静力学书后习题答案

目录 1-3 - 1 1-4 - 2 1-5 - 2 1-8 - 3 2-3 - 4 2-4 - 5 2-6 - 5 2-6b - 6 2-13 - 6 2-18 - 7 2-27 - 8 2-29 - 8 2-31 - 9 2-33 - 10 2-35 - 11 3-10 - 11 3-12 - 12 3-14 - 13 3-20 - 14 3-21 - 14 3-24 - 15 3-27 - 16 3-30 - 16 3-35 - 18 3-38 - 18 3-40 - 19 4-1 - 19 4-4 - 20 4-5 - 22 4-6 - 23 4-7 - 25 4-8 - 28 4-12 - 30 4-15 - 31 1 / 33 1-3 试画出图示各结构中构件 AB 的受力图 回到目录 FAx FA y FB (a) (a) FA FB FB FD FD FBx FBy FBx FC FB FC FBy 2 / 33 1-4 试画出两结构中构件 ABCD 的受力图 回到目录 1-5 试画出图 a 和 b 所示刚体系整体合格构件的受力图 1-5a FAx FA y FD FBy FA FBx FB FA N FB FD FA N FA FB FD 3 / 33 1-5b 回到目录 1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2， 机构在图示位置平衡。 试求二力 F1和 F2之间的关系。 解：杆 AB，BC，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法解法 1(解析法解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉 B 和 C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对 B 点有： 0 x F 045cos 0 2 BC FF 对 C 点有： 0 x F 030cos 0 1 FFBC 解以上二个方程可得： 221 63. 1 3 62 FFF FAx FA y FDx FDy W TE FCx FC y W FAx FA y FBx FB y FCx FC y FDx FDy FBx FBy TE F2 FBC FAB B 45o y x FCD C 60o F1 30o FBC x y 0 45 0 30 4 / 33 解法解法 2(几何法几何法) 分别选取销钉 B 和 C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在 B 和 C 点上的力构成封 闭的力多边形，如图所示。 对 B 点由几何关系可知： 0 2 45cos BC FF 对 C 点由几何关系可知： 0 1 30cosFFBC 解以上两式可得：21 63. 1FF 回到目录 2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆 AB 上作用有主动力偶 M。试求 A 和 C 点处的约 束力。 解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆 AB 在 B 点处受到约束力的方向沿 BC 两点连线的 方向。曲杆 AB 受到主动力偶 M 的作用，A 点和 B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲 杆AB保持平衡。 AB受力如图所示， 由力偶系作用下刚体的平衡方程有 （设力偶逆时针为正） ： 0 M 0)45sin(10 0 MaFA a M FA354. 0 其中： 3 1 tan。对 BC 杆有： a M FFF ABC 354. 0 。A，C 两点约束力的方向如图所示。 回到目录 FAB FBC FCD 60o F1 30o F2 FBC 45o FB FA FB FC 5 / 33 2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知 OA=60cm,BC=40cm,作用在 BC 上力偶的力偶矩 M2 1Nm。试求作用在 OA 上力偶的力偶矩大小 M1和 AB 所受的力 AB F 。各杆重量不计。 解： 机构中 AB 杆为二力杆， 点 A,B 出的约束力方向即可确定。 由力偶系作用下刚体的平衡条件， 点 O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对 BC 杆有： 0 M 030sin 2 0 MCBFB 对 AB 杆有： AB FF 对 OA 杆有： 0 M 0 1 AOFM A 求解以上三式可得： mNM 3 1 ， NFFF COAB 5 ，方向如图所示。 回到目录 2-6等边三角形板 ABC,边长为 a， 今沿其边作用大小均为 F 的力 321 ,FFF， 方向如图 a,b 所示。试分别求其最简简化结果。 解：2-6a 坐标如图所示，各力可表示为: FA FO O FA FB FB FC C x y FR MA FR d x FR MA FR d y 6 / 33 jFiFF 2 3 2 1 1 ， iFF 2 ， jFiFF 2 3 2 1 3 先将力系向 A 点简化得（红色的） ： jFiFFR 3， kFaMA 2 3 方向如左图所示。 由于 AR MF ， 可进一步简化为一个不过 A 点的力(绿色的)， 主矢不变， 其作用线距 A 点的距离ad 4 3 ，位置如左图所示。 回到目录 2-6b 同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过 A 点的力（绿色的） ，主矢为：iFFR 2 其作用线距 A 点的距离ad 4 3 ，位置如右图所示。 简化中心的选取不同，是否影响简化中心的选取不同，是否影响最后最后的简化结果？的简化结果？ 回到目录 2-13图示梁 AB 一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物 D。设重物重为 P, AB 长为 l，斜绳与铅垂方向成角。试求固定端的约束力。 法法 1 1 解： 整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向 右为 x 轴正向，竖直向上为 y 轴正向，力偶以逆时针为正） ： 0 x F 0sin Bx FP 0 y F 0cosPPFBy 选梁 AB 为研究对象，受力如图，列平衡方程： 0 x F 0 BxAx FF 0 y F 0 ByAy FF 0 A M 0lFM ByA 求解以上五个方程，可得五个未知量 AByBxAyAx MFFFF, 分别为： P B FBx FBy P MA FBx FBy FAx FA y 7 / 33 sinPFF BxAx （与图示方向相反） )cos1 (PFF ByAy （与图示方向相同） lPMA)cos1 ( （逆时针方向） 法法 2 2 解： 设滑轮半径为 R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程： 0 x F 0sinPFAx 0 y F 0cosPPFAy 0 A M 0 2 tan sin)(cos)( R PRlPRlPMA 求解以上三个方程，可得 AAyAx MFF, 分别为： sinPFAx （与图示方向相反） )cos1 ( PFAy （与图示方向相同） lPMA)cos1 ( （逆时针方向） 回到目录 2-18均质杆 AB 重 G， 长 l ， 放在宽度为 a 的光滑槽内， 杆的 B 端作用着铅垂向下的力 F， 如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。 解： 选 AB 杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 A M 0coscos 2cos lF l G a ND 0 y F 0cosFGND 求解以上两个方程即可求得两个未知量 , D N ，其中： 3 1 )2( )(2 arccos lGF aGF 未知量不一定是力。未知量不一定是力。 回到目录 MA P FAx FA y P A NA ND D 8 / 33 2-27如图所示，已知杆 AB 长为 l，重为 P，A 端用一球铰固定于地面上，B 端用绳索 CB 拉住正好靠在光滑的墙上。 图中平面 AOB 与 Oyz 夹角为， 绳与轴 Ox 的平行线夹角为， 已知NPmcma o 200,45, 4 3 tan,4 . 0,7 . 0。试求绳子 的拉力及墙的约束力。 解： 选杆 AB 为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程： 0 y M 0tansincostan 2 1 cFcFcP BCBC NFBC6 .60 0 x M 0sin 2 1 aFcFaP BCB NFB100 由 0 y F 和 0 z F 可求出 AzAy FF , 。平衡方程 0 x M 可用来校核。 思考题：思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？ 回到目录 2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力F作用在平面 9 / 33 BDEH 内，并与对角线 BD 成 o 45角，OA=AD。试求各支撑杆所受的力。 解： 杆 1，2，3，4，5，6 均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板 ABCD 为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程： 0 DE M 045cos 0 2 F 0 2 F 0 AO M 045cos45cos45cos 000 6 aFaF FF 2 2 6 (受拉) 0 BH M 045cos45cos 0 6 0 4 aFaF FF 2 2 4 (受压) 0 AD M 045sin45cos 00 61 aFaFaF FF 2 21 1 (受压) 0 CD M 045sin 0 31 aFaFaF FF 2 1 3 (受拉) 0 BC M 045cos 0 453 aFaFaF 0 5 F 本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程， 但求解代数方程组非常麻烦。 类似本题 的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免保证一个方程求解一个未知量，避免 求解联立方程求解联立方程。 回到目录 2-31如图所示， 欲转动一置于V形槽中的棒料， 需作用一力偶， 力偶矩 cmNM1500 。 已知棒料重 NP400 ，直径 cmD25 。试求棒料与 V 形槽之间的静摩擦因数 s f 。 解： 取棒料为研究对象，受力如图所示。 列平衡方程: 0 0 0 O y x M F F 0 2 )( 045sin 045cos 21 1 0 2 2 0 1 M D FF NpF NpF 补充方程： 22 11 NfF NfF s s 10 / 33 五个方程，五个未知量 s fNFNF， 2211 , ，可得方程： 0222 2 MfDpfM SS 解得 491. 4,223. 0 21 SS ff 。当 491. 4 2 S f 时有： 0 )1 (2 )1 ( 2 2 2 1 S S f fp N 即棒料左侧脱离 V 型槽，与题意不符，故摩擦系数 223. 0 S f 。 回到目录 2-33均质杆 AB 长 40cm，其中 A 端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子 CD 保持平衡，如图 所示。设 cmADcmBC25,15 ，平衡时角的最小值为 o 45 。试求均质杆与墙之间的 静摩擦因数 s f 。 解： 当 0 45 时，取杆 AB 为研究对象，受力如图所示。 列平衡方程： 11 / 33 0 0 0 A y x M F F 0sin 2 cossinsincos 0cos 0sin AB pACTCACT pTF TF S N 附加方程： NSS FfF 四个方程，四个未知量 sSN fTFF，, ，可求得 646. 0 s f 。 回到目录 2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体， A， B 为支点， 如图所示。 若 ACBCAB ， A 和 B 于斜面间的静摩擦因数分别为 1s f 和 2s f ，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最 大倾角。 解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为 a，重为 P，列平衡方程 0 0 0 x B A F M M 0s in 0 32 s in 2 co s 0 32 s in 2 co s PFF a P a PaF a P a PaF BA NA NB 如果棱柱不滑动，则满足补充方程 NBsB NAsA FfF FfF 2 1 时处于极限平衡状态。 解以上五个方程，可求解五个未知量 , NBBNAA FFFF ，其中： 32 )(3 tan 12 21 ss ss ff ff (1) 当物体不翻倒时 0 NB F ，则： 0 60 (2) 即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。 回到目录 3-10 AB,AC 和 DE 三杆连接如图所示。杆 DE 上有一插销 H 套在杆 AC 的导槽内。试求 在水平杆 DE 的一端有一铅垂力F作用时，杆 AB 所受的力。 12 / 33 设DEBCHEDHDBAD,，杆重不计。 解： 假设杆 AB，DE 长为 2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程： 0 C M 02 aFBy 0 By F 取杆 DE 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 H M 0aFaFDy FFDy 0 B M 02 aFaFDx FFDx2 取杆 AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 y F 0 ByDyAy FFF FFAy (与假设方向相反) 0 A M 02 aFaF BxDx FFBx (与假设方向相反) 0 B M 02aFaF DxAx FFAx (与假设方向相反) 回到目录 3-12 ADACAB, 和BC四杆连接如图所示。在水平杆 AB 上作用有铅垂向下的力F。 接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆 AC 总是受到大小 等于F的压力。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 C M 0xFbFD F b x FD 取杆 AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 A M 0xFbFB FCx FCy FBx FBy FDx FDy FHy FBx FBy FDy FDx FAx FAy FCx FCy FD 13 / 33 F b x FB 杆 AB 为二力杆，假设其受压。取杆 AB 和 AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示， 列平衡方程： 0 E M 0 2 ) 2 ( 2 )( b Fx b F b FF ACDB 解得 FFAC ，命题得证。 注意：销钉注意：销钉 A 和和 C 联接三个物体。联接三个物体。 回到目录 3-14两块相同的长方板由铰链 C 彼此相连接，且由铰链 A 及 B 固定，如图所示，在每一 平板内都作用一力偶矩为M的力偶。 如 ba ， 忽略板重， 试求铰链支座 A 及 B 的约束力。 解： 取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零， 因此有： 0 A M 0)(MMFM BA 即B F 必过 A 点，同理可得A F 必过 B 点。也就是A F 和B F 是大小相等， 方向相反且共线的一对力，如图所示。 取板 AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 C M 045cos45sin 00 MbFaF AA 解得： ba M FA 2 (方向如图所示) FABx FABy FB FEx FEy FAC FB FA FB FCx FCy 14 / 33 回到目录 3-20如图所示结构由横梁BCAB,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求 A 处 的约束力及杆 1，2，3 所受的力。 解： 支撑杆 1，2，3 为二力杆，假设各杆均受压。选梁 BC 为研究对象，受力如图所示。其中均 布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为 2qa，作用在 BC 杆中点。列平衡方程： 0 B M 0245sin 0 3 MaqaaF )2(2 3 qa a M F(受压) 选支撑杆销钉 D 为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： 0 x F 045cos 0 31 FF qa a M F2 1 (受压) 0 y F 045sin 0 32 FF )2( 2 qa a M F(受拉) 选梁 AB 和 BC 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 x F 045cos 0 3 FFAx )2(qa a M FAx(与假设方向相反) 0 y F 0445sin 0 32 qaPFFFAy qaPFAy4 0 A M 0345sin242 0 32 MaFaqaaPaFMA MPaqaMA24 2 (逆时针) 回到目录 3-21二层三铰拱由 DGBCAB, 和EG四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图 所示。试求支座 BA, 的约束力。 解： 选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： 0 A M 022aFaFBy FFBy 0 B M 022aFaFAy FFAy 0 x F 0FFF BxAx (1) FBx FBy F3 D F3 F2 F1 x y FAx FAy F3 F2 MA FAx FAy FBx FBy 15 / 33 P FAx FAy N1 N2 N1 T 题可知杆 DG 为二力杆，选 GE 为研究对象，作用于其上的力汇交于点 G， 受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得： FFE 2 2 。 取 CEB 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 C M 045sin 0 aFaFaF EByBx 2 F FBx 代入公式(1)可得： 2 F FAx 回到目录 3-24均质杆 AB 可绕水平轴 A 转动，并搁在半径为r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水 平面上，用不可伸长的绳子 AC 拉在销钉 A 上，杆重 16N， rACrAB2,3 。试求绳的 拉力和杆 AB 对销钉 A 的作用力。 解： 取杆 AB 为研究对象，设杆重为 P，受力如图所示。列平衡方程： 0 A M 060cos 2 3 3 0 1 r PrN )(93. 6 1 NN 0 x F 060sin 0 1 NFAx )(6 NFAx 0 y F 060cos 0 1 PNFAy )(5 .12NFAy 取圆柱 C 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 x F 030cos30cos 00 1 TN )(93. 6NT FE FG FE FG F FCy FCx FE FBy FBx 16 / 33 注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的 A 处的约束力不是杆处的约束力不是杆 AB 对对 销钉的作用力。销钉的作用力。 回到目录 3-27均质杆 AB 和 BC 完全相同，A 和 B 为铰链连接，C 端靠在粗糙的墙上，如图所示。 设静摩擦因数 353. 0 s f 。试求平衡时角的范围。 解： 取整体为研究对象，设杆长为 L，重为 P，受力如图所示。列平衡方程： 0 A M 0cos 2 2sin2 L PLFN t an2 P FN (1) 取杆 BC 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 B M 0coscos 2 sinLF L PLF sN PFS (2) 补充方程： Nss FfF ， 将(1)式和(2)式代入有： 2 tan s f ，即 0 10 。 回到目录 3-30如图所示机构中，已知两轮半径量 cmR10 ，各重 NP9 ，杆 AC 和 BC 重量不 计。轮与地面间的静摩擦因数 2 . 0 s f ，滚动摩擦系数 cm1 . 0 。今在 BC 杆中点加一垂 直力F。试求：平衡时F的最大值 max F ； 当 max FF 时，两轮在 D 和 E 点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 0 y x F F 02 0 PFFF FF NEND SESD 由题可知，杆 AC 为二力杆。作用在杆 BC 上的力有主动力F，以及 B 和 C 处的约束力B F FAx FAy FN Fs P P FBx FBy FN Fs P 17 / 33 和 AC F ，由三力平衡汇交，可确定约束力B F 和 AC F 的方向如图所示，其中：3 1 tan ，杆 AC 受压。 取轮 A 为研究对象，受力如图所示，设 AC F 的作用线与水平面交于 F 点，列平衡方程： 0 A M 0 DSD MRF 0 F M 0)( DND MRPF 取轮 B 为研究对象，受力如图所示，设B F 的作用线与水平面交于 G 点，列平衡方程： 0 B M 0RFM SEE 0 G M 0tan)(RFPM NEE 解以上六个方程，可得： FPFND 4 1 ， FPFNE 4 3 ， FFF SESD 4 1 ， FRMM ED 4 1 若结构保持平衡，则必须同时满足： NDD FM ， NEE FM ， NDsSD FfF ， NEsSE FfF 即： P Rf Pf f Pf P R P R F s s s s 4 31 4 , 1 4 , 3 4 , 4 min ， 因此平衡时F的最大值 36. 0 max F ，此时： )(091. 0NFF SESD ， )(91. 0cmNMM ED FND FNE FSD FSE ME MD FB FAC FAC FND FSD MD F FNE FSE ME FB G 18 / 33 回到目录 3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架 1，2，3 杆的内力。 解：由图可见杆桁架结构中杆 CF，FG，EH 为零力杆。用剖面 SS 将该结构分为两部分，取 上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0 C M 0346cos 1 GH FFF )(58.14 1 kNF (受拉) 0 x F 0sin 31 H FFF 3 .31 3 F (受拉) 0 y F 0cos 12 G FFF 67.41 2 F (受压) 回到目录 3-38如图所示桁架中，ABCDEG 为正八角形的一半， GBGCAEAD, 各杆相交但不连 接。试求杆 BC 的内力。 解：假设各杆均受压。取三角形 BCG 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 x F 0 CD FF FFCD (受压) 取节点 C 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 0 y x F F 0sin45sin 0cos45cos 0 0 CGBC CGCDBC FF FFF F2 F3 F1 S FG FH S FG FEG FCD FAB FBC FCD FCG 19 / 33 其中： 22 21 tan ，解以上两个方程可得： FFBC586. 0 (受压) 回到目录 3-40试求图中所示桁架中杆 1 和 2 的内力。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0 A M 0322aFaFaFB FFB5 . 2 用截面 S-S 将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所 示。列平衡方程： 0 C M 03 2 aFaFaFB FF 6 7 2 (受拉) 0 X F 02 21 FFF FF 6 5 1 (受拉) 回到目录 4-1力铅垂地作用于杆 AO 上,11 5,6DOCOBOAO 。在图示位置上杠杆水平，杆 DC 与 DE 垂直。试求物体 M 所受的挤压力M F 的大小。 解： 1.选定由杆 OA，O1C，DE 组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主 动力为M FF, 。 2.该系统的位置可通过杆 OA 与水平方向的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为 C FAy FAx FB F1 F3 F4 F5 F2 20 / 33 广义坐标。 3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆 OA 有一个微小的转角，相应的各点的虚 位移如下： AOrA ， BOrB ， COrC 1 DOrD 1，CB rr ，ED rr 代入可得：EA rr30 4.由虚位移原理 0)( i FW 有： 0)30( EMEMA rFFrFrF 对任意 0 E r 有： FFM30 ，物体所受的挤压力的方向竖直向下。 回到目录 4-4如图所示长为 l 的均质杆 AB，其 A 端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套 筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度。 解：4a 1.选杆 AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义 坐标。 由几何关系可知： tan a h 杆的质心坐标可表示为： cos 2tan la zC 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆 AB 逆时针旋转一个微小的角度，则质心 C 的虚位移： sin 2 sin2 la zC 4.由虚位移原理 0)( i FW 有： rA rC rB rD rE 21 / 33 0)sin 2 sin ( 2 la PzP C 对任意0有： 0sin 2 sin2 la 即杆 AB 平衡时： 3 1 ) 2 arcsin( l a 。 解：4b 1.选杆 AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义 坐标。 由几何关系可知： sin R zA 杆的质心坐标可表示为： cos 2sin lR zC 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆 AB 顺时针旋转一个微小的角度，则质心 C 的虚位移： sin 2 cos sin2 lR zC 4.由虚位移原理 0)( i FW 有： 22 / 33 0)sin 2 cos sin ( 2 lR PzP C 对任意0有： 0sin 2 cos sin2 lR 即平衡时角满足： 0sincos2 3 lR 。 回到目录 4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重 P，弹簧原长为2 a ，试求系统在 角保持平衡时的弹簧刚度系数值。 解： 1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力21,F F ，且21 FF ，将弹簧力视 为主动力。此时作用在系统上的主动力有21,F F ，以及重力P。 2. 该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知： sinazz BA 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为： cosazzz BAC 弹簧的长度2 sin2 al ，在微小虚位移下： 2 cosal 23 / 33 4.由虚位移原理 0)( i FW 有： 0) 2 coscos( 22 aFPalFzP C 其中 ) 22 sin2( 2 a akF ，代入上式整理可得： 0 2 ) 2 cossin2(cos2 a kaP 由于0a，对任意0可得平衡时弹簧刚度系数为： ) 2 cossin2( cos2 a P k 回到目录 4-6复合梁 AD 的一端砌入墙内，B 点为活动铰链支座，C 点为铰链，作用于梁上的力 kNFkNFkNF3,4,5 321 ，以及力偶矩为 mkNM 2 的力偶，如图所示。试求固 定端 A 处的约束力。 解： 解除 A 端的约束，代之以 AAyAx MFF, ，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力 MFFF, 321 的作用。 系统有三个自由度， 选定 A 点的位移AA yx , 和梁 AC 的转角为 广义坐标。 1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA yx ，如图所示。由 虚位移原理 0)( i FW 有： 0 AAx xF 对任意 0 A x 可得： 0 Ax F 2在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA yx ，如下图所示。 24 / 33 由虚位移原理 0)( i FW 有： 0 332211 MyFyFyFyF AAy (1) 由几何关系可得各点的虚位移如下： AC yyyy 31 AC yyy 3 1 3 1 2 AC yy 3 1 3 1 代入(1)式： 0) 3 1 3 1 ( 321 AAy yMFFFF 对任意 0 A x 可得： )(4 kNFAy ，方向如图所示。 3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0,0 AA yx ，如上图所示。 由虚位移原理 0)( i FW 有： 0 332211 MyFyFyFMA (2) 有几何关系可得各点的虚位移如下： 2 1 y 3 3 C yy 2 y 代入(2)式： 0)32( 321 MFFFMA 对任意 0 可得： )(7mkNMA ，逆时针方向。 25 / 33 回到目录 4-7图示结构上的载荷如下： mkNq 2 ；力 kNF4 1 ；力 kNF12 2 ，其方向与水 平成 o 60 角；以及力偶，其力偶矩为 mkNM18 。试求支座处的约束力。 解： 将均布载荷简化为作用在 CD 中点的集中载荷 3 F ，大小为 q6 。 1.求支座 B 处的约束力 解除 B 点处的约束，代之以力B F ，并将其视为主动力，系统还受到主动力 MFFF, 321 的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆 AC 不动，梁 CDB 只能绕 C 点转动。系统有 一个自由度， 选转角为广义坐标。 给定虚位移， 由虚位移原理 0)( i FW 有： 0150cos45cos 33 0 22 0 yFyFMrF BB (1) 各点的虚位移如下： 26 B r 9 2 y 3 3 y 代入(1)式整理可得： 0)3 2 39 6( 32 FFMFB 对任意 0 可得： )(6.18kNFB ，方向如图所示。 2.求固定端 A 处的约束力 解除 A 端的约束，代之以 AAyAx MFF, ，并将其视为主动力，系统还受到主动力 MFFF, 321 的作用。 系统有三个自由度， 选定 A 点的位移AA yx , 和梁 AC 的转角为广 义坐标。 26 / 33 2a.求 Ax F 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0, 0, 0 AA yx ，此时整个结构平移，如 上图所示。由虚位移原理 0)( i FW 有： 0120cos 0 2211 xFxFxF AAx (2) 各点的虚位移如下： A xxx 21 代入(2)式整理可得： 0)5.0( 21 AAx xFFF 对任意 0 A x 可得： )(2 kNFAx ，方向如图所示。 2b.求 Ay F 在不破坏约束的前提下给定一组虚