1 ,0 (,) 0, n i i i x n n x i n i ex f xxxe = = = k 其它. 1,2,in=l 3证明若 2 ( )xn，则 ,2exn dxn=. 证 因 2 ( )xn，所以x可表示为 2 1 n i i xx = =，其中 12 , n xxxl相互独立，且 均服从，于是 (0,1)n 22 111 () 1 nnn iii iii exexdxex = =+= n= 2 24224 2 111 1 () 2 x nnn iii iii dxdxexexxedx + = = 1 1 (3 1)2 . n i n = = 4已知 ( )xt n，求证 2 (1,).xfn 证 ( )xt n，则x可表示为 / z x y n =，其中 2 (0,1),( )znyn且,z y相 互独立，于是 2 2 (1,) / z xfn y n =. 5设 123 , 4 xxxx是来自正态总体的简单随机样本， ，求常数，使得. 2 (0,2 )n 2 1234 (2)(34xa xxbxx=+ 2 ), a b 2 (2x 解 22 12 1212 21 2(0,20),(0,1),(2) (1), 202 5 xx xxnnxx 22 34 3434 341 34(0,10 ),(0,1),(34) (1 10100 xx xxnnxx 2 ), 所以当 11 , 20100 ab=时 22 1234 (2)(34) (xa xxbxx=+ 2 2) m+ 6设是分布 11 , nnn xxxx + ll 2 (0,)n的容量为nm+的样本，试求下列统计量 的概率分布： （1） 1 1 2 1 n i i n m i i n mx y nx = + = + = ； （2） 2 1 2 2 1 n i i n m i i n mx y nx = + = + = 解 2 1 (0,) n i i xnn = ， 1 1 (0,1), n i i xn n = 2 (0,) i xn， 2 2 2 (1 i x )， 22 2 1 1 ( n m i i n )xm + = + ， 所以 （1） 11 1 22 2 11 1 ( ); 1 / nn ii ii n mn m ii i ni n mxx n yt nxxm = + = += + = m （2） 22 2 11 2 22 2 11 1 / ( ,) 1 / nn ii ni n mn m ii i ni n mxxn yf nxxm = + = += + = .n m 1 7 设 1, , nn xxx + l是 来 自 总 体 2 ( ,)n 的 样 本 ， 1 1 n i i xx n = = ， *22 1 1 ( n i i sx n = = )x，试求统计量 1 * 1 1 n xxn t sn + = + 的分布。 解 2 1 1 (0,) n n xxn n + + ， *2 2 2 (1 ns n ) 于是 1 (0,1) 1 n xx n n n + + 1 1 * *2 2 1 1/ (1) 1 /(1) n n xx xxn nn tt sn ns n + + + = + n 8从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量n至少应多大？ 2 (3.4, 6 )n 解 1 15.43.41.43.4 0.95(1.45.4)()() 66 n i i pxn n = = 其他 其中参数0为已知常数， 且， 从中抽得一个样本，1, c 12 , n xxxl， 求的 矩估计 解 1111 1 1 111 1 1 c c excxdxcx + + = 11 1 () 11 c cc c = ， 解出得 1 1, c = 于是的矩估计为 $ 1 c x = . 3设总体的密度为 (1),01 ( ;) 0,. xx f x + = 其他 , 试用样本 12 , n xxxl求参数的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计： 11 12 1 00 11 (1) 22 exxdxx , + + =+= + 解出得 1 1 12 , 1 = 所以的矩估计为 ? 1 2 1 x x = . 再求极大似然估计： 11 1 (,; )(1)(1) () n n ni i 2n l xxxx xx = =+=+ ll， 1 lnln(1)ln n i i lnx = =+ ， 1 ln ln0 1 n i i dln x d = =+ + ?， 解得的极大似然估计： ? 1 (1) ln n i i n x = = + . 4设总体x服从指数分布 (), , ( ; ) 0,. x ex f x = 其他 试利用样本 12 , n xxxl求参数的极大似然估计. 解 1 () 1 1 (,;),1,2, n i ii nxn x ni i .l xxeexi = + = = lln 1 ln n i i lnx = = ln 0 dl n d = 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为$ (1) x= 5设 12 , n xxxl来自几何分布 ， 1 ()(1),1,2,0 k p xkppkp =l1 试求未知参数p的极大似然估计. 解 1 1 1 1 (,; )(1)(1) n i ii nxn xn n i l xxppppp = = = l， 1 lnln()ln(1), n i i lnpxnp = =+ 1 ln 0, 1 n i i xn dln dppp = = ? 解似然方程 1 1 n i i nx n pp = + = ， 得p的极大似然估计 ? 1 p x =。 6. 设 12 , n xxxl是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数， 统计量 k 2 (1)kxk s+是的无偏估计量。 证 22 (1)(1)e kxk skexk eskk+=+=+= （此处利用了x是ex的无偏估计，是的无偏估计） ，所以对任意的 2 sdx 2 (1)kxk s+是的无偏估计。 7设总体 2 ( ,)xn ， 12 , 3 xxx是来自x的样本，试证估计量 1123 131 5102 xxx=+； 2123 115 3412 xxx=+， 312 111 362 3 xxx=+. 都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 证 ? 1231 131131 () 51025102 eexexex=+=+= ? 2 115 () 3412 e=+= ? 3 111 () 362 e=+= 故 ? 12 , 3 都是的无偏估计. ? 22 1231 19139 0.39 251004100 ddxdxdx=+=, ? 22 2 112550 ()0.347 916144144 d 2 =+=， ? 22 3 11114 ()0.389 936436 d 2 =+=. 所以? 2 最有效. 8设总体x的数学期望ex=已知，试证统计量 2 1 1 ( n i i x n ) = 是总体方差 的无偏估计. 2 dx= 证 2 11 11 () )() nn ii ii exe x nn 22 = = ， 证毕. 9从一批钉子中抽取 16 枚，测得长度（单位：厘米）为 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，设钉长分布为正态，试在下列情况下， 求总体期望的置信度为 0.90 的置信区间。 （1）已知0.01=厘米； （2）为未知. 解 2 2.125,0.0029,0.017xss= （1）的置信区间为 0.050.05 (,xuxu nn ) + 0.05 2.125,1.645,0.01,16xun= 的置信区间为(； 2.121,2.129) （2）的置信区间为 0.050.05 (15),(15) ss xtxt nn +) 0.05(15) 1.7531t= 的置信区间为(. 2.1175, 2.1325) 10生产一个零件所需时间（单位：秒） 2 ( ,)xn ，观察 25 个零件的生产时间， 得5.5,1.73xs=，试以 0.95 的可靠性求和 2 的置信区间. 解 的置信区间为 0.0250.025 (24),(24) ss xtxt nn + 其中 0.025 5.5,(24)2.0639,1.73,25.xtsn= 所以 的置信度 0.95 下的置信区间为 1.731.73 (5.52.0639, 5.52.0639)(4.7858, 6.2141) 55 += 2 的置信区间为 22 22 /21/2 (1)(1) , (1)(1) nsns nn 222 0.0250.975 2.9929,(24)39.364,(24)12.401s= 所以 2 的置信区间为 24 2.992924.29929 (1.8248, 5.7922) 39.36412.401 = . 11零件尺寸与规定尺寸的偏差 2 ( ,)xn ，令测得 10 个零件，得偏差值（单位： 微米）2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4，试求 2 , 的无偏估计值和置信度为 0.90 的置信区间。 解 的无偏估计为 10 1 1 2 10 i i xx = = 2 的无偏估计为 22 1 1 10 45.778 9 n i i sx = = 的置信区间为 0.050.05 (9),(9) 1010 ss xtxt 0.05 2,2.404,(9)1.8331103.1623xst= 所以 的置信度为 0.90 的置信区间为 2.4042.404 (2 1.8331, 2 1.8331)(0.6064, 3.3935) 3.16233.1623 +=； 2 的置信区间为 22 22 /21/2 (1)(1) (1)(1) nsns nn 22 0.050.95 (9)16.919,(9)3.325= 所以 2 的置信度 0.90 下的置信区间为 52.00252.002 (3.075,15.6397) 16.9193.325 = . 12对某农作物两个品种计算了 8 个地区的单位面积产量如下： 品种 a：86，87，56，93，84，93，75，79； 品种 b：80，79，58，91，77，82，74，66. 假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产 量之差在置信度为 0.95 下的置信区间. 解 此题是在 2 1 2 2 =的条件下求 12 的置信区间. 12 的置信区间为 /212 12 11 (2), w xytnns nn + /212 12 11 (2) w xytnns nn + 其中 88 222 1 11 11 81.625,(8(81.625) )145.60 87 ii ii xxsx = = 88 222 2 11 11 75.875,(8 (75.875) )102.13 87 ii ii yysy = = = 12 (8 1) 145.60(8 1) 102.13111 11.129, 142 w s nn + =+= 2 . 0.025 0.05,(14)2.1448t= 所以 1 的置信度为 0.95 下的置信区间为 11 (81.625 75.875 2.1448 11.129, 81.625 75.875 2.1448 11.129) 22 + . ( 6.185, 17.685)= 13设a和b两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取 5 根测量电 阻，算得，ss 227 1 1.07 10 a ss = 226 2 5.3 10 b =，若a批导线的电阻服从 2 12 (,)n 分布，b批导线的电阻服从 2 22 (,)n ，求 2 1 2 2 的置信度为 0.90 的置信区间. 解 2 1 2 2 的置信区间为 2222 1212 /2121/212 / (1,1)(1,1) ssss fnnfnn 其中 2726 120.05 1.07 10 ,5.3 10 ,0.10,(4,4)6.39.ssf = 0.95 0.05 1 (4, 4)0.1565 (4, 4) f f =. 所以 2 1 2 2 的置信度 0.90 下的置信区间为 1.07/531.07/53 ,(0.0032, 0.1290) 6.390.1565 = . 14从一台机床加工的轴中随机地取 200 根测量其椭圆度，由测量值（单位：毫米）计 算得平均值0.081x =，标准差0.025s =，求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为 0.95 的置信区间。 解 因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为，由中心极 限定理 nxn ns 近似服从，对于给定的(0, 1)n，查正态分布表，求出临界值使 /2 u /2/2/2/2 1()( nxnss puup xuxu nsnn = 05. 0=，查标准正态分布表，得 0.025 2 1.96uu = 将样本观测值带入计算得96. 102. 2=u 故否定，接受，认为产品重量均值不再等于 500 克亦即认为包装机工作不正常 0 h 1 h 2糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为 100 公斤，每天开工后要检验一次打包机工作 是否正常，某日开工后测得 9 包重量（单位：公斤）如下： 99.3 , 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5 问该日打包机工作是否正常（0.05=；已知包重服从正态分布）？ 解 99.98x =， 9 22 1 1 () )1.47 8 i i sxx = = ，1.21s =， 问题是检验假设 0 :100h= 0 h的否定域为. /2 | |(8)tt 其中 10099.98 100 930.05 1.21 x t s = = 0.025(8) 2.306t= 因为 0.025 | | 0.052.306(8)tt= 所以接受 0 h，即该日打包机工作正常. 3设某机器生产的零件长度（单位：cm） 2 ( ,)xn ，今抽取容量为 16 的样本，测得 样本均值10 x =，样本方差. （1）求 2 0.16s =的置信度为 0.95 的置信区间； （2） 检验假设（显著性水平为 0.05）. 2 0 :0h.1 （附注） 0.050.050.025 (16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt= 222 0.050.050.025 (16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.= 解： （1）的置信度为1下的置信区间为 /2/2 (1),(1) ss xtnxtn nn +) 0.025 10,0.4,16,0.05,(15)2.132xsnt= 所以的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. 2 0 :0h.1) 22( 1n 2 2 15 15 1.624 0.1 s =， 2 0.05(15) 24.996= 因为 ，所以接受 22 0.05 2424.996(15)= 5 22 1 1 3.252,(5)0.00017,0.013 4 i i xsxxs = = = 0.005(4) 4.6041t= 3.253.2523.25 52.240.345 0.013 x t s = 因为 0.005 | | 0.3454.6041(4)tt= 所以接受 0 h，即可以认为这批矿砂的镍含量为 3.25. 5按照规定，每 100 克罐头番茄汁中，维生素的含量不得少于 21 毫克，现从某厂生 产的一批罐头中抽取 17 个，测得维生素的含量（单位：毫克）如下 c c 22 , 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16, 23 , 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25. 已知维生素c的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。(0.025)= 解 设x为维生素的含量， 则c 2 ( ,)xn ， 2 20,419.625xs=， . 问题是检验假设 20.485s = 17n = 0 :2h1. 1 （1）. 0 :2h （2）选择统计量t并计算其值： 212021 170.20 20.485 x tn s = （3）对于给定的0.025=查t分布表求出临界值. 0.025 ( )(16)2.2tnt = （4）因为=。所以接受 0.025(16) 2.200.20tt = 0 h，即认为维生素含量合格. 6某种合金弦的抗拉强度 2 ( ,)xn ，由过去的经验知10560（公斤/厘米2） ， 今用新工艺生产了一批弦线，随机取 10 根作抗拉试验，测得数据如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（0.05=） 解 10631.4x =， 2 6558.89s =80.99s =，10n =. 问 题 是 检 验 假 设 0 :10560h （1）. 0 :10560h （2）选统计量并计算其值. 1056010631.4 10560 10 80.99 x tn s = 2.772= （3）对于0.05=，查t分布表，得临界值. 0.05 (9)(9)1.833tt = （4）因 0.05(9) 1.8332.772tt= 0 ，故否定h即认为抗拉强度提高了。 7从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得0.025s =，问该批轴料椭圆度的总体 方差与规定的有无显著差别？（ 2 0.0004=0.05=，椭圆度服从正态分布） 。 解 ，问题是检验假设. 2 0.025,0.00065,15ssn= 2 0: 0.0004h= （1）. 22 00 :0.0004h= （2）选统计量 2 并计算其值 2 2 2 0 (1)14 0.00065 22.75 0.0004 ns = （3）对于给定的0.05=，查 2 分布表得临界值 . 222 /20.0251/2 (14)(14)26.119,(14) = 2 0.975(14) 5.629= （4）因为所以接受 222 0.9750.025 5.62922.7526.119= 0 h，即总体方差与规 定的无显著差异。 2 0.0004= 8从一批保险丝中抽取 10 根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于 80？（0.05=，熔化