（基础数学专业论文）schrodingermaxwell系统和kleingordonmaxwell系统解的存在性.pdf

摘要 舅舅曼曼曼暑曼曼皇曼曼曼曼量曼曼曼曼曼! 鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼笆曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼喜曼曼曼! 曼曼曼曼曼鼍曼舅皇曼曼曼皇! 曼,i i 曼曼曼! 曼! 皇! 曼皇曼曼皇曼曼曼量舅舅 s c h r s d i n g e r m a x w e l l 系, 统 和k l e i n g o r d o n m a x w e l l 系统解的存在性 基础数学专业 指导教师寸日寸刁又y 。i o 博士研究生陈尚杰 唐春雷教授 摘要 在本文中，我们首先研究下面的齐次s c h r s d i n g c r - m a x w c l l 方程： 一- a 咖u + ：v u 。( ，x ) “+ 咖u = ，( z ，u ) 薹： ( 我们做如下的假设： ( v 1 ) v c ( r 3 ，r ) 满2 = i n f z r 3y ( z ) a l 0 ，这里口1 o 是一个常数更 进一步地，对每个 f 0 ，h t e a 8 ( z r 3 ：v ( x ) a z ) 。，这艰 z e n s 表示r 3 中 的l e b e s g u e 测度： ( f 1 ) f c ( r 3 r ，r ) 且，对常数2 4 使得 t t f ( x ，z ) ：= p ，( z ，y ) d y z ，( z ，z ) ， ，0 j 0 对任何z r 3 和z r 成立： ( f 3 ) 当z _ o l 对f ( x ，z ) z _ 0 ，对z r 3 致成立； ( f 4 ) i n f f ( x ，z ) 0 ； x c r 3 ，i z l = l 。7 ( f 5 ) 对任何z r 3 和z r ，有i f ( x ，- - z ) = 一f ( x ，z ) 运用喷泉定理我们得到如下的两个结果： i 西南大学博士学位论文 定理2 1 假设( v 1 ) ，( f 1 ) 一( f 5 ) 成立，则在空间何1 ( r 3 ) d 1 , 2 ( r ：3 ) 中系统( o _ 1 ) 有无穷 多个解 ( 札七，饥) ) ，并目这些解满足 丢上。( 1 v u 砰+ y ( z ) u ：) 如一去上。i v 矧2 如+ 丢上。机u ；如 一f ( z ，u j , ) d x _ + o 。 定理2 2 考虑具有参数的系统( o _ 1 ) ，具体形如 j 一乱+ v ( z ) u + a 加= ，( z ，u ) ， z r a ， 【- i = u 2 ， z r a ( 0 - 2 ) ( o - 3 ) 假设( v 1 ) ，( n ) ( f 5 ) 成立，并且条件( f 2 ) 中弘= 4 ，则只要当入 o 足够小，系统f 肛 3 ) 在日1 ( r 3 ) d 1 ，2 ( r 3 ) 中有无穷多个满足( o - 2 ) 的解( ( “凫，机) ) 接下米我们考虑下面的具有临界指数的齐次s c h r 6 d i n g e r - m 绷r e l l 方程： j 一牡+ y ( z ) + 咖= ( z ) l 乱1 2 * - - 2 乱+ q ( z ) m i 口一2 仳， z r a ， 【一= 乱2 ，z r 3 ， ( 0 - 4 ) 这里g ( 4 ，6 ) 我们的假设如下： ( v 2 ) v ：r 3 _ r 是一个可测函数满足比= l i m i 引。o oy ( y ) y ( z ) 0 ，对几乎 处处的z r 3 成立，并且该不等式在一个非零测度的区域上严格成立： ( v 3 ) 存在常数q o 使得对任何u h 1 ( r 3 ) 有， 上。( 帆1 2 + v ( 咖2 ) 如 0 ， e = l 并r f ( x ，t ) = l u i q 一2 仳( 2 q o # l l h l l l ： 0i sa c o n s t a n t m o r e o v e r ，f o re v e r ym 0 ，m e a s ( z r 3 ：y ( x ) a t ) 。c ，w h e r e m e a sd c n o t ct h el e b e s g u em e a s u r ei nr 3 ( f 1 ) ，c ( r 3xr ，r ) a n d ，f o rs o m e2 4s u c ht h a t 州即) ：= p z 。m ，洲! ，训即) ， f o re v e r yxer 3a n da l lz r ( f 3 ) y ( x ，z ) z _ 0 ，a sz 一0 ，u n i f o r m l yf o rz r 3 i ，n ；f ( x ，z ) 0 x e r 3 ，i z l = l 。 西南大学博士学位论文 ( f 5 ) ( x ，一z ) = - f ( x ，z ) f o ra n yx r 3a n da l lz z b yf o u n t a i nt h e o r e m ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m2 1a s s u m et h a t ( v 1 ) ，( f 1 ) - ( f 5 ) h o l d ，t h e ns y s t e m ( 0 - 1 ) h a si n f i n i t e l y m a n ys o l u t i o n s ( 七，o k ) ) i n 日1 ( r 3 ) d 1 2 ( r 3 ) s a t i s f y i n g ( 1 w t l 2 + y ( 珈z ；) 如一互1 上。i v 划2 如+ 去上。妣如 一f ( x ，t l 七) d 茁_ + o o ( 0 - 2 ) j r a c o n s i d e rs y s t e m ( 0 - 1 ) w i t hap a r a m e t e r ，l i k e 0i ss u f f i c i e n t l ys m a l l t h e n ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs y s t e m ： f - a u + y ( z ) 乱+ c u = k ( x ) n 2 - - 2 仳+ q ( x ) l u l q 一2 u ，z r 3 ， 【一= u 2 ， z r 3 ， ( 0 - 4 ) w h e r eq ( 4 ，6 ) w ea s s u m e ： ( v 2 ) v ：r 3 哼ri sam e a s u r a b l ef u n c t i o n ，l 么= l i m i i o ov ( y ) y ( z ) ，f o r a l m o s te v e r yx r 3 ，a n dt h ei n e q u a l i t yi ss t r i c ti nan o n z e r om e a s u r ed o m a i n ； ( v 3 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n tg 0 s u c ht h a t ，f o ra n yu h 1 ( r 3 ) ， 上。( i w l l 2 + m ) 仳2 d z _ c 1 1 1 训艮； ( k 1 ) c ( r 3 ：r ) ，l i m i z i 。o ok ( x ) = k 矗( 0 ，。) a n dk ( z ) k 矗f o ra n z r 3 ； ( k 2 ) i g ( x ) 一k ( x o ) l = d ( i z z o i n ) ，w h e r e1 口 0s u c ht h a tp r o b l e m ( 0 - 5 ) a d m i t sa tl e a s tt w o d i f f e r e n ts o l u t i o n si ne d 1 , 2 ( r 3 ) w h e nl i h l l l 2 u 0 ，e = 1a n df ( x ，u ) = l u l q 一2 乱( 2 q 0s u c ht h a tt h ep r o b l e mi n ( 0 - 6 ) h a sa tl e a s tt w od i f f e r e n ts o l u t i o n s i n 日1 ( r 3 ) d 1 , 2 ( r 3 ) w h e n | i hj l l 2 0 是参数，w 和西都 是r 3 上的实函数分别表示有效势能和电磁势能，妒( z ，t ) ：r 3x 0 ，+ o 。) 一c 我们 对问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 感兴趣的是寻求其稳定态的解( 或者说驻波解) ，即形如妒( z ，t ) = u ( x ) e 一警的解，其中e 是分离常数则我们不难看出札必须满足 一- a u + ：v u 。( ，x ) u + 入，“= ，( z ，u ) 这里y ( x ) = 罄( w ( z ) 一e ) ，a = 罄入并且厂( z ，札) = 罄g ( x ，i 乱i ) 讥如此一个系统 称为s c h r s d i n g e r - m a x w e l l 方程，也称为s c h r 6 d i n g e r p o i s s o n 方程：有着非常有意义 的物理背景事实上，根据经典的物理模型，带电颗粒与电磁场的相互作用就能 被复合的非线 生s c h r 6 d i n g e r 方程与m a x w e l l 方程来描述( 更详细物理背景的介绍 请读者参见1 4 】及其参考文献) 特别地，如果我们要寻找静电类型的解，我们不 得不求解系统( 1 3 ) 近年来，关于s c h r s d i n g e r - m a x w e l l 方程( 1 _ 3 ) 存在解或者不存在解的结果已经 出现在许多文献中在线性的情况( 即，三a u ，a r 是一个常数) 系统( 1 3 ) 已经在 文献1 4 _ 1 6 1 中被研究了具体地，在开创性的论文f 1 4 1 中v b e n c i d f o r t u n a t o 研 究了系统具有零位势( 即y ( 。) 三o ) 时的系统( 1 3 ) ，即如下的系统： ，一a 5 = u 4 一z r u 西：“, = u u ， l 淼掌 1 m ) - 9 一印q 的特征值问题，这里u 是实数，仳，西为q 上的实函数在q 有界，g c ( 豆) 的条 件下作者得到了这里存在一个序列( ，“凡，咖n ) 满足u n _ o 。，u n ，为该系统的 解；在文献 1 5 】作者考虑了y ( z ) 为非零的径向对称位势时的情况，得到了存在序 列( ，u n ，“) 满足_ o 为负实数并且u n ，九为系统( 1 3 ) 的具有固定l 2 范数的 径向对称解，更进一步地，在文献f 1 5 1 作者还研究了这些解的渐进行为和光滑性， 同时，文献 1 5 】的作者还得到了系统的特征值是负的，并且第一个特征值是孤立 2 3 1 舻 z z 第1 章引言 的，另外文献文献1 5 1 也给出- j s c h r 6 d i n g e r - m a x w e l l 方程的位势y 为零时系统( 1 3 ) 仅有平凡解：而在文献【1 6 1 中作者也考虑径向对称位势的情况，得到了对任何固 定的u 0 系统( 1 _ 3 ) 有无穷多个具有负能量( 即使得系统( 1 - 3 ) 对应的变分泛函为 负值) 的径向对称解 顺便指出，当厂( z ，z ) 关于z 在无穷远处是渐近线性时( 即当z _ 。c 时f ( x ，z ) z 趋 于一个常数，对x r 3 一致成立) 文献1 7 1 中已经得到了系统( 1 - 3 ) 存在解和不存 在解的结果，而此时位势y 可以不是径向对称的 在非线性的情况，系统( 1 - 3 ) 已经在文献 1 s - - - a 1 1 中被考虑了当y 是正常数 时，径向对称解的存在性在文献 1 s - 2 3 ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，2 9 ，3 1 1 中得到了特别地，文 献【1 8 ，2 1 ，2 3 ，3 1 1 证明t s c h r s d i n g e r - m a x w e l l 系统( 1 _ 3 ) 存在无穷多个径向对称的 解，而其中文献f 2 1 1 考虑的是定义在一个有界球j ：的s c h r s d i n g e r - m a x w e l l 方程( 1 3 ) 另一方面，文献f 2 0 ，3 0 ，3 2 1 的作者考虑了位势y 是非径向对称的情况，其中 文献f 2 0 ，3 0 1 得到系统( 1 _ 3 ) 基态解的存在性更进一步地，f 2 0 1 中作者也考虑了 当非线性项是临界指数的情况( 即，( z ，u ) = u 5 ) ，得到了当y 为常数或者满足一定 条件的非径向对称位势时系统( 1 - 3 ) 只有平凡解而在文献f 3 0 1 中作者还考虑了具 有周期位势y ( z ) 的系统( 1 3 ) ，并且通过文献 3 3 1 中建立的非线性s u p e r p o s i t i o n 原 理得到了无穷多个几何不同意义下的解的存在性顺便，我们将很愿意指出关 于系统( 1 - 3 ) 的解的不存在性结果能在文献f 1 7 ，2 0 ，2 4 ，2 6 ，2 8 1 中发现：文献3 4 1 中 研究了定义在r 3 中的光滑有界区域上的系统( 1 _ 3 ) ，而与系统( 1 3 ) 相关半经典态 解的问题的研究读者可见 1 8 ，3 5 - 4 l 】顺便我们也指出关于s c h r s d i n g e r p o i s s o n s l a t e r 系统的研究可见f 4 2 4 5 1 在第二章中我们应用喷泉定理得到t s c h r s d i n g e r - m a x w e l l 方程( 1 - 3 ) 的高能 量解的存在性，这里y 满足适当的紧性条件，广是次临界并且在零点和无穷远处 都是超线性的接下来在第三章中我们研究了具有临界指数的齐次s c h r 6 d i n g e r - m a x w e l l 方程 i 一u + y ( z ) u + c u = k ( x ) i 仳1 2 * - - 2 u + q ( x ) l u l q 一2 u ，z r 3 ， i 一= z z 2 ， z r 3 ， 在vk ：q 满足一定的条- 1 ：下利用n i h a r i 流形和集中紧性原理得到了其基态解的 存在性然后在第四章中我们用e k l a n d 变分原理和山路定理得到了非齐次的s c h r 5 d i n g e r - m a x w e l l 方程 一- a u + ：v u 。( ，x ) u + 咖= ，( z u ) + ( z ) z r 3 。 x r 3 3 西南大学博士学位论文 多解的存在性 在第五章，我们处理下面的k l e i n g o r d o n - m a x w e l l 系统 i - a u + 【m 2 一( u + e ) 2u = f ( x ，u ) + 危( z ) ， z i t s ， ，小 l - a 矽+ e 2 ( 多u 2 = 一e u 仳2 ，z r s ， r 叫 这里m ，u 和e 是实常数这样的系统首先是在文献【4 6 中被研究，用来描述三位空 间中非线性稳定k l e i n g o r d o n 方程与电磁场相互作用产生的孤立波这里m 和e 分 别是颗粒的质量和电量，然而u 表示相对系统不知道的因素是联系颗粒的场秕和 电磁位势砂非线性项的出现用来模拟众多颗粒的作用或者外部非线性项的干扰 近年来，关于k l e i n g o r d o n - m a x w e l l 系统( 1 4 ) 的解的存在和非存在的结果已 经被研究了当，( z ，“) = q - 2 u 且h ( z ) 兰。时在文献 4 6 ，4 7 】作者发现系统( 1 - 4 ) 在空间1 ( i t 3 ) d 1 , 2 ( r 3 ) 中存在无穷多个径向对称解( u ，妒) 当4 q 6 ；在 文献 2 5 】中g ( 2 ，4 】也被研究了；在文献 4 8 得到当4 q 或者2 u f i 时系统( 1 - 4 ) 在空间日1 ( r 3 ) d 1 , 2 ( r 3 ) 中存在一个 基态解( u ，西) ；而在文献【2 4 】，对系统( 1 - 4 ) 不存在解的结果得到了当g 2 或者q 6 当f ( x ，仳) = 入l u l q _ 2 “+ 川2 * - - 2 乱且 三。时，c a s s a n i 在文献 4 9 得到系统( 1 - 4 ) 在空间何1 ( r 3 ) d 1 , 2 ( r 3 ) 中至少有一个径向对称解( 非平凡的) 只要4 0 ，这里n 1 o 是一个常数更进 一步地，对每个i 彳 0 ，m e a s ( z r 3 ：y ( x ) ，) ) 。，这里m e n s 表示r 3 中 的l c b e s g u e 测度 ( f 1 ) f c ( r 3 r ，r t ) 并且，对常数2 4 使得 p f ( z ，z ) ：= 肛，( z ，y ) d y z f ( x ，z ) ， ，： ，0 对任何x r 3 和z r 成立 ( f 3 ) 当z o i 对f ( x ，z ) z _ 0 ，对z r 3 一致成立 6 第2 章齐次s c h r s d i n g e r m a x w e l l 方程高能最解的存在性 ( f 4 ) 。i ，n f f ( x ，z ) 0 z r 3 ，l z l = l 。 ( f 5 ) 对任何x r 3 和z r ，有，( 。，一z ) = - f ( x ，z ) 现在给出本章的主要结果 定理2 1假设( v 1 ) ，( f 1 ) 一( f 5 ) 成立，则在空间1 ( r 3 ) d 1 , 2 ( r 3 ) 中系统( 2 1 ) 有 无穷多个解 ( 桃，c k ) ) ，并且这些解满足 三f r ( 帆船1 2 + v ( 城) 如一互1 上。m 知1 2 如+ 丢上。咖；如 一f ( z ，u 知) 如，+ 。 ( 2 2 ) ，r 3 定理2 2 考虑具有参数的系统( 2 - 1 ) ，具体形如 一- a 妒u + ：v u ：( ，x 弘l + 入仳= ，( z ) 三茎姜： p 3 ) 假设( v 1 ) ，( f 1 ) 一( f 5 ) 成立，并且条件( f 2 ) 中p = 4 ，则只要当a o 足够小，系统( 2 _ 3 ) 在h 1 ( r 3 ) d 1 , 2 ( r 3 ) 中有无穷多个满足( 2 - - 2 ) 的解 ( u k ，九) ) 注记2 3( 1 ) 条件( v 1 ) 最初是在t b a r t s c h z q 、a n g 在 5 4 】中引进，目的是为 了克服紧性的丢少 ( 2 ) 首先，我们不难发现满足_ ( f 1 ) - ( f 5 ) f f ：j f ，例如， f ( x ，z ) = i z l q z ，4 q 0 ，并且对系统( 2 一1 ) 得到了无穷 多个几何不同的解 7 西南大学博士学位论文 ( 3 ) 定理2 4 并1 1 2 5 的结果已经发表在n o n l i n e 缸a n a l y s i s7 1 ( 2 0 0 9 ) 4 9 2 7 - 4 9 3 4 ( s c i 检索) 而在我们的结果发表后，文献 5 5 】中作者考虑了系统( 2 1 ) 满足条件( v 1 ) ， ( f 1 ) ，( f 3 ) ，( f s ) 丰n 条件 ( f 6 ) l i ml u i 。气铲= + 。对z r 3 一致成立； ( f 1 7 ) 对几乎处处的z r 3 我们有 c ( x ，s ) sc ( x ，t ) ，v ( s ，t ) r + r + ，sst ， 这里g ：r 3 x r + _ n 由c ( x ，s ) = ，( z ，s ) s - f ( x ，s ) 定义，而f ( z ，s ) = 片f ( x ，t ) d t 这里有函数满足上面的条件而不满足我们定理的条件，从而推广了我们的结果( 详 见文献 5 5 】注记1 1 ( i i i ) ) 我们将用变分法证明定理2 1 和2 2 众所周知s o b 0 1 e v 嵌入1 ( r 3 ) ql 8 ( r 3 ) ( 2 s 6 ) 并不是紧的，而系统( 2 - 1 ) 定义在r 3 ，则当用变分法寻求系统的解时， 我们不得不面对由于紧性的缺少而难以证明最小化序列或者p a l a i s - s m a l e 序列的 强收敛性然而，就像在文献f 1 6 ，2 3 ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，2 9 ，5 6 1 揭示的那样，如果y ( z ) 是 径向的( 例女n v ( x ) 三1 ) ，则通过在空间1 ( r 3 ) 中的径向对称函数构成的子窄间中 寻求系统的解，我们能够回避s o b o l e v 嵌入紧性的缺失所带来的困难我们用符 号珥( r 3 ) 表示日1 ( r 。) 中的径向函数构成的子空间，并且从文献f 5 7 ，5 8 1 我们有嵌 入研( r 3 ) ql s ( r 3 ) ( 2 s 6 ) 是紧的在这里，y ( z ) 可以不是径向对称的，从 而我们不能在s o b o l e v 空间研( r 3 ) 中寻求系统的解然而y ( z ) 满足条件( v 1 ) ，而 该条件暗示我们能在具有紧嵌入的空间寻求系统的解并且该条件还可以得卅强 制性条件：y ( x ) _ 。当_ 。o 冈此我们也避免了紧性的缺失所带来的困难 2 2 变分框架 为了应用临界点理论，我们设 e ：= 卜日1 ( r 3 ) ：上。( i v 砰i + y ( 珈叼如 o 。) 则e 是一个h i l b e r t 空间，具有内积 8 ) e = 上。( v u - v v + v 如) 删) 也 第2 章齐次s c h r 6 d i n g e r - m a x w c l l 方程高能晕解的存存件 和范数i i 仳忙= u ，仳) ￥2 显然地，对任何s 【2 ，2 + n x eql s ( r 。) 是连续的 更进一步，我们有下面的结果： 引理2 4 ( 9 ，引理3 4 )在假设条件( v 1 ) 成立时，任对何s 【2 ，2 】嵌a eq l 8 ( r 3 ) 是紧的 首先我们推导出发现系统( 2 - 1 ) 的解等价于发现系统( 2 - 1 ) 对应的变分泛函的 临界点清楚地，系统( 2 - 1 ) 具有变分结构的确，考虑泛函 j ：exd 1 2 ( r 3 ) _ r 枷) = 互1 厶i v 儿j 2 + v ( zu 2 d x 厶。i v 卯如 + 丢上。加2 如一f r 3f ( z m 如 定义当y 和，满足适当的条件时，作用泛函，属于c 1 ( e d 1 , 2 ( r 3 ) ，r ) ；并同对给 定的( u ，) ，在方向 e ，r l d 1 , 2 ( r 3 ) 上，有偏导数 o 满足对任何w ，v d 1 , 2 ( r 3 ) 有l a ( w ，t ，) l c f | 叫| i 肌。ld 1 ：) ，强 制的( 即存在常数口 o 使得对任何w d 1 , 2 ( r 3 ) 有a ( w ，w ) 硎伽怯。，。) 所以， 由l a x - m i l g r a m 定理( 见 6 0 】) 得到对每一个仳h 1 ( r 3 ) ，这里存在唯一一个咖u d 1 ，2 ( r 3 ) 满足 瓦( t ，) = o ( ，”) ，vv d 1 , 2 ( r 3 ) ， 既是， ru 2 v 如= 上。v 九v u 如，v u 。l 2 ( r 3 ) 用分部积分法，我i f j 有 f r 3v , 。 v v d x = - a 。 九如，v d l j 2 ( r 3 ) ， 因此，在弱的含义下有 一矽t = u 2 对任何 t 铝。( r 3 ) 我们能将咖u 写成积分形式： 驴去上。出动， ( 见【6 l 】，第2 3 页，定理1 ) ；由曙( r 3 ) 在空间e 中稠密，这个积分表达式对任何t e 成立( 见文献 6 2 】，引理2 1 ) 易得函数砂。拥有下面的性质： 1 0 第2 章齐衫i s c h r 6 d i n g c r m a x w c l l 方程高能最解的存存怵 引理2 6 对任何u e ，有： ( 1 ) i i 九i d 1 z a 恻i 羔。：5 这里c l o 不依耐于u 由此这里存在一个常 数c 2 0 使得 上。甜d x o ：c t u = t 2 u ； ( 4 ) 对任何可测的qcr 3 ， n & 。, u 2 d x = 上厶u 2 ( 咖2 ( 加( 础) 捌y ， 这里g ( z ，可) = j i x - 一! ，1 从而，我们能考虑泛函，：e r ，1 ( u ) = y ( u ，妒u ) 用。乘以一妒u = u 2 然 后分部积分，我们得到 i v 九1 2 d x = 九乱2 d x 从而，退化泛函可写成 ，( u ) = 三上。i v u l 2 + y ( z 妒如+ 丢上。u u 2 如一f r 3f ( z 如 从引理2 6 ，是有意义的更进一步，是一个c 1 泛函并且具有如下的导数形式 ( ，( ，u ) ，u ) = 上。( 乳矾w ( 咖时咖卜m u d x ( 2 - 4 ) 现在，我们能应用文献 5 9 中的定理2 3 到我们的泛函，并且得到： 命题2 7 下面的是两个等价的命题： ( 1 ) ( i t ，) e d 1 , 2 ( r 3 ) 是j 的一个临界点( 即( “，痧) 是系统( 2 1 ) 的一个解) ； ( 2 ) u 是珀勺一个临界点并且有= 咖u 2 3 主要结论的证明 为完成定理的证明，我们需要下面的临界点定理 两南大学博士学位论文 定理2 8 ( 喷泉定理【8 】) 设x 是具有范数i i l i 的一个b a n a c h 空间，又设玛是x 的子空间序列并且对任何歹n 有 d i mx j r k 0 满足 ( 圣1 ) a k ：= m a x , , e w k ，i l u o ：风圣( u ) s0 ， ( 圣2 ) b k ：= i n f u e z ，：“垂( u ) _ + o o ，当k _ o 。， ( 圣3 ) 对任何正数p a l a i s - s m a l e 条件成立，即对任何x 中的序列 u n ) 满足圣( “n ) _ c 0 和垂7 ( u n ) _ o 包含一个强收敛的子序列， 则垂有一列无界的临界值序列 我们选择x ：= e 的直交基 e j ) 并且定义：= s p a n e l ，e k ) ，z k ：= 陛1 为了完成我们定理的证明，需要下面的引理 引理2 9 对任何2sp o 当后_ o 。时则对 任何充分大的七，这儿存在? 船磊满足l i 乱七怯= 1 和七0 l ，2 对任何“e ， 因为 勺) 是e 的一列直交基，存在一个数列 q ) cr 满足仳= 霪la j e j ，因此 f l j s c h w a r z 不等式和p a r s e v a l 等式我们有 | c 钍，t 船，e f = l ( 霎e ，t z 七) e l = l ( 薹t 。，) f l 除 m 川e = _ 0 ，当k _ 。o ， 这里( ，) e 表示e 的内积用r i e s z f r e c h e t 表示定理，我们得到在e 中u 七jo 并且 由嵌a eq 护是紧的( 见引理2 4 ) ，从而在扩中乱七_ 0 矛盾口 定理2 1 的证明： 考虑泛函圣( 钍) ：e r 由 圣( u ) ：= m z ) = 扣训刍+ 三上。九舻如一f a 。f ( 叫t ) 如 1 2 第2 章齐次s c h r 6 d i n g e r - m a x w c l l 方程高能罨解的存在悱 定义从( f 5 ) 和等式f ( z ，z ) = 露f ( x ，t z ) 名班可知f 是偶的，又由引理2 6 ( 3 ) b 6 j 矢h 矽一札= u ，从而圣是偶的 接下来，我们将验证m 符合定理2 8 的其他条件 首先，我们验证垂满足( 西1 ) 观察( f 2 ) 暗示函数h ：【1 ，。) 一r ， ( ) ：= f ( z ，t - 1 z ) t p 是非增的因此，对任何i z i 1 ，我们有 h ( 1 ) h ( i z l ) ， 即 f ( x ，z ) f ( x ，i z l _ 1 z ) l z l a l z l ，( 2 - 5 ) 这里岛= i n f 。r 3 , i 。i ：1f ( z ，z ) o ( m f f 4 ) ) 从( f 3 ) ，存在q o 以至于 l 学i = i 掣p 对所有的x r 3 和0 0 满足 i 丝尝i 业掣s 尬 i z 。 l z _ 因此，从前面两个不等式有 f ( x ，z ) z 一( 尬+ i ) i z l 2 对几乎处处的z r 3 和o h l h - 戴c t _ 用等式f ( z ，z ) = 詹f ( x ，t z ) z d t ，我们得 到 1 f ( z ，z ) 一去( 矗+ 1 ) l z l 2( 2 - 6 ) 对几乎处处的z r 3 和0 i zjs1 成立取q = ( 以+ 1 ) + g ，则由( 2 5 ) 和( 2 - 6 ) 我们有 f ( x ，z ) c 3 i z l p a l z l 2 对几乎处处的z r 3 和所有的z r 成立从而我们有 1 圣( u ) 去l i u l | 刍+ q i i 札i i 各一g i i u i 呓p + q l l u l l 至： 因为在任何有限维空间眠上所有的范数等价，又p 4 ，则暗示 a k ：= m a x 圣( u ) 0 i ，l i t 正| | e = 肌 、。 1 3 两南大学博士学位论文 对某个足够大的p 七 o 成立 其次，我们证明西满足( 圣2 ) 从( f 3 ) ，对每一个g - o 存在6 o 使得 f ( x ，z ) l o 和垂7u 扎) _ 0 我们先检查 u 仃) 是有界的由( f 2 ) 对足够大的n 有 c + l + i | 训i e 圣( ) 一去( 叭u a 仳几) = ( 去一去) “u n i i 刍+ ( 丢一去) 上。咖缸。u i 如 + 上。( 扣，u 竹- f ( 训n ，) 如 2 ( 三一去) | i u n i i 刍+ ( 三一去) 上。咖u 。，“：如 由肛 4 并1 1 砂u o ( 见引理2 2 ( 2 ) ) ，可知 u n ) 在e 中是有界的取其一子列我们有 在e 中j 扎鉴于引理2 4 ，我们有对任何s 【2 ，2 4 ) 有越n 一札在己8 ( r 3 ) 中成 立( 如果需要可再取子列) m ( 2 - 4 ) ，我们容易得到 l i 一u l l 刍= ( 垂7 ( u n ) 一圣7 ( u ) ，u n u ) + ( ，( z ，札n ) 一，( z ，u ) ) ( u n u ) d x t ，i ：t 3 一上。( 九。一九“( u n - - ) 如 显然 ( 西7 ( t z n ) 一西7 ( 仳) ，u 凡一u ) 一0 根据假设( f 1 ) 和( f 3 ) ，这里存在常数c 6 o 以至于 f ( x ，u ) e i 札i + c 6 u p 一1 对几乎处处的z r 3 和所有的z r 成立用h s l d e r 不等式，我们得到 ( f ( x ，钍n ) 一厂( z ，u ) ) ( u n u ) d x j r 3 厶n i + i u i ) + c o ( i 牡n p - 1 j _ i 扩i1 ) u n - - u l 如 ( i l u n | | 乏z + i l u l l 羔。) i l u n 一训i 羔z + 瓯( i l u 。j j 笏1 + j l u l l s ；1 ) i l u 几一u l l l ， 因为u n _ 钆在l 3 ( r 3 ) 中对任何s 2 ，2 + ) 成立，从而有 ( ，( z ，n ) 一，( z 川) ) ( 一u ) d x _ 0 ，当札_ 。 ，r 3 1 5 西南大学博士学位论文 由h s l d e r 不等式，s o b o l e v 不等式和引理2 2 ，我们有 u 。u n ( n u ) d x i i 砂。钍n i i l ：i i u n u l l l 2 ，r 3 0 咖“。i l 工ei | 仳n i i l 31 1 u n u l i l 2 c 1 1 庐。i i d ，。l i 仳n i l l si | r u n 一训l 二z c l l u n 嵫：s | i 怯l l “n u 怯 再次使用u n _ 仳在己3 ( r 3 ) 对任何s 【2 ，2 + ) 成立j 我们得到 u 。t k ( 饥一u ) d x _ 0 ，