（基础数学专业论文）两个立方幂等阵线性组合的某些性质.pdf

中文摘要 中文摘要 关于幂等矩阵线性组合的幂等性的研究对于变量服从正态分布的二次型的分布 理论有非常有用的应用，所以幂等矩阵或立方幂等矩阵线性组合等相关问题很值得 研究，近几年来已经产生了许多与此相关的文献本文的研究是受到k 。b a k s a l a r y 的【1 】的启发【1 】描述了t = c l t l + c 2 7 2 是立方幂等矩阵时的所有情形，其中 c ，i = l ，2 是非零复数，正， = 1 ，2 是非零可交换的立方幂等矩阵 【l 】的结论在特 征不为2 ，3 的任意整环上仍然成立最近，文献【2 】对【1 1 中主要定理给出了新的 证明本文的目的是描述两个立方幂等矩阵的线性组合c l 乃+ c z 乃是单位阵和对 合阵时的所有情形，需要强调的是本文是在任意的整环r 上考虑的问题在研究 单位阵的情形时去掉了1 中丑t 2 = 7 2 7 1 这个前提条件本文第2 章中给出了两 个不同的立方幂等阵丑和易的线性组合是单位阵时的所有情形，必要性的证明 分为c h r = 2 和c h r 2 两种情况进行的讨论本文第3 章给出的是两个不同的 立方幂等阵的线性组合是对合阵时的所有情形，必要性的证明也分为c h r = 2 和 c h r 2 两种情况本文的研究方法主要是利用立方幂等阵的相似标准型由于特 征为2 时立方幂等矩阵的相似标准型比较麻烦一些，所以研究起来也稍困难一些 关键词：立方幂等矩阵；线性组合；整环 英文摘要 c o n s i d e r a t i o n sc o n c e r n i n gt h ei n h e r i t a n c eo ft h ei d e m p o t e n c yb yh n e a rc o m b i - n a t i o n so fi d e m p o t e n tm a t r i c e sh a v ev e r yu s e f u la p p l i c a t i o n si nt h et h e o r yo f d i s t r i - b u t i o n so fq u a d r a t i cf o r m si nn o r m a lv a r i a b l e s ，s oi ti sw o r t h yt oc o n s i d e rt h i sk i n d o fp r o b l e ma b o u tl i n e a rc o m b i n a t i o n so fi d e m p o t e n tm a t r i c e so rt r i p o t e n tm a t r i c e s , i nr e c e n ty e a r s al o to fh t e r a t u r e sa b o u tt h i sk i n do fp r o b l e m sc o m e i n t ob e i n g t h e c o n s i d e r a t i o n so ft h ep r e s e n tp a p e rw e r ei n s p i r e db yb 8 k 8 a l a r y 【1 w h oc h a r a c t e r i z e d a l ls i t u a t i o n si nw h i c hal i n e a rc o m b i n a t i o n st = c l 丑+ c 2 t 2 ，w i t h c t ，i = 1 ，2 ，b e i n g n o n z e r oc o m p l e xs c a l a r sa n d 正，i = 1 ，2 ，b e i n gn o n z e r oc o m p l e xt r i p o t e n tm a t r i c e s t h a tc o m m u t e ，i sa nt r i p o t e n tm a t r i x t h er e s u l t si n 【1 c o n s i d e r e di ni n t e g r a lr i n g ， t h ec h a r a c t e ro fw h i c hi sn o t 2o r3 ，s t i l lc o m ei n t oe x i s t e n c e r e c e n t l y , ( 2 】g i v e sa n e wp r o o fo ft h em a i nt h e o r e mi n 【1 】t h ep u r p o s eo ft h i sn o t ei st oc h a r a c t e r i z e a us i t u a t i o n si nw h i c hal i n e a rc o m b i n a t i o no ft w ot r i p o t e n tm a t r i c e se l 五+ c 2 t 2i s a ni d e n t i c a lm a t r i xo ra ni n v o l u t o r ym a t r i x e m p h a t i c a l l y , i nt h ep r e s e n tp a p e r ，t h e p r o b l e mi sc o n s i d e r e do v e ra na r b i t r a r yi n t e g r a lr i n gr i nt h ef o r m e r ，t h er e s u l t sa r e g i v e nb yg o tr i do ft h ea s s u m p t i o no fc o m m u t a t i v i t yc o n d i t i o n 噩噩= 死丑i n 【1 1 i nt h ec h a p t e r2ac o m p l e t es o l u t i o ni se s t a b l i s h e dt ot h ep r o b l e mo fc h a r a c t e r i z i n g a l ls i t u a t i o n s w h e r eal i n e a rc o m b i n a t i o no ft w od i f f e r e n tt r i p o t e n tm a t r i c e s 噩a n d t 2i sa ni d e n t i c a lm a t r i x ，t h ep r o o fo fn e c e s s i t yi ss p l i ti n t ot w oc o m p l e m e n t a r y c a s e ss p e c i f i e db yc h r = 2a n dc h r 2 i nt h ec h a p t e r3 ，ac o m p l e t es o l u t i o n i se s t a b l i s h e dt ot h ep r o b l e mo fc h a r a c t e r i z i n ga l ls i t u a t i o n s ，w h e r eal i n e a rc o m b i - n a t i o no ft w od i f f e r e n tt r i p o t e n tm a t r i c e s 五a n dt 2i sa l li n v o l u t o r ym a t r i x ，t h e p r o o fo fn e c e s s i t yi sa l s os p h ti n t ot w oc o m p l e m e n t a r y c 2 , s e ss p e c i f i e db yc h r = 2 a n dc h r 2 s t u d yo ft h ep a p e rm o s t l ym a k e su s eo fs i m i l a rn o n m a l i z e df o r mo f t r i p o t e n tm a t i c e s i ti sm o r ed i f f i c u l tt os t u d y i ft h ec h a r a c t e r i s t i co fri s2 ，b e c a u c e s i m i l a rn o n m a l i z e df o r mo ft r i p o t e n tm a t i c e si sm o r ec o m p l e xi ft h ec h a r a c t e r i s t i c 0 fri 82 k e y w o r d s ：t r i p o t e n tm a t r i c e s ；l i n e a rc o m b i n a t i o n ；i n t e g r a lr i n g 一一 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 尬n ，n ( f )域f 上m n 阶全矩阵空间 k 。( f ) 尬。( f ) 中所有立方幂等阵的集合 d i a g ( a l , a 2 , , a n ) 对角阵( m ) a 。如。a 对角块阵( a 如) ，其中a a 均为方阵 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 姗糍各斟讯 榔瓤矿 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名瞧弘纸 导师签名： 签字醐渺7 盼月7 日 l 学位论文作者毕业后去向t 工作单位。 通讯地址； 咯乞毛 (一_， ，互， 月 j 年 少 期字 凉弥 稗 蛞黼 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 同类课题研究现状及研究意义 2 0 0 0 年，j e r z yk b a k s a l a r y 和o s k a rm a r i ab a k s a l a r y 在【3 】3 中刻画了域f 上 两个幂等阵的线性组合仍然是幂等阵的所有情形设p 1 ，b 是域f 上任意两个不 同的非零幂等矩阵，c 1 ，c 2 是域f 上任意两个非零数文中刻画了p = c 1 p 1 + c 2 p 2 是幂等阵时的所有情形，其中包含结论，当p 1 恳= 0 = 恳p 1 时r + 恳是幂等阵， 当r p 2 = 恳= p 2 p 1 时p 1 一尼是幂等阵，当r 恳= p 1 = p 2 p 1 时b 只是幂 等阵如果只，b 是复数域上的矩阵，并且只一岛是h e r m i t i a n 阵时，上述三个 结果包含了其所有可能的情况文中给出了这篇文献所考虑的幂等问题在统计学上 的解释，如果a 是个佗n 实对称矩阵，z 是个服从多元正态分布m 。( o ，i ) 的 礼维实随机变量，其中j 是单位阵，那么二次型x a x 服从妒分布的充要条件是 a 2 = a ( 参考文献f 1 6 】的定理5 1 1 和文献【17 】的引理9 1 2 ) 对于这篇文献在p l ， 岛是复矩阵，p 1 一恳是h e r m i t i a n 阵时的结论在统计学上有另一种解释，即，设 g 是二次型q l = x a l x 和q 2 = x t a 2 x 的线性组合，其中9 1 ，9 2 服从x 2 分布，那么 q 服从x 2 分布当且仅当q = q l + q 2 或口= q l 一口2 或g = q 2 一9 1 ，其中9 1 ，9 2 的分 布是独立的 2 0 0 2 年，j e r z yk b a k s a l a r y , o s k a rm a r i ab a k s a l a r y 和g e o r g ep h s t y a n 在 【4 】中研究了复数域c 上幂等阵a 和立方幂等阵b 的线性组合d = e l a + c 2 b 仍 然是幂等阵的所有情况这个问题有两种特殊的情况，也就是b 或一b 是幂等阵 的情形，这两种情况在 3 】中已经解决 4 】研究b 是本质立方幂等阵的情况，如 果b 可以表示成两个非零幂等阵b 1 ，岛的差，即，b = b 1 一b 2 ，其中b 1 ，岛是 正交的，我们就称b 为本质立方幂等阵( 参考文献【l7 】的引理5 6 6 ) 【4 】还研究了 a ( b 1 + b 2 ) ，( b 1 + 岛) a 与c = c l a + c 2 ( b 1 一岛) 的幂等性之间的关系当4 一b l ，a b 2 是h e r m i t i a n 阵时结论得到了进一步简化显然a ，b 1 ，岛是h e r m i t i a n 阵 时，a b 1 和a 一岛是h e r m i t i a n 阵文献【4 】对于所考虑的问题给出了在统计 学的中的解释，a 和b 是n n 实对称矩阵，z 是个服从多元正态分布m 。( o ，i ) 的n 1 实随机变量，其中，是单位阵，那么二次型x a x 服从x 2 分布的充要条件 是a 2 = a ( 参考文献 1 6 】的定理5 1 1 或文献【17 】的引理9 1 2 ) ，x b x 是两个相互 独立并且服从x 2 分布的随机变量的差的充要条件是b 3 = b ( 参考文献【1 8 】的定理 黑龙江大学硕士学位论文 1 ) 同年，j e r z yk b a k s a l a r y 和o s k a rm a r i ab a k s a l a r y 发表了文献【5 】由文献 【3 】知p l + 马，尸1 一马仍然是投影阵( 即幂等阵) 的充要条件分别为p l 尼= 0 = 岛p 1 ，p 1 p 2 = p 2 = p 2 p 1 ，此结论与p 1 和p 2 是不是正交投影阵无关但是在考虑 p 1 与b 的乘积是否为射影阵时，情况就发生了变化当只和恳是正交投影阵 时，r p 2 = p 2 p 1 是只b ( 或b p l ) 是投影阵的充要条件，但是当日，b 是一般的 投影阵时，p 1 p 2 = p 2 p i 不再是p 1 岛( 或马p 1 ) 为投影阵的必要条件这篇文献就 是观察到了这个不同点，进而研究了在正交投影空间与一般投影空间上，当两个投 影阵可交换时，所得到的某些结果的相同点与不同点 2 0 0 4 年，j e r z yk b a k s a l a r y , o s k a rm a r i ab a k s a l a r y 和h a l i mz d e m i r 在文献【1 1 中刻画了复数域上两个可交换的立方幂等阵丑，乃的线性组合t = c l t l + c 2 马仍然 是立方幂等阵的充要条件前面已经提到，由文献1 1 8 】知道，如果b 是n n 实对称 矩阵，z 是个服从多元正态分布小( o ，i ) 的n 1 实随机变量，那么二次型b z 是两个相互独立并且服从妒分布的随机变量的差的充要条件是b 3 = b 当问题在 实数与实的对称矩阵上考虑的时候，文献1 研究的问题有个有趣的统计学的解 释，也就是，两个变量服从多元正态分布的二次型，如果它们每个都是两个相互独 立并且服从x 2 分布的随机变量的差，那么它们的线性组合是两个相互独立的并且 服从妒分布的差的充要条件当丑和死是幂等阵时，相应的问题就变成了刻画两 个服从x 2 分布的二次型t lz 和x t 2 z 的线性组合是两个相互独立并且服从x 2 分 布的两个随机变量的差的问题同年，h a l i mo z d e m r 和a h m e ty a s a ro z b a n 在文 献【6 】中对文献【3 】中复数域上可交换的幂等阵的线性组合仍然是幂等阵的充要条 件给出了新的证明，并且给出了三个互相可交换的非零幂等阵的线性组合仍然是幂 等阵的充要条件关于两个n 佗非零幂等矩阵p 1 ，b 的线性组合p = c l p l + c 2 p 2 仍然是幂等阵的某些情况甚至所有的情况已经在文献【3 】【1 6 】【1 7 】【1 9 】【2 0 】【2 1 】【2 2 】中 得以研究当只r = b p i 时，文献 6 】利用幂等矩阵相似标准型对文献【3 】中主要 定理给出了新的证明文献【6 】还给出了两个有趣的结论，不存在非零的相互可交 换的2x2 幂等阵p 1 ，b 和b 使得r b = o ，0 j , i ，歹= 1 ，2 ，3 ) 或p l b = 最或 p 2 p 1 = 1 2 假设p 1 ，恳，b 是非零相互可交换的3 3 幂等阵，如果b b = 0 那么 p = ，如果只弓= 只或者只岛= 易( i l i ，歹= 1 ，2 ，3 ) ，那么p i = ，或p 2 = ， 或岛= i 同年，o s k a rm a r i ab a k s a l a r y 在文献【7 】中刻画了复数域匕三个幂等阵 的线性组合( 其中两个是正交的) 是幂等阵的所有情形设a 。，a z ，a s 是非零的幂等 阵，a 2 与a 3 是正交的，即a 2 a 3 = 0 = a z a 2 【7 】刻画了g = c t a l + c 2 a 2 + c 3 a 3 是幂等阵的所有情形当c 3 = 一c 2 时，g = c l a l + c 2 ( 4 2 一a 3 ) 的幂等性的问题 第1 章绪论 已经在文献 4 】中被研究文献【7 】得到了与文献【4 】类似的结论，a i ( a 2 + a 3 ) ，( a 2 + a 3 ) a 1 的幂等性是c = c l a l + c 2 a 2 + c 3 a 3 是幂等阵的必要条件当a 1 4 2 ，a 1 - a 3 是h e r m i t i a n 阵时，文献【7 】主要定理的结论得到了进一步简化前面已经说过，如 果a ，i = 1 ，2 ，3 是n n 实对称矩阵，z 是服从多元正态分布m 。( o ，i ) 的实随机变 量，那么二次型x a i x 服从x 2 分布的充要条件是a = 髯，二次型a z 与如z 的分布相互独立的充要条件是a a j = 0 文献 7 】所研究的问题有一种统计学的解 释，文献【7 】实际上是研究了三个服从x 2 分布的二次型的线性组合( 其中两个二次 型分布是独立的) 仍然服从妒分布的所有情况同年，j e r z yk b a k s a l a r y 和o s k a r m a r i ab a k s a l a r y 在文献【8 】8 中刻画了复数域上两个不相等的广义投影阵的线性组合 仍然是广义投影阵的充要条件广义投影阵的概念是在g r o i ；a n dt r e n l d e r 的文献 【2 3 】的4 6 5 页中给出的设g 是复数域c 上的竹礼矩阵，如果g 2 = g + ，那么g 称为广义投影阵设c m n 为复的m 佗矩阵的集合，c ：= p c n i n ：p 2 = p ， c p = p c n 。n ：p 2 = p + ) 如果g 1 ，g 2 c g p ，c 1 ，c 2 c ，g x g 2 ，文献【8 】给 出了g = c 1 g 1 + c 2 g 2 是广义投影阵的充要条件当c 1 ，c 2 是实数时，文献 8 】中主 要定理的结论得到进一步的简化文献【8 】8 还研究了g 1 ，g 2 的凸线性组合仍然是广 义投影阵的情况如果最，p 2 c p ，文献【3 1 给出了p 1 + p 2 c p ，p l p 2 c ： 的充要条件分别为最p 2 = 0 = p 2 1 ，p 1 恳= 马= 马p 1 文献【8 】得出了相似的结 论，g l + g 2 c n g p ，g 1 一g 2 c 拿p 的充要条件分别为g 1 g 2 = 0 = g 2 p 1 ，g l g 2 = g ；= g 2 g 1 这只是文献【8 】主要定理的个特殊情形，文献 2 3 】的定理5 和定理 6 也有这一结论 2 0 0 5 年，j b e n f t e z 和n t h o m e 在文献 9 】中刻画了复数域上两个不相等的 并且可交换的幂等阵a 和t 方幂等阵b 的线性组合c = e l a + c 2 b 仍然是幂等阵 的充要条件 9 】9 还得到个重要的结论，当c 1 ，c 2 是实数时，如果c 是幂等阵的 话，t 只能为2 或3 当t = 2 和t = 3 时文献【3 】【4 】已经分别做了研究同年， j u l i ob e n f t e z 和n 6 s t o rt h o m e 在文献【1 0 】中将文献【2 3 】提出的广义投影阵的概念 推广为七一广义投影阵如果一个方阵a 满足a 忌= a ，那么a 就称为七一广义 投影阵【1 0 】还研究了七一广义投影阵的一些性质，刻画了两个可交换的七一广义 投影阵的线性组合仍然是七一广义投影阵的所有情形，对文献 8 】中主要定理的一 部分给出了更简单的证明方法，并且研究了两个可交换的正交投影阵的线性组合是 七一广义投影阵的充要条件设瞎是n 阶非负定h e r m i t i a n 阵的全体，p 上是正 交投影阵的全体，则p x = p 结：p = p 2 ，p = p ) 2 0 0 6 年，j e r z yk b a k s a l a r y , o s k a rm a r i ab a k s a l a r y 和j i i r g e ng r o t j 在文献 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 【1 1 】中研究了两个超广义射影阵日1 ，凰的线性组合c 1 h 1 + c 2 h 2 仍然是超广义射影 阵的问题超广义射影阵的概念是由g r o f la n dt r e n k l e r 在文献【2 3 】的4 6 6 页提出 的设日是_ 个矩阵，如果h 2 = 日，其中日是日的m o o r e p e n r o s e 逆，那 么日就是超广义射影阵文献【n 】并没有彻底解决两个超广义射影阵日l ，日2 的线 性组合c l 岛+ c 2 h 2 仍然是超广义射影阵的问题，在研究这个问题的时候对风和 上如增加了一些条件限制 2 0 0 7 年，o s k a rm a r i ab a k s a l a r y 和j u l i ob e n t e z 在文献【1 2 】中刻画了复数域 上三个幂等阵的线性组合( 其中两个是可交换的) 是幂等阵的所有情形，这篇文章 是受到b a k s a l a r y 文献【7 】的启发，上面已经提到文献 7 】刻画了复数域e 三个幂等 阵的线性组合( 其中两个是正交的) 是幂等阵的所有情形文献【1 2 】通过与文献 7 】 不同的研究方法，把其中两个幂等矩阵是正交的前提弱化成了这两个幂等矩阵是可 交换的 2 0 0 8 年，j b e n t e z 和n t h o m e 发表了文献f 1 3 】设a 2 = a ，b 1 = b ，a b b a ，并且a ，b 是非零的复数，文献【1 3 】研究了a a + b b 是幂等阵时的所有情形 2 0 0 5 年j b e n l t e z 和n t h o m e 发表的文献【9 】已经研究了这个问题，只不过文献 9 】9 是在a ，b 可交换的前提下考虑的问题当k = 1 和k = 2 时文献【3 】和【4 】已经 分别得以研究，并且研究了a ，b 可交换时的情形 2 0 0 9 年，h a l i m ( ) z d e m i r ，m u r a ts a r d u v a n ，a h m e ty a a ro z b a n 和n e s r i ng i b e r 在文献【2 1 中对文献【1 1 的主要定理给出了新的证明，并且证明了两个可交换的立 方幂等阵的线性组合是幂等阵时的所有情形前面已经提到文献【1 】证明了两个可 交换的立方幂等阵的线性组合仍然是立方幂等阵的充要条件，文献【2 】的所有问题 都是在复数域上考虑的 本文中研究的两个立方幂等阵的线性组合是单位阵的结论，已经发表在文献 【1 4 】中 国内外，与此相关的文献还有很多，对此类问题感兴趣的可以参考文献2 4 6 2 1 1 2 本章小结 在本章中，我们给出了相关问题研究的现状及问题研究的意义 一4 一 第2 章两个立方幂等阵的线性组合是单位阵 第2 章两个立方幂等阵的线性组合是单位阵 2 1 引理 引理2 1 【1 5 】设c 九f 2 ，a ( f ) ，则存在p g l n ( f ) 使得a = t ( - x po 厶oo ) p ，其中p ，q z + 满足p + g = 秩a 引理2 2f 1 5 】若c 腼= 2 ，a 珞( f ) ，则存在p g l n ( f ) 满足p - t a p = 疵叼( ( 言乏) ，厶，。) ，其中助+ 口= 秩a 引理2 3 【1 5 】若a 厶( f ) ，则存在p g l n ( f ) 使得a = p ( oo ) p ，其中 矿= 秩a 引理e 4 【1 5 】设如f 2 ，a 螈( f ) 是对合阵则存在p g l n ( f ) 和 r z + 使得a = p ( 一o 厶一r ) p 2 2 特征不为2 的情形 定理2 5 设r 为特征不为2 的任意整环，c 1 ，c 2 是r 上的非零数，丑，噩 是r 上的佗阶非零的立方幂等阵，且五正，乃一正，当c h f t 3 时， i = c 1 噩+ c 2 7 2 ，当且仅当下列条件之一成立 ( a t r l t 2 = 疋7 1 = 0 ，r a n k t l + r a n k t 2 = n ，砰= 7 1 ，砑= 正，( c l ，c 2 ) = ( 1 ，1 ) j ( b y l l t 2 = 乃7 1 = 0 ，r a n k t l + r a n k 噩= 礼，砰= t 1 ，砰= 一噩，( c l ，c 2 ) = ( 1 ，一1 ) j ( c y r l 乃= b 7 1 = 0 ，r a n k t t + r a n k t 2 = 礼，砰= 一丑，碍= 噩，( c l ，c 2 ) = ( - 1 ，1 ) j n 驴n 正= 乃7 1 = 0 ，r a n k t l + r a n k t 2 = i r l , ，砰= 一7 1 ，霹= 一乃，( c l ，c 2 ) = ( - - 1 ，一1 ) i 少砰= i ，7 1 t 2 = 正7 1 = 一7 2 = 碍，r a n k ( i 一7 1 ) = r a n k t 2 ，( c l ，c a ) = ( 1 ，一2 ) j f j f 月孕= i ，t 1 乃= 乃7 1 = 一t 2 = 一砑，r a n k ( i t 1 ) = r a n k t 2 ，( c 1 ，c 2 ) = ( 1 ，2 ) j 媚= j ，t 1 死= 7 2 7 1 = 易= 一霹，r a n k ( i + 噩) = r a n k t 2 ，( c 1 ，c 2 ) = ( - 1 ，一2 ) j 懈= i ，7 1 死= 死7 1 = 乃= 碍，r a n k ( i + 乃) = r a n k t 2 ，( c 1 ，c 2 ) = ( - 1 ，2 ) j r 孵= i ，7 1 t 2 = 正噩= 一噩= 砰，r a n k ( i 一噩) = r a n k t l ，( c l ，c 2 ) = ( - 2 ，1 ) i 例昭= i ，噩马= 乃噩= 一噩= 一砰，r a n k ( i 一正) = r a n k t l ，( c l ，c 2 ) = ( 2 ，1 ) j 传腭= i ，五易= 乃五= 互= 一砰，r a n k ( i + 正) = r a n k t l ，( c 1 ，c 2 ) = ( - 2 ，一1 ) j 一5 一 何露= i ，噩乃= 正五= 噩= 砰，r a n k ( i + t 2 ) = r a n k t l ，( c l ，c 2 ) = ( 2 ，- 1 ) ( a 1 ) t 1 t 2 = 疋噩= 一砰死= 一噩霹，r a n k ( i - t 1 ) = r a n k t 2 ，r a n k ( i - t 2 ) = r a n k t l ， 绺皿蜀= 死五= 一砰噩= 噩碍，r a n k ( i 一丑) = r a n k t 2 ，r a n k ( i + t 2 ) = r a n k t l ， 丘1 皿死= 正噩= 砰噩= 一丑霹，r a n k ( i + 噩) = r a n k t 2 ，r a n k ( i t 2 ) = r a n k t l ， 似1 皿正= 易噩= 砰正= 五霹，r a n k ( i + 噩) = r a n k t 2 ，r a n k ( i + t 2 ) = r a n k t l ， 若俐成立，因为霉= 噩，把噩看成整环r 的商域f 上的矩阵，由引理2 j ，不 卜 正= ( 一 乃= w 三卜 其中w g l n ( f ) ，a 岛( f ) ，b , n - - q ( f ) ，c m n g ，口( f ) ，d 一g ，n g ( f ) ， 乃= g 三卜 由砑= t 2 知d 2 = d ，又由r a n k t l + r a n k t 2 = 礼知d 满秩，综上知d = 厶一g ， 正= ( 三：。卜 c - 五+ q 噩= 五+ 正= ( ：兰) 一l + ( 三0 窖) 一1 = 厶 一6 一 第2 章两个立方幂等阵的线性组合是单位阵 若俐成立，因为霹= 噩，把7 1 看成整环r 的商域f 上的矩阵，由引理2 f ，不 叫；以 其中w g l n ( f ) ，并且p ，q z + 由砰= i ，得 噩= 彬( 吉三卜 噩= ( 三三卜 其中w g l 竹( f ) ，a m p ( f ) ，b ，口( f ) ，c p ( f ) ，d ，口( f ) 由 正= ( 口f l 叫 q1 m 一( j 三) w - 1 - 2 w ( j 扩1 = 厶 丽理i l ) ( 9 ) ( h ) ( t ) ( j ) ( k ) ( t ) 镪_ 茺分性得证 若向1 ) 成立，类似俐的证明，因矸= 噩，我们不妨设 卜 叫三。1 o 缈 | i 死 即 黑龙江大学硕士学位论文 螈_ p 一”呻一。( f ) 由五正= 易正= 一砰死= 一噩霹得 死= ( 三三兰) 一1 一卜 正= ( 苫兰厶三。) q q 五+ q 乃= 形( _ 昙兰) 一l + ( ? 兰厶三一口) 一1 = 厶 t 2 = w d i a g ( - i , 1 ，o p p 1 一口l ，一易2 ，0 口一船一啦，一，o n _ p 一口- 船一q 3 ) 一1 - - ( c 1 + c 2 ) 。= k ( w c l + c 2 ) 厶。= 厶。 一8 一 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 第2 章两个立方幂等阵的线性组合是单位阵 由俾砂我们有 结合( 2 1 ) 。( 2 2 ) 。( 2 3 ) 。我讯奄 或 或 或 一c 1 - p 1 一口l = o n 一口1 ( c 1 一c 2 ) = k ( c l + c 2 ) 如= c 1 厶一p 2 一驰= _ p 2 一驰 一c 2 = c 2 = k 厶- p 一口一p 3 一驰= 0 n p q p 3 一q a = 0 c 1 + c 2 = - i ，q x = 0 ，p = p l - - c l + c 2 = l ，p 1 = 0 ，p = q l 结合( 2 4 ) ，( 2 5 ) 0 2 6 ) 我n 有 或 或 或 结合偿刀，偿砂，我们有 c l = - 1 ，p l = 0 ，q l = 0 p 1 = 0 ，q l = 0 ，p = 0 c 1 一c 2 = 1 ，q 2 = o ，q = p 2 c 1 + c 2 = 1 ，p 2 = 0 ，q = q 2 c l = 1 ，p 2 = 0 ，q 2 = 0 p 2 = 0 ，9 2 = 0 ，q = 0 c 2 = - i ，q 3 = 0 9 一 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 黑龙江大学硕士学位论文 或 或 c 2 = l ，p 3 = 0 p 3 = 0 ，q 3 = 0 ( 2 2 0 ) ( 2 。2 1 ) 因为( 2 i ) 2 2 ) ( 2 3 ) 。( 2 ，4 ) ( 2 5 ) 。( 2 6 ) ( 2 ，7 ) ，( 2 8 ) 。( 2 9 ) 要同时成立。我讯得飘4 8 种组合，然而3 2 种组合是不可能得到满足的，剩下的组合有t ( 2 1 i ) ( 2 1 ，7 ) 2 2 1 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 8 ) ，( 2 2 0 ) 。( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 ，7 ) ，( 2 2 1 ) ( 2 1 0 ) ， ( 2 1 2 ) 。( 2 i 8 ) ，( 2 1 9 ) 。( 2 1 0 ) 。( 2 1 3 ) ，( 2 i 5 ) ，( 2 2 1 ) 2 1 0 ) ，( 2 i 3 ) ，( 2 1 6 ) 。( 2 2 1 ) ，( 2 1 0 ) ( 2 1 3 ) ( 2 i s ) 。( 2 ，1 9 ) ( 2 1 0 ) 。( 2 1 3 ) 。( 2 i s ) ，( 2 ，2 0 ) 。( 2 1 0 ) ( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 。( 2 2 0 ) 。( 2 1 0 ) 。 ( 2 1 4 ) ，( 2 。1 6 ) 。( 2 i 9 1 ，( 2 1 0 ) 。( 2 1 毒) ( 2 。l ，) ，( 2 i 9 ) 。2 1 0 ) 。( 2 1 毒) 。( 2 i ， 1 。( 2 2 0 ) 。( 2 i o ) ( 2 1 i ) 。( 2 。i ，j ) ( 2 2 0 ) 。( 2 1 0 1 。( 2 1 2 ) 。( 2 1 ，1 ) ，( 2 1 9 ) 。( 2 1 0 ) ( 2 1 s ) ，( 2 1 5 ) 。( 2 。2 0 ) ，( 2 1 0 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 6 ) ( 2 ，1 9 ) ( 2 1 0 ) 电( 2 i 毒1 ，( 2 1 勺) ，( 2 2 8 ) ( 2 ，i o ) 寂讯亳 丑= w ( 噩= w ( 三二) 以 其中w g l n ( f ) ，并且口+ 9 3 = n ，c 1 = 1 ，c 2 = 1 ，进而有 噩乃= 乃噩= 0 ，r a n k t , + r a n k t 2 = 礼，砰= 五，碍= 易，( c l ，c 2 ) = ( 1 ，1 ) f 砂得证，同理可证得仰f ，砂 由( 2 n ) ( 2 1 ，7 ) ( 2 2 1 ) ( 2 1 0 ) 我讯有 五= ( j 三卜 死= ( j 护1 其中p + q = 竹且c 1 = 1 ，c 2 = - 2 ，进而我们有 砰= i ，7 1 7 2 = 乃丑= 一噩= 霹，r a n k ( i 一噩) = r a n k t ，( c l ，c 2 ) = ( 1 ，一2 ) 第2 章两个立方幂等阵的线性组合是单位阵 叫? 以 叫蔓卜 一砰乃= 一五碍，r a n k ( i 一丑) = r a n k t 2 ，r a n k ( i 一正) = r a n k t l ，丑和易是不可 2 3 特征为2 的情形 噩= ( i o 0 ) 一l 丑= ( 旷 死= w ( 三三卜 一1 1 黑龙江大学硕士学位论文 正= w ( 旷 死= 形( 兰口卜 c t 五+ 勿疋= 丑+ 正= ( 考三w - i + w ( 三。) = 厶 丑= l ! oi)oo,oo一l 乃= 击叼( ( 言之) ，厶) w _ 1 疋= 出口夕( ( c i 弋l ：q 百岳耋，厶) ，c i l c + c ，l ) _ 1 1 2 第2 章两个立方幂等阵的线性组合是单位阵 如果( i o 成立，易知 c l ( ，+ 7 i ) = c 2 ( i + t 2 ) ，噩，噩是非平凡的对合阵，c l + c 2 = l ， 例得证 一1 3 一 黑龙江大学硕士学位论文 第璋两个立方幂等阵的线性组合是对合阵 3 1 特征不为2 的情形 ( a ) t 1 t 2 = 0 ，r a n k t l + r a n k t 2 = n ，并且( c 1 ，c 2 ) = ( 1 ，1 ) 或( 1 ，- 1 ) 或( - 1 ，1 ) 或 俐砰= i ，噩噩= 霹，并且( c 1 ，c a ) = ( 1 ，- 2 ) 或( - 1 ，2 ) j 纠砰= i ，t i t 2 = 一霹，并且( c l ，c 2 ) = ( 1 ，2 ) 或( - - 1 ，- - 2 ) ； 俐霹= i ，t 1 t 2 = 砰，并且( c l ，c 2 ) = ( - 2 ，1 ) 或( 2 ，一1 ) j 何砑= i ，噩死= 一砰，并且( c 1 ，c a ) = ( 2 ，1 ) 或( - 2 ，一1 ) 证明若似成立，把丑，t 2 看成r 的商域f 上的矩阵，因为砰= 五，由引理 五= w d i a g ( 一，o ) w - 1 正= ( 三雾差) w _ 1 其中w g l n ( f ) ，a ，p ( f ) ，b ，g ( f ) ，c 峪，n 叩一g ( f ) ，d 毛，p ( f ) ，e 坞，口( f ) ，f u a 矿p 一口( f ) ，g 鸠，。_ p q ( f ) ，h 螈中伽( f ) ，l 螈呻_ 口，n _ p 一口( f ) 叫旷 因为r a n k t l + r a n k t 2 = 竹，知l 满秩，又由霹= t 2 ，知l 3 = l ，所以由引理2 j ， 三= 胍出口9 ( 一k ，) 町1 1 4 第3 章两个立方幂等阵的线性组合是对合阵 _mm l_ml _l 其中p l ，q z z + ，矾是f 上的n p q 阶可逆阵，设，职分别为f 上的p 阶和g 阶可逆阵，我们有 疋= w d i a g ( w 2 ，w 3 ，啊) 出口夕( o ，0 ，一k ，k ) d i a g ( w 2 1 ，盱1 ，町1 ) - 1 设= w d i a g ( w 2 ，w 3 ，m ) ，知w 7 g l n ( f ) ，我们有 t 1 = w 7 击0 9 ( 一，0 ，o ) w 广1 t 2 = w 7 d i a g ( o ，0 ，一k ，厶。) 旷1 又因为( c 1 ，c 2 ) = ( 1 ，1 ) ，所以 a = c l t l + c 2 t 2 = 五+ t 2 = w 7 d i a g ( - i p ，一k ，如) w 厂1 显然a 2 = j ，类似地，当( e l ，c 2 ) = ( 1 ，一1 ) 或( - 1 ，1 ) 或( 一1 ，一1 ) 时结论也成立， 俐的充分性得证 若俐成立，把丑看成r 的商域f 上的矩阵，因为砰= t 1 ，由引理2 j ，不妨设 五= w d i a g ( - i p ，厶，o ) w - 1 由砰= i 知 t 1 = w d i a g ( - 4 ，厶) _ 1 类似丑，我们可以设 死= ( 三三卜 其中w g l n ( f ) ，a 鸠( f ) b 鸩，口( f ) ，c 坞p ( f ) ，d 坞( f ) ，由丑t 2 = 乃丑= 霹知 b = 0 ，c = 0 ，a 2 = 一a ，d 2 = d a = 矾兰) 町1 。= ( k 0 兰w f l 其中肌g l p ( f ) ，g l 口( f ) w t - - - w w 1 睨0 ) 一1 5 黑龙江大学硕士学位论文 我们有 7 1 ：w ，( j 三) 一 = 7 1。，l r 1 易= w 7 d i a g ( 一k ，0 p p l ，岛，0 口印) 。1 因为