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朱彩兰： 具有分布时滞和参数依赖于马尔科夫链的离散时间神经网络的稳定性分析与状态估计 摘要 本文研究一类具有分布时滞和含马尔可夫( m a r k o v i a n ) 参数切换的离散时间的神经网 络的稳定性和状态估计问题所考虑的神经网络有若干有限的态式，并且这些态式的切换 服从某个马尔可夫链所考虑的时滞既含有有限分布时滞又含无穷分布时滞。有限分布时 滞依赖于马尔科夫参数，也可看成多个离散时滞。通过构造新的l y a p u n o v k r a s o v s k ii 泛 函并利用随机分析的方法，我们导出了所考虑的神经网络随机稳定性的一些判据，并将其 推广到不确定神经网络的鲁棒稳定性进一步我们构造神经网络的估计系统，导出了状态 估计器存在的充分条件，并具体给出相应的状态估计增益矩阵。所导出的稳定性和状态估 计器的存在性条件都表示为线性矩阵不等式( l m i ) 的形式，可通过使用一些标准的数值 方法如内点方法求解，特别能由一些数学软件( 例如m a t l a bl m it o o l b o x ) 对所获得的判 据进行有效的检验值得一提的是，我们对细胞激活函数作了非常一般的假定，在l m i 框 架下能减少保守性最后我们给出两个数值例子说明所提出的判定条件的有效性和可应 用性 第一部分，简明扼要地阐述了离散时间神经网络( d n n ) 研究的相关背景和意义，接着介 绍了离散时间神经网络( d n n ) 的研究工作的进展情况。最后阐述了本文所做的主要工作。 第二部分，我们先是研究了时滞依赖于马尔可夫过程的离散时间神经网络( d n n ) 的稳定 性问题。首先提出了所要研究的离散时间神经网络( d n n ) 的动力学模型，给出了该模型的 均方渐近稳定性的定义，并介绍了所用到的几个引理。通过构造新的李雅普诺夫一克拉索 夫斯基( l y a p u n o v k r a s o v s k i i ) 函数，并利用随机分析的方法，我们导出了所考虑的离散 时间神经网络( d n n ) 模型是均方渐近稳定和鲁棒稳定的充分条件最后，我们给出了具体的 数值例子来说明所提出的方法。 第三部分，研究了所考虑的离散时间神经网络( d n n ) 模型的状态估计问题，首先给出 了状态估计系统的动态方程，接着给出了渐近状态估计器的定义。通过构造新的李雅普诺 夫一克拉索夫斯基( l y a p u n o v k r a s o v s k i i ) 函数，我们推导出了所给的状态估计系统是均 方渐近状态估计器的充分条件，并具体给出了相应的状态估计增益矩阵。 关键词：离散时间神经网络；混合时滞；马尔可夫链；模态依赖性；均方稳定性；状 态估计；线性矩阵不等式 扬州大学硕士学位论文 - 2 a b s 仃a c t t h i st h e s i sc o p e sw i t ht h es t a b i l i t ya n ds t a t ee s t i m a t ep r o b l e mf o rac l a s so fd i s c r e t e t i m e s t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e dt i m e d e l a ya n dm a r k o v i a ni u m p i n gp a r a m e t e r s t h e n e u r a ln e t w o r ku n d e rc o n s i d e r a t i o np r o c e s s e sf i n i t em o d e s a n d t h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r s w i t c h i n gi ss u b j e c tt oam a r k o vp r o c e s s t h et i m ed e l a y si n c l u d eb o t hf i n i t ea n di n f i n i t e d i s t r i b u t e dt i m ed e l a y s ，a n dt h ef i n i t ed i s t r i b u t e dt i m ed e l a yc a nb ea l s oc o n s i d e r e da sm u l t i p l e d i s c r e t et i m e d e l a y s b ye m p l o y i n gn e wl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l sa n dc o n d u c t i n g s t o c h a s t i ca n a l y s i s w ed e r i v es o m et h ec r i t e r i af o rt h em e a n s q u a r es t a b i l i t yf o rt h en e u r a l n e t w o r k s ，a n dt h er e s u l t sa r eg e n e r a l i z e dt ot h eu n c e r t a i nn e u r a ln e t w o r k s m e a n w h i l e 。w e c o n s t r u c tas t a t ee s t i m a t es y s t e mf o rt h en e u r a ln e t w o r k d e r i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so n e x i s t e n c eo ft h es t a t ee s t i m a t o r ，a n do b t a i nt h ee x p l i c i te x p r e s s i o nf o rs t a t ee s t i m a t eg a i nm a t r i x t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so b t a i n e df o rt h em e a n s q u a r es t a b i l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo fs t a t e e s t i m a t o rc a nb ee x p r e s s e di nf o r mo fl m ia n dc a nb er e a d i l yc h e c k e db yu s i n gs o m es t a n d a r d n u m e r i c a lp a c k a g e ss u c ha st h em a t l a bl m it o o l b o x i ti sw o r t hm e n t i o n i n gt h a tt h e a s s u m p t i o n sm a d eo nt h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n si nt h i st h e s i si sm o r eg e n e r a lt h a nt h eu s u a l l i p s c h i zc o n d i t i o n i sp a r t i c u l a r l ys u i t a b l et ot h el m if r a m e w o r k a n dr e d u c e st h ec o n s e r v a t i s m f i n a l l y ，t w on u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n da p p l i c a b i l i t y o ft h ep r o p o s e dt e s t i n gc r i t e r i a t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rs e c t i o n s s e c t i o n1g i v e sa ni n t r o d u c t i o nt ot h er e l a t e db a c k g r o u n da n dt h el a t e s tp r o g r e s si ns t a b i l i t y a n a l y s i sp r o b l e mf o rd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s w ec o n c l u d et h i sp a p e rw i t ht h ef o r m u l a t i o no f p r o b l e m s t ob ei n v e s t i g a t e d i ns e c t i o n2 t h es t a b il i t y a n a l y s i si s f o r m u l a t e df o rt h e c o n t i n u o u s t i m es t o c h a s t i cd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sw i t hm a r k o v j a ni u m p i n g a f t e ri n t r o d u c i n g t h en e u r a ln e t w o r km o d e lt ob ei n v e s t i g a t e d w eg i v et h er e l a t e dt h es t a b i l i t yd e f i n i t i o n sa n d s o m el e m m a sn e e d e dl a t e r t h e nb yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l sa n db yu s i n g s o m ea n a l y s i st e c h n i q u e s w ed e r i v et h el m is u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg i v e nn e u r a ln e t w o r k t ob ea s y m p t o t i c a l l yo rr o b u s t l ys t a b l ei nt h em e a ns q u a r e w ec o n c l u d et h i ss e c t i o nw i t ha n u m e r i c a le x a m p l e i ns e c t i o n3 w ea r ec o n c e m e dw i t ht h es t a b i l i t yp r o b l e mf o rt h e d i s c r e t e t i m es t o c h a s t i cd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sw i t hm a r k o v i a ni u m p i n g w eb e g i nt h i ss e c t i o n b yi n t r o d u c i n gt h es t a t ee s t i m a t es y s t e m s ，a n dg i v i n gt h er e l a t e dd e f i n i t i o no fs t a t ee s t i m a t o ra n d s o m eu s e f u li e m m a s t h e nb ye m p l o y i n gl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dc o n d u c t i n gs t o c h a s t i c a n a l y s i s t h es u f ! f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e dt h a tg u a r a n t e et h eg i v e ns t a t ee s t i m a t es y s t e mt ob e as t a t ee s t i m a t o rf o rt h eg i v e nn e u r a ln e t w o r k s b e s i d e s t h es t a t ee s t i m a t eg a i nm a t r i c e sa r e p r o v i d e di nt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n s k e y w o r d s ：d i s c r e t e - t i m en e u r a ln e t w o r k s ；m i x e dt i m ed e l a y s ；m a r k o vc h a i n ；m o d e - d e p e d e n t ； m e a n s q u a r es t a b i l i t y ；s t a t ee s t i m a t e ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a li t y 朱彩兰： 具有分布时滞和参数依赖于马尔科夫链的离散时间神经网络的稳定性分析与状态估计 - 3 9 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 沫私羔 签字日期：m 歹年，f 月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：未禾3 羔 签字日期：7 年i f 月e l 撇名：别巩务导师签名：f 巩矿 签字日期：如吁年夕溯j 日 ( 本页为学位论文末页。如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明。) 朱彩兰： 具有分布时滞和参数依赖于马尔科夫链的离散时问神经网络的稳定性分析与状态估计 - 3 - 第一节引言 l 、相关问题研究的背景、意义和进展情况 作为一门活跃的边缘性交叉学科，神经网络的研究与应用正成为人工智能、认识科学、 神经生理学、非线性动力学等相关专业的热点近十几年来，针对神经网络的学术研究非 常活跃，且提出上百种的神经网络模型，涉及模式识别、联想记忆、信号处理、自动控制、 组合优化、故障诊断及计算机视觉等众多方面，取得了引人注目的进展 神经网络的研究始于二十世纪四十年代，1 9 4 3 年心理学家m c c u l l o c h 与数学家p i t t s 合 作第一次建立了神经元的数学模型，称为m - p 模型1 9 4 9 年心理学家d o n a l dh e b b 通过对大 脑神经细胞学习和条件反射的观察，提出了以他的名字命名的学习网络模型，说明两个神 经元之间连接权重可由它们的兴奋程度加以调节，从而建立了神经网络的研究基础，在各 种神经网络模型的建立中起到了重要作用。之后，神经网络的研究不断得到发展。2 0 世 纪8 0 年代初期，美国加州技术学院的优秀生物物理学家霍普菲尔德( j o h nj h o p f i l e d ) 博 士发表了一篇十分重要的论文【1 】，文中提出了以后被称为霍普菲尔德( h o p f i l e d ) 网络模型。 并用集成电路的硬件实现了这个动力学的系统，又通过广义能量及l a s a l l e 不变性原理给出 了十分重要的动力学分析结果：神经网络的状态即动力学模型中的流最终收敛于平衡点 集。这就为联想记忆及优化的性能与功效提供了强有力的理论基础，又为实际应用提供了 可靠的依据，从而使人工神经网络的研究进入了一个新的高潮时期。 人们对神经网络的研究使用了多种工具，比如通过生物实验、计算机模拟、理论分析 以及各种数学手段等等而数学中的诸多分支也已被应用于神经网络的分析，如矩阵论( m 矩阵理论、线性矩阵不等式方法) 、群论、泛函分析、差分方程、常微分方程与偏微分方 程、组合数学、概率论、微分几何乃至逻辑理论等等 1 - 2 6 3 。 目前，人工神经网络已成为人们研究的热点之一，并已被成功地应用于图案识别 ( p a u e mr e c o g n i t i o n ) 、信号处理( s i g n a ip r o c e s s i n g ) 及控制优化问题等领域，参见 2 0 1 1 2 1 2 8 】 以及相应的参考文献。 2 、本文所做的主要工作 通常，生物神经网络和人工神经网络在信号传递过程中会产生时滞，这些时滞有可能 导致神经网络的振荡和影响系统的稳定性( 参见 1 7 】) 因此，时滞的神经网络动力学行 为的研究已吸引了广泛的关注，已有大量的研究结果报道，参见文献如 2 3 7 - 1 0 1 6 2 2 2 3 2 5 以及那里的参考文献。在这些研究中，所考虑离散时滞包括常数时滞或时 变时滞，所导出的稳定性条件有时滞无关的也有依赖于时滞的。一般说来，时滞无关的稳 定性条件较时滞的稳定性条件保守。值得注意的是；近年来，连续的分布时滞也已引起学 者的关注【19 】【2 2 】【2 5 】。 在许多应用中，神经网络的状态往往不能被完全测量 2 1 ，因此，如何根据系统的 输出估计神经网络的状态就显得尤为重要。例如，文献 2 1 研究了一类具有离散时变时滞 扬州大学硕士学位论文 4 的连续时间神经网络状态估计问题，状态估计问题被归结为一组线性矩阵不等式的求解问 题。在 2 7 中，通过利用优化理论和梯度下降动力学演算方法，一个自适应状态估计器被 设计。文献 2 8 研究了一类具有不确定参数和时变时滞的神经网络的状态估计问题，鲁棒 估计器的存在性条件被导出。 另外，在神经网络中，由于组件的随机故障( f a i l u r e s ) 和修复( r e p a i r s ) 、子系统相互 联接的改变或突然环境的变化，往往导致神经网络的参数在有限个模态之间切换 ( s w i t c h i n g ) ，这种模态切换服从一定的概率分布，通常能用一个马尔科夫过程( m a r k o v p r o c e s s ) 来刻画。因此，具有有限个参数模态( p a r a m e t e r m o d e ) ，且参数模态切换服从于某 个马尔科夫链的神经网络模型已被提出 2 9 3 0 1 3 l 】。近年来，具有马尔科夫参数切换的神 经网络的动力学分析也开始引起人们的注意。例如，文献【3 6 】首次研究了一类时滞的带有 马尔科夫l 珧, ( m a r k o v i a nj u m p i n g ) 递归神经网络的均方指数稳定性。在文献【3 3 】中，作者讨论 了一类具有混合时滞和马尔可夫参数切换的c o h e n g r o s s b e r g 丰o 经网络，导出了依赖于时滞 的稳定性判据。文献【3 4 】提出了对具有混合时滞和马尔科夫参数切换的递归神经网络的一 种稳定化方法。 以上所提的神经网络都是连续时间的神经网络，在连续时间的神经网络用于诸如图像处 理、图案识辨离或对连续时间的神经网络进行计算机模拟时，有必要对其关于时间离散化 从而得到离散时间的神经网络。一个自然的问题是：这种离散时间的系统能不能保持相应 的连续时间系统的动力学? 然而答案不总是肯定的 3 3 1 - 3 5 。近年来，人们在研究连续时 间神经网络系统的同时，也开始注重对离散神经网络动力学的研究，详情可参考文献如 3 6 3 7 3 8 3 9 以及所引的相关文献。 3 6 利用矩阵对角占优理论以及一些分析方法获 得一类离散时间神经网络全局稳定的判别准则； 3 7 利用m 矩阵理论研究了离散时间的 b a m 神经网络的稳定性； 3 7 3 8 3 进一步利用线性矩阵不定式理论分别导出了一类离散时 间的b a m 和一类离散时间的递归神经网络的稳定性的条件。 然而，对离散时间的神经网络，关于既带有限分布时滞和无穷分布时滞且具有马尔可 夫参数切换( m a r k o v i a nj u m p i n g ) 的不确定随机递归神经网络( r n n ) 的动力学分析， 迄今为止，还没有相关的工作报道因此，尝试这方面的研究是有意义的，也是必要的 本文研究一类具有分布时滞和含马尔可夫( m a r k o v i a n ) 参数切换的离散时间的神经网络的 稳定性和状态估计问题所考虑的神经网络有若干有限的态式，并且这些态式的切换服从 某个马尔可夫链所考虑的时滞既含有有限分布时滞又含无穷分布时滞。有限分布时滞也 可看成多个离散时滞，并依赖于马尔科夫参数。通过构造新的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 并利用随机分析的方法，我们导出了所考虑的神经网络随机稳定性的一些判据，并将其推 广到不确定神经网络的鲁棒稳定性进一步我们构造神经网络的估计系统，导出了状态估 计器存在的充分条件，并具体给出相应的状态估计增益矩阵。所导出的稳定性和状态估计 器的存在性条件都表示为线性矩阵不等式( l m i ) 的形式，可通过使用一些标准的数值方 法如内点方法求解，特别能由一些数学软件( 例如m a t l a bl m it o o l b o x ) 对所获得的判据 进行有效的检验值得一提的是，我们对细胞激活函数作了非常一般的假定，在l m i 框架 下能减少保守性最后我们给出两个数值例子说明所提出的判定条件的有效性 朱彩兰：具有分布时滞和参数依赖于马尔科夫链的离散时间神经网络的稳定性分析与状态估计 - 5 一 第二节离散时间神经网络的稳定性 l 、提出问题 下面我们将介绍神经网络的模型，给出神经网络稳定性的相关概念，并研究其稳定性。 设，( 后) ( k 0 ) 是一马尔科夫链( m a r k o vc h a i n ) ，其在有限的状态空间s = l ，2 ，3 ，n ) 上取值，它的状态转换概率矩阵为n = ( 乃) 。其中乃= 尸p ( 七+ 1 ) = j l r ( k ) = f ) ，v i ，j s 且乃o ( i ，j es ) 是表示从f 转换到的概率，对v f s 总有羔。= 1 下面考虑离散时间的神经网络的模型方程： f ，1 x ( 七十1 ) = d ( ，( 后) ) x ( 七) + 么( ，( 七) ) ，( x ( j i ) ) + b ( ，( 七) ) 芝：g ( x ( k - v ) ) + c ( r ( 七) ) l u , h ( x ( k - v ) ) + t r ( x ( k ) ，女) w ( | | ) a ) x ( s ) = 多( s ) s = 一r ，- r + l ，- r + 2 ，- 1 ，0 ( 2 1 b ) 其中x ( 露) = ( x 。 ) ，x 2 ( k ) ，j c 3 ( 晃) ，x 。( 露) ) r 是神经网络的状态向量； 常数矩阵 d ( ，( 七) ) = d i a g d t ( r ( k ) ) ，吐( ，( 七) ) ，以o ( 七) ) ，以( ，( 七) ) ) 表示当不连通时每个神经元将从网络 或外部输入重新启动位势到剩余的孤立状态的比率；矩阵彳驴( 后) ) = ( ，( j j ) 】表示的是连结 权重矩阵，f 瓣a f t ( k ) ) = 【( ，( 后) 】和c ( ，( 后) ) = 【c ：f ，( ，( 七) 】 表示的是分布时滞连结权重矩阵； 0 ( 。) 表示分布时滞且是模态依赖的，即含有的时滞被假定依赖于一个马尔科夫( m a r k o v ) 过程。在( 1 a ) 式中f ( x ( 后) ) = ( ( 五( 霓”，五( 而( 七) ) ，z ( 矗( 七) ) ) 7 ； g ( x ( 后) ) = ( 岛( 五( 后) ) ，( 屯( 七) ) ，g _ ( _ ( 七) ) ) r ； 和 ( 七) ) = ( 啊( 五( 克”，( 毛( 素) ) ，( x 。( 惫) ) ) f都是非线性激励函数；尹( s ) 为初始条件； + 常数从o ( v = l ，2 ，3 ，) 满足下列收敛条件：从 枷， 0 通篇作如下假设： 假设1 ：函数f ( ) ，g ( ) ，日( ) 都是有界函数，且满足f ( 0 ) = g ( 0 ) = h ( 0 ) = 0 。 假设2 ：对于非线性激励函数f ( ) ，g ( ) 和日( ) ，存在常数名一，五+ ，万一，矿，d 一，u + ，使得 下列不等式成立： 五一丛趔乃+ ( 2 5 ) j l 一也 巧一丛业墨垃磊+( 2 6 ) q 一堑幽q + & 一是 ( 2 7 ) 备注l ：正如参考文献【2 】【4 】中所指出的那样，假设2 中的几个常数五一，五+ ，万一，矿，d 一。，0 + 是 可以取正取负，还可以取零的，因此所得到的激励函数就不一定是单调函数。比近年来普 遍应用的利普希兹条件( l i p s c h i zc o n d i t i o n s ) 更为一般。在量化了的激励函数情况下这 样的描述是非常精确的，对应的线性矩阵不等式( 1 i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) ) 降低 保守性很有帮助。 定义1 ：对于神经网络系统( 2 1 ) 中任意的一个解x ( 后) ，若下面的式子成立： j i mg t l x 0 ，o ， ， 0 ( f s ) ，以及矩阵r 0 ，q 0 ，和常数z 0 ，使得下列线 件矩阵不等式( i ，m i ) 成立： 朱彩兰：具有分布时滞和参数依赖于马尔科夫链的离散时间神经网络的稳定性分析与状态估计 9 屯= hq 人2q 乏0今0 上聊p q 人2 - q 0 000 ( 鸺 q 乏0 电+ q q 0 000 000 - q 00 君吣p ： a l 000 肚一a 00 ooo 暇f ) 躺f ) 0 其中： 只 彳 00 j r ( 橱 弓 p , b ( o0 覃聊号 n j = - p , 一q ，a l o j l - a ，九+ z 一 i 一一 口，= 乃+ ( 1 一乃。) f f d + 去( 1 一力( f 一互) ( f + 互一i ) 0 ( f s ) ( 2 - i i ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 则神经系统( 2 1 ) 是均方渐近稳定的 证明：为叙述方面，我们令： 弛 f ) ：i x t ( 七) ( 砌g r x t f g ( m ) ) 妻g k ( 七一1 ，) ) h 砸( 妫艺以h ( 七一v ) ) 2 善( 七，f ) =( 七) 7 ( x ( 七) ) ( z ( 后) ) 7 ( 工( 七一1 ，) )r ( x ( 七) ) ，r ( x ( 七一v ) ) l 、 i v = l r ( f ) = ( d ( f ) 彳( f ) 0 b ( d 0 c ( f ) ) 由引理4 可知，矩阵不等式( 2 1 1 ) 可以化为： 一 西，+ 1 1 7 ( d 尸。1 1 ( f ) 0 ( f s ) 其中：j n fq f a ，o ，2 0 a y 2 0 q j 人2 一q j 0000 o ，2 0 一o ，+ a io 000 00 0 - q 00 a f y 2 000 2 r a j 0 0000 o一土尺 ( 2 1 6) 下面介绍李雅普诺夫一克拉索夫斯基( l y a p u n o v k r a s o v s k i i ) 函数： y ( 吒，k ，( 七) ) = 巧( 以，k ，( 七) ) + 圪( 吒，k ，r ( 忌) ) + 圪( ，k ，r ( k ) ) + v 4 ( x k ，k ，r ( 七) ) ( 2 1 7 ) 其中：巧( 以，k ，( 七) ) = x r ( 后) e ( 。) x ( 后) ( 2 1 8 ) e乃 硝 = 一尸 扬州大学硕士学位论文 r r ( k )i 一1 k ( 吒，k ，( 七) ) = g r o ( 1 ，) ) q g o ( v ) ) i = iv = k - i ( 2 1 9 ) fs - - ik - ! 巧( ，k ，_ ( 七) ) = ( 1 一互) g 7 ( x ( v ) ) q g ( x ( v ) ) ( 2 2 0 ) ，= r + li = lv = k - i 4 o o k - ! 圪( ，k ，( 后) ) = 鸬h 7 ( x ( v ) ) 冗日( x ( v ) ) ( 2 - 2 1 ) 对于v f s ，我们进行如f 运算： 研k 瓴+ l ，k + l ，, ( k + 0 i x 女，( 七) = i l - v 。( x i ，k ，f ) - - z 乃，( k + o p j x ( k + 1 ) + a7 1 ( x ( 尼) ，k ) p , c r ( x ( k ) ，七) 一，( 七) 只x ( 七) 二l = 【d ( 力x ( 后) + 彳( f ) f ( x ( 七) ) + b ( f ) g ( x ( 七一v ) ) + c ( f ) j u , h ( x ( k - v ) ) 7 曰 f i4 0 0 x 【d ( f ) x ( 七) + 彳( j ) f ( x ( 七) ) + 口( ，) g ( x ( 七一y ) ) + c ( f ) 卢月( z ( 七一v ) ) 】 v = l v = i + c r 7 ( x ( 尼) ，七) 鼻c r ( x ( 七) ，七) 一薯r ( 七) 只薯( 七) = 孝r ( 后，i ) f 7 ( o p t r ( f ) 孝( 七，i ) + c r 7 ( z ( 后) ，七) c r ( x ( 后) ，七) 一x 7 ( 后) 只x ( 七) 由( 2 4 ) 式和( 2 1 2 ) 式得： c r r ( x ( 后) ，k ) p ，c r ( x ( k ) ，七) 彳，蛳p c r r ( x ( 后) ，k ) c r ( x ( k ) ，七) 五p x r ( 七) x ( 后) 将( 2 2 3 ) 式代入( 2 _ 2 2 ) 式得： e k ( 吆+ l ，k + l ，( 七+ 1 ) i x , ，r ( 后) = 日一k ( 吒，k ，f ) 孝r ( 后，o r r ( f ) 尸，r ( f ) 孝( 七，i ) - x 7 ( 七) 只x ( 七) + 名。p x r ( 七) x ( 七) e 【圪( + l ，k + l ，( 后+ 1 ) i ，( 后) = 刁一( x k ，k ，i ) nr jkk 一1 = 乃g r ( x ( v ) ) q g ( x ( ，) ) 一g r ( x ( 1 ，) ) 9 g ( x ( v ) ) j = l 1 = iv - - k - - + l1 = 1v = k - 1 t k r lk 一1 = ( g r ( z ( v ) ) q g ( x ( v ) ) 一g 7 ( x ( v ) ) q g ( x ( v ) ) ) 1 = 1v = k - i + l1 = 1v = k - 1 0t r t k - ! + 乃( g r ( 工( v ) ) q g ( x ( v ) ) 一g7 ( x ( y ) ) q g ( x ( v ) ) ) j * i 1 = iv = k - i + li = 1 v = k 一， ：( 艺