（基础数学专业论文）二阶非周期哈密顿系统同宿轨道研究.pdf

摘要 y 8 6 3 7 7 0 二阶非周期哈密顿系统同宿_ 叙i 道研究 哈密顿系统理论是既经典又现代的研究领域，可以从不同的角度进 行研究，变分方法便是其中之一哈密顿系统是具有变分结构的系统， 求哈密顿系统的解可转化为寻找其对应泛函的临界点正因于此，哈密顿 系统研究与最近2 0 多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相 结合，取得了巨大的进展特别是在应用变分方法寻找哈密顿系统的周 期解、同宿轨道解、异宿轨道解和其它形式的轨道解方面，取得了许多 非常深刻的结果。 本论文主要研究非周期的位势可变号的二阶哈密顿系统 审( f ) 一l ( f ) ( f ) + 吖( f ，) ，o ，一f + ( 舟s 2 ) 的同宿轨道这里“一“，：，) ，即，“) ：册卯一瓣是一个符号可变的位势 函数假设( f ) 和y ( f ，“) 满足 1 ( 厶) 上( f ) c ( 9 l ，卯2 ) 是个m x m 阶对称正定矩阵，存在函数 4 0 ) c ，m ) 使得 口o ) 苫，o ，( l ( f 弘，h ) 口o ) | e j 2 ，t 9 t ，h m ” 2 ) 口( f ) 一+ q h 一+ m 以) 矿c 1 ( 辨渺，辨) ，y ( f ，o ) ；0 ，( f ，h ) t d 舡i 冲l o ) ，关于f 瓣一致 成立 以) 存在常数p ，2 ，1 pc 2 ，r ，0 ，吐o 使得 陋嘭( f ，砧) 一( f ，“) | 反k r ，当l x l ， 以) 存在函数k ) c ( 扩，趼) ，使得 p ( f ，“m + k ( r ，“) i s k ) i ，f m ，h m “ 在假设彤) 一叱) 下，易知存在d ：乏。使得 扣( f ，“) 一p 矿以) | s d 2 k r ，v f 孤，v “9 l “ 若y o ，“) 还满足 以) 存在( 1 0 ，) 满足= 1 且y ( 1 。，“。) 那么( h s 2 ) 至少存在一条非平凡的同宿轨道 再进一步假设y ( f ，“) 还满足 以) 存在函数坼) c 僻，巩) 满足6 ( f ) o ，且 龋，y 曲( f ) + 孑 ( k ) y ( f ，h ) 一y ( f ，一“) ，f 筑，“飒1 那么( h s 2 ) 拥有无穷多条不同的同宿轨道 另外，如果y ( f ，“) 除满足以) 一以) 外，还满足 ( 哆) y o ，h ) ；y ( 一f ，h ) ，f 跣，h 趼” 而l ( r ) 满足 、1 ( 岛) 工( f ) = ( - f ) ，妄犯( f ，“) k ，( f ，“) ，f 倪，“m ” 那么( h s 2 ) 至少存在一条非平凡的偶同宿轨道 我们主要应用变分方法证明上述结果 关键词哈密顿系统变分法同宿轨道 a b s t r a c t h o m o c u i co r b i t sf 打h a m m o n i a ns y s t e m sw j t h o u tp e r i o m c i t y h a m i l t o n i a ns y s t e mt h e o r yi sb o t hc l a s s i c a la n dm o d e mr e s e a r c ha r e a w h i c hi ss t u d i e db yd i f c b r c n tm e t h o d s i nt h i sp a p e r ，w eu s ev a f i a t i o n a l m e t h o d t 1 1 es o l u t i o n so fh a m i l t o n i a ns v s t e m sw i l lb eo b t a i n e da sc f i t i c a l p o i n t so ft h ec o r r c s p o n d i l l 窟f u n c t i o n a l s d u r i n gt h ep a s tt w e n t vv e a f st h e f e h a sb e e na2 r e a td e a lo fp r o g r e s si nt h eu s eo fv a r i a t i o n a lm e h o dt of i n d p e r i o d i c ，h o m o c l i n i c h e t e f o d i n i co r b i t sf o rh a l l l i l t o n i a ns v s t e m s i nt h i sp a p e r ，t h ec x i s t e n c c0 fn o n t r i v i a lh o m o c l i l l i co r b i t so fh 锄i l t o n i a n s y s l e m sw i t h o u tp e f i o d i c i t ya n dw i t hp o t e n t i a l sc h a n g i n gs 培n f ( f ) 一工( f ) “( f ) + 嘭( f ，砧) t0 ，一* c f t + m( e s 2 ) i sp r 0 i v e d ，w h e f e “- 0 ”h 2 ”，h ) ，y ( f ，h ) ：m x 巩庸矾i sap o t e n t i a lc h a n g i n g s i 弘a s s 岫e 三( f ) a n dy ( f ，“) s a t i s l y t ) 三( f ) c ( 9 t ，飒一) i sap o s i t i v ed e f i n i t es y 咖e t f i cm a t r i c s ，t h e r ee x i s t s a n8 ( f ) c ( 哦，m ) s u t ht l l a t 口( f ) 口0 0 仁o ) h ，“) 4 ( f ) 扭l ，t 9 t ，h e 辨” 犯：) 口( f ) 一+ m ，i f i 一+ * 以) y c 1 ( 趼m 。，孤) 矿( f ，o ) 一o ，屹( f ，h ) t d 舡i ) 啦i 一0 ) u n i 五咖a l yf o r f 9 t ( 吒) t h e f ee x i s t c o n s t a n t sp 2 ，1 墨卢2 r o ，吐之0s u t h t h a t k ( f ，h ) 一p y ( f ，m ) i s d ，| e i r ，f o fi x i 土， ( ) t h e r ee x i s t saf l l n c t i o nk ) c ( 疣“，蛳s u t hl b a t l y 以h ) | + l ( f ，“) i s 帜以) l ，f m ，飒” u n d e rt h ea s s u m p t i o n s ( 巧) 一( ) ，t h e r ee x i s t s d 2 之os u t ht h a t k ( f ，) 一y o ，h ) i s d ：沁r ，v f 9 l ，v “9 t “ i fy ( f ，h ) a l s os a t i s f y ( k ) t h e f ee x i s t sap a i fo 。，h 。) s u t ht h a tl m 。i _ 1 a i l d 矿( f 0 ，) 孑 t h e n ( j 拇2 ) p o s s e s s c s a tl e a s to n en o n t r i v i a lh o m o c l i l l i co r b i t u n d e rt h ea b o v ea s s 咖p t i o n s ，i fy ( f ，“) s a t i s 匆 ( 略) t h e r ee x i s t sa6 0 ) c ( 飒，9 t ) s u t ht h a t6 ( f ) oa n d ， 。 僦，一) 曲( 小南 ( k ) r ( f ，“) t y ( f ，“) ，飒，“飒” t h e n ( 船2 ) p o s s e s s e si n d e f i n i t e l ym a n yn o n t r i v i a lh o m o c l i n i co f b i t s 、 i na d d i t i o n ，弱s u m e y ( f ，“) s a t i s f y ) 一以) a n d ( 嵋) y ( f ，“) 一矿( - f ，h ) ，f 9 t ，h 观” w h i l e 工( f ) s a t i s f i e s 1 ( 如) o ) 一工( 一f ) ，妄但( f ) e l ，球) 苫k ，( f ，h ) ，f 9 t ，“m ” 二 t h e n ( 总譬2 ) p o s s e 豁e sa tl e a s to n en o n t r i v i a le v e nh o m o c l i n i co r b i t w eu s et h ev a r i a t i o n a lm e t h o dt op m v et h ea b o v er e s u l t s k e yw o r d sh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，v a r i a t i o n a lm e t h o d ，h o m o d i n i co r b i t s 第一章前言 随着1 7 世纪徽积分的诞生为人类描述和发现天体力学中质点的运动规律提供了 强有力的数学工具以来，这其中涌现许多作出重要贡献的数学家和物理学家，爱尔兰 数学家哈密顿便是其中之一1 8 2 3 年，在他致力于光学研究的论文“焦散面”中阐述 了微分方程、辛变换和光学理论的关系后来他把其理论推广到力学系统。由此创立 了力学中的哈密顿系统理论，它是用来描述天体运动轨道的哈密顿系统是非线性科 学研究中的一个重要分支，广泛出现于理论力学、数理科学，特别是天体力学、航天 科学以及生物工程中的很多模型都以哈密顿系统( 或其扰动系统) 的形式出现，因此， 该领域的研究多年来长盛不衰，而寻找一般的哈密顿系统所具有的各种不同变量，用 以研究该系统的解已成为人们关心的问题之一 哈密顿系统的解可以分为周期解、同宿轨道、异宿轨道等哈密顿系统是既经典 又现代的研究领域，可以从不同的角度进行研究，变分方法便是其中之一为了研究 这一解闯题。可以在适当的函数空间e 上定义一个泛函j ，使得，的临界点恰对应于此 哈密顿系统的解1 9 r 7 8 年美国数学家p r 丑b i n o w 娩证明了哈密顿系统的周期解的存在 自从他的开创性工作以来，数学工作者把哈密顿系统研究与最近2 0 多年来飞速发展 的大范围变分理论相结合，在寻找哈密顿系统的周期解、同宿轨道解、异宿轨道解和 其它形式的轨道解方面，取得了许多非常深刻的结果( 如【1 】- 【1 1 】、【1 3 】【3 5 】) 哈密顿系统指的是如下的常微分方程组： 声；一警g ) 一以口) d 口 口。罢( f ，m ) 一坼o ，p ，留) d 口 。 其中p ，口盼，日c 1 ( m x m 2 一，m ) 令z 一( p ，q ) ，则哈密顿系统可表示为 m j h 。q ，曲( t 舀) 这罩，。【? 苫】，。l 是一一单位矩阵在实际问题中，一种简单而经常发生的 重要的情形是日( f ，p q ) 一丢l p l 2 + y o ，卑) = 动能+ 势能，在这种情形下哈密顿系统 ( 珊) 交为 香+ o ，q ) 一o ( f ，s 2 ) 通常称之为二阶哈密顿系统我们的研究重点在于( 乒巧2 ) 本文安排如下：第二章主要介绍哈密顿系统的研究方法第三章主要介绍对 哈密顿系统研究的进展情况，主要介绍了同宿轨道解方面一些所取得的结果第四 章主要给出了我们的结果及其证明 3 第二章哈密顿系统的研究方法 从经典力学到场论，其中所研究的一切物质的运动规律都遵从变分原理，即存在 着某个泛函，使所对应的运动方程是它的欧拉方程因此，求这些欧拉方程的解就可 以转化为寻求对应泛函的临界点经典的变分理论旨在确定泛函的极值和极值点，对 这种特殊形式的临界点问题，在1 9 世纪以前，一直是将其化成微分方程去求解的 最小作用原理在力学、数学的发犀过程中曾经起过重要的作用，但对哈密顿力学 如何昵? 从它的观点来看，哈密顿系统的周期解应该是定义在闭曲线类上的一个适当 泛函的极值点然而在本世纪7 0 年代以前，尚没有周期解是通过变分法发现的这是 因为，周期解没有使作用泛函达到极小，它们仅仅是些驻点，所以经典的变分方法， 特别是最小作用原理，虽然曾经发现过极小测地线，但对哈密顿系统周期解等问题无 能为力 为了从泛函本身的性态定出未必是极值点的临界点，我们需要完全不同的新理论 因为主要依靠的拓扑工具，所以这部分临界点理论又称为大范围变分法早在2 0 世纪 二三十年代，m o r 和u u s t e m i k s c b 础r e l m 粕就分别提出了两种联系紧流形上函数的 临界点的行为与流形自身拓扑性质的理论然而在较长时期内这些理论，对大多数分 析问题却难以应用；相反它们成了拓扑学领域里人们感兴趣的课题 近二十多年来，变分理论飞速发展一方面前述理论更深入地应用到更多的微分 方程问题，在方法上有了新的进展；另一方面，在1 9 7 3 年a n n b m s e t t i 和r a b i n o w 汜 共同给出的“山路引理”( 【1 3 】) 等一系列新的极小极大定理这些方法对于解决更加 复杂的数学物理问题，如哈密顿系统周期解、同宿轨道解、异宿轨道解问题有着重要 的意义1 9 7 8 年，p 鼬i r 姗i 1 【z ( 【2 5 】) 证明了非线性哈密顿系统的周期解的存在性，其 证明的关键在于利用了哈密顿系统的交分结构和非线性分析中的拓扑方法，该成果 是现代非线性分析理论发展史上的重要里程碑 我们简单回顾一下无穷维空间上的临界点理论，下面主要介绍临界点存在的极小 极大原理极小极大原理不仅给出泛函的临界点，而且对相应的临界值作了估计从 而成为研究非线性微分方程的重要技巧 定义2 1 ( 【1 2 】) 设e 是实b a n a c h 空间，为上泛函若存在连续性映射 工一工0 ) ：e e ，使得v o ，j 6 o ，对所有删s 6 ，v e ，有 p 学卜 则称，在h 点f r e c h e t 可微，通常称为，在“点的f r c c h c t 导数如果雎满足 j 。 ) 一o ，即 10 v 妒，则称h 为泛函，的临界点，对应于临界点“的值 ， ) 称为j 的临界值 定义2 2 ( 【1 2 1 ) 设e 为b a l l a c h 空间，泛函j c 1 陋，吼) ，c 巩如果序列扣。 c e ， 满足条件j 似。) 一c ，j ( “。) 一o ( t 一* ) 则称扣。) 为j 关于c 的l | 蠡：界序列 定义2 3 ( 【1 2 j ) 设泛函，c 1 ( 三，承) ，如果满足条件j 饥) 有界，j 瓴) 一0 ( 七一* ) 的每一序列伽 在中都是列紧集，则称，满足p a l a i s s m a l e 条件以下简称( p s ) 条件 定理2 4 ( 阴) ( 极小极大原理) 设泛函，e c l 陋，飒) ，为e 的非空子集族，记 c 2 瓣眢，0 ) 如果满足条件：( 1 ) c 是一个有限数；( 2 ) 存在手，o ，使得f 关于映射族 r 一口c ( e ，骥) i r ( 力一工当r o ) o ，( 工( f ) m ，h ) 苫4 0 ) 卜1 2 ，f 吼，“筑”； ( ；) 4 ( f ) 一+ * ，斟一+ m ； 彤。) 矿c 1 ( 虢9 l 。，9 1 ) ，y ( f ，o ) 一o 一( f ，“) 一。舡脚i o ) ，关于f 观一致成立； 7 ( 屹。) 存在常数，2 ，o s ac 芒一1 使得 y ( f ，“) 一吖( f ，“) e a 似( f 如，h ) ，f 飒，h 巩“； ( 坳存在( f o ，h o ) 满足“。，o 且y ( f 。，h 。) 2 0 ； 、( 吩存在函数谚c ( m ”，巩) 满足旷o ，h ) 卜i 吖o ，“) is 面砸) ，f 9 i ，h m “； 那么( h s 2 ) 至少存在一条非平凡的同宿轨道 还有其他文献也研究了这种变号的情形( 【1 3 】- 【3 0 】) 在本文中，我们也考虑( h s 2 ) 是非周期的情形假设工o ) 和y o ，h ) 满足 ( 三。) 上o ) c ( 9 t ，飒一) 是一个m x m 阶的对称正定矩阵，存在函数口( i ) c ( 阻，9 t ) 使 得口o ) 0 ( 上o ) i l ，”) 口( f ) 扣 2 ，f 飒，h 飒； ( 工：) 口( f ) 一+ * ，h 一+ * ； 以) 矿c 1 僻x 孵“，孤) y p ，o ) 一o ，p ，口) 一。啦洳i 一0 ) ，关于f m 一致成立； ( ) 存在常数p 2 1 声2 r ，o ，以七o 使得 b 吖o ，“) 一f 矿( f ，“) i d ，陋r ，v 阻i ，； ( ) 存在函数k ) e c ( 飒“，撒) ，使得 旷( f ，h ) l + 瞻( f ，h ) l k ( “) i ，f 飒，“艉； 在假设以) - 以) 下，容易推出存在d ：o 使得 知吖o ，“) 一卢y ( f ，“) i 墨d ：卜r ，v f 9 t ，v h 9 t “( p ，声见( 屹) ) 于是我们的主要结果可叙述为 定理3 3 假设工( f ) 满足以) ，：) ，y o ，) 满足以) 一( ) 及 ( _ ) 存在( f 0 ，) ，满足i “。i 口1 ，且y ( f 0 ，“。) j ； 那么( h s 2 ) 至少存在一条非平凡的同宿轨道 定理3 4 在定理3 3 的假设下，如果y ( f ，“) 还满足 ( 吃) 存在函数坼) c ，蛳满足6 ( f ) o 并且矾y ( f ，“) 之b ( f ) + j 与； 8 ( 圪) y ( f ，“) = y ( f ，叫) ，f m ，“! ) l ”； 那么( h s 2 ) 拥有无穷多条不同的同宿轨道 定理3 5 假设( f ) 满足 ( 如) l ( f ) 是一个加m 阶的对称正定矩阵， 1 o ) ；工( 一f ) ，妄7 ( f 扣，h ) ，( f ，h ) ，f 辨，9 t “； 假设y ( f ，“) 除满足以) 一( 圪) 外，还满足 ( ) y ( f ，比) 一y ( - f ，) ，f 9 i ，“飒”； 那么( h s 2 ) 至少存在一条非平凡的偶同宿轨道 定理3 3 3 5 的证明将在第四章给出 注1 与文献【4 】相比，我们处理的矿( f ，“) 是变量不分离情形；与文献【1 0 】相比，【1 0 】 中y ( f ，“) 要求满足比较严格的条件( f ，h ) 一( r ，h ) | 墨口仁( f ，) ，且o s 口c 2 1 ， 本文用另外一种条件k y ( f h ) 一“( f ，h ) | s 吐i “r 取代之，得到了一系列非平凡同宿轨 道的存在性结果 注2 在定理3 3 3 5 中，如果条件( ) 中的常数吐一o ，则( 哆) 即为通常的超二次 条件，所以我们的结果在一定程度上推广了前人的结论 9 第四章 系统( i 玉s 2 ) 同宿轨道存在性的证明 、 l 若干记号与引理 我们记：rl 缸h 1 ( 册，册。) i j = l 啦i 2 + ( f _ ，“) 协t + * ，将并赋予内积 “，。j ；似+ 如+ 伍。如，蝴 后成为一个h i l b e n 空间，相应的范数为i 2 一j = f 啦1 2 + 犯( | ) i | ，“) ) d f 在z 上定义泛函 ，。) 一却2 一 眦嘞 则，c 1 ( x ，册) ，且，在空间x 上的i 临界点h h ( | ) 就是( h s 2 ) 的经典解，并且满足 “( t * ) 一n ( m ) 一0 。因而即为( h s 2 ) 的同宿轨道( 【2 j ) 引理4 - 1 ( 1 【6 】) 在条件仁。) ，仁：) 下，z r ( 巩) 的嵌入是紧的； ( 2 ) ( f 6 】) 在定理1 的条件下，若在石中+ “。( 弱) ，则肛必，) 咏，h 。肌一o ； ( 3 ) 在定理3 3 的条件下，满足c $ ) 。条件 证明设在盖中，序列满足，0 。) 一c ，“) 一o 体一* ) ，要证存在一收敛子 列 因为h l ( 9 i ，孵”) 连续嵌入到扩( 飒，巩。) 中，所以存在，o 使得 因为( 9 i ，孵”) 连续嵌入到( 飒，巩。) 中，所以存在，o 使得 b ；村酬，讹日1 凹，矾1 ) 于是有 吉，饥h ，帆) 一咕一争1 1 1 2 + j = l ( f 以) 一丢嘭p ，h 冲 s ( 吉一争敝j j 2 + 知似y o ，码) 一( f ，心地矽 s c 吉一批1 2 + 缸蚶出 从而 s ( 三一主) i 扣。1 1 2 + 鲁i 卜。i i ； sc 吉劫蚶+ 等r 哇一抄。| | 2 - 半q 一如咖创 其中，常数) o 由于三一三，o ，所以上式意味着“。在z 中有界根据( 1 ) ( 2 ) ，存在一 z“ 子列，仍记为h 。，满足一h 。( 弱) 则 。 k 一“。k ( 嚣) 一0 孵( r ，) 一( f ，“。) k 卿一o 再结合，的定义可推知 帆一w 一( ，帆) 一，o 。舯t 一) + 二吖o ，心) 一吼，h 。帅t 一妙 s ( ，帆) 一，似。) 。一) + i 暇o ，) 一巧( f ，m b ( 飒) 帆一h 。k 一。 所以一h o 2 定理3 3 、定理3 4 和定理3 5 的证明 定理3 3 的证明根据山路引理( 7 】) ，只要，c 暖，艉) 满足，( o ) 一o ，( 殿) 。条件以 及 ( ，1 ) 存在常数p ，o ，n ，o ，使得，k 口； ( ，2 ) 存在v x 以，使得，o ) c 0 ； 那么，在x 中就有一个临界点hz ( f ) ，且满足，( “) 之s ，o ，因而“，o 由引理4 1 ( 1 ) 知，存在c l ，o ，使得f 墨c 1 另一方面，存在c ：，o ，使得 。s c ：由以) ，对v s ，o ，存在o t 6c 1 ，使得p o ，“) | s # 弘0 2 ( 对任意旧s 6 ) 设 p 一言，并且设叫i s p ，则删。s 毒c 2 6 ，从而，p ( f ，“( f 刈s s k ( 叫2 ，对v l m 在 巩七枞于得 工唧，“坤se 堋? ss c | 2 所以，若一p ，则 、 ，以) ；扣2 一正即，g 皿a ( 圭一驯坩z ( 三一s ) p 2 令s 一击，则，。) 毫譬；口，0 - 于是，( ) 得证 由( _ ) ，设岛一y 以，) 一孑，。，于是，存在乞) 。使得对于【f 0 一乞，f o + e ：】，有 m u 一南z 鲁 设p ( f ) c 彳( 限，孵) ，s u p p p 一【f o 一乞，f o + 乞】，定义( f ) 一“。p ( f ) ，对充分大的a 估计 ，( 砜) ，有 ，( ) 一等k 9 2 一厶y p ，“坤一l 矿( f ，瓴灿， 其中4 一 f ：l 砜( f ) | t | i i 。i ，只t m 、4 另外，有 lp ( r ，砜) 陋。l 帆， 吲旷( f ，缸。) 陋 2 乞m a x p ( r ，h h ：f 【b 一乞，+ 乞】，卜i s b 。b + 由于 岸矿( f ，h ) 一扯巧o ，) d ：k r ，9 t 4 以朋代替“( r ，o ) ，得 肛y o ，删) 一r 巧( f ，沁s d ：r 4 k r ( 1 ) ( 1 ) 式两边同乘以一r 啪“) ，得 一卢r 一“y o ，w ) + r 一”( f ，埘) “苫一d 2 r 芦一”一1 k r 昙( r - 雠，砌z 却脚。1 盯 ( 2 ) v 己 1 ，( 2 ) 式两边关于r 从1 到已积分，得 他_ 邯“) z 喾( 小时) ( 3 ) 在( 3 ) 式中，令b l t l ，x ；掣，则h 一岛，且 w 他高) 南( n m m o ，裔卜南峭+ 南” ) z 裔卜南峭 ( 4 ) 将a 代入( 4 ) 式，得 m 哦) 苫蚰一南) 胪i p r l y p ，瓜。坤2 a ”l g 鳓) 一i ) 纠9 出丢气8 p l l ：! - 。以，a 9 于是得到 ，( 砜) 一等2 一厶矿o ，概一l y 以砜坤 s 等2 + m a x 帆，咖【f o - + 乞川s 帅 、a ”一也a 一+ * 从而存在v 盖口。，使得，( v ) t o 于是，( 厶) 得证 定理3 4 的证明根据对称形式的山路引理( 【7 】) ，只要证明，在x 中满足下述条 件即可 ( 厶) 对每个有限维的子空间工，c x ，都有常数r = r ( x 。) 使得，k 、毋s o 事实上，工。，有 ，) a 卜。眦h ( f 凇一b 。即，口( f 眦 一方面，由以) 知，存在o c 盯t 1 ，当b l t 仃时，不等式旷( f ，“) i s | l 1 2 关于t 飒一致成立 记k i 删旷( f ，“) i ，于是，当| l ( f ) i ( 。时 当盯s i “( 叫s 1 时， p ( f ，“( f ) ) i si “( f ) i 2 脚( f 划s k = 事九事槲口口 所以 ；。m n o 渺h s c ：m 2 s c 3 ， 其中c ，c ：，c ，均为与“x ，无关的常数( 上式中的不等式利用了有限维空间中范数的 等价性1 另一方面，令 s 。一娩4 m 。坼凇酬” o ( 6 ( f ) 见以) ) ， 由定理3 3 的证明知，当h ，1 时， 眦咖汆i 哆k i ”+ 南k r k ，m h o 眦z k ，m 瀚一南恻i 叫栅) 1 4 出 z 厶，。矗姊吖出 一铃帅。2 ”黯出 。i i 7 1 o 舾- d ，2 i ：i 丽f 口 s 她删： z 一 于是，对v h x 。，我们得到，当叫i 曲一+ * 时，有 川s 训：一掣 这样就证明了( ，) 成立，根据文献【7 ，拥有一个无界的临界值序列矗，一+ * ，其中 m 满足，( w ) = o ，因而w ，就是系统( h s 2 ) 的一列互不相同的同宿轨道解 定理3 5 的证明 由( k ) ，设q 一矿，h 。) 一j ) 。，于是存在龟，。使缛对于 v f 【f 0 一乞，f o + e z 】，有 m 咿刍z 一p z 设一，= m 孤廿。一e z 排。+ e ：i ，1 ) 对r 苫m a x 串。一e ：| ，| f l ，+ e ：m ，考虑有界区间上的边值 问题( 雕) r ： 邮：豸! ：荔冀：i ：；：；钉 c 邯， “( 一r ) 4 “( r ) 一0 ，球( f ) i ( f ) 、 。 汜x r 一似日：( 一r ，r ) i “( 一f ) 一h ( f ) ，r ( 一r ，r ) ，将x ，赋予范数为 | l 一( j 二( ( 上( f ) “( f ) h ( f ) ) + p ( f 1 2 矽) ； 则石r 为h i l b e r t 空间在盖r 上定义泛函 ，r 。) 。j 二睦忙1 2 + 喜( l o 弘，“) 一y ( r ，“) ) 出 先证明，在x ，上满足山路引理( 【7 】) 的所有要求根据山路弓l 理( f 7 】) 只要 ，r c 1 ( 耳，筑) 满足，r ( 0 ) mo ，( p s ) 。条件以及 ( ，1 ) 存在常数p ，0 口，o ，使得疗k 每a ； ( ，2 ) 存在y x ，见，使得，r p ) t o ； 那么疗在石，中就有一个i l 蠡界点“r 。吩o ) ，且满足，r o ，) 苫f ) - 0 ，因而越，一0 首先证明，r 满足c 雕) ，条件 设在x ，中，序列h 。满足，r 帆) 一c 矗 。) 一o ( 七一* ) ，要证m 。存在一收敛子列 因为h 1 “l r ) ，孵”) 连续嵌入到上，“一r ，r ) 辨”) 中，所以存在，0 使得 陋9 fs 朋i 缸0 ， v “h 1 “一r ，t ) ，巩”) 去肫”舯加( 云一狮2 + 警4 于是 畦一。8 2 一半肛。8 4s 触) 一言肫耻 ( 5 ) 其中常数，o 由于昙一! ) o ，所以( 5 ) 式意味着“。在x ，中有界所以h 。存在一子 z“ 列，1 乃汇为h ，满足“弱收敛剑h o 从向 恢一“。峙正，一o ，i 暇( f ，吣) 一吖( f ，“。) 。，一。 再结合疗的定义可推知 肛。一“。0 2s ( 爿似) 一片 。) ) 似一“。) + i 睢( t ，) 一吖( f ，) 忆卜r n 忆一“。忆 正r ) 一。 所以“。一“。从而，r 满足( 胳) 。条件 因为存在c 1 ，o ，使得肛0 fsc l 秘9 另一方面，存在c ：) o ，使得。s c z 0 由形) ， 对v s ，o ，存在o t 6t 1 ，使得旷( f ，“) i s 犯8 2 ( 对任意川6 ) 设p 一毒，并且设删p ，则舡l 。s 言c 2 4 6 ，从而，p o ，“( f 叫s k ( f 2 ，对( 叮，r ) 在( 一丁，f ) 上积分得 正即。“坤主e 雌s m 所以，若l 刚一p ，则 矗。) 一扣2 一正m 鼋冲z 哇一雎2 一哇一邸 令sa 壶，则疗 ) 毫譬一a ，o 于是，( ) 得证- 与定理3 6 的证明类似，可以证明( ，2 ) 成立 于是根据山路弓i 理c r 。避黝，r p - ) ) o 为矗的一个临界值，其中0 一协扣) ：【o ，1 】一x ，l 妒( o ) 一o ，疗p ( 1 ) ) c 吣与q 相应的临 界点记为“，一w ，o ) ，则其为( 船) ，的非平凡偶函数解显然，若正，rz 瓦，则 o o ，使b r ( 酬) 6 ，所以“o 1 8 参考文献 【1 】r a b i n o w i t zp h h o m o c l i n i co r b j t sf o rac l a s so fh a m i l t o n i a ns y s t e m s p r o c e e d i n go f r o y a ls o c i e t yo fe d i n b u r g h ，1 9 9 0 ，1 1 4 a ：3 3 3 8 【2 】r a b i n o w j t zp h ，t a t a k ak s o m er e s u l t so nc o n n e c t i n gf o rac i a s so fh a m i l t o n i a n s y s t e m s m a t hz ，1 9 9 1 ，2 0 6 ：4 7 3 4 9 9 【3 】d i n gy h g i r a r d i ，p e r i o d i ca i l dh o m o c l i n i cs o l u t i o n st oac l a s so fh a m i l t o n i a ns v s t e m s w i t l lp o t c n t i a lc h a n 画n gs i g n d n a m i cs y s t e m s a p p l ，1 9 9 3 ，2 ：1 3 1 1 4 5 【4 】g u i h u af t h ee x i s t c n c co fh o m o c i i n i cs o l u t i o n st oad a s so fh a m 订幻n i a ns v s t e m sw i t h p o t t i a l c h 粕g i n gs i 驴c h i na l l n m a 出( s e rb ) ，1 9 9 6 ，1 7 ( 4 ) ：4 q 3 4 1o 【5 】c a l d i m l ip ，m o n t e c c h i a r ip h o m o d i i co r b i t sf o rs e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns v s t e m s w i t hp o l 如t j a lc h 如g i n gs i 印c b 嘲u a 嘲n 伽l i l l e r a l l a l ，1 蚋，l ( 2 ) ：9 7 1 2 9 【6 】0 m a i i aw ，w i l l 咖m h o m o c i i i l i co r b i t sf o rad a 龉o fh 啪i l t o n i 姐s v s t e m s d i 萄f c l i n c e g f a le q u ，1 9 9 2 ，5 ( 5 ) ：1 1 1 5 1 1 2 0 【7 】r 曲i n o w 娩p h h t i n i l n 麟m e t b o d si nc r i t i c a lp o i n tt h c o r yw i t ha p p l i c a t i o i l st o d i 彘r e n t i a ic q u a t i s c b m sr e g i o n a lc o n fs e r i c si nm a t l l a m s ，1 9 8 6 ，6 5 【8 】李成岳等二阶非自治奇异哈密顿系统的同宿轨道科学通报，4 3 ( 2 0 ) ：2 1 4 7 2 1 5 3 9 】李成岳等一类具有对称性的非线性微分方程的正值同宿轨道高校应用数学学报 ( a 辑) ，2 0 0 2 ，1 7 ( 2 ) ：1 2 7 1 2 9 【l o 】李成岳位势符号可变的非周期超二次啥密顿系统的同宿轨道曲阜师范大学学 报，2 0 0 4 ，3 0 ( 1 ) ：2 1 以6 【1 1 】p h n i pk b n n 柚锄d 舢锄c l 丑z e r h o m o c l i n i co r b i t sf o rac l a s so fs y i i 瑚e 岫c h a m i l t o n i 肋s y s t e m s 川e l c c 垃o n i cj o u m a lo f d i 如r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 4 ，0 1 ：1 1 0 【1 2 】陆文端微分方程中的变分方法四川大学出版社，1 9 9 5 1 9 2 2 3 5 【1 3 】a m b m s e t t ia a n dr a b i n o w 娩p h 。d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t 妣lp o i n tt h e o r y 柚d a p p l i c a t i o 璐j f u n c t a n a l 1 1 9 7 3 ) 3 4 9 3 8 1 f l 卅r a b j n o w j t z p h 。蹦o d j c 鲥u i i o n so f s o m e ds i l l g i i l a rh a m i l f o l i i 柚s y s t e m s j n 1 9 a n a l y s i s ，e t c ( p h r a b i n o w t za n e z e h n d e r e d s ) a c a d e m i cp r c s s ，1 9 9 ( ) ，5 2 1 5 4 4 【1 5 】a m b m s e t t i a a n dv c o t iz e l a t i p 硎o d i cs o i u t i o n so fs i n g u j a rl 丑g r a n g i a ns y s t e m s b i r l 【i l a u s e r - 1 9 9 3 【1 6 】r a b i n o w i t z ，p h h o m o d i i l i c sf o r 如a l m o s tp e r i o d j c a l l yf o r c e ds i n g u l a rh a m i t o n i a n s y s t e m t 0 p 0 1 m e t b o d sn o n l i n e a r a n a l 6 ，n o ，1 ，4 9 6 6 ( 1 9 9 5 ) 【1 7 】a m b m s c n i ，aa n dm b a d i a l e h 咖d i n i c s ：p o i n c a r c m e l n i k o vt y p er e s u l t sv i aa v a r i a t i o n a la p p r o a c h t oa p p e a r a n n i h p - a n a l y s en o n l i n 【1 8 】1 柚a k a ，k h o m o c 陆i co r b i t sf o ras i n g u l a f n do r d e rh 砌i l t 叫i 锄s y s t e m a _ n n i i l s t h e l l r ip o i n c a r e ，7 ，1 9 9 0 ，4 2 7 - 4 3 8 【1 9