最大化生存概率的投资策略.doc

最大化生存概率的投资策略罗琰1 ,2 ,杨招军1 ,杨金强1(11 湖南大学经济与贸易学院 ,湖南 长沙410079 ;21 南京审计学院数学与统计学院 ,江苏 南京210075)摘 要 :本文研究最大化生存概率准则下的最优投资问题 。假设投资者面临着不可对冲的随机风险 ,市场是不完 备的 ,任何投资策略都不能完全消除财富总量的下行风险 。本文主要结果是 :假设无风险资产利率大于零 ,分别研 究了无借贷约束和有借贷约束条件下基于最大化生存概率准则的最优投资问题 , 运用随机控制理论 , 通过求解 hj b 方程 ,获得了最优投资策略及相应最大生存概率的闭式解 ,给出了数值算例 ,通过比较静态分析揭示了生存概 率和投资策略与各参数之间的数量关系 。结果表明 ,风险资产最优投资比例随财富总量的增加而减少 ,企业的生 存概率随财富总量的增加而增加 ,随法定水平的增加而减少 。关键词 :生存概率 ;随机控制 ;借贷约束 ;下行风险中图分类号 : f830 文献标识码 : a1引言金融理论的核心是研究在不确定环境下 ,如何 在时间上最优配置资源以及分析经济组织在配置过 程中的作用。而研究经济个体的最优理财行为又是 研究金融体系自然的切入点。经济个体既是消费者 又是投资者 ,作为消费者 ,面临着如何投资消费决策 问题 ,即现有收入和财富多少用于当期消费 ,消费后 剩余财富又该如何在金融市场中投资。最优消费储 蓄比例和投资组合决策问题时至今日仍然是研究的 热点。连续时间最优消费 - 投资问题的经典分析方 法是随机动态规划 ,这方面的开创性工作属于 me r2 to n 1 ,2 。me r to n 在完全市场中 ,假设股票价格过程 服从几何布朗运动 ,无红利支付 ,无非资本利得 ,投 资者效用函数为双曲绝对风险厌恶函数 ( ha ra )即最大化终止时刻期望财富效用 ,最大化生命期消费效用以及这最大化这两种效用的叠加 ,而考虑最 大化生存概率准则或最小化破产概率准则下的最优投资策略问题则从另一个视角极大地丰富了经典投 资消费问题的研究。所谓生存概率 ,本文指使投资者财富在减少到 一个最小法定水平之前达到既定最大目标值的概 率。因此 ,破产概率只是我们研究的特殊情形而已 。 事实上 ,只需简单的将最小法定水平设为零 ,最大目标值设为无穷大既是破产概率。另一方面 ,一般情 形下最大化生存概率准则与最大化终止时刻期望财 富效用准则下的最优投资策略并非完全一致 ,只有在少数特殊情形下才是无区别的 9 ,而且生存概率准则是一种内在客观的标准 ,独立于任何特殊个体 的效用函数偏好 ,是对效用最大化准则的完善。 10 等条件下 ,运用随机动态规划方法解决了两类连续b ro w ne在无风险利率为零且无借贷约束条时间最优消费 - 投资组合选择问题。之后 ,许多学 者从不同的视角对 mer to n 问题进行拓展 , 如考虑 交易费用 3 、随机收入 4 、借贷约束 5 、部分信息 6 、 存贷利差 7 ,8 等条件 , 取得了丰硕的研究成果 。经 典的最优投资消费策略研究准则可以分为三大类 ,收稿日期 :2008 - 09 - 08 ;修订日期 :2009 - 07 - 08基金项目 :国家社科基金资助项目 ( 06bj l 022) ; 湖南大学“985工程”哲学社会科学创新基地项目作者简介 :罗琰( 1979 - ) ,男( 汉族) ,湖南郴州人 ,湖南大学经济 与贸易学院博士研究生 ,南京审计学院数学与统计学件下研究了具有随机风险公司的最小化破产概率以及最大化终止时刻期望指数效用问题 ,在无风险资 产利率大于零的情形也得到了最大化终止时刻期望 指数效用的最优投资策略及价值函数的闭式解 ,但 没有得到最优值函数的闭式解。b ro w ne 11 研究了 具有固定债务公司最优生存、增长策略 。之后 ,杨昭 军 ,李致中 12 研究了基于存贷利差情形的最优生存 策略 ,刘夏清 ,李林 ,杨招军 13 研究了指数效用下企 业的风险投资策略 , yo u ng 14 研究了具有固定消费 的最小化生命期破产概率的投资问题 , bayra kt a r机现金流且存在借贷约束 ,研究了投资者最小化生 命期破产概率的投资问题 ,其中破产风险来源于给 定消费率 。毋庸置疑 ,无风险利率是大于零的 ,而且政府为 稳定金融市场一般都严禁投资者从银行借款投资股 票市场。基于这些认识 ,本文假设投资者具有随机 现金流且无消费 ,在无风险资产利率大于零时 ,分别 研究了无借贷约束或有借贷约束条件下最大化生存 概率准则的最优投资问题 ,其中生存风险来源于投 资者具有不可控制的随机现金流 ,从而导致的财富 总量的下行风险 ( do w n si de ri sk) 。解决包括上述问题在内的连续时间跨期最优消 费 - 投资问题历来有两种方法 ,即传统的随机最优控制方法及鞅方法 ,参见 8 的第 6 7 页。鉴于在 市场不完备或有市场摩擦 (如本文的借贷约束) 的条件下 ,鞅方法不如随机控制方法有效 、以及本文描述 系统动态变化规律的过程具有马氏性 ,本文与上述文献一样 ,运用经典的随机最优控制方法研究本文的最优投资问题。但是 ,不同于通常的最大化终止时刻期望效用 准则 ,本文的最优目标函数和最优投资策略与时间 w ( 1) ( t) : t 0 及 w ( 2) ( t) : t 0 是相关的 ,相关 系数为 ,即 e w ( 1) ( t) w ( 2) ( t) = t 1 易知 , 当2= 1 时 ,公司可通过购买恒定股票量/或 - /的投资组合选择完全消除财富的不确定性。这种现象 在实际中几乎不可能存在。因此 ,以下设2 1 , 于是公司无法消除 y ( t) 所带来的风险 ,从而市场是不完备的 ,投资者在任何投资策略下都不可能消除下行 (定义为财富低于某个 (法定) 水平 a ) 风险 。 本文在如下意义下研究公司的最优投资策略 ,任取一个大于 a 的值 b ,设公司初始财富为 x ( a x b) ,使公司财富达到 a 之前增至 b 的概率 ( 生存 概率) 取最大值的策略。投资者还可以投资一种无风险资产 ,其 t 时刻的价格 b ( t) 服从如下方程 :db ( t) = rb ( t) dt , t 0(3)这里 0 r 为常量。设( t) 为购买风险资产数量 。我们说一个投 资策略 ( t) , t 0 是可行的 ,必须满足 1) ( t) ,t 0 是可测的 ft 适应过程 ,2) 对于任意 t ,t0无关 ,故我们可以将模型相应的 hj b 方程转化为一个二阶常微分方程 ,进而获得了最优投资策略及最 优值函数 (生存概率) 的闭式解 。本文余下内容安排如下 : 第 2 节给出最优投资 数学模型和解析计算结果 ,第 3 节给出数值算例和 比较静态分析 ,最后一节是全文总结 。2 ( t) dt 0 为常量 , w ( 1) ( t) : t 0 ,t w ( 2) ( t) : t 0 为定义在概率空间 (, f , p) 上 f适应 的 标 准 b ro w n 运 动 , 这 里 ft 是 自 然 域依分布 (4) 可等价地写成d x ( t) = rx ( t) + ( t) ( -r) + dt +2 ( t)2 +2 + 2( t) dw ( t)(5)其中 过程 w = ( w ( t) ) 为 f = = ft 适应的 标准 b ro w n 运动记 z = i nf t 0 |x ( t) = z , d =mi n (a ,b ) ,于是投资者最大化生存概率的最优投资策略问 题为如下随机控制问题 :sup p x (b a )(6)p蜳其中 x 为公司初始财富 , a x b , x ( t) 满足(4) 。1 2 fw , wt 关 于 概 率 测 度 p 的 完 备 化 。设 过 程为叙述方便 ,引入下述记号 :v ( x ; a , b) = sup p x (b 0 , v x x x ,即考虑 (1) x l , 以及 (2) x l 两种情形 ,其 中将3 代入 (11) 并整理得二阶常微分方程l = - /+ ( - )() ( - r ) -2 + 1 - 2 2 222 ( 1 - 2 ) ( v x x / v x ) 2 + 2 k ( x) ( v x x / v x ) - (- r) 2 /2 = 0 1(13)(- ) / ( u + r) ,它是如下关于 z 的二次方程较大的根:解式 ( 13 ) 关于 v x x / v x 的方程 , 舍去正根 ( 因v x x / v x 0 , v x x 0 的确是满足的 。x2 ( + r) z2 + 2 (2 +r) z + r 2 - 2 + 2= 0(15)从定理 1 易知 ,当 x l 时 ,最优投资策略是 i2= k2 ( x) + a 2 - ( rx +) / ( - r) ,现在要确 定的只是当 x l 时的最优投资策略 。以下记h ( u) = (u +) 2 + ( 1 - 2 )2 - /e xp 2 ( - ) a rc ta n (u+) / ( 1 - 2 ) / (2 1 - 2 ) x k( b)ak( x) g u du/ g k l 及 v ( x) 在区间 ( a , b) 上有界 ; ( 2) v x / v x x 是局部( ) ( ) ) - 1l ip schitz 连续的。于是 , 仿文 11 定理 21 1 的证 明 ,可证上述定理中3 及 v ( x) 确为所求最优策略 和最大目标函数值 ,定理证毕。定理 2 借款约束下 ,在任意时刻 t ( 0 t t) ,投资者基于最大化生存概率的最优投资策略为 :x a x l注 1 (1) 定理 1 中的式 (8) 也是文 10 定理 6 的3 ( x) = mi n x , i =i l x b(16)最优目标值函数为 :v ( x;a,b) =为了确定两个常数 p 和 q ,要利用平滑粘性条 件。由 (21) (22) (24) (25) 式 ,可得xq(l)h(u) dua x lak(b)lpak( b)( )()h u du = 1 - q/ r k( l)g( u) du (26)1 - q(l) h(l)g(u) du/ g( k(l) l x bk(x)(17)证明 : 同定理 1 , 此时最优策略满足如下 hj b方程 :sup v x rx + ( - r) + + (22 + 2 +p h ( l) = ( q/ r) g( k ( l) )(27)进一步可以得到 :p = q ( l) , q = q ( l) r h ( l) / g( k ( l) )(28) 结合 (28) (25) (26) 即得值函数式 (17) 。 最后要确认条件 (23) 能满足 。由 (20) ,显然有2 2 20 xv x x ( l - ) = - 2 (l + ) / ( l+ + 2l ) 2) v x x / 2 = 0(18)边界条件仍然是 v ( a) = 0 , v ( b) = 1 。对于 x l ,不受借款约束的最优投资策略是可行的 ,此 时最优投资策略满足的 hj b 方程为 :v x ( l - ) 1(29)此外 ,由3 x x l 及 (12) 有l = 3 | x = l = - / - ( - r) /2 v x ( l+) / v x x ( l +) 1(30)2 ( 1 - 2 ) ( v x x / v x ) 2 + 2 k ( x) ( v x x / v x ) - (- r) 2 /2 = 0 , l x b(19)注意到 v知 ,只要证x ( l - )= v x (l +),于是由( 29) (30)边界条件为 v ( b) = 1 。唯一的问题是当 a x l 时的最优投资策略 。+2 )( - r) / ( + l 2 ) = 2 (/ l +) / (2 l2 + 2l事实上大多数投资者不会为了避免破产而借钱投资于风险资产 ,有理由相信投资者风险投资额不会超 过现有财富。仿 b ro w ne (1995) ,猜想此时的最优投 资策略是简单的把所有的财富 x 投入风险资产 ,所 以有3 ( x) = mi n x , i 。如果猜测是正确的 , 则 此时的最优值函数满足 :整理得2 ( + r) l2 + 2 (2 +r) l + r 2 + 2 - 2= 0即 l 是方程 ( 15) 的根 ,这正是前面所得到的结 论。至此 ,所有条件都满足 。最后 ,同定理 1 ,不难得到验证 ( ve rificatio n) 定2 (x +) v x + (2 x2 +2 + 2x ) v x x = 0 , a理条件是满足的 ,上述定理中3 及v ( x)确为所求 x l , (20)边界条件为 v ( a) = 0 。但是 ,既然要求值函数满足二次连续可微性 ,则 值函数还必须满足平滑粘性条件 ( smoo t h p a sti ngco nditio n s) 16 。此原则意味着值函数在临界点 l 必 须是连续可微的 ,即 :v ( l - ) = v ( l +) , (21) v x ( l - ) = v x ( l +) , (22) v x x ( l - ) = v x x ( l +) 1 (23)若能找到一个值函数满足条件 (19) (20) 以及边界条件和所有平滑粘性条件 ,则猜测是正确的 。由(20) 及边界条件 v ( a) = 0 ,可解得xv ( x) = p h ( u) du , a x l , 所以此时最优风险投资额为 3 =81 2998 万元 , 无风险投资额 ( 存款) 为 x - 3 =11 7002 万元 ;而当投资者现有财富为 x = 5 万元时 , 因为 x l 且不允许借款投资于风险资产 ,此时最 优风险投资额为3 = x = 5 万 ,当然无存款 。4 结语本文基于最大化生存概率准则 ,研究了投资者 的投资策略问题。在无风险资产利率大于零时 ,分 别对无借贷约束和有借贷约束条件情形 ,通过求解 模型相对应的 hj b 方程 ,都获得了最优投资策略及 最优值函数的闭式解。在无借贷约束情形 ,最优投 资策略由决策时的财富总量决定 ,且随着财富的增 加风险投资额反而减小。在有借贷约束情形 ,最优 投资策略是财富总量的分段函数 ,当财富总量低于 临界值时 ,风险资产投资额随财富的增加而增加 ;当 财富总量高于临界值时 ,风险资产投资额随着财富 总量的增加而递减。最优值函数 (生存概率) 是财富 总量的递增函数 ,是法定水平 a , b 的递减函数 。最 后 ,利用这些结果给出一个直观的算例 ,通过比较静 态分析进一步明确了生存概率和投资策略与各参数 之间的数量关系。本文的研究结果切实可行、易于 实时操作 ,适用于具有随机现金流且投资目标是追 求最大化生存概率的企业 ,不仅对企业的决策有直 接的指导意义 ,而且对进一步的风险投资理论分析 具有明显的参考价值 。结论的计算看起来有些复 杂 ,但易于编程计算 , 特别是最优策略的计算很简 单 ,无需计算工具即可算出 。本文假设只有一种风险资产 (股票) ,理由是 :在 市场均衡条件下 ,各种资产单位风险成本趋于相等 , 故可认为市场只有一种风险资产 ;其次 ,本文的重点 是讨论如何在风险资产和无风险资产之间分配投资比例 ,至于风险资产之间的组合选择问题不是我们 讨论的中心任务 ,专注于一种风险资产情形有利于得到更为深刻的结果 。最后指出 ,金融实践表明随机波动率模型更适 合描述风险资产价格的变化 ,同时无风险资产利率 也会发生一些随机变化。因此 ,随机波动率以及随 机利率情形下的企业最大化生存概率的投资问题 , 将是该领域一个值得进一步探索的研究方向 。参考文献 : 1 merto n r ,c1 . l if e time po rtfolio selectio n under uncer2 taint y : t he co ntinuo us time ca se s j 1 review of eco2 no mics a nd stati stics , 1969 , 51 : 247 - 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