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条件期望的性质和应用1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(x,y)的联合分布列为，对一切使的，称为给定条件下x的条件分布列。此时条件分布函数为 ；同理，对一切使的，称为给定条件下y的条件分布列。此时条件分布函数为 。故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下或。定义2 连续随机变量的条件期望 设二维连续随机变量（x,y）的联合密度函数为，边际密度函数为和。 对一切使0的，给定条件下x的条件分布函数和条件密度函数分别为，； 同理对一切使0的，给定x=x条件下y的条件分布函数和条件密度函数分别为，。 故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下或。 2 条件期望的性质2.1 一般性质因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数学期望的所有性质。性质1 若c是常数，则；性质2 对任意常数，有；性质3 对任意的两个函数和，有；性质4 若、相互独立，则。根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：推论 1 ，其中均是常数时，特别有。推论 2 若相互独立，则。 注意：对于“和” ，不要求相互独立，对于“积” ，则要求相互独立。2.2 特殊性质引理 随机变量和的相关系数在坐标平移变换中保持不变。证明：设平移变换，（为常数）由期望和方差的性质易知 3 条件期望的应用3.1 利用条件期望计算数学期望 由条件期望的定义1可知，要计算，可取在条件下，的条件期望的加权平均，加在每一项的权重等于作为条件的那个事件的概率，这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往能够较容易地把数学期望计算出来。下面举例说明其用法。 例1假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。解：令表示进入这个景点的游客人数，令表示第个游客在这个景点消费的钱数，则所有游客消费的钱数为，现在有而 (由与的独立性知)其中。这意味着，因此 故由上面的结果可知，某天游客总消费钱数的期望值为300元。 例2一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。如设这矿工在任何时刻都等可能地选定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？ 解：令表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），表示他最初选定的门，应用全数学期望公式，有 ， 易知；现在考虑计算。设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小时后又转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。因此，他要到达安全地点平均还需要小时，故 ； 类似地，有 ，从而 。 解得 。所以他到达安全地点平均要花15小时。 此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一说明。 例 3箱内有个白球和个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得白球为止，求被取出的黑球的平均数。 解：设表示被取出的黑球数，记，定义，如第一个被抽出的球是白色； ，如第一个被抽出的球是黑色。则 。 但是 ， ， 于是 ， , 。 用归纳法易证 。3.2 利用条件期望求随机变量的方差 因为对任一随机变量，有公式，因此可用条件期望来计算方差。 例4若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元；若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。根据历史数据记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第张保单理赔的概率分布。解：用表示理赔次数，表示有死亡事故发生需要赔付；则表示事故发生不需要赔付。若用表示需要赔付的数额，不再是一个常数，而是一个与有关的随机变量，依题意有 ， 而且令，则，。因此，记，其中的条件分布概率为，且有 则 例5 接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为。设表示出现首次成功所需的试验次数，求。 解：设，如第一次实验结果成功； ，如第一次实验结果失败。 因为 因此 或 故 在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。3.3 条件期望在商业决策中的应用 在商业竞争中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况作出合理的预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。这就要求决策者们根据以往的销售情况及最新的信息资料进行综合分析作出决策。利用贝叶斯公计算条件数学期望，就是商业决策中的一种方法，下面以具体实例来介绍此方法的运用。 例6 三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占。 平均说来，机器甲生产的零件有不合格，对于机器乙和丙，相应的百分数分别是和。如果从总产品中任意的抽取一个零件，发现为不合格，试问： （1）它是由机器甲生产出来的概率是多少? （2）它是由哪一部机器生产出来的可能性最大? 分析：本例是在“取得的零件为不合格品”已经发生的条件下，计算该零件由机器甲、乙、丙生产的概率，即由“结果”“推断”“原因”发生的概率。考虑用贝叶斯公式，令 “取得的零件为不合格品”， “取得的零件由机器甲生产的”，“取得的零件由机器乙生产的”，“取得的零件由机器丙生产的”，则 , , , , , 。（1）根据题意指的是计算,由贝叶斯公式，有 。（2）类似（1）的计算，可得 ， 。可见，机器甲生产的可能性最大。例7某服装商场根据以往的资料，预测服装在未来一段时间内畅销的概率为，滞销的概率为，现有两种销售方案（1）打折处理：预计在商品畅销时可获利6万元，在商品滞销时可获利2万元；（2）对商品重新包装，做广告宣传，仍按原价销售，预计在商品畅销时可获利10万元，在商品滞销时将损失4万元。为了做出正确决策，先进行了一段时间的试销，发现原来认为畅销的商品实际畅销的概率为，实际滞销的概率为；原来认为滞销的商品实际畅销的概率为，实际滞销的概率为，根据这些资料我们来分析一下，采用哪种销售方案最佳。分析：我们用表示预测商品畅销，表示预测商品滞销，表示实际商品畅销，表示实际商品滞销，表示采取第一方案所取得的利润，表示采取第二方案所取得的利润。 则取值为6，2，取值为10，-4。且与表示预测商品畅销，即事件；与表示预测商品滞销，即事件。于是，, , , , 由贝叶斯公式知 ， ， ， 。因此，实际畅销商品采取第一方案的利润均值为 ， 实际滞销商品采取第一方案的利润均值为 ， 实际畅销商品采取第二方案的利润均值为 , 实际滞销商品采取第二方案的利润均值为 。由此可以看出，不论是实际畅销还是实际滞销的商品，采取第一销售方案的利润均值（条件期望）都大于第二方案，故应采取第一方案进行销售。结束语通过本文的讨论可以看出，条件期望定义和性质的学习是有一定难度的，但是它在数学与其他领域都有着广泛的应用。如果我们能对其进行系统的学习和总结，而且在适当时候应用上述定理对问题加以分析，那我们就可以对问题有更加深入更加广泛的了解。【参考文献】1茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程m. 北京：高等教育出版社，2004.2朱福国. 条件期望的两种定义及其等价性讨论j. 大学数学，2011. 3魏艳华，李艳颖，王丙参. 条件期望的性质及求法j. 牡丹江大学学报，2009. 4杨丽云. 条件期望和相关系数j . 河北理工学院学报，1996. 5赵志文，杨丰凯.关于条件期望求法的讨论j. 吉林师范大学学报（自然科学版）， 2005. 6郑庆玉. 条件