（检测技术与自动化装置专业论文）ghostburster模型的混沌分析与控制.pdf

摘要 神经元是典型的非线性系统，具有丰富的动力学特性。对于神经元的描述有 不同的数学模型，每个模型都有着它特定的目的。在外界刺激下，呈现出不同的 放电模式。刺激的变化很容易引起神经元细胞工作状态的改变，而由此引发的生 物系统的分岔则极可能成为诱发疾病的重要原因之一。因此对神经元的非线性动 力学分析及控制其动态特性具有重要的理论意义。 本文以g h o s t b u r s t e r 模型为研究对象，该模型引入胞体和树突之间信息编码 的传导，从胞体和树突两部分出发整体地描述了柱状细胞的动态特性。首先选取 外界的直流刺激为分岔参数，通过最大l y a p u n o v 指数方法对g h o s t b u r t e r 模型进 行单参数的分岔分析，得到了该模型独特的g h o s t b u r s t i n g 簇放电模式。然后讨论 系统参数与分岔点位置的关系，并通过改变系统参数来选取不同位置的分岔点， 进而从两个分岔点的差值出发讨论其对簇放电序列中峰放电个数的影响。最后选 用w a s h o u t 滤波器来实现系统逃离混沌簇放电区域，并向周期放电转变。由于 本文的控制器选取的控制变量为可测量的胞体膜电压，所以该方法完全具有现实 意义。 数值仿真结果证明了理论分析的正确性o 本文的结果为医学的诊断和治疗提 供了一条思路。 关键词：g h o s t b u r s t e r 模型，混沌，分岔，混沌控制 a b s t r a c t t h en e r v ec e l li sac l a s s i cn o n l i n e a rs y s t e m ，w h i c hi n c l u d e sa b u n d a n td y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c u n d e rt h ee x t e r n a ls t i m u l a t i o n ，d i f f e r e n tm o d e l sh a v et h e i ro w n b u r s t i n g t h ep e r t u r b a t i o no fs t i m u l a t i o nm a yr e s u l ti nt h ec h a n g eo fn e u r o n a ls t a t e ， a n dt h i sb i f u r c a t i o no ft h eb i o l o g ys y s t e mh a sc l o s er e l a t i o n sw i t hd i s e a s e sl i k e p a r k i n s o nd i s e a s e ，e p i l e p s yo rp a t h o l o g i c a lh e a r tr h y t h m s ，e t c t h u s ，t h ea n a l y s i sa n d c o n t r o lo f t h en e r v ec e l li so fg r e a ts i g n i f i c a n t i nt h i sp a p e r , w et a k et h em o d e lo ft h ep y r a m i d a lc e l li nt h ee l e c t r o s e n s o r yl a t e r a l l i n el o b e ( e l l ) o f w e a k l ye l e c t r i cf i s h 弱s t u d yo b j e c t , w h i c hd e s c r i b e st h ed y n a m i c c h a r a c t e r i s t i co nt h eb o t hs o m aa n dd e n d r i t e a i d e rt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i o n w ea n a l y z ei t sp h e n o m e n o nb yc h o o s i n gt h ea p p l i e dc u r r e n tw h i c hi st h es y n a p t i co n e f l o w i n gi n t ot h es o m a t i cc o m p a r t m e n ta st h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r t h e n ，w ed i s c u s s t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es y s t e mp a r a m e t e ra n dt h el o c a t i o no ft h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e ra n dw e v ef o u n dt h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt w ob i f u r c a t i o np a r a m e t e r a f f e c tt h en u m b e ro fs p i k e sd u r i n gt h eb u r s t i n g i nt h el a s t , w ec h o o s ew a s h o u tf i l t e r 瓠ac o n t r o l l e rt of o r c et h ed y n a m i c a ls y s t e mf o r mt h ep e r i o d i cf i r i n gt ot h ec h a o t i c b u r s t i n g t h ee a s ym e a s u r a b l eo fm e m b r a n ev o l t a g em a k e ss u c hak i n do fa n a l y s i sa m e a n i n g f u lr e s e a r c h t h es i m u l a t i o nr e s u l t sv e r i f yt h ea n a l y s i sa n dm e t h o d sa r ea l la c c u r a t ea n dc a n l e a dan e ww a yt o w a r dc l i n i c a lu s a g e k e yw o r d s ：g h o s t b u r s t e rm o d e l ，c h a o s ，b i f u r c a t i o n ，c h a o sc o n t r o l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗苤堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：弘雾套 签字同期：堋年，月29 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权：苤盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弘乏套导师签名： 料嗍：1 年月多7 日 第一章绪论 第一章绪论 生物与生命科学作为二十一世纪的前沿学科，已经取得了大量的研究成果， 并受到越来越多的研究者的关注。但传统的生物学研究通常缺乏对生物机理的量 化说明，较少从系统的角度描述各种生理过程。而针刺作为我国中医针灸学的重 要组成部分，现代研究表明针刺信息是通过多种途径传导的。毋庸置疑，电信息 在其中起到非常重要的作用。不同手法针刺穴位时，相应部位体表电信息、神经 动作电位和效应靶器官功能三者之间的相关性以及针刺电信息传导与作用规律 尚缺乏系统研究。因此迫切需要将其他学科中已经成熟的理论和方法引入生物学 研究，在实验现象与生物模型的基础上，建立相应的数学模型，运用跨学科的理 论进行分析，获得的结果必须具有生物意义并且能够描述相应的生理过程。随着 非线性科学的发展，尤其是混沌理论的发现和广泛应用，使我们能够用一种全新 的观念来研究生物学当中的问题。 1 1 研究意义 神经系统是由大量高度内联的细胞构成的，神经细胞接受其他细胞的电刺激 输入从而形成动作电位。细胞未受刺激时，细胞内外的各种离子达到动态平衡。 当刺激强度达到一定的阙值时，细胞的跨膜电压在已有电位的基础上将自我再生 的速度达到固定的最大值，旋即恢复到原来的静息膜电位水平。这种短暂而定型 的电活动沿神经从一端到另一端迅速移动，称为动作电位。神经细胞的一系列活 动最明显的表现就是动作电位的变化。现代医学表明，生理变化、病变等都可以 找到一定对应的病灶区细胞电位异常，因而研究动作电位对生物系统的研究而言 有较大的意义。 通过矩形电流来刺激神经细胞就人为产生了动作电位。电刺激在医学临床上 有很大的应用空间。电刺激是指将特定频率和形状的电流或电压施加于生物体兴 奋组织后，所产生的各种生理反应【l 】。电刺激按功能可分为三类【2 】： 1 借电刺激恢复人体的某些功能，其中多数是刺激神经肌肉系统，用以恢 复或控制肌肉收缩功能：如心脏起搏器，步态矫正器，瘫痪肢体刺激器等【3 】【4 】1 5 】； 第一章绪论 2 借电刺激减轻病痛：如除颤，镇痛，抑制癫痫，抑制震颤等； 3 诊断电刺激：如记录诱发电位对神经进行电刺激。 对神经细胞的电刺激研究已有很长时间，已有方法都是对目标神经细胞的简 单前馈控制。对神经细胞生理学状态的直接控制满足了对神经细胞动态特性的状 态变量的控制，并且提供了新的神经系统电路响应特性的控制方法，这就是基于 生物物理的神经细胞反馈控制策略，它将导致电刺激系统的进一步发展，如对事 故或病毒引起的神经系统电信号失常导致的功能紊乱的修复术的研究，又如对帕 金森病或癫痫症的非期望神经振荡的单细胞刺激控制 6 1 。为达到对基于生物物理 意义上状态变量的连续动态控制，由于变量内在的非线性和生理上的限制，需要 高级的控制策略。 非线性科学思想与方法的引入和计算机化的记录技术的应用，使人们可以借 助于动力学概念、理论和技术研究神经科学问题，进一步从动力学机理的深度研 究神经细胞的各种形式的放电序列的产生规律，从刺激信号对神经动力系统的激 励的角度深入地研究刺激变化与神经放电序列之间的时变对应关系，使得人们对 神经信息编码规律的研究深入到了一个全新的层次。在这类研究工作中，理论分 析、科学计算、实验观察的有机结合相当常见，这种新的研究范式也可以供更多 的神经科学工作者参考，如控制理论的应用 7 i1 8 】 9 1 t o 】【1 1 1 。 在我们长期对神经动力学规律的研究中，逐步建立了神经细胞研究的思路： 首先研究自治神经元或相应神经元原理模型的神经放电的非线性动力学规律；其 次在对于神经元自身的放电规律有充分了解的基础上，研究接受外界信息明确的 神经元放电规律，借助于自治神经元放电规律，解释外界信息与放电规律之间的 关系。 1 8 5 8 年，f e c h n e r 1 2 】【1 3 】扩展了w e b e r 的观点，提出了著名的w e b e r - f e c h n e r 律，指出了主观感觉的强度与其刺激的强度的对数成正比( f e c h n e r ，1 8 6 0 ) 。对 于介于感觉与刺激之间的神经兴奋，f e c h n e r 认为，神经兴奋与刺激的强度成正 比。这一神经兴奋与刺激的强度成正比的观点，在后人a d r i a n 的频率编码学说 中得到了继承【1 4 】【1 5 】。 l u c a s 于1 9 0 5 年发现了骨骼肌兴奋的“全或无刀的原理，1 9 1 2 年，a d r i a n 与l u c a s 【蝤】【1 刀共同证明这个规律适用于神经。a d r i a n 于1 9 2 6 年进一步提出了同 2 第一章绪论 型( i s o m o r p h i s m ) 的观点，指出神经纤维上传播的动作电位序列中每个脉冲是 相同的。因此，f e c h n e r 关于神经兴奋与刺激的强度成正比的观点中，与刺激强 度相关的不应是各个神经兴奋的幅度，而应是波形相同的兴奋产生的多少。 a d r i a n 遂提出了脉冲频率编码的观点，认为感觉刺激的强度是由神经纤维上放电 的出现频率，即放电的平均时间密度，来编码的。因为a d r i a n 在神经兴奋的不 应期、全或无性质及感觉神经放电信息编码方面的出色贡献，他于1 9 3 2 年与 s h e r r i n g t o n 分享了诺贝尔生理学与医学奖。 在1 9 6 0 年代前后的一系列实验中，人们记录慢适应触压感受器的传入放电、 肌梭牵张感受器等的传入放电，发现在一定范围内，传入放电的频率与所施加刺 激的关系近乎线性。这些结果进一步强化了放电频率与刺激强度成正比的观点。 这种感觉神经放电频率编码感觉刺激强度的观点便一直沿用了下来，并被推广到 一般情况，即认为在神经系统中，神经元放电频率高低反映了它所受作用的强弱，。 神经元放电的脉冲计数也成为对神经元活动水平的最常规的电生理观察指标。 长期以来，人们在实验中见到神经放电序列形式多样、频率相同但形式不 同的序列其生理作用不同的现象，并意识到传统的平均频率编码学说不能准确概 括神经放电信息编码的规律，神经放电序列的时间模式中可能含有重要的信息。 但是，苦于缺乏概括不同放电形式的理论概念，实验无法科学地定义甚至准确地 称谓不同模式的放电序列；采样存储的容量和速度也限制了快速、精确、长时间 连续记录放电脉冲序列地能力，限制了对放电序列模式的分析；更为重要的是， 这些研究还都没有触及到神经编码的机理层次，没有从“外界信息如何作用到神 经元的参数，而神经元的参数又如何按外界信息变化进而输出相应的放电模式来 反应放电”这一机理水平回答问题，因此，对神经放电信息编码基本规律的认识 还一直停留在较为粗浅的水平。 1 2 研究思路 神经系统如果具有混沌的动力特性，就可以更紧密和有效的存储和处理信 息，很好的提高神经系统的活动能力。自从8 0 年代一些学者在实验中发现乌贼 轴受到外加的周期性电刺激的时候会出现混沌的发放模式，神经系统中的混沌现 象就一直受到人们的关注。他们还利用了计算l y a p u n o v 指数的方法证实了 第一章绪论 h o d g k i n h u x l e y 方程加入外部周期电刺激的时候存在混沌振荡，为人们研究神经 系统中的混沌现象提供了一个新的思路。更加上近年来中医的针灸疗法中越来越 多采用电针来代替传统的银针，要量化地衡量电针的治病原理和疗效，就需要研 究外部刺激对细胞的影响。 本文以e l l 锥体细胞的g h o s t b u r s t e r 模型为对象，研究神经细胞动作电位的 发放模式。主要研究外界输入直流刺激。对神经细胞的影响。绘制了动态系统的 最大l y a p u n o v 指数在刺激j 。在生理意义范围内变化取值的波形图，借此来分析 系统的混沌特性。在此基础上，进一步研究了模型的混沌特性。并应用了w a s h o u t 滤波器，完成了模型由混沌放电到激励放电的转变。 1 3 主要贡献 本文主要分析了e l l 锥体细胞的g h o s t b u r s t e r 模型动态特性，发现了随着外 界直流刺激，。的逐步增加，细胞动作电位的发放模式也随之发生着改变。然后讨 论系统参数与分岔点位置的关系，并通过改变系统参数来选取不同位置的分岔 点，进而从两个分岔点的差值出发讨论其对簇放电序列中峰放电个数的影响。 以g h o s t b u r s t e r 模型为基础，通过w a s h o u t 滤波器，达到对系统的混沌控制。 完成了模型由混沌放电到激励放电的转变，并在此基础上进行了数值仿真。 1 4 内容安排 根据上面说的研究思路，本文将如下安排各章节内容： 第二章是文献综述，主要介绍混沌理论的发展历程、混沌理论在生物医学工 程中的应用历程以及混沌理论的主要分析方法。 第三章介绍有关混沌学里面的一些基本理论，以及g h o s t b u r s t e r 模型的特性 分析。并且以外界输入电流为分岔参数，研究了在l 在生理意义范围内取不同 值时，g h o s t b u r s t e r 动态系统的最大l y a p u n o v 指数。借此，分析研究系统的分岔 特性。 第四章以g h o s t b u r s t e r 模型为研究对象，并应用了w a s h 。o u t 滤波器以达到对 模型的混沌控制。本章结合第三章的模型特性分析应用控制器完成了模型由混沌 放电到激励放电的转变，并通过数值仿真加以验证。 4 第一章绪论 第五章给出了结论和进一步的研究方向。 最后是致谢，并且列出了参考文献。 第二章文献综述 2 1 混沌 第二章文献综述 混沌，最先是在天体物理学领域被发现的。当时的法国数学家和物理学家 h p o i n c a r e 在研究太阳系的三体运动的时候，证明了周期轨道的存在，并且发现 在所谓双曲点附近存在着无限复杂精确的结构，他发现确定性动力学方程的某些 解有不可预见性，这其实就是现在所讲的动力学混沌现象。 此后，很多数学家和物理学家都在各自的研究领域做出了重要的贡献，为混 沌理论的建立提供了宝贵的知识积累。上世纪1 9 6 3 年气象学家e n l o r e n z 【1 8 】 在分析气象预报模型时研究一组描述大气对流的微分方程，用计算机做数值计 算，观察这个系统的演化行为。在计算观察中，确实看到了这个确定性系统的有 规则行为，同时也发现了同一系统在某些条件下可出现非周期的无规则行为。在 6 3 年的文献中，l o r e n z 埽】总结并揭示了混沌运动的基本特征，如确定性非周期 性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等，并提出混沌的概念。此外， 他还在混沌研究中发现了第一个奇怪吸引子_ i o i 屯i l z 吸引子，为混沌研究提 供了一个重要模型，并且他最先在计算机上采用数值计算方法进行具体研究，为 以后混沌的研究开辟了道路。 至此许多领域的学者对混沌产生了极大的兴趣。之所以如此，是因为混沌只 出现在非线性系统中，而人们对非线性系统的认识可以说是极其有限的。由于一 切运动本质上都是非线性的，因而混沌现象也是普遍存在的。目前对于混沌的研 究已经遍及各个学科领域，成为最富挑战性的研究课题之一。从7 0 年代开始， 混沌理论的热潮开始兴起。1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰的f t a k e n s 1 9 】在论文中，提出了用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并且证明了以 前的关于湍流发生机制的权威理论的不正确性，起了重要的解放思想的作用。他 们通过严密的数学分析，独立发现了动力系统存在一套特别复杂的新型吸引子， 描述了它的几何特征，证明与这种吸引子有关的运动就是混沌，发现了第一条通 往混沌的道路。并且命名这类吸引子为奇怪吸引子。1 9 7 5 年，美国人j y o r k e 2 0 和他的华人学生李天岩在论文提出了一个有关混沌的数学定理l i y o r k e 定 6 第二章文献综述 理，认为3 周期轨道的出现，蕴涵着混沌。定理描述了混沌的数学特征，为以后 一系列的研究开辟了方向。在这篇文章中，。混沌( c h a o s ) 力一词第一次被引入到 动力学研究中来，为这一新兴研究领域确立了一个中心概念。从此，混沌作为一 个科学的概念，正式出现在各类科学文献中。 2 2 可兴奋细胞模型 著名的h o d g k i n - h u x l e y 模型【2 0 】【2 1 1 建立了乌贼巨轴突动作电位的量化描述。 硼模型的重要性不仅在于成功量化描述许多生物现象，而且也能直接应用于别 的神经元和细胞，建立类似于硼模型的数学描述。目前已经出现了许多类似删 模型，如1 9 8 1 年建立的p l a n t 模型【2 2 1 ， n o b l e 建立的模型阱】【2 5 1 ，c h a y 模型【2 6 1 ， 1 9 9 1 年c a n a v i e r 所建模型【2 3 1 ，1 9 9 5 年 r i n z e l 2 7 】，m l 【2 8 】模型等，这些模型都 依据不同的电生理实验，在解释可兴奋细胞电生理特性、生物节律等方面各有侧 重，应用非线性理论研究神经元振荡、分岔、尖峰、放电等现象为人们所接受。 2 2 1h o d g k i n - h u x l e y ( h i - i ) 模型 神经系统的唧模型嗍洲建立于1 9 5 2 年，形式如下： 矿= 7 ，一晚，矿办( y 一巧忆) 一昴n 4 ( v - v d - g , ( v - v 3 历= a m ( 1 一所) 一尾m , - ( ( 功一功( 功 ( 2 1 ) h = a h ( 1 一功一f l h h = ( h , o ( 功一h ) r h ( v ) 庙= ( 1 一万) 一尾刀= ( ( y ) 一玎) o ( 功 其中，变量y 代表跨膜电压，m 和h 分别代表钠离子电流的激励与抑制变量，押 代表钾离子电流的激励变量，f 代表时间。它们的具体表达式为 m , o = ( a 。+ 尾)= 1 “+ 尾) = ，( + 尾)l = l ( + 尾) ( 2 2 ) 吃= ( a h + 尼) t h = 1 ( a + 孱) 7 第二章文献综述 2 ：0 刁0 1 甄( v + 2 5 ) ，尾= 4 e 冲白，。：0 刁0 1 甄( v + 1 0 ) 。x p ( 1 r ) 一1 e x p ( 1 矿) 一l 晟= 。1 2 5 e x p 去) ，2 。7 e x p 去) ，屈2 ：鬲1 = 1 0 , u f c m 2 ，= 1 2 0 m v ，= - 1 2 m v ，圪= 1 0 6 m v 醌= 1 2 0 m s c m 2 ，磊= 3 6 m s c m 2 ，西= o 3 m s c m 2 经典的h h 模型对应的电路模型如图2 - 1 所示。 图2 - 1 瑚电路模型 股内 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 硼模型极其重要而且备受关注的原因主要有两个：一方面，从生理学研究 角度，它是量化描述电生理现象最成功的一个模型，开辟了从理论模型研究神经 电特性的新思路；删所创立的实验技术和采取的理论分析方法已成为电生理学 研究的一种成功的模式( h i 模式) ，即首先进行电压钳位实验获得数据，然后引 入激活和抑制变量进行定量分析，最后以微分方程的形式描述生物模型。利用这 种唧模式，可以直接得到其它不同类型的可兴奋细胞或神经元电生理模型。这 些模型具有和硼模型相似的形式，被称为唧型模型。另一方面，从非线性动力 学和数学研究角度，由于唧模型由四个微分方程组成，具有多变量、高度非线 性和强耦合的特点，数学家将其视为各种非线性动力学分析理论和数值方法的试 验模型，生理学家则期望通过深入的数学分析对生理现象提出更好的解释。因此， 长期以来，对唧( 及眦型) 模型的实验研究和理论分析两方面并行，并取得了 丰硕的成果。 第二章文献综述 2 2 2f i t z h u g h - n a g u m o ( f h n ) 模型 f i t z h u g h 椰1 “司改进了众所周知的v a i ld e rp o l 方程，提出了二阶模型描述 了删模型的类似特性。可以看出f i t z h u g h 模型用两维系统子空间描述四维删 系统。f i t z h u g h 利用v a nd e rp o l s 方程量化了咖的类似特性。 占害3 一“( 甜一口) ( 甜一1 ) 一w + ， ( 2 6 ) 咖 i 副一厂w 式中“表示快变量，w 是慢变量。 删模型准确地描述了神经纤维膜上电压与电流的变化过程，然而删模型所 具有的多变量、非线性、强耦合的特点，给分析工作带来了极大的困难。f i t z h u g h 曾根据删模型中各变量时间常数不同的性质，将两个具有大时间常数的变量等 效为常数，从而获得简化的二维系统。但这种简化的生理意义不够明确，得到的 简化系统并不能准确的描述实验现象。t r o y 2 9 3 0 1 等人曾利用奇异摄动理论将删 模型分解为快变和慢变两个子系统分别研究，然而模型中含有的指数函数及分式 等强非线性环节使其进展有限。 2 2 3c h a y 模型 c h a y 渊应用混沌理论研究了c ，敏感的k + 通道、碍+ 库、碍+ 阻断、口+ 通道、 i p 3 和激酶蛋白c 对可兴奋细胞的影响，其中，与1 9 9 5 年公布的3 变量模型应 用分岔理论研究了可兴奋神经元由于胞内口+ 离子浓度的变化所引起的快速度放 电这一异常神经活动，c h a y 模型为 塑；型 d l 寡n 粤：盟盟塑二笠丛业( 1 一p ) ： ( 2 7 ) 破 乇 、 一c 卅警= g ，圮九( 巧一v ) + g r n 4 ( v 一圪) + 昂p ( 矿一吆) + ( 矿一圪) 9 第二章文献综述 式中疗为处于膜内分子开放几率，刀值处在0 1 之间；为n 的稳态值；为门控 k + 通道的松弛时间；p 为口+ 敏感的k + 通道开放的几率，用于仿真慢变的动态过 程，与e + 离子浓度有关，是口+ 离子浓度的增函数，无量纲；气为慢波的弛豫时 间常数，用于控制慢波的周期：k c 为胞内+ 离子流出量的时间常数，表征口+ 离 子从受体位置解离的过程，该值与尖峰出现的频率有关。v 为膜电位，单位为m v ； 巧，吆，圪表示孵离子和口+ 离子、k + 离子、( 7 一离子和其它离子的反转电位与神经 元静息电位差，分别取值- 1 0 0 m v ，- 7 5 m v ，- 4 0 m v ；g l ，g p ，g 分别为以上离 子通道的最大电导，取值1 8 0 0 n s c m 2 , 1 7 0 0 n s c m 2 , 1l n s c m ：, 7 n s c m 2 ；g 为单位 面积膜电容，单位为l u f c m 2 ，神经元的单位面积膜电容通常取值为1 0 。 2 3 混沌分析方法 上个世纪8 0 年代以来，发现乌贼轴突在正弦电流的刺激下，发放的动作电 位序列出现了周期振荡、分岔、准周期振荡以及混沌等丰富的非线性动力学现象 【3 1 1 。在实验中，观察到了三种通往混沌的途径：倍周期分岔、阵发性以及准周 期崩溃。这几乎概括了迄今为止发现的引发混沌的方式。同时，他们还利用计算 l y a p u n o v 指数的方法证实了i - - 1 h 方程存在混沌振荡。他们的这种实验数据的分 析方法和理论模型的分析方法为混沌理论在神经电活动方面的应用指明了方向。 混沌的应用方向主要包括对实验数据的分析和对数学模型的分析等两个方向。一 般来说，如果研究对象不容易建立精确的数学模型，而实验数据又较容易得到， 就对采集的实验数据进行分析。对于神经元的电活动，在前人的基础上可以建立 非常精确的数学模型，因此可以对神经元的模型进行分析。 2 3 1 混沌的数值分析方法 由于建立模型需要大量的先验知识，且限制比较多，不容易着手进行。而对 数值分析则只是从数据入手进行研究，因此在早期的神经电活动的研究中，较多 l o 第二章文献综述 采取数值的分析方法。 定量描述混沌的测量参数有功率谱、l y a p u n o v 指数、分维树和测度熵等。 ( 1 ) 功率谱指单位时间内，对信号做傅立叶变换，变换后其振幅的平方。 它所测量的是随频率的变化信号在单位时间内所具有的能量，它反映了信号的频 率特性【3 2 】。我们可以用功率谱来研究混沌的统计特性。混沌运动是非周期的、 复杂的运动，所以它的功率谱不同于周期运动和准周期运动的离散谱线，而是连 续的谱。同时，与随机运动的功率谱不同，确定性混沌运动的功率谱在高频段随 频率呈指数衰减，这可以作为区别确定性混沌与随机信号的指标。 ( 2 ) l y a p u n o v 指数在非混沌系统中，相邻轨道是收敛的或者以慢于指数 的速率发散的，而在混沌系统中，相邻轨道却是指数发散的。l y a p u n o v 指数 ( l y a p u n o ve x p o n e n t ) 黼 来衡量轨道的收敛速率和发散速率的【3 3 】。对于高于一 维的系统，可以计算出一组l y a p u n o v 指数，称为l y a p u n o v 指数谱( l y a p u n o v e x p o n e n ts p e c t r u m ) ，其中每一个指数对应于某个特定方向上的轨道收敛率或发散 率。一般情况下l y a p u n o v 指数的个数等于相空间的维数。一个混沌系统在它的 l y a p u n o v 指数谱中有一个或一个以上的正值。l y a p u n o v 指数的计算是在相空间 中进行的，所以要对时间序列进行计算，就要采用延时坐标相空间重构的办法。 对一个连续的信号以等间隔进行采样，产生一个m 维的时间序列，这个时间向 量在m 维相空间中形成自己的轨迹，这就是相空间重构。这样就可以在重构的 相空间中计算l y a p u n o v 指数。 ( 3 ) 分维树混沌运动的时间历程是非周期的或被认为是周期无穷大的、貌 似随机的运动曲线，而实际上它可能具有某种潜在次序，并能以相对较少的自由 度来描述【3 4 1 。分形维数就是用来描述混沌自由信息度的参数。文献【3 5 】提出的算 法虽然可以算出一个比较明确的维数，却的不到一个精确的值。b r o o m h e a d 和 k i n g 3 6 】提出特征值分析方法可以提供一种估计相关维数的代替方法，并且得到 了证实。上面提到的几种方法有一个共同缺点：随着系统维数的增加，所需要的 数据点数以指数形式增加，从而造成测量时间、计算时间以及数据存储量都以指 数形式增加。因此，上述方法多数情况下只适用于低维系统。m b a u e r 3 7 】等人提 出了一种改进的算法，实现了高维系统的相关维数的计算。 ( 4 ) 测度熵由于混沌运动对初值敏感，任何表面看来不包含信息的数据位， 第二章文献综述 其值会随时间而变化，从而转变成包含信息的数据位。由于这些位被舍弃，所以 我们需要附加信息以确定以后的状态。这些需要附加的信息是与时间的流逝成正 比增长的。测度熵就是用以衡量信息增长速率或信息流动速率。常规轨迹的测度 熵为0 ，因为它不需要附加信息，纯粹随机运动信号的测度熵是+ ，而确定性 混沌信号的测度熵是一个有限的正数。测度熵是混沌系统的一个重要测量参数。 可见，l y a p u n o v 指数描述了混沌系统对初值的敏感程度，分形维数给出了 有关混沌系统的自由度的信息，而测度熵则反映了混沌系统信息增长或流动的速 率。三者从不同角度描述了混沌系统，三者也是相互联系的。人们应用上述的几 种数值分析方法来分析实验采集的数据，从杂乱的实验数据中提取出了特征量， 得到了有意义的结论【3 8 】【3 9 】。 2 3 2 混沌模型的分析方法 神经电活动的模型研究开始于上个世纪6 0 年代。英国生物学家h o d g k i n 和 h u x l e y 将毛细玻璃管电极从切口纵向插入乌贼巨型轴突内，对其施加刺激，首 次实现了静息电位( r e s tp o t e n t i a l ) 和动作电位( a c t i v ep o t e n t i a l ) 的细胞内记录，并对 记录的数据进行了精确的定量分析和大胆的假设，建立了精确描述细胞膜电行为 的微分方程组h h 方程【加】。h h 方程定量描述了跨膜的动作电位，是所有可 兴奋细胞的基础模型，但是它是一个四阶的非线性系统，要进行数学分析的话， 具有相当困难。 f i t z h u g h 对h h 模型进行了简化，建立了二维系统，与n a g u m o 提出的 n a g u m o 电路结合，建立了f h n 模型【4 1 1 1 4 2 1 ，在这个模型中引入了一个恢复变量 ( r e c o v e r yv a r i a b l e ) 来描述动作电位的慢变过程，也能比较精确的描述动作电位的 产生，并且把模型降成了两维的了，为进一步的研究提供了方便。w r a i l 在1 9 7 7 年将科希霍夫定理( k i r c h h o f f sl a w s ) 应用到神经纤维的电活动研究中，提出了 定量描述柱状神经细胞对外加电刺激响应的电缆模型( c a b l em o d e l ) ，成为了以后 人们研究神经细胞电活动的基础。 k a i h a r a 和gm a t s u m o t o 4 3 】脚1 研究乌贼轴突在正弦电流刺激下，动作电位 的响应，发现了动作电位的发放模式包括周期、准周期和混沌，并且他们还以 h h 方程为研究对象，应用非线性动力学的方法研究了h h 方程的分岔和混沌振 1 2 第二章文献综述 荡，得到了跟实验分析相同的结论【4 5 1 。从此，建立电刺激下神经纤维的模型， 研究神经元在外电场刺激下动作电位的响应成为了研究的热点。 日本学者为了研究肌肉离子通道疾病的机理，以肌肉的h h 方程为研究对 象，以方程中的漏电导为分岔参数，来研究肌肉的h h 方程的非线性动力行为， 发现了正常的动作电位、反复发放的动作电位以及去极化的静息电位等三中动作 电位状态，它们分别对应正常的肌肉、肌肉僵直和瘫痪等三种状态。 c j t h o m p s o n 4 6 等人建立了神经纤维在外电场刺激下的电缆方程，研究了 随着外部电场频率的变化，动作电位发放模式的变化。他们发现随着外部电场频 率的增大，动作电位由最初的单周期振荡变成从锁相振荡到混沌振荡之间来回变 换【矧，他们的工作为电缆模型的应用提供了一个很好的思路。 除了h h 方程和电缆模型外，f h n 模型也越来越多的在神经电活动领域得 到应用。s h u n s u k es a t o 和s h i n j id o i l 4 7 】以f h n 模型为研究对象，研究了神经 元在周期脉冲电刺激的响应特性。他们发现了f h n 模型在周期电脉冲序列刺激 下的分岔结构，随着电脉冲幅值的增加，动作电位的响应出现疗：m 的锁相振荡 以及混沌振荡。 随着对混沌同步现象研究的深入，除了单个的神经元的混沌现象受到人们 的关注外，因为两个神经细胞之间的信号传递在神经系统信号的传递过程中占有 很重要的地位，因此相邻的神经元之间的动力学特性现在也越来越受到人们的关 注。s t e p h e nb a i g e n t 4 9 等人对用来耦合两个神经元的g a pj u n c t i o n 进行了仔细的 研究，他们根据一个完整的g a pj u n c t i o n 是由相邻的每个细胞各出一个半通道构 成这样的生理特点，得出每个通道导通的概率是一个跟膜电压相关函数，根据推 导出的函数，研究了g a pj u n c t i o n 的非线性特点对耦合的两个神经元的影响。h k i t a j i m a 和h k a wa k a m 5 0 】【5 1 1 发展了耦合的f h n 模型，研究了两个耦合神经元 在外部电场刺激下的参数分岔和混沌同步问题，也得到了比较理想的结果。 第三章g h o s t b u r s t e r 模型的分析 第三章g h o s t b u r s t e r 模型的分析 现实世界中的生物对象极其复杂，其中含有大量未知的因素，即使是根据生 物系统简化建立的模型普遍也具有多变量、非线性以及强耦合等特点。比如说 g h o s t b u r s t e r 模型中，就利用了微分方程组来描述神经元细胞跨膜电压与离子电 流变化的复杂的非线性行为，因此传统的线性理论在分析复杂的生物模型的时候 就已经不适用了，必须采用更为合适的数学工具来进行分析。随着非线性系统理 论的发展，它已经越来越多的被用来分析复杂的生物模型了。在这一章，将结合 生物系统的特点，以文献f 5 2 】f 5 3 】【明为基础，介绍非线性理论的一些基础知识以及 分岔、混沌和混沌分析中用到的一些概念的数学描述，为后文的分析提供理论依 据。 3 1 动力系统的概念 常微分方程定性分析和非线性动力系统方面的研究，直接影响着非线性系 统理论的发展。微分方程定性分析根据其自身的结构，直接研究微分方程所确定 的积分曲线( 或轨线) 的几何性质及稳定性问题。动力系统的概念起源于对动力学 问题常微分方程的定性研究，它着重研究随时间演化的系统的全局( 大范围) 定性 行为，现在已成为研究动态系统的一个非常重要的工具。 非线性动态系统常常用下列微分方程描述： f 童o ) = f ( t ，x o ) ，甜( f ) ) ， ly ( f ) = g ( t ，工( f ) ，”( f ) ) ， ( 3 1 ) 其中x ( t 。) = 叠尺”为系统状态变量初值。t i t ) = tcr ，t 为时间集。控制 函数 其中，u 是控制函数空间，“( f ) 是输入变量，u 是输入空间。状态变量 1 4 u = 0 ，存在万 o 使l x ( t 。) 一d t o ， 且i x ( 岛) 一纠占， 郴i m x ( t ) = p 。那么p 是渐近稳定的。 简单的说，对于平衡点p ，如果每一个接近p 的解在t o o 时都能达到p ， 则该点是渐近稳定的。渐近稳定不同于严格数学意义上的稳定，对于临界状态的 等幅振荡也可以认为是渐近稳定的。下面简单给出渐近稳定的一个判定定理： 对于矩阵m 必= 陪 ， 若所有特征根的实部都是负的，则平衡点p 是渐近稳定的；若_ 个或多个特 征根有正实部，则p 非渐近稳定。 第三章g h o s t b u r s t e r 模型的分析 对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的定性状态( 如 平衡状态或周期运动的数目和稳定性等) 会发生忽然变化，这种变化称为分岔。 分岔是常见的非线性现象。 一般来说，如果一个动态系统是结构不稳定的，则对任意小的扰动都可以使 系统的拓扑结构发生变化，这种变化就叫分岔。 设自由运动系统戈= f ( x ，u ) ，x x = r ”依赖于参数1 t o 冬r ”，若系统的拓 扑结构在鳓o 处发生突然变化，则称鳓是一个分岔值，而e 中所有分岔值构 成的集合称为分岔集。 根据隐函数定理，若对任何x ，都有学0 ，则可以找到唯一确定的函数 x = x 0 姐) ，满足厂( ，l u 。) = 0 。因为分岔点( x 。，1 t 。) 处有两个或多个解的分岔， 因此分岔点处錾：0 。所以，如果( x o ， 1 0 ) 是分岔点，则 f f ( x o ，) = o ， t 刮却一o ， 这就是分岔存在的必要条件。 设文= f ( x ，) ，x x = r ”，0 r ”，是依赖于参数的一个动态系统， l u 处参数变化引起向量场局部拓扑结构的变化，则称为局部分岔；若引起向 量场全局拓扑结构的变化，则称之为全局分岔。 所谓局部分岔和全局分岔都是相对而言，因为任何局部分岔都会影响全局拓 扑结构的变化，只是局部分岔影响比较小而已。 设x dcx = r ”，l u bco 尺”，方程f ( x ，) = 0 的解的数目随参数1 t 的 变化问题称为静态分岔问题；而主= f ( x ，) 的向量场或流( 特别是极限集) 的拓 扑结构随参数的变化问题称为动态分岔问题。 在动态分岔问题中，除了研究平衡点的分岔外，还要研究其他分岔问题，例 如闭轨、同宿轨线或异宿轨线、不变环面等分岔。由于f ( x ，) = 0 的解对应 j = f ( x ，) 的平衡点，因此静态分岔属于平衡点分岔的研究范围，即动态分岔实 1 7 第三章g h o s t b u r s t e r 模型的分析 际上包括静态分岔。 混沌现象是非线性动态系统所特有的一种运动形式，它是普遍存在有极其复 杂的现象。它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三种定常状态：静止、周 期运动和准周期运动，而是一种始终限于有限区域且轨道永