（基础数学专业论文）对亚正定矩阵理论和广义正定矩阵理论中若干问题的进一步研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要 特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：李纷禧 一字哲膨 1 1 ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解出塞短堇太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权出壅垣整太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名：喜豫蒋 签字日期：2 0 0 5 年斗月守日 导师签字：冶孝 签字日期：2 0 0 5 年手月矿日 山东师范大学硕士学位论文 对亚正定矩阵理论和广义正定矩阵理论中若干问题的进一步研究 李衍禧 ( i s 坊学院数学系，潍坊，山东，2 6 1 0 4 1 ) 摘要 1 9 7 0 年c r j o h n s o n 在 1 中提出了未必对称的正定矩阵的概念( 对任何 0 x r “，都有x 7 a x 0 ) ，并得到了这种正定矩阵的某些不等式。1 ：1 9 8 4 年，佟 文廷教授在 5 中提出了类广义正定矩阵的概念( 存在正对角矩阵d ，使得对任何 0 r ”1 ，都有7 d a x 0 ) ，并得到了类广义正定矩阵的一些性质：1 9 9 0 年屠 伯埙教授提出了亚正定矩阵的概念( a + a 7 为对称正定矩阵) ，并建立了较为系统的亚 正定理论”1 巾1 本文介绍近些年来形成的亚正定矩阵理论、广义正定矩阵理论中的基本概念和基 本理论，对亚正定矩阵理论中的若干不完善定理进行了修正和推广，并对广义正定矩 阵理论作了深入研究，得到了许多有价值的结论本文所得结论是对亚正定矩阵理论 和广义正定矩阵理论的完善和扩展 本文得到的主要结论有： ( 1 ) 定理1 4 ( 广义m i n k o w s k i 不等式的加细)设a 是 阶( n 2 ) 非零亚半正 定阵，b 是n 阶实对称正定阵，a 对b 的广义复特征值为2 s 个( o s s 昙) ，则 1 ) s o 时，存在一组正实数4 ，h 鸬= 1 ，使得 阻曰陲i = i ( 州；+ i b l i r - 阵+ 睇 且等号都成立当且仅当a 对b 的广义特征值( 即b - i a 的特征值) 全为 b i ，i = 一1 ，b 0 ( b 为常数) 2 ) s = o 时，即a 对b 的广义特征值全是实数，则存在一组正实数肚，以， 。卢。= 1 ，使得 lh1 l 二 il l a + b i ；兀，l 彳l ：+ l 口卜) ”l 爿1 i + i 占f 山东师范大学硕士学位论史 且等号都成立当且仅当a 对b 的广义特征值全相等 ( 2 ) 定理1 5 ( k y f a n 型不等式) 设一是n 阶( ，l 2 ) k 一局部完全对称的非零 亚半正定阵，b 是n 阶实对称正定阵，又设 a 。，b ，( 1 m k ) 分别为a 。，b k 的相同位置的 i ( 彳+ b ) i ( a + 占) ，i “i a a m i “+ 1 b b ，i o ( 3 ) 定理1 7 ( 局部亚正定阵的广义h a d a m a r d 不等式) 设a = ( ) ，口l l o ，a 关于a l l 的s h u r 补a ( a 1 1 ) 是亚正定阵，且满足 1 ) a i k a 茸= 口且a “， f ，j 七，k = 1 , 2 ，玎一1 2 ) a t k a h 0 ，i j | ，k = 1 , 2 ，一，l 一1 则： l a i a l l 口：。 且等号成立当且仅当d “= 0 ，i 尼，k = 1 , 2 ，n 一1 ( 4 ) 定理3 1 ( 类广义( 半) 正定阵的广义o p p e n h e i m 不等式) 设a 是n 阶实 对称正定阵，b 2 也 。是类广义( 半) 正定阵，则 阻。剧l 彳。半l + i 彳。里二兰乏叫i 一。华| j 纠- 岛。- 吒。 ( 5 ) ( ) 类广义正定矩阵的特征值分布性质、子矩阵结构定理及它们的 h a d a m a r d 积与k r o n e c k e r 积正定性的充要条件 关键词：对称正定矩阵，亚正定矩阵，广义正定矩阵，s h u r 补，主子矩阵 分类号：0 1 5 1 2 1 2 、 冬占则 噎l 叫 i i 一” 8 i ， 口 、，ll ， 彳 逆可 以 以 ， | | ， 爿 阵子 主 山东师范大学硕士学位论文 f u r t h e rs t u d i e so ns o m eq u e s t i o n si nt h et h e o r i e so fm e t a p o s i t i v e d e f i n i t em a t r i xa n dg e n e r a l i z e dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x l i y a n x i ( d e p a r t m e n to f m a t h e m a t i c s ，w e i f a n gu n i v e r s i t y , s h a n d o n g , 2 6 1 0 4 1 ) a b s t r a c t i n1 9 7 0 ，t h en o t i o no fu n n e c e s s a r ys y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xw a gf i r s tg i v e n b yc r j o h n s o n i n p a p e r 1 】( f o rv0 x r 脒1 ，w e h a v ex 7 a z 0 ) ，a n ds o m e i n e q u a l i t i e sf o ri tw e r eo b t a i n e di np a p e r 2 ；i n19 8 4 ，t h en o t i o no fp d ：t y eo fg e n e r a l i z e d p o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i x w a s g i v e n b y p r o f e s s o r t o n g w e n t i n g ( 3 ) d ：，f o r v0 x r ”“， w eh a v ex 1d a x o ) ，s o m ef u n d e r m e n t a lp r o p e r t i e sf o ri tw e r eo b t a i n e di np a p e r 【5 】；i n 1 9 9 0 ，t h en o t i o no fm e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xw a sg i v e nb yp r o f e s s o rt u b o x u n ( 爿+ a 7i ss y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ) ，a n dc o m p a r a t i v e l ys y s t e m a t i ct h e o r i e sf o ri t w e r ee s t a b l i s h e di np a p e r s 【3 】、【4 】 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ef u n d a m e m a in o t i o n sa n dt h e o r i e si nt h et h e o r yo f m e t a p o s i t i v e d e f i n i t em a t r i xa n dt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xw h i c hh a v eb e e n f o r m e di nr e c e n ty e a r sa r ep r e s e n t e d ，s o m eu n c o m p l e t e dt h e o r e m si nt h et h e o r yo f m e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x a r er e v i s e da n de x t e n d e d ，a n dt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e d p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xi ss t u d i e di nad e e p g o i n gw a y , s e v e r a lv a l u er e s u l t sa r eo b t a i n e d ， t h e r e f o r et h ec o n c l u s i o n so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o nw i l lb r i n gt h et h e o r yo fm e t a p o s i t i v e d e f i n i t em a t r i xa n dt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xt oc o m p l e t i o na n d e x t e n s i o n t h em a i nc o n c l u s i o n so b t a i n e di nm i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h e r e t 0 1 4 ( t h ei s o l a t i o no f g e n e r a l i z e dm i n k o w s k i si n e q u a l i t yf o rm e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ) l e tab ean o n z e r o s e m i m e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x o fno r d e r ( n 2 、, 1 3 s y m m e t r i cp o s i t i v ed e f m i t em a t r i xo fno r d e r b - iah a s 2 s ( 0 s 昙) c o m p l e x 二 e i g e n v a l u e s 1 ) i fs o ，t h e n t h e r ee x s i tag r o u po f p o s i t i v er e a l n u m b e r s t t ，“m ，s a t i s f y _ h 鸬 = l - s u c ht h a t 2h j2 2 l 22 f 爿+ 纠i 兀( ，i i i + b i i ) 4 5 | 一i ：+ i b i i i = 1 a n dt h ee q u a l i t yh o l d si fa n do n l yi ft h ec o m p l e xe i g e n v a l u e so fb 1 aa r ea 1 1e q u a lt o 3 坐查! 旦墅塑生娑燮二一 6 f ，f ：压，b 0 ( b = c o n s t ) 2 1i fs = o ，t h e nt h e r ee x s i tag r o u po f p o s i t i v e r e a in u m b e r s 屿，n , s a t i 8 f y “。鸬“2 l ， s u c ht h a t a n d t h 。e q u a l 时h 0 1 d s i f a n d o n l y i f t h e r e a le i g e n v a l u e so f b 。a a r ea l l e q u a l ( 2 ) t b e r e m15 ( k y f a nt y e o fi n e q u a l i t y ) l e tab ea n o n z e r ok - l o c a lc o m p l e t e l y8 y m m 。 e t r i cs e m i - m e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xo fno r d e r ( n - 2 ) ，b s y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t 8 m a t r i xo f no r d e r a n ds u p p o s et h a t 4 = ( 磊驽卜b k ；繁) w h e r e a 。，b 。( 1 k , k = 1 ，2 ，以- t 2 ) a i k 口h 0 ，i k , k = 1 , 2 ，一，n 一1 t h e nt h ei n e q u a l i t y i a i a 。d 。 h 0 1 d s a n d t h e e q u a l i t y h o l d s i f a n d o n l y i f o n 4 h = 0 ，i l j ，k = 1 ，2 ，一，n 一1 ( 4 ) t h 咖3 1 ( g e n e r a l i z e do p p e n h e i m si n e q u a l i t yf o r t y e o fg e n e r a l i z e dp 0 8 i v 。 d e f i n i t em a t r i x ) l e tab eas ”l i l l e 缸cp 。s i t i v ed e f i n i t em a t r i x 。fno r d e r ，b = l 。p p t y e 。f g e n e r a l i z e dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x t h e nt h ei n e q u a l i t y 4 ： 口+ 4 一 ： ) ： 口+ 4 。n m 一 ： 口+a 山东师范大学硕士学位论文 爿。司j 一。学i + i 一。竿i l 爿。旦兰；j 堡= = 爿l 卅岛。以。 h o l d s f 5 ) t h ep r o p e r t i e so fe i g e n v a l u ed i s t r i b u t i o n s ，t h e s t r u c n l r et h e o r e m so fs u b m a t r i x ，t h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hh a d a m a r d ( k r o n e c k e r ) p r o d u c t sa r eg e n e r a l i z e d p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e sf o rg e n e r a l i z e dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s k e y w o r d s ：s y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ，m e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ，g e n e r a l i z e d p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ，s h u rc o m p l e m e n t ，p r i n c i p a ls u b m a t r i x c l a s s i f i c a t i o n ：0 】5 1 2 l 5 山东师范大学硕士学位论文 1 引言与定义 在历史上，正定矩阵的出现最先在二次型与h e r m i t e 型的研究中，它的常 规定义只限于对实对称矩阵或h e r m i t e 矩阵使用虽然它在几何学、物理学及概 率论、统计学等学科中得到了重要应用，但随着数学的发展及相关学科的发展， 不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵1 9 7 0 年c r j o h n s o n 在 1 中 提出了较为广义的正定矩阵的定义 定义1 ：设a r ，若对任何0 x = ( ，z 。) 7 r “1 ，都有x 7 删 0 ，则称 a 为正定矩阵 在本文中我们记这种正定矩阵的全体为p t + j - 1 9 7 3 年j o h n s o n 在其博士论文中研究了这种正定矩阵的某些不等式。1 近 年来，这种正定矩阵不仅在理论研究上有了较快的发展，而且在应用上( 如投 入产出的矩阵理论、现代经济管理等) 日益显现出来1 9 9 0 年屠伯埙教授将这种 广义的正定矩阵称之为亚正定矩阵。1 ，并建立了内容较为丰富的距正定理论“ “3 ，把对称正定矩阵的许多著名定理推广到贬正定矩阵上去 1 9 8 4 年，佟文廷教授在 5 中把这种广义的正定矩阵推广为 定义2 ：设a r ”4 ，若对任何0 x = ( ，“) 7 r “1 ，都有正对角矩阵 d = d 。，使x 7 d a x 0 ，则称a 为广义正定矩阵若d ；与x 无关，则这种广义正定矩 阵全体记为尸n + 怕 在 5 中给出了这种广义正定矩阵类的一些等价描述，指出了它们与稳定矩 阵的联系以及在稳定矩阵研究中的应用 在上世纪九十年代，国内许多专家和学者研究了这两类广义正定矩阵，并得 到它们的一些很好的性质( 如 6 一 1 2 ) 1 9 8 8 年，在 6 中提出了更为广义的正定矩阵，并得到了一些好的性质 定义3 ：设一r ”，若对任何0 x = ( j ，) 7 r “1 ，都有实对称正定矩阵 s = s ，使x 7 s a x 0 ，则称a 为广义正定矩阵若s ，与x 无关，则这种广义正定 6 山东师范大学硕上学位论文 矩阵全体记为p + j h 到目前为止，数学工作者对上述三类广义正定矩阵的研究已取得了十分丰 富的成果，基本上已经形成理论体系，我们分别称为亚正定矩阵理论和广义正定 矩阵理论，这些理论的产生无疑对矩阵论的发展乃至相关学科的发展都是大有 裨益的 遗憾的是，这二个理论还不完善，其中有些结论是错误的，甚至有些学者继 续沿用错误的结论得到一些错误的结果“”本文主要日的是总结近些年来国内 一些重要刊物发表的关于这二个理论的研究成果，对其中的错误结果进行修正 与推广 2 亚正定矩阵理论中的基本结果 设彳r “ ，易知一= ：似+ ) + 互1 ( 4 一) ，且这种分解式唯一，分别称r ( 一) = 三( 一+ 一7 ) ，s ( 一) = 三( 4 一一7 ) 为a 的对称分支与反对称分支 定义4 ”1 ：若r ( 4 ) 为( 对称) 正定矩阵，则称a 为亚正定矩阵，若r ( 4 ) 为( 对 称) 半正定矩阵，则称a 为亚半正定矩阵 因为对任何0 x = ( 。i ，一，z 。) 7 r ”1 ，有 x r a x = x 7 r ( a ) x + x ts 嗡x = 蛩蝌 所以，a p t + a 为亚正定矩阵 在本文中我们称p + 类广义正定矩阵为亚正定矩阵 h 在文 3 中建立了以下重要结论( 定理卜定理9 ) 定理1( 1 ) 实对称( 半) 正定矩阵是亚( 半) 正定矩阵 ( 2 ) 设a 为亚( 半) 正定矩阵，s 为反对称矩阵，则a + s 是亚( 半) 正定矩阵 ( 3 ) 亚( 半) 正定矩阵的转置阵是亚( 半) 正定矩阵，两个亚( 半) 正定矩阵之 和是亚( 半) 正定矩阵 山东师范大学硕士学位论文 ( 4 ) 设a 为亚( 半) 正定矩阵，p 是可逆矩阵，则p 7 a p 与k a ( k o ) 是亚( 半) 正定矩阵 ( 5 ) 亚( 半) 正定矩阵的任何主子阵是亚( 半) 正定矩阵 定理2( 1 ) 亚( 半) 正定矩阵的任一特征值的实部都大于零( 非负) ( 2 ) 亚( 半) 正定矩阵的行列式大于零( 非负) ( 3 ) 亚( 半) 正定矩阵的任何主子式都大于零( 非负) ( 4 ) 亚正定矩阵的逆阵是亚正定矩阵，可逆亚半正定矩阵的逆阵是亚半正定矩 阵 设r l 阶矩阵a 有如下分块形式 一= ( 1 k s n 一1 1 若1一)可逆，则称彳，1：。=彳(：1：一c(一ft11晴kjjtl k1kk11 k 一丑为a 关于彳( 1 1 _ 。k 的s h u r ji jl 十一jli j 补：同样若彳。+ 1 ”1 可逆，a 关于彳+ 1 ”1 的s h u r 补为一彳+ l ” ：爿f l 。 i k + 1 n l k + 1 nji k + 1 nj t 1 kj 一代：z ) 卜 定理3 设a 为n 阶亚正定矩阵，则a 关于一 ；：墨 的s h u r 补一，： 与a 关于彳。+ 1 ”1 的s h u r 补爿彳+ 1 ” 都是亚正定矩阵 i k + 1 - h i k + 1 nj 设：蔓 是n 阶矩阵a 的k 阶( 1 _ k n - 1 ) 非奇异顺序主子阵，a 关于t ( ：童 is i + 1 i + 1 s ( k ) = i ， h 。 其中 镪匀 口n n o ，j = k + 1 ，- ，h ) 、 玎 雄 丑 “七七 ，l 4 、， 七七 c l l ， 4 0 一 山东师范大学硕士学位论文 托卜氍：矿1 ， 故当a 为亚正定矩阵时，1 4 口：纠，。，彳，爿：a 亚正定矩阵，从而 s c * ，= 卜( 1 _ ： 卜爿，一( ：习为亚正定矩阵 定理4 ( 1 ) 弧正定矩阵的任一顺序主子阵的s y | v e s l e r 阵都是亚正定矩阵 ( 2 ) 设亚正定矩阵a = k t 则a 的一阶顺序主子阵的s y l v e s t e r 阵 眨圳2 斗慨到 隐刊隐斗忆：! 下面应用子( 矩阵) 结构给出亚正定矩阵的判定 定理5 设a 为n 阶实矩阵，若存在某一正整数k ：1 七蔓一一1 ，使得一( ：墨 与r ( a ) r ( 4 ： 都是亚正定矩阵，则a 是亚正定矩阵 推论5 1 对n 阶阵a ，如果存在某一正整数k ：1 七一一1 ，使得彳( 墨 与 月c 一，r ( 月 ： 都是亚正定矩阵，则对所有的* ：l 一1 ( f = l ，2 ，) 0 rv叫j 薹： 山东师范大学硕j 二学位论文 其实，1 9 8 5 年李炯生教授在文 1 0 中已研究了这类矩阵，当时称之为正定矩 阵，并给出了它的合同标准形 定理1 0 ”设a 是h 阶实方阵，则a 是亚正定阵的充要条件是，存在阶实可 逆阵p ，使 p 。4 p = ， ( 三 ( 立 兵中b l ，b 0 ，j 0 李炯生教授在文 1 1 中进一步给出了亚半正定矩阵( 文 1 1 中称之为对称 部分为半正定的矩阵) 的合同标准形 定理1 1 “设爿是n 阶亚半正定阵，则存在栉阶实可逆阵p ，使 a p = d i a g ( 1 。，b ，b 2 ，b 3 ，0 一) ( 2 ) 其= 勰旺廿忙： ) 耻威o g ( i ：。小， 二。： 耻威a g ( e o 。廿， 州 b ，和鼠分别是2 p 阶和2 q 阶的，且 珊= ，( 爿) ，( s ( 4 ) ) 蠡= 圭【d e g d 朋) - ，( 锄+ r ( 跗) ) p = r ( r ( ”一d e g d ，( a ) q = 尹1 ( 4 ) 一2 r ( r ( 爿) ) + d e g d ，( 丑) d e g d ，( 丑) 是t 矩阵tr ( a ) + s ( a ) 的r 阶行列式因子d ，( a ) 的次数，+ i al 一，蜘，是 d ，( a ) 的所有非零根，a 1 a 2 a l 0 、 6 l 山东师范大学硕士学位论文 文 u 中利用亚半f 定矩阵的合同标准形给出了o s t r o w s k i i t a u s s k y 不等式 的一个新证明，并刻划了等式成立时亚半正定矩阵的形状 定理1 2 设a 是n 阶亚半正定阵，则 | a i 1 月( 一) l + i s 0 l _ a 1 3 对亚正定矩阵理论的修正和推广 文 4 建立了亚正定矩阵的行列式理论，给出了许多新的结果，例如：广义 m i n k o w s k i 不等式，广义h a d a m a r d 不等式，广义凸性不等式，广义o p p e n h e i m 不等式但文 4 中给出的这些新结果有些有疏漏，甚至是错误的，之后文 1 2 、 1 3 、 1 5 在此基础上得到了错误的结果本节我们将给出反例说明这些结果都 是错误的，并给予修正和推广 对于实对称正定矩阵，有著名的m i n k o w s k i 不等式： 设一、b 都是h 阶实对称正定阵，则 l11 爿+ 纠二i i ：+ i b i 二 ( 4 ) 且( 4 ) 等号成立当且仅当a ：k b ( k o ) 文 4 建立了如下两个广义m i n k o w s k i 不等式： 定理f 。( 广义m i n k o w s k i 不等式) 设a 是n 阶亚正定阵，b 是h 阶实对称正定 阵，则 l1l i 爿十b f i i 二+ l 口l 二 定理f ：设a 、b 都是n 阶亚正定阵，且b 的特征值全是实数，又设r ( a b - b a ) 1 1 2 山东师范大学硕士学位论文 则仍然成立广义m i n k o w s k i 不等式 文 1 2 得到： 定理f 。若a 是n 阶亚半正定阵，a 的特征值全是实数，b 是n 阶实对称正定 阵，则成立广义m i n k o w s k i 不等式 文 1 5 得到： 定理f 若a 是n 阶( 未必对称) 正定阵，b 是h 阶实对称正定阵，则对任一正 数r ，有 l a + bp i 1 7 + i b l 7 文 1 3 利用文 4 建立了两个广义m i n k o w s k i 不等式，得到： 定理f ；设尢是两非负实数，a 是h 阶亚正定阵，b 是一阶实对称正定阵，则 ll i ) t a + 曰i i a i 一| i + i b l w 定理f 。设五，是两非负实数，爿、b 都是h 阶砭正定阵，且b 的特征值全 l1l 是实数，又设r ( a b b a ) 1 ，则朋+ 加i 二a l a i z + 吲； 1ll 定理f ，设a 是n 阶亚正定阵，则川ii r ( a ) l 二+ 晦( 4 m ； 我们给出反例，说明以上结论( 定理f , - 定理f ，) 都是错误的 f 例1 取4 ：l 1 2 i 2 b ；，。，则a 是玎阶亚正定阵，实对称正定 阵b 的特征值全是1 ，且a b = b a ，即r ( a b b a ) = 0 1 ，但对一切”2 ，有 i a + b i ：= ( 3 2 “) i 2 = l a l ：+ l b l i ， 因此定理f 。，定理f 。定理f 。，定理f 。，定理f 。都是错误的 例z 取4 = ( ：书。：，b = 晤当。：，则a 是n 阶亚半正定阵，a 的特征值为学和l b 为实对称正定阵但旧1 _ 2 ) ： o ，口三，则 ( 兀( q + 饥) ) “( 1 - i 口。) “+ ( 丌饥) 。 ( 5 ) 且( 5 ) 式等号成立当且仅当口：三且( 口l ，口：，n 。) 与( 6 i ，b ：，6 。) 成比例 n 注意：h 6 1 d e r 不等式中条件口! 不能减弱为口 0 ，因此文 1 5 建立的 h o l d e r 不等式( 瑾 0 ) 是错误的 文 1 7 使用h o l d e r 不等式建立了如下广义m i n k o w s k i 不等式 定理1 3 “7 1设a 是h 阶( n 2 ) 非零亚半正定阵，b 是n 阶实对称正定阵，则 222 1 ) l 一+ 纠i 1 4 i i + l b i ； ( 6 ) 且( 6 ) 式等号成立当且仅当a 对b 的广义特征值( 即b - a 的特征值) 全为b i ， i = j ，b 0 ( b 为常数) 2 ) 又若a 对b 的广义特征值全是实数，则 1 11 l 一+ 口l i l i i + i b i = 且( 7 ) 式等号成立当且仅当a 对b 的广义特征值全相等 细 1 4 下面我们利用推广的h o l d e r 不等式给出广义m i n k o w s k i 不等式的一个加 引理2 “”( h o l d e r 不等式的推广) 设( a ，口2 ，a 。) o ，( 岛，b ：，b 。) 0 ，x ( 0 , 1 ) ，则 c l ic a ，+ 6 ，( 1 n ，c l ia ，： 5 ( i 。， + ( 6 ，“ 1 6 ，： ( 1 16 ， ； ： 山东师范大学硕士学位论文 ( 卉n ，) ：+ ( 卉i ) ： 且( 8 ) 式等号成立当且仅当( 口。，a 2 , - - a 。) 与( 6 1 ，6 ：，b 。) 成比例 当x ：o 或1 时，即是h 6 1 d e r 不等式 引理3 设( 口1 ，口2 ，d 。) o ，( 6 i ，b 2 ，6 。) 0 ，x ( 0 t ) ，a 二，则 ，n ，c a ，+ ，“，l ；lj ( n ，。“1 2 i ，4 。( 】f ia ， 。+ 。 4 “ n ( 1 - i b a b ：【b j ，“) 。- ( i ! ibj=l 11 j = l ， 。l “ ( a ，+ ，) ) “，兀| ln ，”“兀) 4 | i 兀a ，i + i 。”“n ) “| - i 兀，i 一lj = 1l ，=l ，= l ( 兀4 + ( 兀b ( 9 ) 证明：。 口 1 时( 巳+ 屯) ” a ，”+ b s ” 密c n ，+ a ，4 = ( 密c 口，+ a ，”8 ； ( 密c n ；。+ a ；。， i n ( n ，+ 6 ，) 4 = i 兀( 口，+ 6 ，) ”i i 兀( n ；。+ 6 ；。) l ，= l ，t ，t i 。由引理2 知 t f j c a ，h 。- ra ，“。 ；! l ： i ( a ，_ 4 ，c 】f ! ln ，4 - 】f ! in ，) 4 r ( b ；h 4 ，c 【! i 。，8 ) 。( 】：! ibj=lj = l j = l ， 4f ( 兀【a ，”，”) ) i n i 旧4 ( nn ，) 4l _ l nn ，l + l ；”( n6 ，) 81 in ，lf 卜i 扛l j = 1 ， ( i i a ，) 8 + ( 兀q ) 。 ( 9 ) 成立 由定理1 2 容易得出 引理4 ( t a u s s k y ) 设4 是n 阶亚半正定阵，则 i a i 陋( 4 ) i ( 1 0 ) 且( 1 0 ) 等号成立当且仅当a 不可逆或a 是对称正定阵 定理1 4 ( 广义m i n k o w s k i 不等式的加细)设a 是”阶( r t 2 ) 非零亚半正定 阵，b 是n 阶实对称正定阵，a 对b 的广义复特征值为2 s 个( o 5s 昙) ，则 1 ) s o 时，存在一组正实数“，“- 照= l ，使得 2r - - $22 上22 一+ 占卜兀( i i 彳l 二+ i 口卜) 一1 爿l _ + f 曰l i ( 1 1 ) 山东师范大学硕士学位论文 且( 1 1 ) 式等号都成立当且仅当a 对b 的广义特征值( 即b - i a 的特征值) 全为 + b i ，i ：j ，b 0 ( b 为常数) 2 ) s 2 0 时，即a 对1 3 的广义特征值全是实数，则存在一组正实数m ，以 。= i ，使得 l1 ”，i 爿i1 _ 一1 l 爿1 i 1 a + b i ；1 - i+ l , l b+ i 口 ( 1 2 ) l ，i 爿 i4 l 爿1 i + i 口i i ( 1 2 ) 且( 1 2 ) 式等号都成立当且仅当a 对b 的广义特征值全相等 证明：当a 不可逆的非零亚半正定阵时，i a i = 0 因为+ 曰= 尉曲+ 丑+ 联棚= 坝爿+ 固+ 跹固，a + b 为亚正定阵，由引理4 知 a + b l i r ( 一) + 口i 此式等号成立当且仅当4 + b 是对称正定阵，即s ( a + 口) = 5 ( 4 ) = 0 又 陋+ r ( a ) i i b l n 9 1 ，此式等号成立当且仅当对称半正定阵r ( a ) = o 而a 0 ，所以p + 纠 i b i 故对任意组正实数4 ，“- 鸬以。= 1 有 2 o 生 22 二22 i a + b g 兀( 卢，1 4 i ：+ l b i ；) ”5 = 1 4 i i + i 古i ： ( 1 2 ) 式也是如此 当a 可逆的亚半正定阵时，因b 是实对称正定阵，故存在实可逆阵p ，使 p 7 即= l ，又a 为亚半正定阵，所以p 7 一p 仍为亚半正定阵由s h u r 定理m 3 知，存在酉矩阵u ，使 矿，a p u ： 1 6 q + 曲 q 一曲 0 q + 啦 q 一海 ( 1 3 ) 山东师范大学硕士学位论文 其中 ，以，n t4 - i b k ( k = 1 ，s ) 为p 7 a p 的特征值，易知b a = p i p 7 爿p ) p ，因此 ，q 士i b k ( 七= l ，s ) 为a 对b 的广义特征值，由p 7 z i p 为亚半正定阵知 丑，4 o , a k o ，+ 6 f o 辑= l z ，曲 s o 时，由( 1 3 ) 知 p p 2 一+ b 仁 n ( 1 + n ( 1 坞) z + 6 硝 i i l l i = 1j f 1 ( 1 + 疵”( a ；+ 哪r ( 1 4 ) 且( 1 4 ) 式等号成立当且仅当口，一一口，= 0 因r + s ：n j ，口= 三 ! ，由引理2 ，引理3 知 月n 一5 n ( 1 + ) 血【1 + ( 。j + 咖r 卉l + f 产，( 卉露n ( 。，2 + 哟：) 卜( n r 鹰2 n ( 。，2 + e ) ；) r ，兀1 1 + la 一，( 兀砰兀o ，+ 6 ；) 二) l ( n 鹰兀o ，+ e ) i ) l - i ；i |l f f i l ，= 1 ， i f f i l j f f i l ，ir 2 ( 一l ， ， 2 ； 2y r2】 2 i ”j 兀川( a ；+ 6 j ) t ( 兀a i 兀( a j 十6 ；) ；) | ( 丌丑i 兀( 。；+ 6 ；) i ) | j - i、 i f f i l= ，l - i = l 2 骢i f f i + ( z ，2 o n h - s ) ，i p7 爿p i ； 。c i p 7 一p ； 州孵蝴掣忙州5 刈n 砷r ( 令雎= ( i _ 一p 7 叫i ) 。( f = 1 ，) ，卢，+ ，= ( o ；+ 叼) 了1 p 7 叫：) 。( - ，= 1 ，s ) 则4 鸬虬= 1 ) = 疆 - + ，1 pr p i ； 击= 尊 i p r b p i ；+ ，1 pr p i 击 山东师范大学硕士学位论文 = i p7 p l ； ii l 薹 i b i ；+ ，i 爿l i i l ，+ t j 彳 ： ( 口j + 。；) i 2 ：i s 刊：( i 剖；+ 侧；) ( 1 5 ) = p i ；删i + 脚) ( 1 5 ( 1 5 ) 等号成立当且仅当三；j 一，即s = 昙，r = 0 ，且n ? + 6 1 2 _ t = 口；+ 砰 所以 曰陲前( 肼i a i ；2 + 而击佛+ i b i ；2 所以 阻+ 耶兀( 肼+ 例i ) 一h 二 即( 11 ) 式成立，且( 11 ) 式等号都成立当且仅当( 1 4 ) 、( 1 5 ) 等号都成立，即b - i a 的 特征值全为b i ，i = j ，b 0 s = 0 时，即a 对b 的广义特征值全是正实数，( 1 3 ) 改记为 矿p r p u = o 由弓i 理2 知 1 i 三一i n ! h ! l ” l p 7 尸| i i 爿+ 驯i = ( 兀( + 1 ) ) 二2 n l ( ( 兀 ) “) 1 。( 1 - i ) 4 + 1i j z ii - lil = 1 f = 1 i ( 记“= ( ( h ) “) o = 1 一，n ) 贝u p ，= i ) ( 1 6 ) ：兀n ( h i p r 一叫+ 1 ) ： p r 叫；卉( 卅：+ l 叫：) ；( 血 ) ：+ 1 = i p 7 即日年+ 怫) 所以( 1 2 ) 成立，且( 1 2 ) 等号都成立当且仅当 = 一a 。证毕 当4 是n 阶( n 2 ) 非零实对称半正定阵，b 是n 阶实对称正定阵，则可得到经 典m i n k o w s k i 不等式的一个加细 推论1 4 1 设一是n 阶( n 2 ) 非零实对称半正定阵，b 是n 阶实对称正定阵， 则存在一组正实数“，以，。= 1 ，使得 山东师范大学硕士学位论文 1 4 1 i 三 1i 一十占f ：兀o ；f f i + i 口f ) ”1 4 i 二+ i b i ： ( 17 ) p 7 曰p = l ，p 7 4 尸= 旯。 由p 7 a p 为实对称半正定阵知，旯；o ( i = 1 ，”) ，2 i 正是a 对b 的广义特征值， 由定理1 4 中2 ) 知( 1 7 ) 式成立，而( 1 7 ) 式等号成立当且仅当 一- = 以= 七，即 a + b i - i a i + i 叫 ( 1 8 ) 且c ，s ，式等号成立当且仅当彳为二阶反对称阵( 二习。， 证明：当a 为不可逆的非零亚半正定阵时，l a j = 0 ，由定理1 4 的证明知， j a + 口| 吲= i a + 1 8 i 若。3 ，贝由定理1 4 知 i a + 曰i ( a i