工程力学 第三讲PPT课件.ppt

第5章杆件的内力图,第1节基本概念与基本方法第2节轴力图与扭矩图第3节剪力图与弯矩图第4节结论与讨论,下一页,上一页,返回,1,第5章杆件的内力图,之前已经研究了结构在荷载作用下的平衡问题，那时都是假设结构不变形的，然而，实际上任何结构都是可变形固体组成的。它们在荷载作用下将产生变形，因而内部将由于变形而产生附加的内力。本章就是要在了解结构的基本变形的基础上，集中研究静定结构的内力。,下一页,上一页,返回,2,第1节基本概念与基本方法,一、变形固体的基本假设固体具有可变形的物理性能，通常将其称为变形固体。变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形。弹性变形是指变形固体在去掉外力后能完全恢复它原来的形状和尺寸的变形。塑性变形是指变形固体在去掉外力后变形不能全部消失而残留的部分，也称残余变形。本书仅研究弹性变形，即把结构看成完全弹性体。工程中大多数结构在荷载作用下产生的变形与结构本身尺寸相比是很微小的，故称之为小变形。本书研究的内容将限制在小变形范围，即在研究结构的平衡等问题时，可用结构的变形之前的原始尺寸进行计算，变形的高次方项可以忽略不计。为了研究结构在荷载作用下的内力、应力、变形、应变等，在作理论分析时，对材料的性质作如下的基本假设。,返回,下一页,上一页,3,一、变形固体的基本假设,1连续性假设认为在材料体积内充满了物质，毫无间隙。在此假设下，物体内的一些物理量能用坐标的连续函数表示它的变化规律。实际上，可变形固体内部存在着间隙，只不过其尺寸与结构尺寸相比极为微小，可以忽略不计。2均匀性假设认为材料内部各部分的力学性能是完全相同的。所以，在研究结构时，可取构件内部任意的微小部分作为研究对象。,返回,下一页,上一页,4,一、变形固体的基本假设,3各向同性假设认为材料沿不同方向具有相同的力学性能。这使研究的对象局限在各向同性的材料之上。如钢材、铸铁、玻璃、混凝土等。若材料沿不同方向具有不同的力学性质，则称为各向异性材料，如木材、复合材料等。本书着重研究各向同性材料。由于采用了上述假设，大大地方便了理论研究和计算方法的推导。尽管由此得出的计算方法只具备近似的准确性，但它的精度完全可以满足工程需要。总之，本书研究的变形固体被视作连续、均匀、各向同性的，而且变形被限制在弹性范围的小变形问题。,返回,下一页,上一页,5,二、内力,为了研究结构或构件的强度与刚度问题，必须了解构件在外力作用后引起的截面上的内力。所谓内力，是指由于构件受外力作用以后，其内部各部分间相对位置改变而引起的相互作用力。必须指出的是，构件的内力是由于外力的作用引起的。因此，又称为“附加内力”。,返回,下一页,上一页,6,三、构件的基本变形,土木工程力学在研究构件及结构各部分的强度，刚度和稳定性问题时，首先要了解杆件的几何特性及其变形形式。,返回,下一页,上一页,7,1杆件的几何特性,在工程中，通常把纵向尺寸远大于横向尺寸的构件称为杆件。杆件有两个常用到的元素：横截面和轴线。横截面指沿垂直杆长度方向的截面。轴线是指各横截面的形心的连线。两者具有相互垂直的关系。杆件按截面和轴线的形状不同又可分为等截面杆、变截面杆及直杆，曲杆与折杆等。,返回,下一页,上一页,8,2杆件的基本变形,杆件在外力作用下，实际杆件的变形有时是非常复杂的，但是复杂的变形总可以分解成几种基本的变形形式。杆件的基本变形形式有四种：,返回,下一页,上一页,9,（1）轴向拉伸或轴向压缩在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，使杆件发生长度的改变(伸长或缩短)。,FP,FP,轴向拉伸,FP,FP,轴向压缩,返回,下一页,上一页,10,（2）扭转在一对转向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆任意两横截面发生相对转动。,返回,下一页,上一页,11,（3）剪切在一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力作用下，杆件的横截面将沿力作用线方向发生错动,返回,下一页,上一页,12,（4）弯曲在一对大小相等、转向相反，位于杆的纵向平面内的力偶作用下，或者在杆的纵向对称面内受到与轴线垂直的横向外力作用，使杆件任意两横截面发生相对倾斜，且杆件轴线变为曲线。,M,M,返回,下一页,上一页,13,为了对拉、压杆的失效计算，首先必须要分析其内力。截面法是求杆件内力的基本方法。下面通过求解图所示拉杆m-m横截面上的内力来具体介绍截面法求内力。,一、轴力,第一步：沿需要求内力的横截面，假想地把杆件截成两部分。,FN,FN,第二步：取任意一段作为研究对象，标上内力。由于内力与外力平衡，所以横截面上分布内力的合力FN的作用线也一定与杆的轴线重合。这种内力的合力称为轴力。,第三步：平衡方程，求出未知内力，即轴力。由FN-F=0得FNF轴力正负号的规定：拉力为正，压力为负。,返回,下一页,上一页,14,5.2轴力图与扭矩图,应用截面法可求得杆上所有横截面上的轴力。如果以与杆件轴线平行的横坐标x表示杆的横截面位置，以纵坐标表示相应的轴力值，且轴力的正负值画在横坐标轴的不同侧，那么如此绘制出的轴力与横截面位置关系图，称为轴力图。,返回,下一页,上一页,15,例4-1一直杆受拉(压)如图所示，试求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并绘制出轴力图。,解(1)AB段,例4-1,Fx=0FN11kN=0FN1=1kN（拉）,FN图,1kN,3kN,FN1,FN2,FN3,(2)BC段,Fx=0FN21kN+4kN=0FN2=3kN（压）,(3)CD段,Fx=0FN3+2kN=0FN3=2kN（拉）,(4)绘制出轴力图,2kN,返回,下一页,上一页,16,例4-2竖杆AB如图所示，其横截面为正方形，边长为a,杆长为l,材料的堆密度为，试绘出竖杆的轴力图。,解,例4-2,Fx=0FN(x)W0FN(x)ga2x,x0FN(x)0,W=ga2x,FN(x),FN图,ga2l,xlFN(x)ga2l,(4)绘制出轴力图,返回,下一页,上一页,17,5.2.2扭矩图,工程中往往有这样一类杆件，在垂直于杆轴线平面内受到一对大小相等、转向相反的外力偶矩的作用，杆件任意两横截面绕杆的轴线发生相对转动，如图所示，将该种变形定义为扭转变形。以扭转变形为主的杆件，通常被称为轴。为了便于了解轴扭转时的失效，必须要计算轴在扭转时的横截面上的内力。本节仅限于圆轴的内力计算。,返回,下一页,上一页,18,一、外力偶矩Me的计算,工程中作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴的传递功率及轴的转速，需要把它换算成外力偶矩。它们之间的关系为：Me9549P/n（Nm）(4-1)式中P轴的传递功率，单位为千瓦（kW）；n轴的转速，单位为转/分（r/min）；Me轴扭转外力偶矩，单位为牛顿米（Nm）。,返回,下一页,上一页,19,一、扭矩T,传动轴的外力偶矩Me计算出来后，便可通过截面法求得传动轴上的内力扭矩。设有一圆截面轴如图所示，作用在轴上的外力偶矩Me已知，轴在Me作用下处于转动平衡。现仍用截面法求任意m-m截面上的内力。,第一步：将轴沿m-m处假想地截开，取其中任意一段作为研究对象。第二步：分析可知，由于左端有外力偶作用，为了使其保持转动平衡，则在截面m-m必然存在一内力偶矩,称为扭矩T。它是截面上分布内力的合力偶矩。,第三步：由转动平衡方程TMe=0T=Me,返回,下一页,上一页,20,扭矩的正负号作如下规定：用右手四指沿扭矩转向，若大拇指指向与截面的外法线方向相同，则为正；反之，大拇指指向与截面的外法线方向相反，则为负。该方法称为右手螺旋法则。,返回,下一页,上一页,21,三、扭矩图,若在轴上有多个外力偶矩作用时，显然，轴上不同截面上的扭矩是不一样的。为了清晰地表达出轴上各截面的扭矩大小、正负，可以效仿拉压杆轴力图的方法，绘制出轴的扭矩图。,返回,下一页,上一页,22,例4-3设一等截面圆轴如图所示，作用在轴上的外力偶矩Me分别为：Me160kNm，Me210kNm，Me320kNm，Me430kNm。试计算-、-、-截面的扭矩，并绘制出该轴的扭矩图。,解(1)截面,例4-3,(2)截面,Mx=0Me1+T1=0T1=Me160kNm,(3)截面,Mx=0Me1Me2+T2=0T2=Me1Me250kNm,Mx=0T3Me1Me2Me3=0T2=Me1Me2Me330kNm,(4)绘制出轴力图,返回,下一页,上一页,23,例4-4图410(a)为一传动轴，已知轴的转速n=300r/min，主动轮A的输入功率PA=50kW，从动轮B、C输出功率分别为PB=30kW，PC=20kW。试求-、-截面的扭矩,并作出传动轴的扭矩图。又问如何减小最大扭矩？,解(1)计算外力偶矩,例4-4,计算、截面的扭矩。由截面法可以分别求得T1=MeA=1592NmT2=MeC637Nm,(4)绘制出轴力图,MeA=95491592Nm,MeB=9549955Nm,MeC=9549637Nm,返回,下一页,上一页,24,从扭矩图可知最大扭矩发生在AB段内，其值为Tmax=1592Nm。为了改善最大扭矩，使之处于受载合理，可以把A、B轮对调，如图所示。可以看出，此时最大扭矩的绝对值为Tmax955Nm。由此可见，传动轴上输入与输出功率的轮子的位置不同，轴的最大绝对值扭矩也不同。显然采用后者布局方式较合理。,返回,下一页,上一页,25,5.3剪力图与弯矩图,一、基本概念,1.弯曲在工程中常常会遇到这样一类杆件，它们所承受的荷载是作用线垂直于杆轴线的横向力，或者是作用面在纵向平面内的外力偶矩。在这些荷载的作用下，杆件相邻横截面之间发生相对转动，杆的轴线弯成曲线，这类变形，在本章第1节中，定义为弯曲。凡以弯曲变形为主的杆件，通常称为梁。,返回,下一页,上一页,26,梁是一类很常见的杆件，在建筑工程中占有重要的地位。例如图所示的吊车梁、雨蓬、轮轴、桥梁等。,返回,下一页,上一页,27,工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称面。,F1,F2,如果作用于梁上的所有荷载都在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将在此平面内弯曲，这种弯曲称为平面弯曲。,一、梁的平面弯曲,返回,下一页,上一页,28,3.单跨静定梁的分类,工程中的梁的横截面一般都有竖向对称轴，且梁上荷载一般都可以近似地看成作用在包含此对称轴的纵向平面（即纵向对称面）内，则梁变形后的轴线必定在该纵向对称面内。这种梁变形后的轴线所在平面与荷载的作用面完全重合的弯曲变形称为平面弯曲，如图所示。,返回,下一页,上一页,29,3.静定单跨梁的分类,q,1)简支梁一端为固定铰支座,另一端为可动铰支座的梁,返回,下一页,上一页,30,2)悬臂梁一端为固定端,另一端为自由端的梁,q,FP,3.静定单跨梁的分类,固定端,自由端,返回,下一页,上一页,31,3.静定单跨梁的分类,3)外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁,自由端,返回,下一页,上一页,32,3.静定单跨梁的类型,3)外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁,自由端,自由端,返回,下一页,上一页,33,梁截面上的内力必是的一个平行于横截面的内力FQ，称为剪力和一个作用面与横截面垂直的内力偶M，称为弯矩。,FB,二、梁的內力剪力和弯矩,FQ,M,FA,返回,下一页,上一页,34,M,M,剪力和弯矩的正负号规定,规定：当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势时为正，反之为负。,FQ,FQ,FQ,FQ,M,M,当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时（即上部受压下部受拉）为正，反之为负。,返回,下一页,上一页,35,例4-5已知悬臂梁长度和作用荷载如图所示。试求1-1、2-2截面的剪力和弯矩。,解(1)1-1截面,例4-5,Fy=010kNFQ1=0FQ1=10kNMO1=0M110kN1m5kNm0M1=5kNm,(2)2-2截面,FQ1,M1,FQ2,M2,Fy=0FQ2=0MO2=0M25kNm0M1=5kNm,返回,下一页,上一页,36,例4-6已知简支梁受均布荷载q和集中力偶M=ql/4的作用，如图所示。试求C点稍右截面C+和C点稍左截面C-的剪力和弯矩。,解(1)求支座反力MA=0FBlql2/2+M=0FB=ql/4()Fy=0FA+FBql=0FA=3ql/4(),例4-6,FA,FB,返回,下一页,上一页,37,FB=ql/4()FA=3ql/4(),计算C-截面的剪力和弯矩,Fy=0-FQC+FA-ql/2=0FQC=ql/4MC=0MC-FAl/2+ql2/8=0MC=-ql2/4,FQC,MC,FQC+,MC+,计算C+截面的剪力和弯矩,Fy=0FQC+FB-ql/2=0FQC+=ql/4MC=0-MC+FBl/2-ql2/8=0MC+=0,由本例可以看出，集中力偶作用处的截面两侧的剪力值相同，但弯矩值不同，其变化值正好是集中外力偶矩的数值。,返回,下一页,上一页,38,从上面的两例题的计算，可以总结出如下规律：（1）任一截面上的剪力数值上等于截面左边（或右边）段梁上外力的代数和。截面左边梁上向上的外力或右边梁上向下的外力引起正值的剪力，反之，则引起负值的剪力。（2）梁任一截面上的弯矩，在数值上等于该截面左边（或右边）段梁所有外力对该截面形心的力矩的代数和。无论截面左段梁还是右段梁，向上的外力均引起正值弯矩，反之，则引起负值弯矩。使用以上规律，可以直接根据截面左边或右边梁上的外力来求该截面上的剪力和弯矩，而不必列平衡方程。,返回,下一页,上一页,39,1.剪力方程和弯矩方程由上述例题可以看出，一般情况下，梁上不同的横截面其剪力和弯矩也是不同的，它们将随截面位置变化而变化。设横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示，则梁各个横截面上的剪力和弯矩可表示成为x的函数FQ=FQ(x)，M=M(x)以上两函数表达式，分别称为剪力方程和弯矩方程。,三、剪力图和弯矩图,返回,下一页,上一页,40,2.剪力图和弯矩图为了更形象地表示剪力和弯矩随横截面的位置变化规律，从而找出最大剪力和最大弯矩所在的位置，可仿效轴力图或扭矩图的画法，绘制出剪力图和弯矩。剪力图和弯矩图的基本作法是：首先，由静力平衡方程求得支反力；第二，列出剪力方程和弯矩方程；第三，取横坐标x表示横截面的位置，纵坐标表示各横截面的剪力或弯矩，由剪力和弯矩方程作出剪力和弯矩图。下面举例说明剪力图和弯矩图的具体画法。,返回,下一页,上一页,41,例4-7简支梁受均布荷载作用如图所示，试绘出梁的剪力图和弯矩图。,x,解1)求支座反力,例4-7,2)列剪力方程和弯矩方程,FB,FA,(),返回,下一页,上一页,42,x,3)画剪力图和弯矩图,ql/2,ql2/8,M图,FQ图,FB,FA,ql/2,返回,下一页,上一页,43,例4-8简支梁AB受集中力偶MC作用，如图所示，试绘出梁的剪力图和弯矩图。,x,解1)求支座反力,例4-8,2)列剪力方程和弯矩方程,FB,FA,l-x,AC段,(0xa),(0xa),BC段,(axl),(axl),返回,下一页,上一页,44,(0xa),(0xa),(axl),(axl),Ma/l,M图,FQ图,MC/l,Mb/l,返回,下一页,上一页,45,例4-9简支梁AB受受集中力F作用，如图所示，试绘出梁的剪力图和弯矩图。,x,解1)求支座反力,例4-9,2)列剪力方程和弯矩方程,FB,FA,l-x,AC段,(0xa),(0xa),BC段,(axl),(axl),返回,下一页,上一页,46,(0xa),(0xa),(axl),(axl),Fa/l,M图,FQ图,Fb/l,Fab/l,返回,下一页,上一页,47,例4-10悬臂梁在自由端受集中力F作用如图所示，试绘出梁的剪力图和弯矩图。,x,x=0时，M=0,2)画剪力图和弯矩图,解1)列剪力方程和弯矩方程,例4-10,M,FQ,F,Fl,x,x,x=l时，M=-Fl,返回,下一页,上一页,48,3.剪力与弯矩的微分关系由于梁的内力是由作用在梁上的荷载引起的，它们之间必然会存在一定关系。这种关系可以从前面的例题中初步得出，如例4-7中，将弯矩方程对x求一阶导数，可得到剪力方程；再由剪力方程对x求一阶导数，可求得分布荷载的集度，它们之间存在着导数关系，这一关系是普遍存在的。下面就来证明这一普遍存在的关系。,返回,下一页,上一页,49,梁上的分布荷载q(x)是x的连续函数，并规定q(x)向上为正，向下为负。取距坐标原点为x和x+dx的微段梁为研究对象。横截面上的内力均假设成正的。因为整根梁处在静力平衡之中，因此，微段梁也必然处于平衡状态。,dx,FQ(x),FQ(x+dx),M(x),M(x+dx),返回,下一页,上一页,50,Fy=0,(4-2),MO=0,略去dx的两阶微量，简化后得,(4-3),返回,下一页,上一页,51,Fy=0,(4-2),MO=0,略去dx的两阶微量，简化后得,(4-3),(4-4),以上三式说明了弯矩、剪力和荷载分布集度之间存在的微分关系。,返回,下一页,上一页,52,（1）梁上无分布荷载时，即q(x)=0，由可知，此时剪力FQ(x)=常数，即剪力图的斜率为零，剪力图必为一条水平直线。再由=常数可知，M(x)是x的一次函数，即弯矩图为斜直线，特殊情况：当剪力图为零线时，弯矩图则为水平直线。,由弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系，可归纳下面几条规律：,返回,下一页,上一页,53,（2）梁上有均布荷载时，即q(x)=q，则由可知，剪力图的斜率为常数，或者是x的一次函数，剪力图为一条斜直线。弯矩图是x的二次函数，即弯矩图是一条二次抛物线。当q向上时，剪力图为上斜直线，弯矩图为上凸曲线；当q向下时，剪力图为下斜直线，弯矩图为下凸曲线。,返回,下一页,上一页,54,（3）若梁上某一截面的剪力为零时，根据可知，该截面的弯矩为一极值，但就全梁来说，这个极值不一定就是全梁的最大值或最小值。,（4）梁上集中力作用处，剪力图有突变。正值的集中力引起向上突变，负值的集中力引起向下的突变，突变值等于该集中力的数值。剪力的变化引起弯矩图斜率的变化，故弯矩图有尖角。,返回,下一页,上一页,55,（5）梁上集中力偶作用处，剪力图没有变化，弯矩图有突变。根据我们对弯矩图设置的坐标，则顺时针转的集中力偶，引起其所在截面的弯矩向下突变，逆时针转的集中力偶，引起其所在截面的弯矩向上突变。突变值为该力偶矩的大小。（6）最大弯矩的绝对值，可能发生在F(x)=0的截面上，也可能在集中力或集中力偶作用处（包含支座截面处）。以上规律对指导绘制剪力图和弯矩图是很重要的，应该熟练地运用它。表4-1对常见荷载作用下的剪力图和弯矩图的主要特征作了描述，可供参考。,返回,下一页,上一页,56,返回,下一页,上一页,57,4.利用微分关系绘制剪力图和弯矩图应用弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系，不仅能用来检查所作剪力图和弯矩图是否正确，同时，也能便捷地绘制梁的剪力图和弯矩图。其步骤：（1）根据梁所受外力，将梁分成若干段，并判断各段梁的剪力图和弯矩图的形状。（2）计算特殊截面（控制截面）的剪力和弯矩值，逐段画出剪力图和弯矩图。,返回,下一页,上一页,58,段荷载FQ图形状FQ图控制值（kN）AC无水平线FQA=72CD均布斜直线FQC=72;FQBL=-88BD均布斜直线FQBR=60;FQD=20,FQ图(kN),例4-11图示外伸梁。已知q=20kN/m，M=160kNm，F=20kN，试绘制此梁的剪力图和弯矩图。,解1）求支座反力,FA=72kNFB=148kN,2）将梁分为AC、CD、BD三段,3)画剪力图,72,60,88,FA,FB,先由各段荷载的情况判断剪力图的形状，再计算控制值，然后画出剪力图。,20,返回,下一页,上一页,59,4）画弯矩图由各段荷载和FQ图的情况判断M图的形状,计算控制值,画出弯矩图CB段是抛物线,此段剪力图在E点为零,故E点为极值点.设CE的长为x,则：,x:72=(8-x):88x=5.6mME=113.6kNm,M图M控制值（kNm）直线MA=0；MCL=144抛物线MCR=-16;MB=-80;ME=113.6抛物线MD=0,x,M图(kNm),16,80,144,113.6,段荷载FQ图控制值(kN)AC无FQA=72CD均布FQC=72;FQBL=-88DB均布FQBR=60FQD=20,FA=50kNFB=30kN,E,返回,下一页,上一页,60,（2）分段根据梁上的荷载情况，将梁分割成AC、AB、BD三段。各段的剪力图均为斜直线（）。（3）画内力图a）画剪力图,解（1）求支座反力,例4-12,例4-12作出图示外伸梁的剪力图和弯矩图。,FB,FA,MA0，FB4aq6a2a0FB=3qaFy0，FAFBq6a0FA=3qa,返回,下一页,上一页,61,段荷载M图形状M控制值(kNm)CA均布抛物线MC=0；MA=-qa2/2AB均布抛物线BD均布抛物线MD=0,段荷载FQ图形状FQ控制值CA均布斜直线FQC=0；FQAL=-qaAB均布斜直线FQA=2qaFQBL=-2qaBD均布斜直线FQB=qa；FQC=0,a）画剪力图,FQ图,2qa,2qa,b）画弯矩图,qa,M图,qa2/2,q