概率论与数理统计教案1.doc

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蚅螂芈蒂薁螁羇芄蒇螁肀蒀螅螀膂芃蚁衿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蒆葿袆芈荿螈袅羈薅蚄袅肀莈薀袄膃薃蒆袃芅莆螅羂羅腿蚁羁肇莄薇羀艿膇薃罿罿蒂葿罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈节螄肄膀蒇蚀肄莂芀蚆肃肂薆薂虿膄莈蒈蚈芇薄螆蚇羆莇蚂蚇聿薂薈螆膁莅蒄螅芃膈螃螄羃莃蝿螃膅膆蚅螂芈蒂薁螁羇芄蒇螁肀蒀螅螀膂芃蚁衿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蒆葿袆芈荿螈袅羈薅蚄袅肀莈薀袄膃薃蒆袃芅莆螅羂羅腿蚁羁肇莄薇羀艿膇薃罿罿蒂葿罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈节螄肄膀蒇蚀肄莂芀蚆肃肂薆薂虿膄莈蒈蚈芇薄螆蚇羆莇蚂蚇聿薂薈螆膁莅蒄螅芃膈螃螄羃莃蝿螃膅膆蚅螂芈蒂薁螁羇芄蒇螁肀蒀螅螀膂芃蚁衿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蒆葿袆芈荿螈袅羈薅蚄袅肀莈薀袄膃薃蒆袃芅莆螅羂羅腿蚁羁肇莄薇羀艿膇薃罿罿蒂葿罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈节螄肄膀蒇蚀肄莂芀蚆肃肂薆薂虿膄莈蒈蚈芇薄螆蚇羆莇蚂蚇聿薂薈螆膁莅蒄螅芃膈螃螄羃莃蝿螃膅膆蚅螂芈蒂薁螁羇芄蒇螁肀蒀螅螀膂芃蚁衿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蒆葿袆芈荿螈袅羈薅蚄袅肀莈薀袄膃薃蒆袃芅莆螅羂羅腿蚁羁肇莄薇羀艿膇薃罿罿蒂葿罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈节螄肄膀蒇蚀肄莂芀蚆肃肂薆薂虿膄莈蒈蚈芇薄螆蚇羆莇蚂蚇聿薂薈螆膁莅蒄螅芃膈螃螄羃莃蝿螃膅膆蚅螂芈蒂薁螁羇芄蒇螁肀蒀螅螀膂芃蚁衿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蒆葿袆芈荿螈袅羈薅蚄袅肀莈薀袄 概率论与数理统计教案1概率论与数理统计教案 讲 稿第一章 概率论的基本概念 一、基本概念1. 随机试验2. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母w表示（本书用s表示）每个结果叫一个样本点.3随机事件w中的元素称为样本点，常用w表示。(1) 样本空间的子集称为随机事件(用a,b表示)。(2) 样本空间的单点子集称为基本事件。(3) 实验结果在随机事件a中，则称事件a发生。(4) 必然事件w。(5) 不可能事件f。(6) 完备事件组（样本空间的划分）4概率的定义（公理化定义）5古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。p(a)=kn=a包含的基本事件数基本事件总数 =。6几何概型 p(a)=7条件概率设事件b的概率p(b)0.对任意事件a，称p(a|b)=件下事件发生的条件概率。8条件概率的独立性 p(ab)p(b)a的长度（面积、体积）w的长度（面积、体积） 为在已知事件发生的条a、b f,若p(ab)= p(a) p(b) 则称事件a、b是相互独立的，简称为独立的。 设三个事件a,b,c满足p(ab)=p(a)p(b)p(ac)=p(a)p(c)p(bc)=p(b)p(c)p(abc)=p(a)p(b) p(c) 称a,b,c相互独立。二、事件的关系的关系与运算.事件的包含关系若事件a发生必然导致事件b发生，则称事件b包含了a， 记作ab。. 事件的相等设a,bw,若ab，同时有ba，称a与b相等，记为a=b，.并(和)事件与积(交)事件“a与b中至少有一个发生”为a和b的和事件或并事件。记作ab .“a与b同时发生”这一事件为a和b的积事件或交事件。记作ab或ab .差事件“a发生b不发生”这一事件为a与b的差事件，记作a-b.对立事件称“w-a”为a的对立事件或称为a的逆事件，记作a。-aa=a aa=f.互不相容事件（互斥事件）若两个事件a与b不能同时发生，即ab=f，称a与b为互不相容事件（或互斥事件）。 .事件的运算法则1)交换律 ab=ba,ab=ba2)结合律 (ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc)3)分配律 (ab)c=(ac)(bc)(ab)c=(ac)(bc)4)对偶原则 ab=ab ，ab=ab三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件a、b，有p(ab)=p(a)+p(b)-p(ab)（2）对任意三个事件a、b，cp(abc)=p(a)+p(b)+p(c)-p(ab)-p(ac)-p(bc)+p(abc)2.减法公式若ab 则p(b-a)= p(b)-p(a); p(b)p(a)p(a-b)= p(a)-p(ab)3.对立事件概率公式对任一随机事件a，有 p（a）=1-p（a）；4.乘法公式当p(a)0时: p(ab)=p(a)p(b|ap(abc)=p(a)p(b|a)p(c|ab)5全概率公式n定理1：设 b1,b2,l,bn是 一列互不相容的事件，且有bi=w,对任何事件a，i=1n有p(a)= p(bi)p(abi)i=16、贝叶斯公式n定理2：若b1,b2,l,bn是一列互不相容的事件，且bi=wi=1则对任一事件a有p(bi|a)=p(bi)p(a|bi)nj=1p(bj)p(a|bj)两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7.贝努里概型-贝努里试验:若试验e只有两个可能的结果a及a，称这个试验为贝努里试验。 贝努里概型设随机试验e具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件a和事件a；3）每次试验的结果发生的概率相同 p(a)=p0 p(a)=1-p=q称试验e表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为e。kkn-k设事件a在n次试验中发生了x次，则px=k=cnp(1-p),k=1,2,l,n n四、举例例1.已知p(ab)=p(ab)，p(a)=p，求p(b)【解】 p(ab)=p(ab)=p(ab)=1-p(a)+p(b)-p(ab)p(b)=1-p例2.已知p(a)=p(b)=p(c)=个发生的概率。【解】 p(abc)=p(a)+p(b)+p(c)-p(ab)-p(ac)-p(bc)+p(abc) 141414185814,p(ab)=p(bc)=0,p(ac)=18,求a,b,c至少有一 =+-0-0+0=例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。【解】设a：两个球都是白球，b：两个球都是红球，c：至少有一个白球基本事件总数为c6=15a的有利样本点数为c42=6, p(a)=6/15=2/5b的有利样本点数为c2=122, p(b)=1/15p(a+b)=p(a)+p(b)=7/15p(c)=1-p(b)=14/15例4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？【解】用x表示取到白球数4222p(a)=px=2=c21-= 93320p(b)= 022102px=0=c21-=339p(a+b)=p(a)+p(b)=5/9p(c)=1-p(b)=8/9例5（抽签原理）有a个上签，b个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是aa+b【证】放回抽样结论是显然的；不放回可用全概率公式证明p=aa+b12例6：（几何概型）在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于_【解】以x和y分别表示甲乙约会的时间，则 w=(x,y)|0x1,0y1两人到会面出时间差不超过15分钟a=(x,y)0x1,0y0,p(a|b)=1，则必有(a) p(ab) ) (b) p(ab)p(b) p(a222222(c) p(ab)=p(a) (d) p(ab)=p(b) c 22例13：设随机变量x服从正态分布n(m1,s1)，y服从正态分布n(m2,s2)，且px-m1py-m21则必有(a) s1s2(c) m1m2 a 教学后记 教 案 第二章 一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1. 随机变量定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数x(w)，则称实变量x为随机变量，通常用大写字母x,y,z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数x为随机变量，x的可能取值为0，1，2例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量x,的可能取值为x=0,5。例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（x,y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2. 分布函数定义2 定义在样本空间w上，取值于实数域的函数x(w)，称为是样本空间w上的（实值）随机变量，并称f(x)=pxx是随机变量x(w)的概率分布函数.简称为分布函数.分布函数的性质：（1）单调性 若x1x2,则f(x1)f(x2)；（2）f(-)=limf(x)=0 x-fx(=) f(+)=limx+（3）右连续性 f(x+0)=f(x)（4）paxb=f(b)-f(a)二、离散型随机变量1.概念定义3：只取有限个或可列个值的变量x为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。2.分布律及其表示如果离散型随机变x可能取值为(a1,a2,a3.)，相应的概率变量x的分布列，也称为分布律，简称分布。 为随机（1）分布律表示方法公式法 （2）分布律表示方法列表法 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律： 分布列的性质:非负性：1）pi0规范性：2）pi=1i=1分布函数 f(x)=0例1: 已知x141-axixpi 2 (1)求a，(2)分布函数 2ax00x11x2x20114【解】a=- f(x)=3241例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，x表示取到的黑球数。（1）求x的分布律；（2）为随机变量x的分布函数【解】x可能取值为0，1，2。px=0=310,px=1=135610=35,px=2=110 0x的分布律 x3100110f(x)=910121 10x00x11x2x2三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念定义1 若x是随机变量，f(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x)，使对任意的x，有f(x)=x-f(t)dt，则称x为连续型随机变量，相应的f(x)为连续型分布函数.同时称f(x)p(x)是f(x)的概率密度函数或简称为密度.2.密度函数f(x)具有下述性质：（1）非负性f(x)0 （1）规范性+-f(x)dx=1（3） x(wx)p(pxxxx22)=f(x2)-f(x1)=11（4）px=x0=0 （5）由f(x)=df(x)dxxx2x1x1pf(yx)dy)dxx-p(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有=f(x)=p(x)例3：设随机变量x的分布函数为 f(x)=a+barctanx。（1）求a，b ，f(x) (2)求 px1|x-1【解】 f(-)=limf(x)=0x-fx(=) f(+)=limx+得 a=12，b=1p， f(x)=1p(1+x)=2 1-f(1)1-f(-1)13px1|x-1=px1,x-1px-1px1px-1=kxx例4：设随机变量x的概率密度函数为 f(x)=2-200x33x4。 other（1）k (2)分布函数 （3）求 p1x414872 【解】 （1/6）（四、常见分布）(1)两点（0-1）分布 设离散型随机变量x的的分布列为01 p 1-p其中0p1，则称x服从两点分布，亦称x服从（01）分布，简记为x(01）分布.(2)二项分布 若离散型随机变量x的分布列为k p(x=k)=cnpq,k-nkk=0,1l,2, n其中0p0为常数，则称x服从参数为l的普哇松分布，记为xp(k;l).易验证(1p)x(=k)0k,=0,l1,2,;(2)px(=k=)k=0lkk!e-l= 1定理（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件a在一次试验中出现的概率为pn（与试验总数n有关）如果当n时，npnl(l0常数），则有(n;n,p= limbkdx0k!lk-le=k,0l,1 ,2,(4)几何分布 设x是一个无穷次贝努里试验序列中事件a首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2,l.而取各个值的概率为 p(x=k)=(1-p)k-1p=qk-1p,k=1,2.l.其中0pk-10=k,1l,2,(2)pqk=1k-1=1(5)均匀