（基础数学专业论文）关于某些半环的结构和同余.pdf

独创声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。掘我所知，除了文中特别加以标注和致潍的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得一(注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文储繇林面 翩酶墨、峄z 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 墼可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：林西旖 导师签字 签字r 期：2 0 0 y 年4 月心同 蕊 考。绎z 签字日期：2 0 0 j 年甲月i 阳 些壅盟薹盔堂堡主堂垡堡壅 一 关于某些半环的结构和同余 林西芹 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文给出加法交换半环上的平移壳，并且给出半环的坚强分配格的结构，最 后给出了逆半环的核正规系具体内容如下： 第一章给出引言和预备知识 第二章，首次给出加法交换半环上平移壳的定义，并根据半环之间的关系探 讨了其平移壳间的关系主要结论如下： 定义2 , 1 半环( s ，+ ，) 的变换x 称为左平移，若v z ，p s ，有x ( z + 目) = 地+ a y ，a ( z 9 ) = ( 沁) ，s 上的全体左平移集记为五( s ) 类似可定义右平移n 扛+ g ) p = z p 十y p ，( z 口) p = z 国西，右平移集记为r ( s ) 定理2 , 68 为半环s 到r 的满同态，k e r 0 为平移不变同余，则一：n ( s ) n ( t ) ，( a ，p ) + ( ，p 。) 为同态，其中a t = 一( 5 日) = ( h ) d ，t p 7 = ( s o ) p = ( s p ) o ，et ，s o = ， 若 ，p 是可置换的，则 7 ，p 为可置换的 第三章给出了半环的坚强分配格的定义，并给出了结构的刻划，是分配格和 环的次直积主要结论如下： 定义3 1 设d 是分配格， s 。l a d ) 是一族两两不相交的半环，v d ，p d ， 。p ，有浃射妒。瓯，函，其中饥，口是单同态，且满足条件： ( g 1 ) 妒n ，a = l 乳； ( e 2 ) 母a ，口怕7 = 币。，。，p 三1 ； ( g 3 ) 妒a ，1 + 品蜘，1 + 口妒a + 芦，1 ，a 声7 在s = u a e d 如上定义加法和乘法分别为：对v a s 。，b 昆， a b = 口妒口。口脚口，口口， n 十b = c ，c + 口， 且满足 c 妒a + 口，= 口咖。，+ 扫怕， 我们称s 是半环族 s o l a 讲的坚强分配格记为s = 定理3 5s = 是半环族 | 口d ) 的坚强分配格，定义s 上的二 元关系0 ：a o b 当且仅当口札，。p = 6 咖胡，o & ，b 品，则口是s 上的同余，且s 是d 坐丕坦整丕鲎塑主堂焦堡塞2 和s 归的次直积，v a d ，& 是( 左，右，弱) 可消的，则s 归有相同的性质 第四章首次给出了逆半环的核正规系的定义，得到核正规系和同余是一一对 应的；并且用核正规系刻划了逆半环上的加法幂等分离同余；最后给出了逆半环的 坚强分配格的核正规系主要结论如下： 设a z = m k j ) 是逆半环s 上一族两两不相交的加法逆子半环称为s 上 的核正规系，如果满足： ( n 1 ) s 的加法幂等元都属于s 的某个元素m 中； ( n 2 ) v a s ，v i ，口+ m + ，可，记j = i + ，贝0 口+ m + o 计。； ( r 3 ) 若口，。枷，b + b 拙，则b 飓； ( r 4 ) v z s ，m ，z 肌川，m z 帆，3 j ，ke j 定理4 5 设= n d i f ) 是逆半环s 上的核正规系，则肌是s 上的同余， 是p a r 的核 反之妒：s t 是逆半环s 到t 的满同态， 厂是妒的加法核，则是p a r 的 核正规系，p a r = 妒妒 定理4 1 5 若p 是逆半环s 上的加法幂等分离同余，则p 的加法核是s 的加 群核正规系，且p = p a r 反之，若是s 的加群核正规系，则确实存在s 上同余p 使是p 的加法核 且p 是s 上幂等分离同余，p = 肌 定理4 1 9 设s = 是逆半环的坚强分配格， 虬) 。d 是s 的一个 容许核正规系族，则： = = u 。d 口i 肌肌，帕肌，札儿。口= n 4 咖。口，v q ，口d ) 是s 的核正规系，并且v a 晶，v b 岛， ( o ，b ) p a r 静( o + o ) 妒d ，。口，( b + b ) 咖口卢， 十b ) 妒口+ 口，。口虬日，j 帆卢虬口 而且p a r i s 。= p a r 。 荚键词：半环，平移壳，半环的坚强分配格，半环的核正规系，同余 分类号：0 1 5 2 7 出壅厘整盔堂亟堂焦迨塞 一一 o ns t r u c t u r e so fs e m i r i n g sa n dc o n g r u e n c e so ns e m i r i n g s l i nx i q i n t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p rc h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n w eg i v ead e f i n i t i o no ft r a n s l a t i o n a lh u l lo fa d d i t i v ec o r n - m u t a t i v es e m i r i n g lb e s i d e s ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fc o n s t r u c t u r eo fs t r o n g l y d i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i g s ；f i n a l l y ，w eg i v ead e f i n i t i o no fk e r n e ln o r m a ls y s t e m o fi n v e r s es e m i r i n g t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s ， i nc h a p t e r2 ，w eg i v ead e f i n i t i o no ft r a n s l a t i o n a lh u l lo fa d d i t i o n a lc o r n m u t a t i v es e m i r i n ga tf i r s t ；b e s i d e sw ed i s c u s st h er e l a t i o no ft r a n s l a t i o n a lh u l l s a c c o r d i n gt ot h er e l a t i o no fs e m i r i n g s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l 0 1 = x d e f i n e2 , 1t h el e f tm a pa ：s si sc a l l e dal e f tt r a n s l a t i o no fsi ff o ra l l x , y s ， a ( z + 口) = a x + a y ，x ( z y ) = ( a x ) y t h er i g h tm a pp ：s - - - 4si sc a l l e dar i g h tt r a n s l a t i o no fsi tf o ra l lx , y s ， ( z + v ) p = z p + g p ，( z y ) p = z 白p ) t h e o r e m2 6l e t0 ：s tb ee p i m o r p h i s m k e r ob eac o n g r u e n c e o nsw h i c hk e e p sc o n s i s t e n c ya f t e rl e f tt r a n s l a t i o na n dr i g h tt r a n s l a t i o n ，t h e n 口：n ( s ) 一_ q f ) ，( a ，p ) h ( 扎) i sm o r p h i s m ，w h e r ea t = ( s o ) = ( a s ) o ，t p = ( s o ) p 7 = ( s p ) o ，s o = t ，t t i faa n dpa r ep e r m u t a b l e ，t h e na a n dp a r ep e r m u t a b l e i nc h a p t e r3 w eg i v ead e f i n i t i o no fs t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s ； b e s i d e s ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fc o n s t r u c t u r ew h i c hi ss u b d i r e c tp r o d u c to fa d i s t r i b u t i v el a t t i c ea n dar i n g t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w d e f i n e3 1l e tdb ead i s t r i b u t i v el a t t i c e ， & i a d ) b eaf a m i l yo fp a i r w i s e d i s j o i n ts e m i r i n g si n d e x e db yd f o re a c hp a i r pi nd ，t h e r ee x i s t sam o n o m o r p h i s m 妒口口：& + 昂s u c ht h a t ： 出壅垣蕉盔堂塑圭兰焦坦塞 一一4 ( g 1 ) 札4 = 1 ； ( g 2 ) 妒。，口咖，1 = 妃，1 ，芝，y ； 旧3 ) 札，1 + 函咖，7 + 口妒a + 口，1 ，。卢芝，y o ns = u 口d s d ，t h eo p e r a t i o n sa r ed e f i n e da sf o l l o w s ：y a s 。，b s 口 0 6 = o 砂。，q 口6 咖，。口， a + b = c ，c s n + 口， a n dcs a t i s f i e s c 母n 十p ，7 = a 掂，1 + b c z ， t h es y s t e mi sc a l l e ds t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s w ew r i t es = t h e o r e m3 5l e ts = ，d e f i n e0o ns ： a s q ，b 岛，a o b 铸。札。口= 自咖，。口 t h e n0i sac o n g r u e n c eo ns ，a n dsi ss u b d i r e c tp r o d u c to fad i s t r i b u t i v el a t t i c e a n dar i n g ，地d ，& i s ( 1 e f t ，r i g h t ，w e a k l y ) c a n c e l l a t i v e ，t h e n 别口h a v et h es a m e c h a r a c t e r i z a t i o n i nc h a p t e r4 w eg i v ead e f i n i t i o no fk e r n e ln o r m a ls y s t e mo fa ni n v e r s e s e m i r i n ga tf i r s ta n dw eh a v ek e r n e ln o r m a ls y s t e ma n dc o n g r u e n c ew h i c ha r eo n e t oo n e ；b e s i d e s ，w ec h a r a c t e r i z eac o n g r u e n c ew h i c hs e p e r a t e st h ea d d i t i v ei d e m p o t e n t sb yk e r n e ln o r m a ls y s t e m ；f i n a l l y ，w eg i v ek e r n e ln o r m a ls y s t e mo fs t r o n g l y d i s t r i b u t i v el a t t i c eo fi n v e r s es e m i r i n g st h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w l e ta f = m t i ，) b eaf a m i l yo fp a i r w i s ed i s j o i n ta d d i t i v ei n v e r s es u b s e m i r i n g so fsi n d e x e db yi ni s d e f i n e dt ob eak e r n e ln o r m a ls y s t e mo fi n v e r s e ，s e m i r i n gs i f = f r l ) e a c hi d e m p o t e n to fs i sc o n t a i n e di ns o m ee l e m e n to f 觚 ( r 2 ) v a s v i ，a 。+ j 7 v j + a ，谢；w ed e n o t ej = i + o ，s ot h a t + m + o 旭。； ( r 3 ) i f a ，o + b ，b + f 批，t h e nb f ； ( r 4 ) v x s ，腿，卫m 玛，腿。m ，影，i 坐查盟堇盔堂亟土堂鱼迨塞 t h e o r e m4 5 l e t 厂= 腿l i ，) i s ak e r n e ln o r m a ls y s t e mo fi n v e r s e s e m i r i n gs 、t h e np ki sac o n g r u e n c eo ns 封i sak e r n e lo fp n c o n v e r s e l y is - - - 9t i se p i m o r p h i s m i sa d d i t i v ek e r n e lo f 咿。t h e nni sa k e r n e ln o r m a ls y s t e mo fp na n dp “= c p 9 一1 t h e o r e m4 1 5i fpi sac o n g r u e n c ew h i c hs e p e r a t e sa d d i t i v ei d e m p o t e n t so n i n v e r s es e m i r i n gs ，t h e na d d i t i v ek e r n e l o fpi sa d d i t i v eg r o u pk e r n e ln o r m a l s y s t e mo f sa n dd = p n c o n v e r s e l y 、i fni sa d d i t i v eg r o u pk e r n e ln o r m a ls y s t e mo fs 。t h u st h e r ei sa p 、w h i c hs a t i s f yt h a t i sa d d i t i v e k e r n e lo fpa n dpi sac o n g r u e n c eo nsw h i c h s e p e r a t e sa d d i t i v ei d e m p o t e n t s ，p = 纵， t h e o r e m4 , 1 9l e ts = ， ) 口口a r ep e r m i t t i n gk e r n e l n o r m a ls y s t e mo fs ，t h e n ： = j 】v = u 。d 虬j 虬虬，坼，吡，。口= g e 地。口，v a ，卢e d ) i sak e r n e ln o r m a ls y s t e mo fs f o rv a s ，v b s 8 ( a ，b ) p 静( a + 口7 ) 札，n 卢，( b + ) 妒卢，。卢，( 凸+ ) 妒。+ 卢，。口叩，| 础人乞口 pi s a = pl 肮 k e y w o r d s ：s e m i r i n g ，t r a n s l a t i o n a lh u l l ，s t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s ，k e r n e ln o r m a ls y s t e mo fi n v e r s es e m i r i n g ，e o n g r t l e n c e c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 堂壅盟萱盔堂塑主堂焦迨塞 第一章引言及预备知识 1 1引言 半环是含有加法和乘法两个代数运算且满足结合律、分配律的代数系半环 存在于我们周围的世界中，我们首先接触的自然数集就是一个半环! 另外，半环广 泛出现在环论、非交换环理论、几何学、拓扑学、图论以及计算机科学、形式语言 理论以及量子物理学中 历史上，半环最早由d e d e k i n d 在1 8 9 4 年提出；后来m a c a u l a y , k r u l l 等人在研究 环的理想时也使用过半环的概念。1 8 9 9 年h i l b e r t 在讨论自然数公理和非负有理数 时，也涉及到半环近年来半环理论有了很大发展在半环理论中，主要研究半环 的结构和同余研究半环主要有两种方法：环的方法和半群的方法1 9 9 2 年，g o l a n 出版了， 一书，对半环作了系 统的论述 同余对、核正规系是刻射同余重要而且相对独立的方法，核正规系早于同余 对，ah c l i f f o r d 和g hp r e s t o n 的著作 中对逆半群的核正规 系作了详细面且系统的讨论，并得到重要结论核正规系和同余是一一对应的 本文首次给出加法交换半环上的平移壳，并且给出半环的坚强分配格的结构， 最后给出了逆半环的核正规系 1 2 预备知识 设( s ，- f ) 是半群，如果v a s ，存在唯一的口s ，使n + n 。+ 口= 。，8 - k a + n = n ， 则s 称为逆半群在非空集合s 上定义两种运算十和，( s ，+ ) 和( s ，) 均是半群，且 c a ，b ，e s ，满足( 。+ b ) c = o cq - 呱o ( bq - c ) = 曲+ a c ，则称s 是半环，e + ( s ) 为s 的加 法幂等元集p 为半环s 上的等价关系，v a ，b ，c s ，若( 。，6 ) p ，有( c + n ，e + b ) 岛( 。- bc ，b + c ) n 汹，e b ) p ，( a e ，b e ) p ，则称p 为s 上的同余若p 为s 上的同余， s p 为环，则称p 为5 上的环同余另外，若( s ，+ ) 是逆半群，则称s 是逆半环 s 是逆半环，v a s ，b 的加法逆元记为一， c a ，b s ，有+ 6 ) kb - fa j ，( a b ) ，：0 1 6 = o 矿 如果冬是x 上的关系，鱼满足自反性，反对称性和传递性，则称( x ，s ) 是一个 偏序集x v y 表示马的最小上界，。a y 表示。，”的最大下界，如果偏序集( x ，) 中任意两个元素在x 中有最小上界和最大下界，则称( x ，s ) 是格( x ，) 是格，如 果x 中任意元素z m z 满足z a ( y v z ) = ( a y ) v ( x a z ) ，则称( x ，) 是分配格若( x ，s ) 些壅竖整盔堂亟堂焦迨塞z 是格，则代数系统( x ，v ， ) 满足v 吼b ，c x ，有( 1 ) 交换律v6 = b vo ，ab = b a n ) ， ( 2 ) 结合律( a v ( b vc ) = ( o vb ) v c ，a a ( b ac ) = 0 ab ) c ) ，( 3 ) 幂等律扣v = o ，o n = o ) ， ( 4 ) 吸收律( o v ( 。ab ) = a ，o vb ) = o ) 定义1 1 1 1j 设d 是分配格， l 。d ) 是一族两两不相交的半环，对v n ，口 d ，n 口，存在半环同态妒邶：& 昂，咖，。：品 & 满足条件： ( b 1 ) 。= 札，。= i s 。； ( b 2 ) 妒。，口妒8 ，1 = 妒。，1 ，妒1 ，卢锄，。= 母1 ，。，若o p 1 ； ( b 3 ) s 卯。，口是品的理想，若o 卢； ( b 4 ) 妒。，1 叽，口= 妒a ；。犀驴。口，芦，若d + 卢1 在s = i j 。e d 上定义加法和乘法分别为：对v a ，v b 品， a b = 8 妒。，。庐妒口，。p ， n + b = o 妒d ，+ 口+ 6 _ p 口，口+ 口， 我“1 称s 是半环族t & h d j 的强分配格，记为s = 定义1 2 集合a = a l i ，) 称为逆半群s 上的核正规系，如果满足： ( 耳1 ) 每个a 是s 的逆子半群； ( k 2 ) a n a j = 0 ，若t j ； ( k 3 ) s 的每个幂等元都属于s 的某个元素a 。中； ( k 4 ) ，0 s ，v l i ，a - 1 a n a j ，珂，记j = i a ，贝0o 一1 a , a a i 。； ( k s ) 若a ，b ，b b 一1 a ，则b a 引理1 3 p 是逆半群s 上的同余，贝0p 的核是s 的核正规系， 引理1 4 【4 j4 = a t l ie 玎是逆半群s 上的核正规系，定义s 上的二元关系 纵= “n ，b ) s s 3 i f ，n n ，b b ，a b 一1ea d 则p 是s 上的同余 定义1 5 【5 l 半环( s ，+ ，1 ) 称为分配半环，如果v a ，b ，a s ，有 。b + c = + c ) ( 6 + c ) ，。+ b c = ( 口+ 6 ) ( o + c ) 定义1 6 【1 3 1 半环( s ，+ ，) 称为幂等半瓜如果( s ，+ ) 、嗡) 都是半格 定义1 7 【1 3 | 半环( s ，+ ，) 称为可除半环，如果( s ，- ) 是群 坐壅塑塾盔堂亟主堂焦鲨塞 8 第二章半环上的平移壳 半群平移壳的研究在半群的代数理论中占据重要的地位，本章把平移壳推广到 加法交换半环上，并且根据半环之间的关系探讨其平移壳间的关系，并给出了某些 特殊半环的平移壳的结构 5 2 1 半环上的平移壳的定义 本章中提及的半环都是加法交换半环 定义2 1 半环( s ，+ ，r ) 的变换 称为左平移，若v 。，v6s ，有 ( z + ) = a z + a y ，a ( 钾) = ( a z ) ，s 上的全体左平移集记为l ( s ) 类似可定义右平移& 扛+ 口) p = c p + v 以( z o ) p = 。( 口p ) ，右平移集记为r ( s ) 特另0 地，v s s ， 。z = s z ( x p 。= z s ) ，v x s a 。e 工( s ) ( m r ( s ) ) ，记。= ( a 。，p 。) ，( s ) = ( “1 5 s ) 定义2 2 左平移 和右平移p 称为连接的，若z ( h ) = ( z p ) ，v z ，y s a ，p 是可置换的，若( z ) p = ( z p ) ，v x s 集合n ( s ) = “a ，力l ( s ) r ( s ) l v 。，y s ，z ( ) = ( z p ) ) 称为半环s 的平移壳 是理2 3 在l ( s ) 上定义加法，乘法分别是，v z s ， n + a ) z = 地+ a z ，( a a ) z = ( a7 。) 则五( s ) 为半环类似地有r ( s ) 为半环n ( s ) 为直积l ( s ) r ( s ) 的子半环 证明v z ，y s ， ，a 1 ，a 2 上( s ) ， ( + ) ( z + v ) = a 扛+ 掣) + a ( z + 封) = a + + $ + y = 。+ a x + a y + a y = ( a + k + ( a + ) ( s 是加法交换的) ， 似+ 。) ( z p ) = ( 抽) f 十( z 坷 = ( 天z + 父嚣) 分 = ( ( + ) 。) 玑 ( a ) ( 髫+ ) = a ( ( 茁+ 掣) ) 一 些壅竖垫盔堂塑堂焦迨塞9 = ( ) 2 + ( 暂) = ( a i ) z + ( 一) 封， ( a ) ( z 可) = ( a ( z 鲈) ) = ( ( a 7 ) ) = ( a ( a z ) ) 可= ( ( 7 ) z ) 封 ( a ( a l + 2 ) ) $ = ( 1 z + x 2 z ) = ( 从1 ) z + n a 2 ) z = ( a a i + a a 2 ) z ， ( a 1 + 沁) = a l + a h 类似地有( l + 如) = a t 十 2 ，分配律成立工( s ) 为半环 同理冗( s ) 为半环 下证n ( s ) 为半环，事实上，v ( a l ，p - ) ，p 2 ) n ( s ) 只需证明， ( 1 ，p 1 ) + ( a 2 ，p 2 ) = ( a t + a 2 ，p l + p 2 ) n ( s ) ， ( l ，p 1 ) ( 2 ，p 2 ) = ( a i a 2 ，p l p 2 ) n ( s ) v x ，s ， z ( ( l + 2 ) ”) = x ( a l y + a 2 y ) = x ( l y ) 十x ( a 2 y ) = ( z p l ) + ( z p 2 ) ”= ( x p l + x p 2 ) y = ( z ( p l + p 2 ) ) ”， z ( ( 1 a 2 ) v ) = x , a 1 ( 2 ) = ( z p l ) ( 2 ”) = ( x p l ) a 2 y = ( x p i ) p 2 y = 扛( p l p 2 ) 所以f l ( s ) 为直积l ( s ) 冗( s ) 的子半环，且s 加法是交换的，从而n ( s ) 也是加法交 换的口 5 2 2 半环上的平移壳的结构 本节由半环间的关系得到其平移壳间的关系，并得到特殊半环的平移壳的结 构我们首先引入 定义2 4 设”是半环s 上的同余，v a ，b s ， ( 1 ) 若b ) q v ( s ) ，( 口，舳) r e _ q ，则称q 为左平移不变同余 ( 2 ) 若( n ，b ) q = 号v p r ( s ) ，( a p ，b p ) 吼则称q 为右平移不变同余 ( 3 ) 若( 口，b ) _ = 号v ( a ，p ) en ( s ) ，( a 口，a 6 ) ，( a p ，b e ) 巩则称目为平移不变同余 我们知道妒为半环s 到t 的同态，有k e r 妒= ( 口，6 ) s s l 口妒= b 妒) 为s 上的半 环同余 引理2 5 日为半环s 到r 的满同态，且k e r 日为s 上的左平移不变同余，则 疗。：l ( s ) 叶l ( ? ) ， 卜_ + 入 为同态，其中t = ( 8 口) = ( s ) o ，卵= t 证明t l ，t 2 t ，口为满同态，玉l ，8 2 s 使8 l 口：t l ，8 2 口：t 2 若t t = t 2 ，则8 1 8 = s 2 e , ( 8 ，s 2 ) k e r 口，k e r o 是友平移不变同余，故( 沁1 ) 日：( 如2 ) 日即 盹l = ( 如l 妒= ( 沁2 ) 日= t 2 ，为映射 a 。( t z t 2 ) = a ( 。j 口s 2 口) = a 。( ( s l s 2 ) 口) = ( ( s i8 2 ) ) e = ( s 1 ) 。2 ) p = ( a s l ) 口( s 2 口) = ( a t 1 ) 2 ， ( t l + 2 ) = 。( s 1 9 + 8 2 日) = a 。( 0 l + 8 1 ) = ( a ( s l + 8 2 ) 妒= ( 如l + s 2 ) 目 = ( 知1 ) 日4 - ( 知2 = t 1 + t 2 ， l ( v a l ，沁l ( t ) ，著 l = a 2 ，饥t ， ：扛 j ( s 日) = ( 。s ) e = ( a 2 s ) e = a l 口l = a ：= ：= 2 疗， 0 为映射 下证萨为同态，z 3 s s 使忙s 0 ， n i + a 2 ) 1 = 0 1 + a 2 ) ( 5 p ) = ( ( a l + 2 ) 8 妒 = ( a l8 弦4 - ( 沁d ) p = a ：t + ：t = ( ：十a ：) t 。 些查盟蔓盔堂塑主堂焦堡窒! ! ( l + 2 ) o = ( 1 + a 2 ) = j + ：= a 1 0 。+ 2 口， ( a i a 2 ) t = ( ( a l a 2 ) s ) e = ( l ( a 2 s ) ) o = a i ( a 2 s ) 口= a j ( a ：z ) = ( a j a ：) ， ( a l 2 ) 口= ( a l a 2 ) = a j ：= 1 0 la 2 0 z 口 注记对偶地，我们可以得到，如果0 是从半环s 到半环t 上的满同态，且k e r o 为s 上的右平移不变同余，则定义0 “：p - _ p ( p r ( s ) ) ，其中( a o b k ( a p ) o ，是从 m s ) 到r ( t ) 内的同态 定理2 60 为半环s 到t 的满同态，k e r o 为乎移不变同余，则 口：n ( s ) n ( t ) ，( a ，p ) h ( a ，p ) 为同态，其中t = ( s 9 ) = ( s 炽t p + = ( s o ) = ( s 砖8 ，t t ，s o = t 若 ，p 是可置换的， 则一p 为可置换的 证明由弓 理2 5 知a ，p 。是可定义的 v h ，t 2 t ，设( a ，p ) n ( s ) ，( ( a ，p ) ) 口= ( ，) ，并设t 1 = 8 1 0 ，t 2 = s 2 0 则 t l ( t 2 ) = ( 8 1 8 ) ( a ( s 2 日) ) = ( s 1 0 ) ( ( s 2 ) 日) = ( s l ( a s 2 ) ) 0 = r ( s l p ) s 2 ) 0 = ( s 1 _ p ) o ( s 2 0 ) = ( l p ) t 2 ， 所以( ，p ) n ( t ) 即a 是可定义的 q l ，p 1 ) ，( a 2 ，p 2 ) n ( ， ( ( l ，p 1 ) + ( 2 ，p 2 ) ) 口= ( ( a t + a 2 ，p l + p 2 ) ) 口= ( ( l + 2 ) 。，( p 1 十p 2 ) ) = ( a i + ：，p i + p ：) = ( a ：，p ：) + ( ：，p ：) = ( a t ，p 1 ) a + ( a 2 ，p 2 ) 口， ( ( l ，p i ) ( a 2 ，p 2 ) ) o = ( ( l 2 ，p l p 2 ) ) 口= ( ( a 1 k n ( p i p 2 ) 7 ) = ( j ：，p b b = ( a i ，p i ) ( ：，p ：) = ( l ，p 1 ) 口( 2 ，p 2 ) 仃， a 为同态 若a ，p 是可置换的，则v t t ( t ) 一= ( ( a s ) 口) 一= ( ( s ) p ) 8 = ( ( 8 p ) ) 日= a ( ( s p ) 口) = ( t p7 ) 坐壅盟堇盔堂亟堂焦迨塞1 2 u 推论2 7 若目为半环s 到t 的同构，则 l ( s ) 竺l ( t ) ，m s ) 竺咒( t ) ，n ( s ) 曼n ( t ) ， 其中盯：l ( s ) - - - + l ( t ) ，a - + ，i t = ( a ( 口一1 ) ) p 证明由引理2 5 知a 为同态 v a 二( t ) ，定义x 为v s6 s ， s = ( 。( s o ) ) o ， a ( s l8 2 ) = ( ( s 1 8 2 ) 目) 口一1 = ( a 。( s 1 8 s 2 8 ) ) o 一1 = ( ( ( s 1 鳓) ( s 2 8 ) ) 窖一1 = ( ( ( s 1 8 ) ) 8 1 ( s 2 8 ) ) 毋一1 = ( ( 8 1 日) ) 口一1 8 2 = ( s 1 ) 8 2 ， 0 1 + 8 2 ) = ( a 7 ( s l + 8 2 ) 0 ) 0 1 = ( ( s , o + s 2 p ) ) 口一1 = ( 8 1 0 ) o 一1 + a 。( s 2 0 ) 8 1 = i s l + a s 2 ， a6l ( s ) 且 口= t 若a l o = i = a ：= a 2 a ，即 v t6t ， i t = ( l ( t o 一1 ) ) 日= a ：= ( 2 ( t 口一1 ) ) 目 目为同构，a 。( t 8 1 ) = a 。( t 8 1 ) ，t 为任意的，则t o - 1 为s 的任意元，a t = a ：，a 既满又 堕 所以l ( s ) 兰( t ) 同理r ( s ) 皇r ( t ) ，s ( s ) 皇n ( t ) 口 对于一些特殊的半环，我们有很好的结论 定义2 8 设s 是含0 的半环， & i a6a ) 是s 的子半环族，满足s o n s 2 = 又昂= 0 若n 口且s = u 。一& ，称s 是半环族& 的正交和，记为s = s 。 0 6 a 定理2 9 设s = 岛，且咒= & ，a ，则n ( s ) 竺兀n ( & ) a a口e a 证明定义 目：( 妒，矿) r _ ( ，p ) ，n “，萨) 6n ( s 。) ， 其中a 0 = 0 p = 0 ，a n = 舻o ，a p = 印a ，若。6 & 由( a a ，p o ) q ( & ) 知( ，p ) n ( s ) ，q 是可定义的 q 是单的，若a ，( 舻，矿) q = ( r ，矿) q ，即( ，p ) = ( 五，i ) ￥8 s n ， 口= 。n = p 。= 瓢辛 = 天 同理p = i 坐壅盟蕉盘堂堡主鲎焦堡塞1 3 q 是满的，( ，p ) n ( s ) ，o ，若 口0 ，由鼹= s o ，j z ，使n = 列，因此 k a = ( z g ) = ( a z ) o ，y & ，故a z 有a a 所以 把s 。映入& ，类似地p 也 有此性质令舻= i 乳，p 。= p 1 & ，有( 舻，p a ) 。 q = ( a ，p ) 目是同态，事实上， ( ( 舻，p 。) ( r ，矿) ) q = ( 胪r ，p “矿) q = ( p ，矿) q = ( x ，p - ) ( 胪，p 。) q ( r ，矿) q = ( a ，p ) ( _ ，i ) = ( a x ，厕， v z s 。，h = ( n r ) 。= 舻( 五。) 。 = 。( 页。) = a ( x z ) = ( a 习。， 爻= a x 同理f = 帝 ( ( 。，p 。) + ( i “，f 。) ) q = ( a 8 + r ，p n + 萨) q = ( i ，p - - ) ( a 。，p 。) 口+ ( x 。，。) 口= ( a ，力十( x ，) = ( a + i ，p + ) v g ，i z = ( n + r ) 。= a 。z + i 。z = a z + x = ( a + i ) z ， i = a + i 同理声= p + 综上所述有n ( s ) 掣丌f l ( s 。) 口 a a 定理2 1 0 半环s 为逆半环，则l ( s ) ，r ( s ) ，q ( s ) 都是逆半环 证明定义 q ：( ，p ) h ( ，- ) ， ：s _ s ，h ( 捌， ( a z ) 是a z 的加法逆元类似定义：z h ( x p ) ，g s ， x ( z ”) = ( a ( 。封) ) = ( ( 。) ) = ( 。) 可= ( 茗) 掣， x 忙+ 掣) = ( 如+ 掣) ) = ( a z + a 掣) 。 = ( z ) + ( 砖) = 天z + 两， x 工( s ) 同理有r ( s ) 霉( 支掣) = ( a 秽) = ( ( a 掣) ) = ( ( z p ) 掣) + = ( 霉芦) 鲈， n ，_ ) n ( s ) 出丕堕堇盔差塑堂垡造塞1 4 ( a + i + ) z = + 黾+ z = z + ( a z ) + a 窖 = a x ， a + i + = a ( x + + i ) 。= 黾+ $ + 瓦 = ( a z ) + a x + ( a z ) = ( 蛔) = 氐 i + a + 一a = i 同理p + + p = n 芦+ p + = 瓦从而有 ( ，p ) + ( ，) + ( ，p ) = ( a ，p ) ， ( i ，芦) + ( ，p